百校联盟2018届TOP20三月联考（全国Ⅱ卷）
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
2|280A x N x x =∈--≤，{}
|28x B x =≥，则集合A B I 的子集个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2.已知i 是虚数单位，()()432z i i i ?=++，则复数z =（ ） A ．105i + B ．510i + C ．105i - D ．510i -
3.古代数学名著《张丘建算经》中曾出现过高息借贷的题目：“今有举取他绢，重作券；要过限一日，息绢一尺；二日息二尺；如是息绢，日多一尺.今过限一百日，问息绢几何？”题目的意思是：债主拿欠债方的绢做抵押品，债务过期第一天要纳利息1尺绢，过期第二天利息是
2尺，这样，每天利息比前一天增多1尺，若过期100天，欠债方共纳利息为（ ）
A ．100尺
B ．4950尺
C ．5000尺
D ．5050尺
4.某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（ ）
A ．9种
B ．18种 C. 12种 D ．36种
5.函数()2
cos 3sin cos f x x x x =的图像上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
1
2
，得到函数()g x 的图象，则0,
4x π??
∈????
时，()g x 的取值范围是（ ） A ．30,2?????? B ．1,12??
-???? C.13,22??
-????
D ．31,2
?
?-???
?
6.已知O 为坐标原点，等轴双曲线()2
2
2
:0C x y a
a -=>的左，右顶点分别为1A ，2A ，若
双曲线C 的一条渐近线上存在一点P ，使得()
220OP OA PA +?=u u u r u u u u r u u u u r
，且12PA A △的面积为
22，则双曲线C 的方程为（ ）
A ．2
2
8x y -= B ．2
2
4x y -= C.2
2
2x y -= D ．2
2
1x y -= 7.执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为（ ）
A ．
19 B ．110 C.111 D ．112
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．8
B ．6 C.4 D ．8
3
9.当[]2,2x ππ∈-时，下列有关函数()3cos 2f x x x =-，()3
2
g x x =+的结论正确的个数为（ ） ①()f x 是偶函数；
②()f x 与()g x 有相同的对称中心；
③函数()y f x =与()y g x =的图象交点的横坐标之和为0； ④函数()y f x =与()y g x =的图象交点的纵坐标之和为92
. A ．1 B ．2 C.3 D ．4
10.已知O 为坐标原点，平行四边形ABCD 内接于椭圆()22
22:10x y a b a b
Ω+=>>，点E ，F
分别为AB ，AD 的中点，且OE ，OF 的斜率之积为3
4
-
，则椭圆Ω的离心率为（ ） A ．
12 B ．2 C.34 D ．4
5
11.如图：AB 是圆锥底面圆的直径，PA ，PB 是圆锥的两种母线，'P 为底面圆的中心，过PB 的中点D 作平行于PA 的平面α，使得平面α与底面圆的交线长为4，沿圆锥侧面连接A 点和D 点，当曲线段AD 长度的最小值为3
2
PA 时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）
A ．42．3222 D ．92
4
12.已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（ ）
A ．1
e
B 421e +431e +．1
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知菱形ABCD 的边长为1，60BAD ∠=o
，AB a =u u u r ，BC b =u u u r ，则2
a
b += ．
14.若x ，y 满足约束条件0,
230,260,
x y x y x y -≥??
+-≥??+-≤?
则12z x y =-的取值范围为 ．
15.春节临近，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数（单位：人）均服从正态分布
()21000,N σ，若()90011000.6P X <≤=，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个
安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为 ． 16.已知数列{}n a 的奇数项和偶数项为公比为q 的等比数列，1
2
q =
，且1221a a ==.则数列{}37n a n +-的前n 项和的最小值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 在锐角ABC △中，角A ，B ，
C 的对边分别为a ，b ，c ，点
D 在边BC 上，且2AD DB =
，cos BAD ∠=
，b =. （Ⅰ）求B ；
（Ⅱ）求ABC △周长的最大值.
18. 某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，当天每售出1个获得利润5元，未售出的每个亏损3元.根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表.元日这天，此蛋糕店制作了这款蛋糕X 个.以x （单位：个，100150x ≤≤）表示这天的市场需求量.T （单位：元）表示这天出售这款蛋糕获得的利润.
（Ⅰ）当135x =时，若130X =时获得的利润为1T ，140X =时获得的利润为2T ，试比较1T 和2T 的大小；
（Ⅱ）当130X =时，根据上表，从利润T 不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天，
（ⅰ）求这6天中利润为650元的天数；
（ⅱ）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为ξ，求随机变
量ξ的分布列及数学期望.
19. 如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为直角梯形，90DAB ABC ∠=∠=o
，四边形EBCF 为矩形，且()2220BC BE AD a a ===>，45BCD ∠=o
，H 为BE 的中点.
（Ⅰ）求证：//AH 平面ECD ；
（Ⅱ）若CD ED ⊥，求平面EFD 与平面BDE 所成的锐二面角的大小
.
20. 在平面直角坐标系xOy 中，点()1,1B -关于直线1
2
y =
对称的点N 位于抛物线()2:20C y px p =>上.
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）设抛物线C 的准线与其对称轴的交点为A ，过点A 的直线l 交抛物线C 于点M ，P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，求直线PQ 所过的定点. 21. 已知函数()ln f x x =.
（Ⅰ）设()()1g x f x ax =-+，讨论()g x 的单调性；
（Ⅱ）若不等式()()f x a e x b ≤-+恒成立，其中e 为自然对数的底数，求
b
a
的最小值. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线11:3x t l y t =+???=??（t 为参数），曲线13cos :2sin x C y θ
θ
?=??=+??（θ为参数），以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程，直线1l 的普通方程；
（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l ，设2l 与曲线1C 的交点为M ,N ，点P 为曲线
1C 上任意一点，求PMN △面积的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()2321f x x x =-+-的最小值为M . （Ⅰ）若[],,m n M M ∈-，求证：24m n mn +≤+； （Ⅱ）若(),0,a b ∈+∞，2a b M +=，求
21
a b
+的最小值.
试卷答案
一、选择题
1-5:DCDBA 6-10:BCCCA 11、12：DC 二、填空题
13.
2 14.30,2??
????
15.13125 16.1058- 三、解答题
17.【解析】（Ⅰ）因为cos 4BAD ∠=
，所以sin 4
BAD ∠=，
根据正弦定理，
sin sin AD BD
B BAD
=
∠，∴sin sin 2AD B BAD BD =∠=， 又B 为锐角，所以3
B π
=
.
（Ⅱ）由余弦定理，得2
2
2
2cos b a c ac B =+-，
所以()()()2
2
2
2
2
2
483324a c a c a c ac a c ac a c ++??=+-=+-≥+-=
???
，
∴a c +≤，当且仅当a c =时，等号成立.
故a b c ++≤.所以ABC △周长的最大值为18.【解析】（Ⅰ）当130X =，[)100,130x ∈时，()531308390T x x x =--=-，
[]130,150x ∈时，5130650T =?=.所以8390,100130,
650,130150.
x x T x -≤
≤≤? 当135x =时，1650T =（元）.
当140X =，[)100,140x ∈时，()531408420T x x x =--=-，
[]140,150x ∈时，5140700T =?=.所以8420,100140,
700,140150.
x x T x -≤
≤≤?
当135x =时，2660T =（元）. 故21T T >.
（Ⅱ）当570T ≥，即8390570x -≥，∴130120x >≥， 又650570≥，所以120150x ≤≤，共有60天利润大于570元. （ⅰ）按分层抽样抽取6天，其中利润为650元的天数有
66
201036060
?+?=（天）. （ⅱ）根据题意，随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
()33361020C P C ξ===，()2133369120C C P C ξ===， ()12
333
69
220C C P C ξ===，()33361
320
C P C ξ===.
∴ξ的分布列为
所以()0123202020202
E ξ=?+?+?+?=.
19.【解析】（Ⅰ）取EC 的中点G ，连接HG ，DG ，
∵H 为BE 中点，∴//HG BC ，且1
2HG BC =. ∵四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且1
2
BC AD =，
∴//AD HG ，且AD HG =，
∴四边形ADGH 为平行四边形，∴//AH DG . ∵AH ?平面ECD ，DG ?平面ECD ， ∴//AH 平面ECD .
（Ⅱ）因为四边形ABCD 为直角梯形，1
2
BC AD a ==，45BCD ∠=o ， 所以
1
2
BC AB a ==，∴2CD a =. 又2245EC a a a =+=，因为CD ED ⊥，所以22523DE a a a -=， 因为BC AB ⊥，BC BE ⊥，AB BE B =I ，所以BC ⊥平面ABE ， 因为//BC AD ，∴AD ⊥平面ABE ，∴AD AE ⊥， 所以222AE DE AD a =
-=，因此AB BE ⊥.
以点B 为原点，以BE 为x 轴，BC 为y 轴，BA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则(),0,0E a ，()0,0,A a ，()0,,D a a ，()0,2,0C a ，(),2,0F a a ，
所以(),0,0BE a =u u u r ，()0,,BD a a u u u r ，设平面BDE 的一个法向量为()111,,n x y z =r
，
则有()()()()111111111,0,0,,0,0,,,,0,
BE n a x y z ax BD n a a x y z ay az ??=?==???=?=+=??u u u r r u u u r r
令11z =，则()0,1,1n =-r ， 设平面EFD 的一个法向量为()222,,m x y z =u r ，(),,ED a a a =-u u u r ，()0,2,0EF a =u u u r
，
则有()()()()2222222222,,,,0,0,2,0,,20,
ED m a a a x y z ax ay az EF m a x y z ay ??=-?=-++=???=?==??u u u r u r u u u r u r
令21z =，则()1,0,1m =u r ， 所以1
cos ,2
22m n =
=?u r r ，
所以平面EFD 与平面BDE 所成的锐二面角为60o
.
20.【解析】（Ⅰ）设()1,N n ，则
11
22
n -+=，∴2n =，解之得()1,2N ， 代入()2
20y px p =>，得2p =，所以抛物线C 的方程为2
4y x =. （Ⅱ）根据题意，()1,0A -，设点211,4y M y ?? ???，2
22,4y P y ??
???
，
因为P ，M ，A 三点共线， 所以AM PM k k =，即
1122
22
11214
44
y y y y y y -=
+-，∴124y y =，∴12
4
y y =， 设点2
33,4y Q y ??
???
，因为B ，M ，Q 三点共线， 所以BQ QM k k =，即
31322233
111444
y y y y y y +-=--，∴32
31311
4y y y y +=-+. 所以()()2
313314y y y y ++=-，即311340y y y y +++=，
所以
3322
44
40y y y y +++=，即()3232440y y y y +++=①， 因为3222
3232444
PQ
y y k y y y y -==+-，所以直线PQ 的方程是2
223244y y y x y y ?
?-=- ?+??. 即()()2
23224y y y y x y -+=-，即()32234y y y y y x +-=②，
由①②可得()()()32441y y y x ++=-.所以直线PQ 过定点()1,4-.
21.【解析】（Ⅰ）函数定义域为()0,+∞，由题意得()ln 1g x x ax =-+，则()'
1
g x a x
=
-，
①当0a ≤时，()'0g x >，则()g x 在()0,+∞上单调递增； ②当0a >时，令()'0g x =，解得1x a
=， 当10,
x a ??∈ ???时，()'
0g x >，()g x 在10,a ?? ???
上单调递增， 当1,x a ??∈+∞
???时，()'0g x <，()g x 在1,a ??
+∞ ???
上单调递减. （Ⅱ）设函数()()ln F x x a e x b =---，其中e 为自然对数的底数， ∴()'
1
F x e a x
=
+-，0x >， 当a e ≤时，()'
0F x >，()f x 在()0,+∞上是增函数，∴()0F x ≤不可能恒成立， 当a e >时，由()'
10F x e a x =
+-=，得1
x a e
=
-, ∵不等式()0F x ≤恒成立，∴()max 0F x ≤， 当10,
x a e ?
?∈ ?-??
时，()'
0F x >，()F x 单调递增， 当1,x a e ??
∈+∞
?-??
时，()'0F x <，()F x 单调递减， ∴当1x a e =
-时，()F x 取最大值，()1ln 10F a e b a e ??
=----≤ ?-??
， ∴满足()ln 10a e b -++≥即可，∴()1ln b a e ≥---，
∴
()()1ln a e b a e a a
---≥>， 令()()
1ln x e G x x
---=
，x e >，
()()()()()
'22
1ln ln x
x e x e x e e x e G x x x e x -
++-----=
=- 令()()()ln H x x e x e e =---，()()'
ln 1H x x e =-+，
由()'0H x =，得1x e e
=+
， 当1,x e e
??∈++∞ ??
?
时，()'0H x >，()H x 是增函数，
当1,x e e e ??∈+ ???
时，()'0H x <，()H x 是减函数，
∴当1x e e =+
时，()H x 取最小值11H e e e e ?
?+=-- ??
?，
∵x e →时，()0H x →，2x e >时，()0H x >，()20H e =， ∴当(),2x e e ∈时，()'
0G x <，()G x 是减函数，
当()2,x e ∈+∞时，()'
0G x >，()G x 是增函数，
∴2x e =时，()G x 取最小值，()111
22G e e e
--==-， ∴
b a 的最小值为1
e
-. 22.【解析】
（Ⅰ）把曲线1cos :2sin x C y θθ
?=??=+??
消去参数可得(()2
2
21x y +-=，
令cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入可得曲线1C
的极坐标方程为
2cos 4sin 60ρθρθ--+=.
把直线11:x t
l y =+???=??
化为普通方程)1y x =-.
（Ⅱ）把直线1l 向左平移一个单位得到直线2l
的方程为y =，其极坐标方程为3
πθ=
.
联立2cos 4sin 60,
,
3ρθρθπ
θ?--+=??=??
所以2
6=0ρ-+
，所以1212=6,ρρρρ?+???? 故
12ρρ-=
=圆心到直线2l
的距离为1
2d =
=
，
圆上一点到直线2l 的最大距离为13
122
+=，
所以PMN △面积的最大值为13224
S =
?=23.【解析】（Ⅰ）()()232123212f x x x x x M =-+-≥---==. 要证明24m n mn +≤+，只需证明()()22
44m n mn +≤+， ∵()()(
)()()()2
2
2
2
22
2
2444216844m n mn m mn n
mn m n m
n +-+=++-++=--，
∵[],2,2m n ∈-，∴[]22,0,4m n ∈，
∴()()2
2
440m n mn +-+≤，∴()()2
2
44m n mn +≤+， 可得24m n mn +≤+. （Ⅱ）由题意，22a b +=，
故()2112114122244222a b a b a b a b b a ?????+=++=+++≥+= ? ? ?????， 当且仅当1a =，1
2
b =时，等号成立.