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实用文案对称性与周期性
函数对称性、周期性的判断
1.函数()yfx?有()()faxfbx???（若等式两端的两自变量相加为常数，如
()()axbxab?????），则()fx的图像关于2abx??轴对称；当ab?时，若()() (()(2))faxfaxfxfax?????或，则()fx关于xa?轴对称；
2.函数()yfx?有()()fxafxb???（若等式两端的两自变量相减为常数，如
()()xaxbab?????），则()fx是周期函数，其周期Tab??；当ab?时，若
()()fxafxa???，则()fx是周期函数，其周期2Ta?；
3.函数()yfx?的图像关于点(,)Pab对称?()(2)2
(()=2(2))fxfaxbfxbfax?????或；函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称? ()=(2) fxfax??( ()=())faxfax???或；
4.奇函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且
4Ta?是函数的一个周期；
5.奇函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且4Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期；
6.函数()yfx?的图像关于点(,0)Ma和点(,0)Nb对称?函数()yfx?是周期函数，且2()Tab??是函数的一个周期；
7.函数()yfx?的图像关于直线xa?和直线xb?对称?函数()yfx?是周期函数，且
2()Tab??是函数的一个周期。
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实用文案
(,)Pab
?????????????????????于的中心（）直于的曲于的于直的（）直于直的曲于直的点关点对称对称问题点对称问题线关点对称线关点对称对称问题点关线对称轴对称问题线对称问题线关线对称线关线对称
一、点对称
(1)点关于点的对称点问题
若点A11(,)xy, B22(,)xy, 则线段AB中点M的坐标是(1212,22xxyy??)；据此可以解求点与点的
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实用文案中心对称，即求点M00(,)xy关于点P(,)ab的对称点'M的坐标(,)xy ，利用中点坐标公式可得00, 22xxyyab????，解算的'M的坐标为
00(2, 2)axby??。
例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'M的坐标是(4,1)??.
①点M00(,)xy关于点P(,)ab的对称点'M的坐标00(2, 2)axby??;
②点M00(,)xy关于原点的对称点'M的坐标0000(2, 2)=(, ) axbyxy????.
(2)直线关于点对称
①直线L：0AxByC???关于原点的对称直线
设所求直线上一点为(,)Mxy，则它关于原点的对称点为'(,)Mxy??，因为'M点在直线L上，故有()()0AxByC?????，即0AxByC???；
②直线1l：0AxByC???关于某一点(,)Pab的对称直线2l
它的求法分两种情况：
1)、当(,)Pab在1l上时，它的对称直线为过P点的任一条直线。
2)、当P点不在1l上时，对称直线的求法为：
解法（一）：在直线2l上任取一点(,)Mxy，则它关于P的对称点为'(2,2)Maxby??，因为'M点在1l上，把'M点坐标代入直线在1l中，便得到2l的方程即为
(2)(2)0AaxBbyC?????，简化为：220AxByCaAbB?????.
解法（二）：在1l上取一点11(,)Mxy，求出M关于P点的对称点'11(2,2)Maxby??
的坐标。再
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实用文案由12ll AKKB???，可求出直线2l的方程。
解法（三）：由12ll KK?，可设1:0lAxByC???关于点(,)Pab的对称直线为
'0AxByC???且2222'AaBbCAaBbCABAB???????求设'C从而可求的及对称直线方程。
(3)曲线关于点对称
曲线1:(,)0Cfxy?关于(,)Pab的对称曲线的求法：设(,)Mxy是所求曲线的任一点，则M点关于(,)Pab的对称点为(2,2)axby??在曲线(,)0fxy?上。故对
称曲线方程为(2,2)0faxby???。
二、直线的对称
(1)点关于直线的对称
1)点(,)Pab关于x轴的对称点为'(,)Pab?
2)点(,)Pab关于y轴的对称点为'(,)Pab?
3)关于直线xm?的对称点是'(2,)Pmab?
4)关于直线yn?的对称点是'(,2)Panb?
5)点(,)Pab关于直线yx?的对称点为'(,)Pba
6)点(,)Pab关于直线yx??的对称点为'(,)Pba??
7)点(,)Pab关于某直线:0LAxByC???的对称点'P的坐标
解法（一）：由'PP⊥L知，'PP BKA??直线'PP的方程→()BybxaA???，由0()AxByCBybxaA???????????可求得交点坐标，再由中点坐标公式求得对称点'P的
坐标。
解法（二）：设对称点为'(,)Pxy，由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22axby??把中点坐标代入L中得到022axbyABC???????①；
再由'PP BKA?得byBaxA???②，联立①、②可得到'P点坐标。
解法（三）：设对称点为'(,)Pxy，由点到直线的距
离公式有2222AaBbCAxByCABAB???????
①，再
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实用文案由'PP BKA?得byBaxA???②，由①、②可得到'P点坐标。
(2)直线1l关于直线l的对称直线2l
设直线:0lAxByC???，则l
关于x轴对称的直线是()0AxByC????
关于y轴对称的直线是()0AxByC????
关于yx?对称的直线是0BxAyC???
关于yx??对称的直线是()()AyBxC?????
1)当1l与l不相交时，则1l∥l∥2l
在1l上取一点00(,)Mxy求出它关于l的对称点'M的坐标。再利用12ll KK?可求出2l的方程。
2)当1l与l相交时，1l、l、2l三线交于一点。
解法（一）：先解1l与l组成的方程组，求出交点A的坐标。则交点必在对称直线2l 上。再在1l上找一点B，点B的对称点'B也在2l上，由A、'B两点可求出直线2l 的方程。
解法（二）：在1l上任取一点11(,)Pxy，则P点关于直线l的对称点Q在直线2l 上，再由PQ⊥l，1PQL KK??。又PQ的中点在l上，由此解得
11(,),(,)xfxyygxy??，把点11(,)xy代入直线1l的方程中可求出2l的方程。解法（三）：设1l关于l的对称直线为2l，则2l必过1l与l的交点，且2l到l的角等于l到1l的角，从而求出2l的斜率，进而求出2l的方程。
例：求直线1:230lxy???关于直线:10lxy???对称的直线l２的方程
解：设??,Mxy为所求直线l２上任意一点，则其关于l对称的点??11',Mxy在直线l１上.
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实用文案??1'11111 (MM',K=-1) 10
(MM')22MMl yylxxxxyyl????????????????????即K的中在上?1111xyyx?????????1123021130xyyx?????????又
故所求直线方程为240xy???
(3)曲线关于直线对称
曲线1C关于直线l的对称曲线2C的方程，在2C上任取一点(,)Mxy，可求出它关于l的对称点坐标，再代入1C中，就可求得2C的方程。
例：求圆221xy??关于直线l：10xy???的对称圆的方程
解法（一）：设??,Mxy为所求圆上任意一点，则其关于l对称的点??11',Mxy在
221xy??上.
??1'11111 (MM',K=-1) 10
(MM')22MMl yylxxxxyyl????????????????????即K的中在上?1111xyyx???????
????22111yx?????--即为对称圆的方程
22111xy??
解法（二）：求圆心（0，0）关于l对称点C（1，1）
????22111yx?????所求方程圆为
例：求椭圆2212yx??关于直线l：10xy???对称椭圆的方程
解：设??,Mxy为所求椭圆上任意一点，则其关于l对称的点??11',Mxy在
????2211111112xyxyyx?????????????? 2212yx??上.
综合上述，求对称问题通常采用变量替换、数形结合等解题思想。求对称问题的通法是：⑴求对称点一般采用，先设对称点(,)Pxy，再利用中点坐标公式或垂直、平分等条件，列出,xy的方程组，解方程组所得的解就是对称点的坐标，⑵求对称直线一般是：先设对称曲线上任一点(,)Mxy，再利用求对称点的方程求出M点的对称点'M点坐标，将'M点坐标代入已知曲线方程中，所得的关于,xy的关系式，就是所求对称曲线的方程。
通过上述研究，解析几何中的各种对称点，对称曲线（包括直线）列表如下：
点、(,)Pab
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三、函数图像自身的对称
(1)一般地，函数()yfx?的图象关于2abx??对称?()yfx?满足
()()faxfbx???
证明:
1)若()yfx?满足()()faxfbx???,设00(,)Pxy是()yfx?的图象上的任意一点,则00()yfx?,00(,)Pxy关于直线2abx??的对称点是00(,)Qabxy??
由条件知0000()(())()fabxfbbxfxy???????
所以00(,)Qabxy??在()yfx?的图象上,故函数()yfx?的图象关于2abx??对称.
2) 若函数()yfx?的图象关于2abx??对称. 设00(,)Pxy是()yfx?的图象上的任意一点，则00(,)Pxy关于2abx??对称点00(,)Qabxy??也在()yfx?的图象上。从而有000()()yfxfabx????。令0bxx??则有()()faxfbx???
特例：
①当b=a时，函数()yfx?的图象关于xa?对称?()yfx?满足()()faxfax???
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实用文案②当a=0,b=2m时，函数()yfx?的图象关于xm?对称?()yfx?满足
()(2)fxfmx??
③当a+b=0时，函数()yfx?的图象关于0x?对称?()yfx?满足
()()()(faxfaxfaxfax????????或
(2)函数()yfx?关于点(,)ab对称?()()2faxfaxb????，或
(2)()2faxfxb????或
(2)()2faxfxb???
简证：设点),(11yx在)(xfy?上，即)(11xfy?，通过bxfxaf2)()2(???可知，bxfxaf2)()2(11???，所以1112)(2)2(ybxfbxaf?????，所以点)2,2(11ybxa??也在)(xfy?上，而点)2,2(11ybxa??与),(11yx关于),(ba对称。得证。
关系图像()()fxfx??关于y轴()()fxfx???关于原点()()faxfxa???关于y 轴对称
()()faxfax???，或()(2)fxfax??关于直线xa?对称
()()fxfax??关于直线2ax?轴()()faxfbx???关于直线2abx??对称
()()fxfxa??周期函数，周期为a
四、两个函数图像的对称
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五、周期性
1、一般地，对于函数()fx，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有()()fxTfx??，那么函数()fx就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。
说明：周期函数定义域必是无界的。
推广：若)()(bxfaxf???，则)(xf是周期函数，ab?是它的一个周期
2.若T是周期，则(0,)kTk kZ??也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
说明：周期函数并非都有最小正周期。如常函数()fxC?；
3、对于非零常数A，若函数()yfx?满足(A)()fxfx???，则函数()yfx?必有一个周期为2A。
证明：(2A)[(A)](A)[()]()fxfxxfxfxfx???????????
∴函数()yfx?的一个周期为2A。
4、对于非零常数A，函数()yfx?满足1(A)()fxfx??，则函数()yfx?的一个周期为2A。
证明：1(2)()()()fxAfxAAfxfxA???????。
5、对于非零常数A，函数()yfx?满足1()()fxAfx???，则函数()yfx?的一个周期为2A。
证明：1(2)()()()fxAfxAAfxfxA????????。
6、已知函数()fx的定义域为N，且对任意正整数x
都有()()()(0)fxfxafxaa?????则函数的一个周期为6a
证明：()()()fxfxafxa????（1）
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实用文案()()(2)fxafxfxa????（2）
两式相加得：()(2)fxafxa????
()(3)(6)fxfxafxa?????
六、对称性和周期性之间的联系
性质1：函数()yfx?满足()()faxfax???，()()fbxfbx???()ab?，求证：函数()yfx?
是周期函数。
证明：∵()()faxfax???得()(2)fxfax??
()()fbxfbx???得()(2)fxfbx??
∴(2)(2)faxfbx???
∴()(22)fxfbax???
∴函数()yfx?是周期函数，且22ba?是一个周期。
性质2：函数()yfx?满足()()faxfaxc????和()()fbxfbxc????()ab?时，函数
()yfx?是周期函数。（函数()yfx?图象有两个对称中心（a，2c）、（b，2c）时，函数()yfx?是周期函数，且对称中心距离的两倍，是函数的一个周期）
证明：由()()faxfaxc?????()(2)fxfaxc???
()()fbxfbxc?????()(2)fxfbxc???
得(2)(2)faxfbx???
得()(22)fxfbax???
∴函数()yfx?是以22ba?为周期的函数。
性质3：函数()yfx?有一个对称中心（a，c）和一个对称轴xb?（a≠b）时，该函数也是周期函数，且一个周期是4()ba?。
证明：()()2()(2)2faxfaxcfxfaxc????????
()()()(2fbxfbxfxfbx??????
(4())(2(42fbaxfbabx??????
(42)(2(22))2(22fabxfabaxcfbax??????????
2(2(2))2(2)cfbaxcfax???????
2(2())22()()ccfxccfxfx???????
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实用文案推论：若定义在R上的函数)(xf的图象关于直线ax?和点)0,(b)(ba?对称，则)(xf是周期函数，)(4ab?是它的一个周期
证明：由已知()(2),()(2).fxfaxfxfbx?????
()(2)[2(2)][2()][22()][2(2)][22(2)][4()],4().fxfaxfba xfbaxfabaxfabxfbabxfbaxba????????????????????????????周期为
举例:sinyx?等.
性质4：若函数()fx对定义域内的任意x满足：()()fxafxa???,则2a为函数()fx 的周期。（若()fx满足()()fxafxa???则()fx的图象以xa?为图象的对称轴，应注意二者的区别)
证明：()()fxafxa???
()(2)fxfxa???
性质5：已知函数??xfy?对任意实数x,都有????bxfxaf???，则??xfy?是以2a 为周期的函数
证明：()()faxbfx???
(2)(())()(())()fxafxaabfxabbfxfx???????????
对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。
高中数学中的“对称图形”题型及解法浅探 “对称性”是数学美的一种体现，也是历年高考题中的常见题型，理解和掌握“对称图形”的基本规律和解题方法是十分必要的. 一、本身具有对称性的图形 如“三角函数的图像，圆锥曲线”等，此类问题可直接应用对称轴方程加以解决. 例1：如果y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么A=（） A. B.- C.1 D.-1 解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a ∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =- ∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故选D. 例2：曲线x +y +2 -2 =0关于（） A.直线x= 对称 B.直线y=-x对称 C.点（-2，）中心对称 D.点（，0）对称 解：将方程配方得：（x+ ）+（y- ）=4， ∴曲线是以（-2，）为圆心，2为半径的圆.由圆自身的对称性可知应选B. 评析：1.对于y=sinx直接应用对称轴方程x=kπ+ （k
∈Z）求解，方法简明扼要. 2.对于圆，过圆心的任意直线都是对称轴，圆心是对称中心. 3.关于y=f（x）其图像存在对称性，有一般的结论：f （x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的图像关于x= 对称. 二、两个图形关于点对称 两个图形关于点对称的此类问题可借中点公式极易解决. 例3：设曲线C的方程是y=x -x将C沿x轴、y轴的正方向分别平行移动T、S个单位长度后，得曲线C ，（1）写出C 的方程； （2）证明C 和C关于点（，）对称. 解析：（1）由题意：C ：y-S=（x-T）-（x-T）. （2）设M（x，y）是C上的任意点，M′（x′，y′）是M关于（，）的对称点， 由中点公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T）-（x-T） ∴M在曲线C 上. 反过来，同样可以证明：C 上的任意点关于（，）对称的点也在C上. 因此，C 与C关于点（，）对称. 评析：关于成中心对称的两个图形，上例实质是求中心
高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上
标准文档 实用文案对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1.函数()yfx?有()()faxfbx???（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()axbxab?????），则()fx的图像关于2abx??轴对称；当ab?时，若()() (()(2))faxfaxfxfax?????或，则()fx关于xa?轴对称； 2.函数()yfx?有()()fxafxb???（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()xaxbab?????），则()fx是周期函数，其周期Tab??；当ab?时，若 ()()fxafxa???，则()fx是周期函数，其周期2Ta?； 3.函数()yfx?的图像关于点(,)Pab对称?()(2)2 (()=2(2))fxfaxbfxbfax?????或；函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称? ()=(2) fxfax??( ()=())faxfax???或； 4.奇函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于点(,0)Pa对称?()yfx?是周期函数，且 4Ta?是函数的一个周期； 5.奇函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且4Ta?是函数的一个周期；偶函数()yfx?的图像关于直线xa?对称?()yfx?是周期函数，且2Ta?是函数的一个周期； 6.函数()yfx?的图像关于点(,0)Ma和点(,0)Nb对称?函数()yfx?是周期函数，且2()Tab??是函数的一个周期； 7.函数()yfx?的图像关于直线xa?和直线xb?对称?函数()yfx?是周期函数，且 2()Tab??是函数的一个周期。 标准文档
高中数学中的对称性与周期性 一、函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 7函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 二、关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点A 11(,)x y , B 22(,)x y , 则线段AB 中点M 的坐标是( 1212 ,22 x x y y ++)；据此可以解求点与点的中心对称，即求点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点' M 的坐标(,)x y ，利用中点坐标公式可得 00, 22 x x y y a b ++= =，解算的' M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。
函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像 (一)复习指导 单调性： 设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ?A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数． 如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间． 函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小． 利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的． 对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律． 此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述． 奇偶性： (1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数． 函数的奇偶性有如下重要性质： f (x )奇函数?f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数?f (x )的图象关于y 轴对称． 此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点． 周期性： 对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期． 关于函数的周期性，下面结论是成立的． (1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)． (2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则 | |ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0． 对称性： 若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2 b a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点( 2 b a +，0)对称． 函数的图象： 函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用． (1)利用平移变换作图：
课题1：奇偶性 知识点： 【例】设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 2 +2x+a(a 为常数）则f （-1）= 【答案】-1【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，则f(0)=0；f(0)=a=0，所以f(x)=x 2 +2x ；所以f （-1）=（-1）2 +2（-1）=-1. 【例】设f(x)=lg( a +x -12 )是奇函数，则使f(x)<0的x 的取值范围是( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.（-1,1）
【答案】A 【解析】f(x)=lg( a +x -12 )是奇函数，且在x=0处有定义则f(0)=0，即f(0)=lg( a +0 -12 )=0，则a=-1;f(x)<0,即 lg(a +x -12)<0得?????<--<±≠111201 x x ，解得-1 对称问题专题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 x x y y -'-'·k =－1， 2 y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ，y ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 剖析：由平面几何知识可知若直线a 、b 关于直线l 对称，它们具有下列几何性质：（1）若a 、b 相交，则l 是a 、b 交角的平分线；（2）若点A 在直线a 上，那么A 关于直线l 的对称点B 一定在直线b 上，这时AB ⊥l ，并且AB 的中点D 在l 上；（3）a 以l 为轴旋转180°，一定与b 重合.使用这些性质，可以找出直线b 的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上 浅谈高中数学解析几何中的对称问题 发表时间：2019-12-10T17:34:32.223Z 来源：《教育学文摘》2019年12期作者：龚杨熙 [导读] 新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展 摘要：新课标改革开展后，我国的教育事业也在不断发展，其中高中数学也乘着改革开放的快车，发展迅猛。在高中数学中，数学解析几何中的对称问题受到了广泛的关注与讨论。研究对称问题不仅能增强我们解决问题的能力，同时可以培养发散思维，锻炼空间想象力等，而且还能提高在日常生活当中的审美能力，提高创新意识。下面我将结合自己的学习理解，对高中数学解析几何中对称问题进行简要分析，希望能在这方面为同学们的学习提供一些帮助。 关键字：高中数学解析几何对称问题 高中数学解析几何中的对称问题，是高中数学的一个重要内容，也是平时学习的难点，它的运用非常广泛，不仅体现在数学应用上，有时还会渗透到物理学科的应用方面。在对称问题中，主要研究的问题有：点关于点对称、点关于直线对称、直线关于点对称、直线关于直线对称、曲线关于点对称、曲线关于直线对称等问题。不过在对称问题中，最基础的问题为点关于点，点关于直线的对称问题，线（直线、曲线）关于点的对称问题可转化为点关于点对称。线（直线、曲线）关于直线对称的问题可转化为点关于直线对称。 一、关于点的对称问题 点与点之间的对称问题，在初步接触对称问题时，较为常见，也较为简单。在关于点的对称问题中，也有不同的类型，包括了点与点之间的关系、点与点关于直线对称的关系，线与线关于直线对称的关系，每种不同的关系之间，解题思路既有相同点，也有不同的点，均需要答题者，认真思考，得出答案。下面我将针对不同的种类进行分析。 （一）点关于定点对称问题 这类问题，一般是知道一个点A，知道A点的坐标，给出另外一个中心点Q，告诉Q点的位置坐标，最后让大家求出A点关于Q点对称的点B。这类题的求解办法较为单一统一。例如：已知点A(x1,y1)，已知中心点Q(x0,y0)，求出A点关于Q点对称的点B，在坐标中，这三个点的横纵坐标，应该满足怎么样的条件呢？根据条件可知，Q点为A、B点的中点，于是得2x0=x1+x2，2y0=y1+y2，由此可以得到x2，y2的值，得到B点位置坐标。关于定点对称问题，表面看上去是多个类型题中，最简单的一类题目，但是却是后续题目的基础，在许多不同类型、不一样表述的题目，表面上比较难也很有深度，但是随着理解领悟的加深，基础知识掌握牢固后，大家会发现，运用的知识，大部分仍然是定点对称问题的方法与策略，所以基础知识必须掌握牢固，才能解决其他难题。 （二）线关于点的对称问题 在线关于点的对称问题中，无论是曲线还是直线，都可以把每条线看作是满足某条件的动点的集合，看作是动点沿着一定的限制条件运动形成的轨迹，所以在遇到线关于点对称的问题时，我们不妨设对称曲线上任一点的坐标为A(x,y)，点A关于中心点Q(x0,y0)的对称点为B，根据点与点对称之间的法则，求出对称点B的坐标，利用对称点B在已知曲线上坐标满足方程最终求得是对称曲线的轨迹方程。这样就成功的将线关于点的对称问题转化为点关于点的对称问题，将困难化解。在解决线的问题时，大家需要明白一个道理，就是所有的线都可以看作是满足某个条件的点的集合，无论是直线还是曲线，解题时将点关于点的对称问题掌握好即可。 二、点关于线的对称问题 在解决点关于线的对称问题中，相比较点，要复杂很多，需要利用更多几何性质，譬如轴对称的性质，在前面的学习中知道，两个图案在关于直线对称时，可以观察到，图案相应两点的连线会被该直线垂直平分，所以在解决关于线之间的对称问题时，要将此问题简化，回到线关于点，点关于点之间的对称问题中，在应用这个办法求解时，需要注意的问题是，点关于线的对称问题需要满足两个条件，第一是两个对称轴对称的点，连接起来，应该垂直于对称轴所在直线。第二是：两个对称点的中点应该在对称轴上。在解决线关于线的对称问题时，只要能将点关于线的问题处理好，线关于线的对称问题也可以迎刃而解，在高中数学对称问题中，关于曲线C，直线L的对称问题，最终都可以化归为点与点之间的对称问题，在解决此类问题时，需要打开思维，充分利用点关与点对称、点关与线对称的处理方法，融会贯通，举一反三，不断提升自己的解题能力。 三、实际应用 实践出真知，理论知识无论有多丰富，只有回归到实际问题中，才能体现其真正的价值，只有在解决问题的过程中，才能真正发现是否将理论知识熟练的掌握运用。应用举例：（线关于线对称问题）已知两直线L1,L2，两直线关于直线L0对称，L0方程为：2x-2y+1=0，其中L1的方程为3x-2y+1=0，求L2的方程？分析：在这道题目中，虽然是线关于线对称的问题，但是仍然可以转化为点关与点的对称问题，在解题过程中，可以在L1上，随意找出一点A(x1, y1)关于直线对称点设为B(x2,y2)，利用A,B两点关于L0对称，求出对称点B的坐标，同理再求出一个对称点的坐标，就可以求出对称线的方程。如果是求曲线关于直线的对称曲线则可设对称曲线上任一点的坐标A(x, y), A(x, y)关于直线对称点设为B(x0,y0)，利用A,B两点关于L0对称，求出对称点B的坐标,利用对称点B在已知曲线上代入曲线方程即可求得对称曲线的轨迹方程。除了这一类型题目以外，还有许多与这类题目相关的问题，但是万变不离其宗。 这篇文章主要是从点关与点对称，点关于线对称的角度出发，简要分析讨论了解析几何中对称问题。要想真正解决这类问题，首先要深刻理解基础知识，灵活把握线与点之间的对称关系，有的题目还存在图形，此时也不能忽视图形的重要性，在许多题型例如直线、圆、椭圆的对称问题中，图形均可以反映出大量的解题信息，解题时需要抓住图形中的细节，数形结合，解决难题。参考文献： [1]许悦. 高中数学解析几何中对称问题分析[J]. 2018(2). [2]苏明亮. 高三数学复习中要善于借“题”发挥——解析几何中与对称相关的试题分析[J]. 高中数学教与学, 2016(8). 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜ G（x）与不等式 G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F（x）＜ G（x）的定义域被解析式H（ x ）的定义域所包含，那么不等式 F（x）＜G（x）与不等式F （x）＋H（x）＜G（x）＋H（x）同解。 ③如果不等式F（x）＜G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）＞0，那么不等式F(x)＜G（x）与不等式H（x）F（x）＜H（ x ）G（x）同解；如果H（x）＜0，那么不等式F（x）＜G（x）与不等式H (x)F（x）＞H（x）G（x）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式0)x (G 0)x (F >>或0 )x (G 0 )x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n ) a ...a a (G = 3、算术平均数： n ) a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n ) a ...a a (Q 2 n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2a b b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 对称性与周期性 函数对称性、周期性的判断 1. 函数()y f x =有()()f a x f b x +=-（若等式两端的两自变量相加为常数，如 ()()a x b x a b ++-=+），则()f x 的图像关于2 a b x += 轴对称；当a b =时，若()() (()(2))f a x f a x f x f a x +=-=-或，则()f x 关于x a =轴对称； 2. 函数()y f x =有()()f x a f x b +=-（若等式两端的两自变量相减为常数，如 ()()x a x b a b +--=+），则()f x 是周期函数，其周期T a b =+；当a b =时，若()()f x a f x a +=-，则()f x 是周期函数，其周期2T a =； 3. 函数()y f x =的图像关于点(,)P a b 对称?()(2)2 (()=2(2))f x f a x b f x b f a x +-=--或；函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称? ()=(2) f x f a x --( ()=())f a x f a x +--或； 4. 奇函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于点(,0)P a 对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期； 5. 奇函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且4T a =是函数的一个周期；偶函数()y f x =的图像关于直线x a =对称?()y f x =是周期函数，且2T a =是函数的一个周期； 6. 函数()y f x =的图像关于点(,0)M a 和点(,0)N b 对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期； 7. 函数()y f x =的图像关于直线x a =和直线x b =对称?函数()y f x =是周期函数，且 2()T a b =-是函数的一个周期。 直线中对称问题归类解析 直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。 1、点关于点的对称 例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。 分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。 解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得 ?????=+=+-12 3122o o y x 解得???-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。 2、直线关于点的对称 例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。 解法1：（用点到直线距离公式） 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。 解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。 由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得1 316134 1622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。则直线2l 的方程为0 103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。 解法2:（利用中点坐标法） 分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2 l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1) 把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0 103=--y x 解法3：（利用图像平移法） 分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线 高中数学中的对称性 一、 关于点对称 (1) 点关于点的对称点问题 若点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标(,)x y ，则P 为M 'M 的中点，利用中点坐标公式可得00, 22 x x y y a b ++==，解算的'M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。 例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'M 的坐标是. ① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标; ② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点' M 的坐标. (2) 直线关于点对称 ① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线 设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'(,)M x y --，因为'M 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=； ② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l 解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于P 的对称点为' (2,2)M a x b y --，因为'M 点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=。 解法（二）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点(,)P a b 的对称直线为'0Ax By C ++= =求设'C 从而可求的及对称直线方程。 (3) 曲线关于点对称 曲线1:(,)0C f x y =关于(,)P a b 的对称曲线的求法：设(,)M x y 是所求曲线的任一点，则M 点关于(,)P a b 的对称点为(2,2)a x b y --在曲线(,)0f x y =上。故对称曲线方程为(2,2)0f a x b y --=。 二、 关于直线的对称 (1) 点关于直线的对称 1) 点(,)P a b 关于x 轴的对称点为'(,)P a b - 2) 点(,)P a b 关于y 轴的对称点为'(,)P a b - 3) 关于直线x m =的对称点是'(2,)P m a b - 4) 关于直线y n =的对称点是'(,2)P a n b - 5) 点(,)P a b 关于直线y x =的对称点为'(,)P b a 6) 点(,)P a b 关于直线y x =-的对称点为'(,)P b a -- 7) 点(,)P a b 关于某直线:0L Ax By C ++=的对称点'P 的坐标 解法设对称点为'(,)P x y ，由中点坐标公式求得中点坐标为(,)22 a x b y ++把中点坐标代入L 中得到022a x b y A B C ++? +?+=①；再由'PP B K A =得b y B a x A -=-②，联立①、②可得到'P 点坐标。 函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连 续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角 函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称， 该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的 中心对称，该点称为该函数的对称中心。 常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 a b x2。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0 ）是它的对称中心，2kx是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不 会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，) 0,2 (k是它的对称中心。 （11 ）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2 ( k是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对 称中心只是（kπ,0）。 对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能 误以为最值处是它的对称轴。 三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。 二、函数的对称性猜测： 具体函数特殊的对称性猜测 ①一个函数一般是不会关于x轴对称，这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x 轴对称的。例1、判断曲线xy42 ②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。 ③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3 ④函数关于y=x对称例4 、判断函数x y1 ⑤函数关于y=-x对称例5 、判断函数x y4 总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；如果（y,x）也在图像上，则该曲线关 于y=x对称；如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜测①轴对称 例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间 2.5，从而该函数关于x=2.5对称） 例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称） 例8、如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）②中心对称 例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心） 对称问题 【知识要点】 1.点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题. 设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0）. 2.点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标.一般情形如下： 设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有 00x x y y -'-'·k =－1， 20y y +'=k ·20x x +'+b ， 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0）. 3.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题，一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）.一般结论如下： （1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0. （2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法： 设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（y ，x ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足 0x x y y --·k =－1， 2 0y y +=k ·20x x ++b ， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程. 4.两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点（x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，－y ）； （2）点（x ，y ）关于y 轴的对称点为（－x ，y ）； （3）点（x ，y ）关于原点的对称点为（－x ，－y ）； （4）点（x ，y ）关于直线x －y =0的对称点为（y ，x ）； （5）点（x ，y ）关于直线x +y =0的对称点为（－y ，－x ）. 【典型例题】 【例1】 求直线a ：2x +y －4=0关于直线l ：3x +4y －1=0对称的直线b 的方程. 2x +y －4=0， 3x +4y －1=0， 方法一：设直线b 的斜率为k ，又知直线a 的斜率为－2，直线l 的斜率为－4 3. 则)2()43(1)2(43-?-+--- =)43(1)43(-+--k k .解得k =－112.代入点斜式得直线b 的方程为 可求出x ′、y ′. 从中解出x 0、y 0， 解：由 解得a 与l 的交点E （3，－2），E 点也在b 上. 题型一：判断函数奇偶性 1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 【例1】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ 1 y x =； ⑵ 422y x x =++； ⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-． 【例2】 判断下列函数的奇偶性： ⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+ ； ⑷21()f x x =． 【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： ⑴ 221()1x x a f x a +=-(0a >且1)a ≠； ⑵ ()11f x x x =-+-； ⑶ 2()5||f x x x =+． 典例分析 板块二.函数的奇偶性与对称 性 【例4】 判别下列函数的奇偶性： （1）31 ()f x x x =-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 【例5】 判断函数 的奇偶性． 2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数； （2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数． 【例6】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ ()(f x x =- ⑵ 11 ()()( )12 x f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数． 【例7】 若函数f(x)= 3 (x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性． 【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有 ()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2() ()()()1 f x F x f x g x = +-是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数高中数学点线对称问题
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