2016届高考数学一轮复习教学案
指数与指数函数
[知识能否忆起]
一、根式
1.根式的概念
2.两个重要公式
(1)n
a n=
??
?
??a,n为奇数,
|a|=
??
?
??a a,
-a a<,
n为偶数;
(2)(n
a)n=a(注意a必须使
n
a有意义).
二、有理数指数幂1.幂的有关概念
(1)正分数指数幂:a m n
=n
a m (a >0,m ,n ∈N *,且n >1);
(2)负分数指数幂:a -m n
=
1
a
m n
=
1
n
a m
(a >0,m ,n ∈N *,且n >1);
(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质 (1)a r a s =a r +s (a >0,r ,s ∈Q); (2)(a r )s =a rs (a >0,r ,s ∈Q); (3)(ab )r =a r b r (a >0,b >0,r ∈Q). 三、指数函数的图象和性质
[小题能否全取]
1.(教材习题改编)化简[(-2)6]1
2-(-1)0的结果为( )
A .-9
B .7
C .-10
D .9
解析:选B
原式=(26)
1
2
-1=7. 2.(教材习题改编)函数f (x )=1-2x 的定义域是( ) A .(-∞,0] B .[0,+∞) C .(-∞,0)
D .(-∞,+∞)
解析:选A ∵1-2x ≥0,∴2x ≤1,∴x ≤0.
3.已知函数f (x )=4+a x -1的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是( ) A .(1,5) B .(1,4) C .(0,4)
D .(4,0)
解析:选A 当x =1时,f (x )=5.
4.若函数y =(a 2-3a +3)·a x 是指数函数,则实数a 的值为________. 解析:∵a 2-3a +3=1,∴a =2或a =1(舍). 答案:2
5.若函数y =(a 2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a 的取值范围是________. 解析:由题意知0 2 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2) 1.分数指数幂与根式的关系: 分数指数幂与根式可以相互转化,通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为 幂的运算,从而简化计算过程. 2.指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的,因此解题时通常对底数a 按0 和a >1进行分类讨论. 典题导入 [例1] 化简下列各式(其中各字母均为正数). (1) a 23 ·b -1-12·a -12·b 13 6 a · b 5 ; (2)? ????2790.5+0.1-2+? ????21027-23 -3π0+37 48. [自主解答] (1)原式=a -13b 12·a -12b 1 3 a 16b 5 6 =a -13-12-16·b 12+13-56=1a . (2)原式=? ????25912+10.12+? ????6427-23 -3+37 48=53+100+9 16-3+3748=100. 由题悟法 指数式的化简求值问题,要注意与其他代数式的化简规则相结合,遇到同底数幂相乘或相除,可依据同底数幂的运算规则进行,一般情况下,宜化负指数为正指数,化根式为分数指数幂.对于化简结果,形式力求统一. 以题试法 1.计算: (1)(0.027)-13-? ????-17-2+? ????27912-( 2-1)0; (2)? ????14 -1 2 ·4ab -1 3 0.1-2a 3b -3 12 . 解:(1)原式=? ????271 000-13-(-1)-2? ????17-2+? ????2591 2 -1 = 103-49+5 3 -1=-45. (2)原式=412·43 2100·a 32·a -32·b 32·b -3 2 =4 25 a 0· b 0= 4 25 . 典题导入 [例2] (2012·四川高考)函数y =a x -a (a >0,且a ≠1)的图象可能是( ) [自主解答] 法一:令y =a x -a =0,得x =1,即函数图象必过定点(1,0),符合条件的只有选项C. 法二:当a >1时,y =a x -a 是由y =a x 向下平移a 个单位,且过(1,0),排除选项A 、 B ; 当0 由题悟法 1.与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. 2.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解. 以题试法 2.(1)(2012·北京模拟)在同一坐标系中,函数y =2x 与y =? ?? ?? 12x 的图象之间的关系是 ( ) A .关于y 轴对称 B .关于x 轴对称 C .关于原点对称 D .关于直线y =x 对称 (2)方程2x =2-x 的解的个数是________. 解析:(1)∵y =? ?? ?? 12x =2-x ,∴它与函数y =2x 的图象关于y 轴对称. (2)方程的解可看作函数y =2x 和y =2-x 的图象交点的横坐标,分 别作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:(1)A (2)1 典题导入 [例3] 已知函数f (x )=? ?? ?? 23|x |-a .则函数f (x )的单调递增区间为________,单调递减区间 为________. [自主解答] 令t =|x |-a ,则f (x )=? ?? ?? 23t , 不论a 取何值,t 在(-∞,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增, 又y =? ?? ?? 23t 是单调递减的, 因此f (x )的单调递增区间是(-∞,0], 单调递减区间是[0,+∞). [答案] (-∞,0] [0,+∞) 在本例条件下,若f (x )的最大值等于9 4,则a =______. 解析:由于f (x )的最大值是94,且94=? ???? 23-2, 所以g (x )=|x |-a 应该有最小值-2, 从而a =2. 答案:2 由题悟法 求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决. 以题试法 3.(1)(2012·福州质检)已知a =20.2,b =0.40.2,c =0.40.6,则( ) A .a >b >c B .a >c >b C .c >a >b D .b >c >a (2)(2012·上海高考)已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数).若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________. 解析:(1)由0.2<0.6,0.4<1,并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6,即b >c ;因为 a =20.2>1, b =0.40.2<1,所以a >b .综上,a >b > c . (2)结合函数图象求解.因为y =e u 是R 上的增函数,所以f (x )在[1,+∞)上单调递增,只需u =|x -a |在[1,+∞)上单调递增,由函数图象可知a ≤1. 答案:(1)A (2)(-∞,1] [典例] 函数y =? ????14x -? ?? ?? 12x +1在x ∈[-3,2]上 的值域是________. [常规解法] y =? ????14x -? ????12x +1=??????? ????12x 2-? ???? 12x +1=??????? ????12x -122+34 , 因为x ∈[-3,2],所以14≤? ?? ?? 12x ≤8. 当? ????12x =12时,y min =34;当? ????12x =8时,y max =57. 所以函数y 的值域为?????? 34,57. [答案] ???? ?? 34,57 ——————[高手支 招]—————————————————————————— 1.解答本题可利用换元法,即令t =? ????12x ,把函数化为y =t 2-t +1,其中t ∈???? ??14,8,然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域. 2.对于含a x 、a 2x 的表达式,通常可以令t =a x 进行换元,但换元过程中一定要注意新元的范围,换元后转化为我们熟悉的一元二次关系. —————————————————————————————————————— [巧思妙解] 因为x ∈[-3,2],若令t =? ????12x ,则t ∈??????14,8.则y =t 2-t +1=? ?? ?? t -122+3 4 . 当t =12时y min =3 4;当t =8时,y max =57.答案为???? ??34,57. 针对训练 若0 则原函数化为y =(t +1)2-2(t >0). 因为0 t =a x ∈ ???? ?? a ,1a , 此时f (t )在?????? a ,1a 上为增函数. 所以f (t )max =f ? ????1a =? ???? 1a +12-2=14. 所以? ?? ?? 1a +12=16, 所以a =-15或a =1 3. 又因为a >0,所以a =1 3. 答案:13 1.下列函数中值域为正实数集的是( ) A .y =-5x B .y =? ?? ??131-x C .y = ? ?? ?? 12x -1 D .y = 1-2x 解析:选B ∵1-x ∈R ,y =? ???? 13x 的值域是正实数集, ∴y =? ?? ?? 131-x 的值域是正实数集. 2.已知f (x )=2x +2-x ,若f (a )=3,则f (2a )等于( ) A .5 B .7 C .9 D .11 解析:选B 由f (a )=3得2a +2-a =3, 两边平方得22a +2-2a +2=9, 即22a +2-2a =7,故f (2a )=7. 3.函数f (x )=2|x -1|的图象是( ) 解析:选B ∵f (x )=????? 2x -1,x ≥1,? ?? ?? 12x -1 ,x <1, ∴根据分段函数即可画出函数图象. 4.已知f (x )=3x -b (2≤x ≤4,b 为常数)的图象经过点(2,1),则f (x )的值域( ) A .[9,81] B .[3,9] C .[1,9] D .[1,+∞) 解析:选C 由f (x )过定点(2,1)可知b =2,因f (x )=3x -2在[2,4]上是增函数,可知C 正确. 5.(2012·深圳诊断)设函数f (x )=a -|x |(a >0,且a ≠1),f (2)=4,则( ) A .f (-2)>f (-1) B .f (-1)>f (-2) C .f (1)>f (2) D .f (-2)>f (2) 解析:选A ∵f (2)=4,∴a -|2|=4,∴a =1 2 , ∴f (x )=? ?? ?? 12-|x |=2|x |,∴f (x )是偶函数,当x ≥0时,f (x )=2x 是增函数,∴x <0时,f (x ) 是减函数,∴f (-2)>f (-1). 6.若(2m +1)12>(m 2+m -1)1 2 ,则实数m 的取值范围是( ) A.? ?? ???-∞,5-12 B.???????? 5-12,+∞ C .(-1,2) D.????? ???5-12,2 解析:选D 因为函数y =x 1 2 的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等 式等价于???? ? 2m +1≥0,m 2 +m -1≥0, 2m +1>m 2 +m -1, 解2m +1≥0,得m ≥-12; 解m 2+m -1≥0, 得m ≤ -5-1 2 或m ≥5-1 2 ; 解2m +1>m 2+m -1,即m 2-m -2<0,得-1 5-12 ≤m <2. 7.? ????32-13×? ????-760+814×4 2- ? ????-232 3 =________. 解析:原式=? ????2313 ×1+234×214-? ????231 3=2. 答案:2 8.已知正数a 满足a 2-2a -3=0,函数f (x )=a x ,若实数m 、n 满足f (m )>f (n ),则 m 、n 的大小关系为________. 解析:∵a 2-2a -3=0,∴a =3或a =-1(舍). 函数f (x )=a x 在R 上递增,由f (m )>f (n ),得m >n . 答案:m >n 9.若函数f (x )=a |2x -4|(a >0,a ≠1)且f (1)=9.则f (x )的单调递减区间是________. 解析:由f (1)=9得a 2=9,∴a =3.因此f (x )=3|2x -4|, 又∵g (x )=|2x -4|的递减区间为(-∞,2],∴f (x )的单调递减区间是(-∞,2]. 答案:(-∞,2] 10.求下列函数的定义域和值域. (1)y =? ?? ?? 122x -x 2;(2)y = 32x -1- 1 9 . 解:(1)显然定义域为R. ∵2x -x 2=-(x -1)2+1≤1, 且y =? ???? 12x 为减函数. ∴? ????122x -x 2≥? ????121=1 2 . 故函数y =? ????122x -x 2的值域为???? ?? 12,+∞. (2)由 32x -1- 19≥0,得32x -1≥1 9 =3-2, ∵y =3x 为增函数,∴2x -1≥-2, 即x ≥-1 2 , 此函数的定义域为???? ?? -12,+∞, 由上可知 32x -1- 1 9 ≥0,∴y ≥0. 即函数的值域为[0,+∞). 11.函数 f (x )=a x (a >0,且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2 ,求a 的值. 解:当a >1时,f (x )=a x 为增函数,在x ∈[1,2]上,f (x )最大=f (2)=a 2,f (x )最小=f (1)= a . ∴a 2-a =a 2.即a (2a -3)=0. ∴a =0(舍)或a =32>1.∴a =3 2. 当0 在x ∈[1,2]上,f (x )最大=f (1)=a ,f (x )最小=f (2)=a 2. ∴a -a 2=a 2.∴a (2a -1)=0, ∴a =0(舍)或a =12.∴a =1 2. 综上可知,a =12或a =3 2 . 12.函数y =lg(3-4x +x 2)的定义域为M ,当x ∈M 时,求f (x )=2x +2-3×4x 的最值. 解:由3-4x +x 2>0,得x >3或x <1, ∴M ={x |x >3,或x <1}, f (x )=-3×(2x )2+2x +2=-3 ? ????2x -162+25 12. ∵x >3或x <1,∴2x >8或0<2x <2, ∴当 2x = 16,即x =log 21 6 时,f (x )最大, 最大值为25 12 ,f (x )没有最小值. 1.(2013·绍兴一中模拟)函数f (x )=a |x +1|(a >0,a ≠1)的值域为[1,+∞),则f (-4)与 f (1)的关系是( ) A .f (-4)>f (1) B .f (-4)=f (1) C .f (-4) D .不能确定 解析:选A 由题意知a >1,又f (-4)=a 3,f (1)=a 2,由单调性知a 3>a 2,∴f (-4)>f (1). 2.(2012·衡水模拟)已知函数f (x )=|2x -1|,a f (c )>f (b ),则下列结论中,一定成立的是________. ①a <0,b <0,c <0;②a <0,b ≥0,c >0; ③2-a <2c ;④2a +2c <2. 解析:画出函数f (x )=|2x -1|的图象(如图), 由图象可知,a <0,b 的符号不确定,c >0. 故①②错; ∵f (a )=|2a -1|,f (c )=|2c -1|, ∴|2a -1|>|2c -1|,即1-2a >2c -1, 故2a +2c <2,④成立; 又2a +2c >2 2a +c ,∴2a +c <1, ∴a +c <0,∴-a >c ,∴2-a >2c ,③不成立. 答案:④ 3.已知函数f (x )=? ?? ?? 13ax 2-4x +3. (1)若a =-1,求f (x )的单调区间; (2)若f (x )有最大值3,求a 的值. 解:(1)当a =-1时,f (x )=? ?? ?? 13-x 2-4x +3, 令t =-x 2-4x +3, 由于t (x )在(-∞,-2)上单调递增,在[-2,+∞)上单调递减,而y =? ?? ?? 13t 在R 上单调 递减, 所以f (x )在(-∞,-2)上单调递减,在[-2,+∞)上单调递增, 即函数f (x )的递增区间是[-2,+∞),递减区间是(-∞,-2). (2)令h (x )=ax 2-4x +3,f (x )= ? ?? ?? 13h (x ),由于f (x )有最大值3,所以h (x )应有最小值-1,因此必有 ???? ? a >0,12a -164a =-1,解得a =1. 即当f (x )有最大值3时,a 的值等于1. 1.已知实数a ,b 满足等式? ????12a =? ?? ?? 13b ,下列五个关系式: ①0 D .4个 解析:选B 函数y 1=? ????12x 与y 2=? ????13x 的图象如图, 由? ????12a =? ?? ?? 13b 得a 0,a ≠1)的单调区间和值域. 解:y =(a x -1)2-2(a >0,a ≠1),设u =a x . ∵y =(u -1)2-2在u ∈[1,+∞)时是关于u 的增函数,在u ∈(-∞,1)时是关于u 的减函数, ∴当a x ≥1时,原函数的单调性与u =a x 的单调性相同;当a x <1时,原函数的单调性与u =a x 的单调性相反. 若a >1,a x ≥1?x ≥0;a x <1?x <0, ∴在[0,+∞)上,函数y =a 2x -2a x -1是增函数; 在(-∞,0)上,函数y =a 2x -2a x -1是减函数. 若00, ∴在(0,+∞)上,函数y =a 2x -2a x -1是增函数; 在(-∞,0]上,函数y =a 2x -2a x -1是减函数. ∵a x >0,∴函数值域是[-2,+∞). 第八节 对数与对数函数 [知识能否忆起] 1.对数的概念 (1)对数的定义: 如果a x =N (a >0且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.当a =10时叫常用对数.记作x =lg_N ,当a =e 时叫自然对数,记作x =ln_N . (2)对数的常用关系式(a ,b ,c ,d 均大于0且不等于1): ①log a 1=0. ②log a a =1. ③对数恒等式:a log a N =N . ④换底公式:log a b =log c b log c a . 推广log a b =1 log b a ,log a b ·log b c ·log c d =log a d . (3)对数的运算法则: 如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: ①log a (M ·N )=log a M +log a N ; ②log a M N =log a M -log a N ; ③log a M n =n log a M (n ∈R); ④log am M n = n m log a M . 2.对数函数的概念 (1)把y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)函数y =log a x (a >0,a ≠1)是指数函数y =a x 的反函数,函数y =a x 与y =log a x (a >0, a ≠1)的图象关于y =x 对称. 3.对数函数的图象与性质 [小题能否全取] 1.(教材习题改编)设A ={y |y =log 2x ,x >1},B =?????? y |y =? ????12x ,0 ?? 12,+∞ C.? ?? ?? 12,1 D .(0,2) 解析:选C ∵A ={y |y >0},B =??????y |12 ?? y |12 A.? ?? ?? 0,23 B.? ?? ??23,0 C .(1,0) D .(0,1) 解析:选C 当x =1时y =0. 3.函数y =lg |x |( ) A .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递增 B .是偶函数,在区间(-∞,0)上单调递减 C .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递减 D .是奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增 解析:选B y =lg |x |是偶函数,由图象知在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增. 4.(2012·江苏高考)函数f (x )= 1-2log 6x 的定义域为________. 解析:由1-2log 6x ≥0,解得log 6x ≤1 2?0<x ≤ 6,故所求定义域为(0, 6 ]. 答案:(0, 6 ] 5.(2012·北京高考)已知函数f (x )=lg x ,若f (ab )=1,则f (a 2)+f (b 2)=________. 解析:由f (ab )=1得ab =10,于是f (a 2)+f (b 2)=lg a 2+lg b 2=2(lg a +lg b )=2lg(ab )=2lg 10=2. 答案:2 1.在运用性质log a M n =n log a M 时,要特别注意条件,在无M >0的条件下应为log a M n =n log a |M |(n ∈N *,且n 为偶数). 2.对数值取正、负值的规律: 当a >1且b >1,或00; 当a >1且01时,log a b <0. 3.对数函数的定义域及单调性: 在对数式中,真数必须大于0,所以对数函数y =log a x 的定义域应为{x |x >0}.对数函数的单调性和a 的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按01进行分类讨论. 典题导入 [例1] 求解下列各题. (1)12lg 3249-43lg 8+lg 245=________; (2)若 2a =5b =m ,且 1a +1 b =2,则m =________. [自主解答] (1)12lg 3249-4 3 lg 8+lg 245 =12×(5lg 2-2lg 7)-43×32lg 2+1 2 (lg 5+2lg 7) 新课标高考模拟试题 数学文科 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150分。考试时间120分钟。 参考公式: 样本数据n x x x ,,21的标准差??锥体体积公式 ])()()[(122221x x x x x x n S n -++-+-= Sh V 3 1= 其中x 为样本平均数 ??其中S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式?? 球的表面积、体积公式 Sh V =?? 323 4 ,4R V R S ππ== 其中S为底面面积,h 为高 ?其中R 为球的半径 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题 1.已知集合2 {|1},{|20}A x x B x x x =≤=-<,则A B =?( ) A .(0,1) B. C.(]0,1?D .[)1,1- 2.若(1,1),(1,1),(2,4)a b c ==-=-,则c 等于 ( ) A.-a+3b B.a-3b ?C .3a-b D .-3a+b 3.已知四棱锥P —ABC D的三视图如右图所示,则四棱锥P—ABCD 的体积为( ) A. 13 ?B . 23 ?C .3 4 ?D .38 4.已知函数()sin()(0,0,||)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示,则()f x 的 解析式是( ) A.()sin(3)()3f x x x R π =+ ∈ B .()sin(2)()6 f x x x R π =+∈ ?C.()sin()()3f x x x R π =+ ∈?D.()sin(2)()3 f x x x R π =+∈ 5.阅读下列程序,输出结果为2的是( )新课标高考数学模拟试题文科数学(含答案)
2020高考数学专题复习----立体几何专题