6 地震作用下框架内力和侧移计算
6.1刚度比计算
刚度比是指结构竖向不同楼层的侧向刚度的比值。为限制结构竖向布置的不规则性，避免结构刚度沿竖向突变，形成薄弱层。根据《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）第3.4.2条规定：抗侧力构件的平面布置宜规则对称、侧向刚度沿竖向宜均匀变化、竖向抗侧力构件的截面尺寸和材料强度宜自下而上逐渐减小、避免侧向刚度和承载力突变。
根据《高层建筑混凝土结构技术规程》（JGJ3-2010）第3.5.2条规定：对框架结构，楼层与其相邻上层的侧向刚度比计的比值不宜小于0.7，且与相邻上部三层刚度平均值的比值不宜小于0.8。计算刚度比时，要假设楼板在平面内刚度无限大，即刚性楼板假定。
7.0939.0/1136076/10669082
11
>==
=
∑∑mm
N mm
N D
D γ，满足规范要求；
()8.0939.0/113607611360761136076/1066908334
321
2>=++?=++=∑∑∑∑mm N mm
N D D D D γ，满
足规范要求。
依据上述计算结果可知：刚度比满足要求，所以无竖向突变，无薄弱层，结构竖向规则，故可不考虑竖向地震作用。将上述不同情况下同层框架柱侧移刚度相加，框架各层层间侧移刚度∑i
D ，见表6-4。
表5-4框架各层层间侧移刚度
楼层
1层 2层 3层 4层 5层 6层 突出屋面层 ∑i
D
1066908
1136076
1136076
1136076
1136076
1136076
258396
6.2水平地震作用下的侧移计算
根据《高层建筑混凝土结构技术规程》（JGJ3-2010）附录C 中第C.0.2条可知：对于质量和刚度沿高度分布比较均匀的框架结构、框架剪力墙结构和剪力墙结构，其基本周期可按公式6-1计算。
T T T μψ7.11= (6-1)
式中:1T ——框架的基本自振周期；
T μ——计算结构基本自振周期的结构顶点假想位移，单位为m ； T ψ——基本自振周期考虑非承重砖墙影响的折减系数。
根据《高层建筑混凝土结构技术规程》（JGJ3-2010）第4.3.17条规定：
1、框架结构可取0.6～0.7；
2、框架-剪力墙结构可取0.7～0.8；
3、框架-核心筒结构可取0.8～0.9；
4、剪力墙结构可取0.8～1.0。
对于其他结构体系或采用其他非承重墙体时，可根据工程情况确定周期折减系数，本设计为框架结构，在本设计中折减系数取=0.7T ψ。
拟建房屋所在地的多遇地震，抗震设防类别为丙类，抗震设防烈度为7度，设计地震分组为第三组，抗震等级为三级，场地类别为Ⅱ类，根据《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）第5.1.4条的规定：水平地震影响系数最大值取为：max 0.08α=，特征周期取为：0.45g T s =，设计基本地震加速度取为：0.1g 。
对于屋面有带局部的突出屋面部分的房屋，T μ应取主体结构顶点的位移，突出屋面部分对主体结构顶点位移的影响，可按顶点位移相等的原则，将其重力荷载代表值折算到主体结构的顶层，即假想把集中在各楼层处的重力荷载代表值作为该楼层水平荷载来计算结构顶点的弹性位移。
框架顶点的假想位移，可按公式6-2、公式6-3和6-4。
∑==n
k k Gi G V 1 （6-2）
()∑==
?s
j ij
Gi
i
D
V 1μ （6-3）
()∑=?=n
k k T 1
μμ （6-4）
式中：k G ——集中在k 层楼面处的重力荷载代表值；
Gi V ——把集中在各层楼面处的重力荷载代表值视为水平荷载而得的第i 层的层间剪力；
()i μ?，()k μ?——第i 、k 层的层间侧移；
∑=s
j ij
D
1
——第i 层的层间侧移刚度，s 为同层内的框架总数。
表6-1假想位移的计算
楼层 /i G kN /Gi V kN
()//ij
D N mm ∑
/i u mm ? /T mm μ 突出屋面
6963.20 6963.20 258396 26.95 402.52 6 17971.13 24934.33 1136076 21.95 375.58 5 17971.13 42905.46 1136076 37.77 353.63 4 17971.13 60876.59 1136076 53.58 315.86 3 17971.13 78847.72 1136076 69.40 262.28 2 17971.13 96818.85 1136076 85.22 192.87 1
18034.85
114853.70
1066908
107.65
107.65
结构自振周期：s T T T 75.040252.07.07.17.11=??==μψ。
本设计从基础顶面算起，高度为21.00m ，由于结构类型为框架结构，所以以剪切变形为主，沿高度方向质量和刚度沿高度分布比较均匀，根据《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）第5.1.2条规定：高度不超过40m 、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法等简化方法。故本设计计算水平地震作用时采用底部剪力法。
根据《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）第5.2.1条规定：采用底部剪力法时，各楼层可仅取一个自由度，结构的水平地震作用标准值，应按下列公式6-5、公式6-6和公式6-7确定。
eq ek G F 1α= （6-5）；
()n ek n
j j
j
i
i i F H
G H G F δ-?=
∑=11
，()n i ??=，，
3,21 （6-6）； ek n n F F ?=?δ （6-7）。
式中：ek F ——结构总水平地震标准值；
1α——相应于结构基本自振周期的水平地震影响系数值；
eq G ——结构等效总重力荷载，单质点取总重力荷载代表值，多质点取总重力荷载代表值的85%，即85.0=e λ；
i F ——质点i 的水平地震标准值；
i G ，j G ——分别集中于质点i 、j 的重力荷载代表值； i H ，j H ——分别为质点i 、j 的计算高度；
n δ——顶部附加地震系数，多层钢筋混凝土和钢结构房屋可按表6-2取值，其他房屋取0.00；
n F ?——顶部附加水平作用。
表6-2顶部附加地震系数n δ
()s T g
g T T 4.11> g T T 4.11≤
35.0≤g T 07.008.01+T 0.00
55.035.0≤≤g T
01.008.01+T
55.0>g T
02.008.01-T
s s T s T g 63.045.04.14.175.01=?=>=；顶部附加地震系数05.001.008.01=+=T n δ，故
本设计应考虑附加地震作用。
根据《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）第5.1.5建筑结构地震影响系数曲线见图6-1。
图6-1 建筑结构地震影响系数曲线
建筑结构的阻尼比取值为：0.05ξ=，则有0.9γ=，2 1.0η=，水平地震影响系数最在值为：max 0.08α=，由于15g g T T T <<，故有：
0.9
12max 10.45 1.00.080.0510.75r
g T T αηα????
==??= ? ?????
当屋面有突出屋面的楼梯间时，由于结构的刚度突变，受地震影响时，会产生“鞭梢效应”，根据《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）第5.2.4条规定：采用底部剪力法时，突出屋面的屋顶间、女儿墙、烟囱等的地震作用效应，宜乘以增大系数3，此增大部分不应往下传递，但与该突出部分相连的构件应予计入。
()kN G G i i e eq 109463.0918034.85517971.1336963.2085.07
1=+?+??==∑=λ；
kN kN G F eq ek 5582.62 109463.09051.01=?==α；
1118034.85472139.40/G H kN m kN m =?=； 2217971.137125797.91/G H kN m kN m =?=； 3317971.1310179711.30/G H kN m kN m =?=； 4417971.1313233624.69/G H kN m kN m =?=； 5517971.1316287538.08/G H kN m kN m =?=； 6617971.1318323480.34/G H kN m kN m =?=； 7720889.6021438681.60/G H kN m kN m =?=；
72139.40125797.91179711.30233624.69=1660973.32287538.08323480.34438681.60j j G H kN m kN m
+++??
=?? ?+++??∑
()()11
17
1
72139.40/15582.6210.05230.341660973.32ek n j
j
j G H kN m
F F kN kN
kN m
G H
δ==
-=
??-=?∑
()()22
27
1
125797.91/15582.6210.05401.671660973.32ek n j
j
j G H kN m
F F kN kN
kN m
G H
δ==
-=
??-=?∑
()()33
37
1
179711.30/15582.6210.05573.821660973.32ek n j
j
j G H kN m
F F kN kN
kN m
G H
δ==
-=
??-=?∑
()()44
47
1
233624.69/15582.6210.05745.961660973.32ek n j
j
j G H kN m
F F kN kN
kN m
G H
δ==
-=
??-=?∑
()()55
57
1
287538.08/15582.6210.05918.111660973.32ek n j
j
j G H kN m
F F kN kN
kN m
G H
δ==
-=
??-=?∑
()()66
67
1
323480.34/15582.6210.051032.871660973.32ek n j
j
j G H kN m
F F kN kN
kN m
G H
δ==
-=
??-=?∑
突出屋面部分中增大部分不往下传递，在本层产生的水平地震标准值：
()()77
77
1
438681.60/15582.6210.051400.711660973.32ek n j
j
j G H kN m
F F kN kN kN m
G H
δ==
-=
??-=?∑
突出屋面部分中增大部分应该往下传递的水平地震标准值：
()()()()7
777
1
6963.2021/11660973.32-438681.606963.20215582.6210.05566.68ek n j
j
j kN m
G H F F kN m
G H
kN kN
δ=?''=
-=
+????-=∑
附加剪力为：kN kN F F eq n n 279.1362.558205.0=?==?δ
水平地震作用下楼层地震剪力计算见表6-3。
表6-3 水平地震作用下楼层地震剪力计算表
楼层
m H i /
kN G i /
()m kN H G i i ?/
∑=n
j j j i i H G H G 1
/
kN F i /
kN V i /
突出屋面
21 6963.20 438681.60 0.264 1400.71 1400.71 6 18 17971.13
323480.34
0.195 1032.87 1599.55 5 16 17971.13 287538.08
0.173 918.11 2517.66 4 13 17971.13
233624.69 0.141 745.96 3263.62 3 10 17971.13 179711.30 0.108 573.82 3837.44 2 7 17971.13 125797.91 0.076 401.67 4239.11 1
4
18034.85
72139.40
0.043
230.34 4469.45
图6-2 水平地震作用及层间剪力图（kN ）
6.3水平地震作用下的侧移验算
各层水平位移计算如表6-4所示。地震作用下各层的水平侧向位移按下面的公式6-8进行计算：
1
j
j n ji
i V
u D
=?=
∑∑ ，()n i ??=，，
3,21 （6-8）
表6-4 地震荷载作用下框架侧移计算
楼层
kN
V j /
)//(m kN D ∑
m
u j /?
m h /
h u j i /?=θ 突出屋面 1400.71
258396 0.00109 3 1/2754 6
1599.55
1136076
0.00124
3
1/2422
5 2517.6
6 1136076 0.00155 3 1/1935 4 3263.62 1136076 0.0018
7 3 1/1604 3 3837.44 1136076 0.00216 3 1/1386 2 4239.11 1136076 0.00242 3 1/1240 1 4469.45
1066908
0.00265
4
1/1507
由表6-4可知：最大层间弹性位移角出现在第二层，550/11240/12<=θ，满足规
范要求。
6.4剪重比验算
根据《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）第5.2.5条规定：抗震验算时，结构任一楼层的水平地震剪力应符合公式6-9要求：
∑=>n
i
j j eki G V λ （6-9）
式中：eki V ——第i 层对应的水平地震作用标准值的层间剪力；
λ——剪力系数，7度区，扭转效应明显或基本周期小于3.5s 的楼层最小地震剪
力系数不应小于0.016；
j G ——第j 层的重力荷载代表值。
()[]016.00.03518034.85517971.1336963.204544691
1
1=>=+?+?=
=
∑=λλkN
kN
.G
V n
j j
ek ；满足规范要
求。
()[]016.0 0.038517971.1336963.204239.112
2
2=>=?+?=
=
∑=λλkN
kN
G
V n
j j
ek ；满足规范要求。
()[]016.0 0.041417971.1336963.203837.443
3
3=>=?+?=
=
∑=λλkN
kN
G
V n
j j
ek ；满足规范要求。
()[]016.0 0.044317971.1336963.203263.624
4
4=>=?+?=
=
∑=λλkN
kN
G
V n
j j
ek ；满足规范要求。
()[]016.0 0.044217971.1336963.202517.665
5
5=>=?+?=
=
∑=λλkN
kN
G
V n
j j
ek ；满足规范要求。
()[]016.0 0.04117971.1336963.201599.556
6
6=>=+?=
=
∑=λλkN
kN
G
V n
j j
ek ；满足规范要求。
()[]016.0 0.06736963.201599.557
7
7=>=?=
=
∑=λλkN
kN
G
V n
j j
ek ；满足规范要求。
6.5重力二阶效应
重力二阶效应的考虑与否是通过验算刚重比来实现的，刚重比是指结构的侧向刚度与重力荷载设计值之比称为刚重比。刚重比是影响重力二阶效应的主要参数,且重力二阶效应随着结构刚重比的降低呈双曲线关系增加。
根据《高层建筑混凝土结构技术规程》（JGJ3-2010）第5.4.1条规定：当高层建筑结构满足公式6-10时，弹性计算分析时可不考虑重力二阶效应的不利影响。第5.4.2条规定：当高层建筑结构不满足本规程第5.4.1条的规定时，结构弹性计算时应考虑重力二阶效应对水平力作用下结构内力和位移的不利影响。
i n
i
j j i h G D /20∑=≥ （6-10）
式中：i D ——第i 楼层的弹性等效侧移刚度，可取该层剪力与层间位移的比值；
i h ——第i 楼层的层高；
n ——结构计算总层数；
j G ——结构计算总层数； m kN m kN D / 1686585/0.00265
4469.451==；
()m kN m
kN h G j j / 643901418034.85517971.1336963.2020/2017
1
=+?+??
=∑=；
m kN h G m kN D j j / 643901/20/ 168658517
1
1=>=∑=，即：
20/1
7
1
1
>∑=h G
D j j
， 满足规范要求，不考虑重力二阶效应。
m kN m kN D / 1751698/
0.002424239.112==；
()m kN m
kN h G j j / 7383023517971.1336963.2020/2027
2
=?+??
=∑=；
m kN h G m kN D j j /738302/20/ 175169827
2
2=>=∑=，即：
20/2
7
2
2
>∑=h G
D j j
， 满足规范要求，不考虑重力二阶效应。
m kN m kN D / 1776593/
0.002163837.443==；
()m kN m
kN h G j j /6184943417971.1336963.2020/2037
3
=?+??
=∑=；
m kN h G m kN D j j /618494/20/ 177659337
3
3=>=∑=，即：
20/3
7
3
3
>∑=h G
D j j
， 满足规范要求，不考虑重力二阶效应。
m kN m kN D /1745251/
0.001873263.624==；
()m kN m
kN h G j j /4986873317971.1336963.2020/2047
4
=?+??
=∑=；
m kN h G m kN D j j /498687/20/174525147
4
4=>=∑=，即：
20/4
7
4
4
>∑=h G
D j j
， 满足规范要求，不考虑重力二阶效应。
m kN m kN D / 1624297/
0.001552517.665==；
()m kN m
kN h G j j / 3788793217971.1336963.2020/2057
5
=?+??
=∑=；
m kN h G m kN D j j / 378879/20/ 162429757
5
5=>=∑=，即：
20/5
7
5
5
>∑=h G
D j j
， 满足规范要求，不考虑重力二阶效应。 m kN m kN D / 1289960/
0.001241599.556==；
()m kN m
kN h G j j /259072317971.1336963.2020/2067
6
=+??
=∑=；
m kN h G m kN D j j / 378879/20/ 128996057
5
6=>=∑=，即：
20/5
7
5
6
>∑=h G
D j j
，
满足规范要求，不考虑重力二阶效应。
m kN m kN D / 1285055/
0.001091400.717==；
()m kN m
kN h G j j / 139264336963.2020/2077
7
=??
=∑=；
m kN h G m kN D j j / 139264/20/ 128505577
7
7=>=∑=，即：
20/7
7
7
7
>∑=h G
D j j
， 满足规范要求，不考虑重力二阶效应。
对于剪切型的框架结构，当刚重比大于10时，则结构重力二阶效应可控制在20%以内,结构的稳定已经具有一定的安全储备；当刚重比大于20时，重力二阶效应对结构的影响已经很小，故可以不考虑重力二阶效应。通过对刚重比的计算，本设计中的每层的刚重比都大于20，此时，重力二阶效应对结构的影响已经很小，故本设计可以不考虑重力二阶效应。
6.6位移比验算
位移比是指楼层竖向构件的最大水平位移与平均水平位移的比值。楼层竖向构件的最大水平位移是指墙顶、柱顶节点的最大水平位移，平均水平位移是指墙顶、柱顶节点的最大水平位移与最小水平位移之和的1/2。对于一般多层民用建筑结构位移比不能超过1.2。
1.20 1.060.001090.001240.0012421<=+?=m
m m
Δ，满足要求。
1.20 1.110.001550.001240.0015522<=+?=m
m m Δ，满足要求。 1.20 1.090.001550.001870.0018723<=+?=m
m m Δ，满足要求。 1.20 1.070.002160.001870.0021624<=+?=m
m m Δ，满足要求。 1.20 1.060.002160.002420.0024225<=+?=m
m m Δ，满足要求。 1.20 1.050.002650.002420.0026526
<=+?=m
m m Δ，满足要求。 6.7水平地震作用下的内力计算
框架各柱的杆端弯矩、梁端弯矩按下式计算，左风荷载作用下框架柱A-6、框架柱B-6、框架柱C-6、框架柱D-6的剪力和梁柱端弯矩的计算计算过程如表6-6、6-7、6-8、6-9所示，本设计中柱轴力以压力为正，拉力为负，框架柱轴力与梁端剪力的计算结果见表6-10。
()1im c M V y h =-上；c im M V yh =下
中柱处的梁:
()
1b c j b j
c j b b i M M M i i +=++左下左上左右；()
1b
c j b j c j b b
i M M M i i +=++右下右上左右 边柱处的梁: 1c j b j c j M M M +=+下总上
表6-6 水平地震作用下A-6框架柱剪力和梁柱端弯矩的计算
楼 层 kN V i / ∑D )//(mm N im D )//(mm N ∑D D im
kN
V im / yh
m /
上c M )//(m kN
下c M )//(m kN 总b M )
//(m kN 6 1599.55 1136076 281376 0.25 34.69 0.750 78.06 26.02 78.06 5 2517.66 1136076 281376 0.25 39.62 1.050 77.25 41.60 103.27 4 3263.62 1136076 281376 0.25 62.36 1.200 112.24 74.83 153.84 3 3837.44 1136076 281376 0.25 80.83 1.350 133.37 109.12 208.20 2 4239.11 1136076 281376 0.25 95.04 1.496 142.95 142.18 252.07 1
4469.45
1066908 249840 0.23 99.27
2.790
120.11
276.96
262.29
表6-7 水平地震作用下D-6框架柱剪力和梁柱端弯矩的计算
楼 层 kN V i / ∑D )//(mm N im D )//(mm N ∑D D im
kN
V im / yh
m /
上c M )//(m kN
下c M )//(m kN 总b M
)
//(m kN 6 1599.55 1136076 281376 0.25 34.69 0.750 78.06 26.02 78.06 5 2517.66 1136076 281376 0.25 39.62 1.050 77.25 41.60 103.27 4 3263.62 1136076 281376 0.25 62.36 1.200 112.24 74.83 153.84 3 3837.44 1136076 281376 0.25 80.83 1.350 133.37 109.12 208.20 2 4239.11 1136076 281376 0.25 95.04 1.496 142.95 142.18 252.07 1
4469.45
1066908 249840 0.23 99.27
2.790
120.11
276.96
262.29
表6-8 水平地震作用下B-6框架柱剪力和梁柱端弯矩的计算
楼层
/
i
V kN
/(/)
D
kN m
∑
/
(/)
im
D
kN m
im
D
D
∑/im
V
kN
/
yh
m/
c
M
kN m
?
上
/
c
M
kN m
?
下
/
b
M
kN m?
左
/
b
M
kN m?
右
6 1599.55 1136076 460080 0.40 56.72 1.29 127.63 42.54 40.86 86.7
7 5 2517.66 1136076 460080 0.40 64.7
8 1.45 126.32 68.02 54.06 114.80 4 3263.62 1136076 460080 0.40 101.96 1.62 183.53 122.35 80.54 171.01 3 3837.44 1136076 460080 0.40 132.17 1.58 218.08 178.43 109.00 231.43 2 4239.11 1136076 460080 0.40 155.41 2.81 233.73 232.4
9 131.96 280.20 1 4469.45 1066908 445824 0.42 177.14 3.41 214.34 494.21 142.94 303.89
表6-9 水平地震作用下C-6框架柱剪力和梁柱端弯矩的计算
楼层
/
i
V kN
/(/)
D
kN m
∑
/
(/)
im
D
kN m
im
D
D
∑/im
V
kN
/
yh
m/
c
M
kN m
?
上
/
c
M
kN m
?
下
/
b
M
kN m?
左
/
b
M
kN m?
右
6 1599.55 1136076 460080 0.40 56.72 1.29 127.63 42.54 40.86 86.77
5 2517.6
6 1136076 460080 0.40 64.78 1.45 126.32 68.02 54.06 114.80
4 3263.62 1136076 460080 0.40 101.96 1.62 183.53 122.3
5 80.54 171.01
3 3837.4
4 1136076 460080 0.40 132.17 1.58 218.08 178.43 109.00 231.43
2 4239.11 1136076 460080 0.40 155.41 2.81 233.7
3 232.49 131.96 280.20
1 4469.45 1066908 445824 0.4
2 177.14 3.41 214.34 494.21 142.94 303.89
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表6-10 地震作用下框架柱轴力与梁端剪力
楼 层
梁端剪力/kN 柱轴力/kN
AB 跨 bAB V
BC 跨 bBC V
CD 跨
bCD V
A 轴
B 轴
C 轴
D 轴
CA N
bAB bBC V V -
CB N
bBC bCD V V -
cC N
CD N
6 21.4
7 14.46 24.2
8 -21.47 7.01 7.01 -9.82 -9.82 24.28 5 28.4 19.12 32.13 -49.87 9.28 16.2
9 -13.01 -22.83
56.41
4 42.31 28.49 47.86
-92.18
13.82 30.11 -19.37 -42.20 104.27 3 57.26 38.56 64.77 -149.44 18.70 48.81 -26.21 -68.41 169.04 2 69.33 46.68 78.41 -218.77 22.65 71.46 -31.73 -100.14 247.45 1
72.13
48.57
81.61 -290.90
23.56
95.02
-33.04
-133.18 329.06
注：轴力压力为“＋”，拉力为“—”。
图6-3 左方向水平地震作用下的弯矩图
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图6-3 右方向水平地震作用下的弯矩图