区间数互补判断矩阵的一致性

第24卷第5期

Vol.24No.5

控　制　与　决　策

Cont rol

an d

Decision

2009年5月

May 2009

收稿日期:2008205220;修回日期:2008209224.

基金项目:国家自然科学基金项目(70571087);南京师范大学科研启动基金项目(2008101XGQ0109).

作者简介:钱钢(1965—),男,江苏常州人,教授,从事决策分析与优化、信息化战略规划与项目管理等研究;

冯向前(1977—),男,山西晋城人,讲师,博士,从事系统工程、多属性决策理论与方法等研究.

文章编号:100120920(2009)0520723206

区间数互补判断矩阵的一致性

钱　钢1,冯向前1,徐泽水2

(1.南京师范大学管理科学与工程研究所,南京210097;2.解放军理工大学理学院,南京211101)

摘　要:研究了区间数互补判断矩阵的一致性;定义了区间数互补判断矩阵的完全一致性、强一致性、一致性和满意一致性的概念;讨论了定义之间的关系;给出了强一致性判别方法以及3种一致性和满意一致性的判别方法.最后用算例验证了所提出方法的有效性和适用性.

关键词:不确定层次分析法;区间数;互补判断矩阵;一致性中图分类号:C934;O223 文献标识码:A

Consistency of interval complementary comparison m atrix

Q I A N Gang 1

,F EN G X i an g 2qi an 1

,X U Ze 2shui

2

(1.Insititution of Management Science and Engineering ,Nanjing Normal University ,Nanjing 210097,China ;2.Institute of Science ,PL A University of Science and Technology ,Nanjing 211101,China.Correspondent :Q IAN Gang ,E 2mail :qian —gang @https://www.doczj.com/doc/1a14111861.html, )

Abstract :The consistency problem of the interval complementary comparison matrix is studied in this paper.Some conceptions concerning the consistency of interval complementary comparison matrix including perfect consistency ,strong consistency ,consistency and satisfactory consistency are defined ,and the relations between these definitions are discussed.A method for testing strong consistency ,three methods for testing consistency and a method for testing satisfactory consistency are proposed.Finally ,a numerical example illustrates the effectiveness and practicality of the proposed methods.

K ey w ords :Uncertain type of the analytical hierarchy process ;Interval numbers ;Complementary matrix ;Consistency

1　引 言

多属性决策是现代社会经常遇到的一类决策问

题.层次分析方法[1]因其有效、实用的特点而成为多属性决策分析的主要方法之一.它的基本思路是,通过元素之间两两比较建立判断矩阵,并对其进行综合处理.在实际的决策过程中,由于客观事物的复杂性以及人们的思维能力、知识结构和知识水平的局限性,决策者对方案进行两两比较时通常用模糊数或区间数给出自己的判断,从而使传统的层次分析法扩展为不确定层次分析法.

从元素的表示方式看,区间数判断矩阵有两种类型:区间数互反判断矩阵[327]和区间数互补判断矩阵[729].目前有关区间数互反判断矩阵的研究已经比较完善,而关于区间数互补判断矩阵的研究,由于现有文献对其一致性理论的研究较少,使得众多的排序方法缺乏理论依据.针对这个问题,周礼刚等[7]从

区间数互补判断矩阵的定义出发,给出了一致性定义,但若一个区间数互补判断矩阵满足此定义,它将退化为普通的实数矩阵,因此此定义不合理;巩在武等[9]借助区间数互反与互补判断矩阵之间的转换公式及区间数互反判断矩阵的完全一致性定义,给出了区间数互补判断矩阵一致性定义,但此定义给出的条件太强,决策者给出的区间数互补判断矩阵几乎都不能满足此条件,所以无法衡量决策者给出的判断信息是否合理.徐泽水和朱建军等[10,11]基于权重可行域的思想,给出了区间数互补判断矩阵的一致性定义.本文则从区间数互补判断矩阵的定义出发,对其一致性进行了系统深入的研究,给出了区间数互补判断矩阵完全一致性、强一致性、一致性和满意一致性定义,讨论了这些定义之间的关系,给出了相应的判别方法,并用算例进行了验证.

2　预备知识

控 制 与 决 策

第24卷

定义1[12]　称实数互补判断矩阵A =(a ij )n ×n

具有互补一致性,若对于任意的i ,j ,k ∈N ,N ={1,2,…,n},有a ik +a kj =0.5+a ij .

引理1[13]　实数互补判断矩阵A 具有互补一致性的充分必要条件是存在向量w =(w 1,w 2,…,

w n )T

使得a ij =0.5(1+w i -w j ),i ,j ∈N.其中w i

≥0,i ∈N ,且

∑

n

i =1

w i =1.

定义2[1]

　称实数互反判断矩阵B =(b ij )n ×n 具

有一致性,若对于任意的i ,j ,k ∈N ,有b ij =b ik ?

b kj .

引理2[1]

　实数互反判断矩阵B 具有一致性的

充分必要条件是存在向量v =(v 1,v 2,…,v n )T 使得对于任意的i ,j ∈N ,有b ij =v i /v j .其中v i ≥0,i ∈

N ,且

∑n

i =1

v

i

=1.

引理3[14]　设A =(a ij )n ×n 是实数互补判断矩阵,则通过转换公式

b ij =9 a ij - a ji =92 a ij -1

,

(1)

可得互反判断矩阵B =(b ij )n ×n .

引理4[14]　若A =(a ij )n ×n 是互补一致性实数互补判断矩阵,则通过式(1)转换而得到的判断矩阵B =(b ij )n ×n 是一致性互反判断矩阵.

在实际应用中,判断矩阵很难满足一致性.针对一个不一致的互反判断矩阵是否可以被接受,Saaty [1]给出了互反判断矩阵B =(b ij )n ×n 的一致性

指标CR =λmax (B )-n

(n -1)RI

作为检验的标准.其中:RI

为平均随机一致性指标,λmax (B )为B 的最大特征值.并指出,当CR <0.1时,判断矩阵具有可接受的一致性;否则,判断矩阵偏离一致性程度过大.

Aguar ón 等[15]提出如下几何一致性指标:

GCI =

2

(n -1)(n -2)

∑i

(log b

ij

+

log v j -log v i )2

作为检验标准,其中排序向量v =(v 1,v 2,…,v n )T 可由对数最小二乘法[16]求出.并相对应于Saaty 的

一致性指标CR 的临界值,给出了实数互反判断矩阵的几何一致性指标GCI 的临界值,如表1所示.

表1　互反判断矩阵几何一致性指标G CI 的临界值

CR 0.010.050.100.15GCI (n =3)0.03140.15730.31740.4720GCI (n =4)0.0352

0.1763

0.3526

0.5289

GCI (n >4)

～0.037～0.185～0.370～0.555

定义3　设有2个区间数 a 1=[l 1,u 1], a 2=

[l 2,u 2],l 1>0,l 2>0,c 为实数,则:

1) a 1+ a 2=[l 1+l 2,u 1+u 2];2) a 1+c =[l 1+c ,u 1+c];

3) a 1= a 2当且仅当l 1=l 2,u 1=u 2.

定义4[17]　称 A =( a ij )n ×n 是区间数互补判断矩阵,如果对于任意的i ,j ∈N 均有:

1) a ij =[l ij ,u ij ]且l ij +u ji =1;2)0

当对任意的i ,j ∈N ,都有l ij =u ij 时, A 为实数互补判断矩阵.

3　区间数互补判断矩阵相关一致性

定义5　称区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n 具有完全一致性,若对Πi

文献[8]称此定义为一致性,但本文认为此条件很强,后面将给出更加合理的一致性定义.

定义6　称区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n

具有强一致性,若对于任意的实数a ij ∈[l ij ,u ij ],均存在实数互补判断矩阵A =(a kl )n ×n (a kl ∈[l kl ,

u kl ],k ,l ∈N )具有一致性,其中当k =i ,l =j 时a kl =a ij .

定理1　区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n 具有强一致性的充分必要条件是对于任意的i ,j ∈

N ,有

∩n

k =1

(

a ik

+ a kj -0.5)= a ij .

证明　设 A =( a ij )n ×n 为区间数互补判断矩阵,且对于任意的i ,j ∈N ,有

∩n k =1

(

a ik

+ a kj -0.5)= a ij .

所以对于任意的k ∈N ,有 a ij Α a ik + a kj -0.5,即对于任意的a ij ∈[l ij ,u ij ],存在a ik ∈[l ik ,u ik ]和a kj ∈[l kj ,u kj ],使得a ij =a ik +a kj -0.5,k ∈N.根据定义1,A =(a kl )n ×n 具有互补一致性,又由定义6可知 A 具有强一致性.

反之,由定义6,若 A 具有强一致性,则对于任意的实数a ij ∈[l ij ,u ij ],均存在实数互补判断矩阵

A =(a kl )n ×n (a kl ∈[l kl ,u kl ],k ,l ∈N )具有互补一

致性,其中当k =i ,l =j 时,a kl =a ij ,即对于任意的实数a ij ∈[l ij ,u ij ],存在a ik ∈[l ik ,u ik ]和a kj ∈[l kj ,

u kj ],使得a ij =a ik +a kj -0.5(k ∈N ),所以

a ij Α

∩n

k =1

(

a ik

+ a kj -0.5).

又因为当k =i 时, a ik + a kj -0.5= a ij ,所以

∩n

k =1

(

a ik

+ a kj -0.5)Α a ij ,

故

4

27

第5期

钱钢等:区间数互补判断矩阵的一致性

a ij =

∩

n

k =1

( a ik + a kj -0.5).□

定理2　设 A =( a ij )n ×n 为区间数互补判断矩阵,若 A 具有完全一致性,则 A 一定具有强一致性.

证明　设 A =( a ij )n ×n 为区间数互补判断矩阵,要证明 A 具有强一致性,只需证明对于任意的

a ij ∈[l ij ,u ij ],i ,j ∈N ,存在a ik ∈[l ik ,u ik ]和a kj ∈[l kj ,u kj ],使得a ij =a ik +a kj -0.5,k ∈N ,其中当k =i ,l =j 时,a kl =a ij .由区间数互补判断矩阵定义

知,若i =j 时显然成立.下面只需证明i

况,因为当j

1)i ≤k ≤j.由对于任意的i ∈N , a ii =0.5以

及定义5知,当i ≤k ≤j 时, a ij = a ik + a kj -0.5,所以对于任意的a ij ∈[l ij ,u ij ],存在a ik ∈[l ik ,u ik ]和a kj ∈[l kj ,u kj ],使得a ij =a ik +a kj -0.5.

2)k

即对于任意的a ij ∈[l ij ,u ij ],存在a kj ∈[l kj ,u kj ]和

a ki ∈[l ki ,u ki ],使得a kj =a ki +a ij -0.5.由区间数

互补判断矩阵定义知,存在a ik ∈[l ik ,u ik ],使得a ki

=1-a ik ,所以a ij =a ik +a kj -0.5.

3)i

综上3种情况,对于任意的a ij ∈[l ij ,u ij ],i <

j ,存在a ik ∈[l ik ,u ik ]和a kj ∈[l kj ,u kj ],k ∈N ,使得a ij =a ik +a kj -0.5.□

定义7　称区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n

具有一致性,若存在实数互补判断矩阵A =

(a ij )n ×n (a ij ∈[l ij ,u ij ],i ,j ∈N )具有互补一致性.

从定义7可以看出,若专家给出的区间数互补判断矩阵具有一致性,则表明专家给出的偏好含有一致性信息,根据此偏好信息可以得到比较合理的排序向量;否则,可以将区间数互补判断矩阵反馈给专家,对其进行修正.

根据定义6和定义7易知,若一个区间数互补判断矩阵 A 具有强一致性,则 A 必定具有一致性.

定理3[11]　区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n

具有一致性的充分必要条件是凸集S w 非空,其中

S w =

{w

=(w 1,w 2,…,w n )T

|l ij ≤

0.5(1+w i -w j )≤u ij ,

∑n

i =1

w

i

=1,

w i ≥0,i ,j ∈N }.

证明　设 A =( a ij )n ×n 为区间数互补判断矩阵,若存在实数判断矩阵A =(a ij )n ×n (a ij ∈[l ij ,

u ij ],i ,j ∈N )具有互补一致性,则由引理1易知S w

非空.若凸集S w 非空,则不妨设w =(w 1,w 2,…,

w n )

T

是S w 中一个元素.对于任意的i ,j ∈N ,令a ij

=0.5(1+w i -w j ),显然a ij ∈[l ij ,u ij ],而且

a ik +a kj =

0.5(1+w i -w k )+0.5(1+w k -w j )=0.5+0.5(1+w i -w j )=0.5+a ij .

由定义1可知,A =(a ij )n ×n 具有互补一致性,所以 A 具有一致性.□

定理4　区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n 具有一致性当且仅当下面不等式成立:

max k

(l ik +l kj -0.5)≤min k

(u ik +u kj -0.5),

Πi ,j ,k ∈N.(2)

证明　若区间数互补判断矩阵 A 具有一致性,则凸集S w 非空,即存在向量w =(w 1,w 2,…,

w n )T

,使得下列不等式成立:

　l ik ≤0.5(w i -w k )+0.5≤u ik ,i ,k ∈N ;(3)　l kj ≤0.5(w k -w j )+0.5≤u kj ,k ,j ∈N.(4)由式(3)和(4)可得

l ik +l kj -0.5≤0.5(w i -w j )+0.5≤u ik +u kj -0.5,Πi ,j ,k ∈N.

所以对于任意的i ,j ∈N ,有

max k

(l ik +l kj -0.5)≤min k

(u ik +u kj -0.5).

若式(1)成立,则显然存在w =(w 1,w 2,…,

w n )T

,使得对于任意的i ,j ∈N ,有如下不等式成

立:

l ij ≤0.5(w i -w j )+0.5≤u ij ,

即S w 非空.根据定理3,区间数互补判断矩阵 A 具有一致性.□

由定理4可知,只需进行简单的代数运算,便可以判别一个区间数互补判断矩阵是否具有一致性.事实上,因为区间数互补判断矩阵具有互补性,即对于任意的i ,j ∈N ,有l ij +u ji =1,所以max k

(l ik +l kj -0.5)≤min k

(u ik +u kj -0.5)Ζ

max k

(1-u ki +1-u jk -0.5)≤

min k

(1-l ki +1-l jk -0.5)Ζ

max k

(l jk +l ki -1.5)≤min k

(u jk +u ki -1.5)Ζ

max k

(l jk +l ki -0.5)≤min k

(u ji +u ki -0.5).

因此,只需对矩阵的上三角(或下三角)的元素进行验证就可以判别一个区间数互补判断矩阵是否具有一致性.

定理5　区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n 具有一致性的充分必要条件是对于任意的i ,j ∈N ,有

5

27

控 制 与 决 策第24卷

∩

n

k =1

( a ik + a kj -0.5)≠Φ.(5)

证明　若区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n 具

有一致性,则根据定义7,存在实数判断矩阵A =(a ij )n ×n (a ij ∈[l ij ,u ij ],i ,j ∈N )具有互补一致性,根据定义1,对于任意的i ,j ,k ∈N ,都有a ij =a ik +a kj -0.5∈ a ik + a kj -0.5.所以对于任意的i ,j ∈

N ,有

∩n

k =1

(

a ik

+ a kj -0.5)≠Φ.

若对于任意的i ,j ∈N ,有∩n

k =1

(

a ik

+ a kj -0.5)

≠Φ,则不妨令

∩n k =1

(

a ik

+ a kj -0.5)=[b -ij ,b +

ij

]=b ij .

显然有max k

(l ik +l kj -0.5)≤b -ij ≤b +

ij ≤min k

(u ik +

u kj -0.5).因此,根据定理4,区间数互补判断矩阵 A 具有一致性.□

另外,当区间数互补判断矩阵不具有一致性时,可由下面的定义判别它是否具有满意一致性.

定义8　称区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n

具有满意一致性,若区间数互补判断矩阵 C =( c ij )n ×n ( c ij =[l ij -p ij ,u ij +p ij ])具有一致性,其中p ij 为决策的容许偏差.

此定义涉及到p ij 的设置问题.若p ij 较大,则使得原有区间数判断矩阵所表达的优先信息变得更加模糊;较小又可能使得扩大后的区间数判断矩阵不具有一致性信息.所以不妨考虑在区间数互补判断矩阵中是否具有满意一致性的实数互补判断矩阵.

定义9　称区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n

具有满意一致性,如果存在实数判断矩阵A =(a ij )n ×n (a ij ∈[l ij ,u ij ],i ,j ∈N )具有满意一致性.

为了给出区间数互补判断矩阵的满意一致性判别方法,下面首先给出实数互补判断矩阵的一致性指标.

设A =(a ij )n ×n 是一个一致性实数互补判断矩阵,则根据引理1,存在向量w =(w 1,w 2,…,w n )T 使得对于任意的i ,j ∈N ,有a ij =0.5(1+w i -w j ).根据引理3和引理4,通过式(1)实数判断矩阵 A 转换为一致性实数互反判断矩阵 B =( b ij )n ×n ,其

中 b ij =92 a ij -1=q w i -

w j .由引理2,存在向量 v =( v 1,

v 2,…, v n )T

使得 b ij = v i / v j ,i ,j ∈N.所以 v i / v j =9

w i - w j

.故

GCI =

2

(n -1)(n -2)

∑i

(log

b ij

-log v i / v j )

2

=2

(n -1)(n -2)

∑i

(log9

2 a ij -1

-log9

w i - w j

)2=

2

(n -1)(n -2)

∑

i

[log9?(2 a ij

-1)-

log 9?( w i - w j )]2=2log 29

(n -1)(n -2)

∑i

(2

a ij

- w i + w j -1)2

.

因此,可以定义实数互补判断矩阵的一致性指标为

C GCI =

2(n -1)(n -2)∑i

(2 a ij - w i + w j -1)2. 根据实数互反判断矩阵一致性指标GCI 的临界值,可以求得实数互补判断矩阵的一致性指标C GCI 的临界值,如表2所示.

表2　互补判断矩阵的一致性指标CG CI 的临界值

CR 0.010.050.10.15CGCI (n =3)0.03450.17270.34860.5184CGCI (n =4)0.0387

0.1936

0.3872

0.5808

CGCI (n >4)

～0.0345～0.2032～0.4063～0.6095

根据实数互补判断矩阵的一致性指标,有下面

的定理:

定理6　区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n 具有满意一致性的充要条件集合T w 非空,其中

T w ={w |2(n -1)(n -2)∑i

(2a ij -w i +w j -1)

2≤δ}.

式中:l ij ≤a ij ≤u ij ,i

∑n

i =1

w

i

=1;w i ≥0,i ,j ∈

N ;δ为互补判断矩阵一致性指标C GCI 的临界值.

证明过程类似于定理3,不再赘述.

定理7　对于区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n ,设

T 3

w ={w |2(n -1)(n -2)∑i >j

(2a ij -w i +w j -1)

2

≤δ}.

其中:l ij ≤w ij ≤u ij ,i

∑n i =1

w

i

=1;w i ≥0,i ,j

∈N.则有T 3

w =T w .

证明　若T w 非空,则存在a ij (i

l ij ≤a ij ≤u ij ;

∑n

i =1

w

i

=1,w i ≥0,i ∈N.

并使得如下不等式成立:

2(n -1)(n -2)∑i

(2a ij -w i +w j -1)

2

≤δ. 令a ji =1-a ij ,则由区间数互补判断矩阵的定义知,l ji ≤a ji ≤u ji .所以有

2(n -1)(n -2)∑i >j

(2a ij -w i +w j -1)2=6

27

第5期

钱钢等:区间数互补判断矩阵的一致性

2

(n -1)(n -2)

∑

i

(2a ji -w j +w i -1)2=

2

(n -1)(n -2)

∑i

(-2a ji +w j -w i +1)2=

2

(n -1)(n -2)

∑

i

(2a ij -w i +w j -1)2≤δ,

即w ∈T 3w .因此,若T w 非空,则T w

w .同理可证若T 3w 非空,则T 3w

如果T w (或T 3w

)是空集,那么T 3

w (或T w )也是空集;否则,与上面的结论矛盾.因此,T 3

w =T w .□

定理7表明,判别区间数互补判断矩阵是否具有满意一致性,只需对判断矩阵的上三角或下三角进行判断就可以了.

对于区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n ,要检验其是否具有满意一致性,可根据定理6,需判断集合T w 是否非空,即可以建立下面的规划(Q P )模型:

min CGCI =

2(n -1)(n -2)∑i

(2a ij -w i +w j -1)2

.

s.t.l ij ≤a ij ≤u ij ,i

∑n

i =1

w i =1;

w i ≥0,i ∈N.

定理8　设区间数互补判断矩阵 A =( a ij )n ×n ,Q P 模型的目标函数的最优值是C GCI 3

,则:

1) A 具有一致性的充要条件是CGCI

3=0;

2) A 具有满意一致性的充要条件是CGCI 3

≤δ.证明　根据定理6易证2)成立.下面只证明1)成立.

若C GCI 3=0,则存在a ij =0.5(1+w i -w j ),i

N ;

∑

n

i =1

w i =1;w i ≥0,i ∈N.当i >j 时,令a ij =1

-a ji =1-0.5(1+w j -w i )=0.5(1+w i -w j ),

则由区间数判断矩阵的定义知,l ij ≤a ij ≤u ij .显然,当i =j 时a ij =0.5.因此,区间数互补判断矩阵 A 具有一致性.

若 A 具有一致性,则存在向量w =(w 1,w 2,…,

w n )T

,使得a ij =0.5(1+w i -w j ),i ,j ∈N ,其中w i

≥0,i ∈N ,且

∑

n

i =1

w i =1.即存在满足Q P 模型约束

条件的a ij ,w i ,i ,j ∈N ,使得C GCI 3=0.□

定理8表明,Q P 模型不但可以用来判别区间数互补判断矩阵是否具有满意一致性,而且还可以判别是否具有一致性.

4　算例分析

文献[9]求解出了区间数互补判断矩阵 A 的排

序向量,但没有进行一致性检验,无法衡量决策者给出的判断矩阵是否合理.下面首先验证其是否具有一致性.

A =

0.5[0.2,0.4]

[0.3,0.6][0.5,0.

7][0.6,0.8]0.5[0.7,0.9]

[0.7,0.9][0.4,0.7][0.1,0.3]0.5[0.7,0.8]

[0.3,0.5]

[0.2,0.4]

[0.2,0.3]

0.5

.

方法1　利用式(2)进行验证,结果见表3.方法2　利用式(4)进行验证,结果如下:

∩4k =1

a

1k

+a k 2-0.5=

[0.2,0.4]∩[0.2,0.4]∩[-0.1,0.4]∩[0.2,0.6]=[0.2,0.4],

∩4

k =1

a

1k

+a k 3-0.5=

[0.3,0.6]∩[0.4,0.8]∩[0.3,0.6]∩[0.2,0.5]=[0.4,0.5],

∩4

k =1

a

1k

+a k 4-0.5=

[0.5,0.7]∩[0.3,0.7]∩[0.5,0.9]∩[0.5,0.7]=[0.5,0.7],

∩4

k =1

a

2k

+a k 3-0.5=

[0.4,0.9]∩[0.7,0.9]∩[0.7,0.9]∩[0.3,0.6]=Φ,

∩4

k =1

a

2k

+a k 4-0.5=

[0.6,1.0]∩[0.6,0.8]∩[0.9,1.2]∩[0.6,0.8]=Φ,

∩4

k =1

a

3k

+a k 4-0.5=

[0.4,0.9]∩[0.2,0.6]∩[0.7,0.8]∩[0.7,0.8]=Φ.

从上面的式子可以看出,区间数互补判断矩阵

A 不满足式(5),因而 A 不具有一致性.

方法3　设区间数互补判断矩阵一致性指标C GCI 的临界值δ=0.038657.将数据代入Q P 模型,解得C GCI 3=0.004706<0.038657,也说明区间数互补判断矩阵 A 不具有一致性,但具有满意一致性.

7

27

控 制 与 决 策第24卷

表3　一致性检验

判别元素i j k l ik+l kj-0.5u ik+u kj-0.5Consistency test

a121

1

1

2

2

2

1

3

4

0.2

-0.1

0.2

0.4

0.4

0.6

max l ik+l kj-0.5=0.2

min u ik+u kj-0.5=0.4

passed

a131

1

1

3

3

3

1

2

4

0.3

0.4

0.2

0.6

0.8

0.5

max l ik+l kj-0.5=0.4

min u ik+u kj-0.5=0.5

passed

a141

1

1

4

4

4

1

2

3

0.5

0.3

0.5

0.7

0.7

0.9

max l ik+l kj-0.5=0.5

min u ik+u kj-0.5=0.7

passed

a232

2

2

3

3

3

1

2

4

0.4

0.7

0.3

0.9

0.9

0.6

max l ik+l kj-0.5=0.7

min u ik+u kj-0.5=0.6

failed

a242

2

2

4

4

4

1

2

3

0.6

0.6

0.9

1.0

0.8

1.2

max l ik+l kj-0.5=0.9

min u ik+u kj-0.5=0.8

failed

a343

3

3

4

4

4

1

2

3

0.4

0.2

0.7

0.9

0.6

0.5

max l ik+l kj-0.5=0.7

min u ik+u kj-0.5=0.5

failed

注　当k=i和k=j时,结果是相同的,所以在表中只列出了k=i的情况.

5　结 论

在利用判断矩阵进行求解排序向量前,应首先进行一致性检验,判别其是否合理.目前国内外学者关于区间数互补判断矩阵的一致性问题的研究较少.为此,本文对其进行了深入研究,提出了区间数互补判断矩阵的完全一致性、强一致性、一致性以及满意一致性定义,并讨论了它们之间的关系,具有一定的理论意义.所给出的区间数互补判断矩阵强一致、一致和满意一致的判别方法,为判定决策者给出的偏好信息是否合理提供了解决途径.对于满足不同一致性的区间数互补判断矩阵,如何选用合理的排序方法,还有待于进一步研究.

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337

层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序

function [w,CR]=mycom(A,m,RI) [x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r)); max_lumda_A=lumda(n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 当CR<0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。 下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。

一.层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP，在20世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯·塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 二.层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 （1）层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 （2）层次分析法的步骤 a)建立系统的递阶层次结构； b)构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） c)针对某一个标准，计算各备选元素的权重； d)计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 e)进行一致性检验。 小结：层次分析法的思路与步骤如图

区间数互补判断矩阵的一致性

第24卷第5期 Vol.24No.5 控　制　与　决　策 Cont rol an d Decision 2009年5月 May 2009 收稿日期:2008205220;修回日期:2008209224. 基金项目:国家自然科学基金项目(70571087);南京师范大学科研启动基金项目(2008101XGQ0109). 作者简介:钱钢(1965—),男,江苏常州人,教授,从事决策分析与优化、信息化战略规划与项目管理等研究; 冯向前(1977—),男,山西晋城人,讲师,博士,从事系统工程、多属性决策理论与方法等研究. 文章编号:100120920(2009)0520723206 区间数互补判断矩阵的一致性 钱　钢1,冯向前1,徐泽水2 (1.南京师范大学管理科学与工程研究所,南京210097;2.解放军理工大学理学院,南京211101) 摘　要:研究了区间数互补判断矩阵的一致性;定义了区间数互补判断矩阵的完全一致性、强一致性、一致性和满意一致性的概念;讨论了定义之间的关系;给出了强一致性判别方法以及3种一致性和满意一致性的判别方法.最后用算例验证了所提出方法的有效性和适用性. 关键词:不确定层次分析法;区间数;互补判断矩阵;一致性中图分类号:C934;O223 文献标识码:A Consistency of interval complementary comparison m atrix Q I A N Gang 1 ,F EN G X i an g 2qi an 1 ,X U Ze 2shui 2 (1.Insititution of Management Science and Engineering ,Nanjing Normal University ,Nanjing 210097,China ;2.Institute of Science ,PL A University of Science and Technology ,Nanjing 211101,China.Correspondent :Q IAN Gang ,E 2mail :qian —gang @https://www.doczj.com/doc/1a14111861.html, ) Abstract :The consistency problem of the interval complementary comparison matrix is studied in this paper.Some conceptions concerning the consistency of interval complementary comparison matrix including perfect consistency ,strong consistency ,consistency and satisfactory consistency are defined ,and the relations between these definitions are discussed.A method for testing strong consistency ,three methods for testing consistency and a method for testing satisfactory consistency are proposed.Finally ,a numerical example illustrates the effectiveness and practicality of the proposed methods. K ey w ords :Uncertain type of the analytical hierarchy process ;Interval numbers ;Complementary matrix ;Consistency 1　引 言 多属性决策是现代社会经常遇到的一类决策问 题.层次分析方法[1]因其有效、实用的特点而成为多属性决策分析的主要方法之一.它的基本思路是,通过元素之间两两比较建立判断矩阵,并对其进行综合处理.在实际的决策过程中,由于客观事物的复杂性以及人们的思维能力、知识结构和知识水平的局限性,决策者对方案进行两两比较时通常用模糊数或区间数给出自己的判断,从而使传统的层次分析法扩展为不确定层次分析法. 从元素的表示方式看,区间数判断矩阵有两种类型:区间数互反判断矩阵[327]和区间数互补判断矩阵[729].目前有关区间数互反判断矩阵的研究已经比较完善,而关于区间数互补判断矩阵的研究,由于现有文献对其一致性理论的研究较少,使得众多的排序方法缺乏理论依据.针对这个问题,周礼刚等[7]从 区间数互补判断矩阵的定义出发,给出了一致性定义,但若一个区间数互补判断矩阵满足此定义,它将退化为普通的实数矩阵,因此此定义不合理;巩在武等[9]借助区间数互反与互补判断矩阵之间的转换公式及区间数互反判断矩阵的完全一致性定义,给出了区间数互补判断矩阵一致性定义,但此定义给出的条件太强,决策者给出的区间数互补判断矩阵几乎都不能满足此条件,所以无法衡量决策者给出的判断信息是否合理.徐泽水和朱建军等[10,11]基于权重可行域的思想,给出了区间数互补判断矩阵的一致性定义.本文则从区间数互补判断矩阵的定义出发,对其一致性进行了系统深入的研究,给出了区间数互补判断矩阵完全一致性、强一致性、一致性和满意一致性定义,讨论了这些定义之间的关系,给出了相应的判别方法,并用算例进行了验证. 2　预备知识

AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法

系统工程理论与实践 SYSTEMS ENGINEERING----THEORY & PRACTICE 2000　Vol.20　No.2　P.122-125 AHP中判断矩阵一致性改进的一种新方法 李梅霞 摘要:　通过分析诱导矩阵与判断矩阵不一致性的关系，提 出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法。 关键词:　诱导矩阵； 一致性； 和积法 中图分类号:　O223 A New Method for Improving the Consistency of the Comparis on Matrix in AHP LI Mei-xia (Changwei Teachers College, Weifang 261043) Abstract:　In this paper, a new method for improv ing the consistency of comparison matrix was presented by analyzing the relatio nship between the induced matrix and the inconsistency of comparison matrix. Keywords:　induced matrix; consistency; ANC 1　引言 T.L. Saaty于70年代提出的层次分析法(AHP)为解决多目标决策问题提供了很大的方便，在 社 会、经济、管理中得到了广泛应用。其关键步骤是由专家给出判断矩阵，然后计算排序向量 。因此专家给出的判断矩阵是否能具有满意的 一致性是一个很重要的问题。它直接影响到由此判断矩阵得到的排序向量是否能真实地反映 各比较方案之间的客观排序。因此，对判断矩阵一致性的改进是AHP中一个很重要的内容。 文献［1～3］中提出了几种一致性改进的方法，取得了一定的效果。但是有些方法比较复 杂，有些方法缺乏一定的理论依据，因此寻求一种更好的改进判断矩阵一致性的方法仍具有 重要意义。本文首先定义了一种特殊的矩阵——诱导矩阵，然后通过分析诱导矩阵与判断矩 阵不一致性的关系，提出了一种新的改进判断矩阵一致性的方法。通过多例验证，该方法简 单有效且符合实际。 2　问题的提出 为以后叙述方便，记Ω={1,2,…,n}。 设A=(a ij)n× n为判断矩阵，若其元素满足a ij>0, a ji=1/a ij, a ii=1, i,j∈Ω,则称A为正互反矩阵。若此正互反矩阵又满足a ij=a ik/a jk, i, j, k∈Ω， 则称A为完全一致性矩阵。一般情况下，专家给出 的判断矩阵 很难满足完全一致性条件。文献［4］中指出当时即认为A具有满意的一致性。因此当专家给出的判断矩阵不具有满意一致 性时，可通过征求专家意见，应用合理的方法对判断矩阵的元素进行适当调整，从而使判 断矩阵达到满意的一致性。 文献［5］中指出，“和积法”是一种比较好的计算判断矩阵排序向量的方法。其步骤为 ：设

模糊层次分析法

模糊层次分析法理论基础 FAHP及计算过程层次分析法(AHP)是20世纪70年代美国运筹学家T.L. Saaty教授提出的一种定性与定量相结合的系统分析方法,该方法对于量化评价指标,选择最优方案提供了依据,并得到了广泛的应用。然而, AHP存在如下方面的缺陷:检验判断矩阵是否一致非常困难,且检验判断矩阵是否具有一致性的标准CR < 0. 1缺乏科学依据;判断矩阵的一致性与人类思维的一致性有显著差异。为此,本文结合模糊数学理论,首先介绍了模糊层次分析法(Fuzzy - AHP) FAHP ,然后用FAHP对公共场所安全性指标权重进行了处理。 1. 1 模糊一致矩阵及有关概念[4 ,5 ] 1. 1. 1 定义1. 1 设矩阵R = ( rij) n×n ,若满足: 0 ≤( rij) ≤ 1 , ( i = 1 ,2 , ……n , j = 1 ,2 , ……n)，则称R 为模糊矩阵 1. 1. 2 定义1. 2 若模糊矩阵R = ( rij) n×n ,若满足: Πi , j , k 有rij= rik - rij + 0. 5 ,则称模糊矩阵R 为模糊一致矩阵。 1. 1. 3 定理1. 1 设模糊矩阵R = ( rij) n×n是模糊一致矩阵,则有 (1) Πi ( i = 1 ,2 , …n) ,则rij = 0. 5 ; (2) Πi , j ( i = 1 ,2 , …n , j = 1 ,2 , …n) ,有rij + rji= 1 ; (3) R 的第i 行和第i 列元素之和为n ; (4)从R 中划掉任一行及其对应列所得的矩阵仍然是模糊一致矩阵; (5) R 满足中分传递性,即当λ≥0. 5 时,若rij≥λ, rjk ≥λ,则rij ≥λ;当λ≤0. 5 时,若rij ≤λ, rjk ≤λ,则rij ≤λ。(证明见文献1) 。 1. 1. 4 定理1. 2 模糊矩阵R = ( rij) n×n是模糊一致矩阵的充要条件是任意指定行和其余各行对应元素之差是一个常数。 1. 1. 5 定理1. 3 如果对模糊互补矩阵 F = ( f ij) n×n按行求和,记为ri = 6nk = 1f ik ( i = 1 ,2 , …, n) ,并施之如下数学变换:rij =ri - rj2 m + 0. 5 (1)，则由此建立的矩阵是模糊一致的。 1. 2 模糊一致判断矩阵的建立 模糊一致判断矩阵的建立R 表是针对上一层某元素,本层次与之有关元素之间相对重要性的比较,假定上一层次元素T 同下一层次元素a1 , a2 ,…, an 有关系,则模糊一致判断矩阵可表示为: rij的实际意义是:元素ai 和元素aj 相对于元素T 进行比较时, ai 和aj 具有模糊关系“…比…重要得多”的隶属度,表1采用0. 1～0. 9 数量标度来说明其模糊关系。

层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序(20210228092245)

function [w,CR]=mycom(A z m z RI) [x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r)); max_lumda_A=1umda(n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 木matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行一致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 RI值 当CR<0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。下而是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。

一?层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process）简称AHP,在20 世纪70 年代中期由美国运筹学家托马斯?塞蒂（T.L.Saaty）正式提出。它是一种 定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用己遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 二?层次分析法的基木思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 （1）层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重"是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W,归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 （2）层次分析法的步骤 a）建立系统的递阶层次结构； b）构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵） c）针对某一个标准，计算各备选元素的权重; d）计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 e）进行一致性检验。 小结：层次分析法的思路与步骤如图

残缺互补判断矩阵及matlab应用

残缺互补判断矩阵及matlab 应用 决策者有时可能出现对某些比较判断缺少把握、不感兴趣，或者对某些比较敏感的问题不想发表意见，而且当n 比较大时，n(n -1)/2次判断的工作量太大，有必要研究不完全信息的模糊互补判断矩阵（残缺互补判断矩阵）。 概念： 设判断矩阵()?=ij n n C c ，其中既含有残缺元素又含有非残缺元素，且非残缺元素满足+1=ij ji c c ，0.5=ii c ，0≥ij c ，则称C 为残缺互补判断矩阵。对于残缺互补判断矩阵C 中的残缺元素暂用未知数x 表示，相应的残缺元素用1-x 表示。 当残缺互补判断矩阵C 是加型一致性残缺互补判断矩阵，有=0.5(-+1)ωωij i j c 。构造 一个辅助矩阵()?=&&ij n n c C ，其元素为,0.5(-+1) ωω≠?=?=?&ij ij ij i j ij c c x c c x 实例： 有一加型残缺互补判断矩阵 0.50.40.60.50.710.30.5????=????-?? x x C 其辅助矩阵为： 13310.50.40.5(-+1)0.60.50.70.5(-+1)0.30.5ωωωω????=?????? C ， 利用行和归一化公式，可以得到方程组，12 =,2ω=∈∑&n ij j i c i N n ，展开后，得到线性方程组 13123130.50.40.5(-+1)4.50.60.50.74.50.5(-+1)0.30.54.5ωωωωωωω++?=??++?=??++?=?? matlab 程序如下： function F=objfun(x,p) F=[4*x(1)+0.5*x(3)-1.4;

层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序

fun cti on [w,CR]=mycom(A,m,RI) [x,lumda]二eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=fin d(r==max(r)); max_lumda_A=lumda( n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行 致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 RI值 当CRV0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。

一?层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process ）简称AHP，在20 世纪70年代中期由美国运筹学家托马斯塞蒂（「L.Saaty ）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的决策问题上的实用性和有效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。 二?层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 （1）层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量 描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所对应的特征向量W，归一化后，即为某一层次指标对于上一层次某相关指标的相对重要性权值。 （2）层次分析法的步骤 a）建立系统的递阶层次结构； b）构造两两比较判断矩阵；（正互反矩阵）

一种检验判断矩阵一致性的偏差矩阵方法(1)

收稿日期:2006-10-12 作者简介:王万军(1974-),男,甘肃天水人,讲师. 文章编号:1006-4869(2007)01-0063-02一种检验判断矩阵一致性的偏差矩阵方法 王万军 (甘肃联合大学数学与信息科学学院,甘肃兰州730000) 摘 要:提出了一种适合层次分析法中一致性检验的偏差矩阵方法,该方法无需进行复杂的数学运算,只需根据判断矩阵的偏差矩阵即可进行检验.通过实例分析,证明是一种有效实用的方法. 关键词:判断矩阵;偏差矩阵;一致性检验 中图分类号:O223 文献标识码:A A D ev iation Matrix Meth od for C h eck ing the C onsistency of Judg emen t Matrix WANG Wan jun (Mathematics and Information Colle ge,Gansu Association University,Lanzhou 730000,China) Abstract:A deviation matrix method of the consistency check in AHP is given.According to deviation matrix of judgement matrix,it can carry out the consistency check without complex mathematical calculation.Examples show that the ne w method is effective,practical and convenient. Key words:judgement matrix;de viation matrix;consistency check 1977年Saaty T L 提出了层次分析法(AHP)[1,2],它是一种实用的多准则决策方法,该方法广泛地应用在各行业的决策分析中.众所周知,AHP 中最关键的是如何建立较为准确有效的判断矩阵,但常因为两元素比较产生逆序出现一致性较差或总排序权重数较小而难以比较,特别地当待评指标较多时更易出现此情况.由于决策者认识的多样性和客观事物的复杂性,各决策者对决策对象有不同的偏好,从而给出的决策判断矩阵,并不能与实际相吻合得很好,因此要对AHP 进行一致性的检验和必要的校正.对此文献[3-4]进行了较多地研究,但还是比较复杂.本文通过改进的方法,给出了一种构造判断矩阵的偏差矩阵判断方法,该方法更加直观、准确地判断矩阵的一致性,弥补了以往检验中存在的以下几点不足:第一,AHP 中一致性比例C R 应小于0.1的规定缺乏必要的理论根据,并且矩阵阶数越高,这一满足性就越难达到;第二,一致性比例的计算要用到判断矩阵的特征根,其求解较困难,并且对于一个不具有满意一致性的判断矩阵求特征根是一种浪费.本文提出的方法克服了以上不足,通过实例与已有的AHP 计算结果相比较发现该方法既简洁又有效,是一种实用的一致性检验方法. 1 一致性概念及其检验方法 定义1 判断矩阵A =(a ij )n n ,若对 i,j N ,有a ii =1,a i j =1/a ij ,则称A 为互反矩阵. 定义2 若判断矩阵A =(a i j )n n 为互反阵,如果a i j >0,则称A 为正互反矩阵. 定义3 若判断矩阵A =(a i j )n n 为正互反矩阵,对 i,j ,k N ,如果满足a ij a jk =a jk ,则称A 为完全一致性矩阵. 第26卷 第1期 2007年2月 南昌工程学院学报Journal of Nanchang Ins titute of Technology Vol.26 No.1Feb.2007

随机一致性指标

随机一致性指标求解 （一）实验目的： 1）掌握用matlab求解随机一致性指标的方法 2）加深对随机一致性指标概念的理解 （二）实验内容： 用matlab或C++编写程序分别计算n=2-30时的n阶矩阵的随机一致性检验指标的值RI。为保证随机性，要求每阶创造1000个矩阵。 （三）实验原理及分析： 层次分析发建模问题中，需要用到对矩阵A的一致性检验，然而对于一般的问题，尤其当考虑实际因素比较多时，很难保证判断矩阵A为一致矩阵，因此在计算矩阵A的最大特征值’max之时，需要检验矩阵A的一致程度。 令： 称CI为一致性指标。显然CI=0是矩阵A为一致矩阵的必要条件。可以看出CI 值越大，A的不一致程度越严重。 但是对于一个具体的矩阵来书，很难说其一致性指标CI到底 是很大还是很小，Saaty针对上述定义的不严格性，提出了用随机一致性指标RI来检验判断矩阵A是否具有满意的一致性。 RI是按照下面的方式选取的： 对于固定的n,随机构造正互反矩阵A'，他的元素a j'是从1~9 及其倒数中随机选取的，因此A'的一致性一般都是很差的，取充分大的子样儿得到A'最大特征值的平均值k，定义：

CR 称为随机一致性比率。RI 称为随机一致性指标。当 CRvO.1时, 一般认为矩 阵A 的不一致程度再容许范围之内，可以用其特征向量 作为权向量。 （四）问题求解: 根据以上原理分析可得随机一致性指标值 RI 的求解方法，结 合题目要求，求解如下： 1、求RI 的函数流程图: if n<=0, error( 'n 必须为正数’);求1000个矩阵的最 end if n==0 || n==1, RI=0; return ; end % 初始化 times=1000; scaler=[9 8 7 6 5 4 3 2 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9]; A=zeros (n); lamda=zeros(times,1); ------------------------ % 产生1000组随机正互反矩阵 for num=1:times ran k=ceil(17*ra nd( n)); % 产生一组n 阶正互反矩阵 for i=1:n for j=i:n A(i,j)=scaler(ra nk(i,j)); A(j,i)=1/A(i,j); A(i,i)=1; end end rige nvector=eig(A); %求最大特征值 lamda( nu m)=max(rige nvector); %求 1000组最大特征值平均值 end lamda_average=sum(lamda)/times; RI=(lamda_average-n)/(n-1); %求RI 的值 2、求n=2~30的随机一致性指标值 编写程序： for n=2:30 RI( n)=ri( n); RI( n) End 执行结果如下： ans = 0 ans = 代码如下: 构造1000个n 阶随 机正互反矩阵A'（元 fun ctio n RI=ri( n) % 定义函数 素0~9及其倒数） 大特征值的平均值k 计算RI 的值:

层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序(20210228092109)

function [w f CR]=mycom(A,m z RI) [x,lumda]=eig(A); r=abs(sum(lumda)); n=find(r==max(r)); max_lumda_A=1umda(n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 木matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给岀的权值己经进行一致性检验。 其中A为判断矩阵，不同的标度和评定A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 RI值 当CR<0.1时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。 下而是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。

一.层次分析法的含义 层次分析法(The analytic hierarchy process)简称AHP,在20 世纪 70年代中期由美国运筹学家托马斯?塞蒂(T.L.Saaty)正式提出。它 是一种------------ 定性和定量相结合的、系统化、层次化的分析 方法。由于它在处理复朵的决策问题上的实用性和有效性，很快在世 界范围得到重视。它的应用——己遍及经济计划和管理、能源政策 和分配、行为科学、军事指挥、运输、 ----------- 农业、教育、人 才、医疗和环境等领域。 二.层次分析法的基木思路与人对一个复杂的决策问题的思维、判断过程大体上是一样的。 (1)层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后得用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重, 最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。这里所谓“优先权重”是一种相对的量度，它表明各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大

层次分析法判断矩阵求权值以及一致性检验程序

fun cti on [w,CR]二mycom(A,m,RI) [x,lumda]二eig(A); r=abs(sum(lumda)); n二fin d(r==max(r)); max_lumda_A=lumda( n,n); max_x_A=x(:,n); w=A/sum(A); CR=(max_lumda_A-m)/(m-1)/RI; end 本matlab程序用于层次分析法中计算判断矩阵给出的权值已经进行致性检验。其中A为判断矩阵，不同的标度和评定 A将不同。 m为A的维数 RI为判断矩阵的平均随机一致性指标：根据m的不同值不同。 RI值 当CRv时符合一致性检验，判断矩阵构造合理。下面是层次分析法的简介，以及判断矩阵构造方法。

一. 层次分析法的含义 层次分析法（The analytic hierarchy process ）简称 AHP,在 20 世纪 70 年代中期由美国运筹学家 （）正式提出。它是一种定性和定量相结合的、 系统化、层次化的分析方法。由于它在处理复杂的问题上的实用性和有 效性，很快在世界范围得到重视。它的应用已遍及经济和、能源政策和 分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等 领域。 二. 层次分析法的基本思路与人对一个复杂的决策问题的思维、 判断过程 大体上是一样的。 （ 1） 层次分析法的原理 层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的 备投方案的顺序分解为不同的层次结构， 然后得用求解判断矩阵特征向 量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后 再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重， 此最终权重 最大者即为最优方案。这里所谓 “优先权重 ”是一种相对的量度，它表明 各备择方案在某一特点的评价准则或子目标，标下优越程度的相对量 度，以及各子目标对上一层目标而言重要程度的相对量度。层次分析法 比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统， 而且目标值又难于定量 描述的决策问题。其用法是构造判断矩阵，求出其最大特征值。及其所 对应的特征向量 W ，归一化后， 即为某一层次指标对于上一层次某相关 指标的相对重要性权值。 2） 层次分析法的步骤 建立系统的递阶层次结构； 构造两两比较判断矩阵； （正互反矩阵） 针对某一个标准，计算各备选元素的权重； 计算当前一层元素关于总目标的排序权重。 进行一致性检验。 小结：层次分析法的思路与步骤如图 a) b) c) d) e)

层次分析法一致性检验

层次分析法一致性检验 第１９卷 第２期 内蒙古民族大学学报（然科学版）自 ＪｕｎｏｎｅｎｏｉＵｎｖｒｉｒＮａｉａｉｅ ｏｒ￣ｆＩｎｒＭｏｇｌｉｅｓｙｆｔｎｌｉａ ｔｏｏｔｓ Ｖ０．９Ｎｏ．１１２ Ａｐ．２０ｒ０４ ２００４年４月 层次分析法中残缺判断矩阵的一致性比例检验 法 阮民荣 （西南宁地区教育学院数学系，西南宁广广５００）３０１ 摘 要：首先阐明了检验残缺判断矩阵的传统一致性比例检验法， 然后提出了适用于残缺判断矩阵的一致性 比例检验新方法一残缺判断矩阵的一致性比例检验 法． 关键词：残缺判断矩阵；平均随机一致性指标；一致性指标；一致性检验

中图分类号：２３文献标识码：Ａ文章编￣：６１Ｏ８ｌｏ４ｏ—１９０＇７一１５２ｏ）２０３—３１ ＡｎｉｔｎｙＰｒｐｒｉｎｌＣｈｃｉｇＭｅｈｄｆｒＩｃｍｐｅｅＣｏｓｓｅｃｏｏｔｏ ａｅｋｎｔｏｏｎｏｌｔ ＣｏｐｒｓｎＭａｒｃｓｉｈａｙｉｉｒｒｈｏｅｓｍａｉｏｔｉｅｎｔｅＡｎｌｔｃ ＨｅａｃｙＰｒｃｓ ＲＵＡＮｉ—ｏｇＭｎ—ｒｎ （ｐｒｍｅｔｆｔｅｔｓＮｎｉｇＰｅｅｔｒｄ ｃｔｎｌｏｅｅＮａｎｎ３０１Ｃｈｎ）Ｄｅａｔｎｈｍａｉ，ａｎｎｒｆｃｕｅＥｕａｉａＣＨｇ，ｎｉｇ５００，ｉｏＭａｃｏａ ＡｂｔａｔＡｒｄｔｏａｏｓｓｅｃｈｃｉｇｍｅｈｄｏｈｃｉｇｔｅｉｃｍｐｅｅｃｍｐｒｓ ｎｍａｒｘｓｒｃ：ｔａｉｎｌｎｉｔｎｙｃｅｋｎｔｏｆｃｅｋｎｈｎｉｃｏｌｔｏａｉｏｔｉｉｒｓｎｅＴｈｎ，ｎａｐｏｃｆｉｒｖｎｈｓｍｅｈｄｉｇｖｎ—ｔｅｃｎｉｔｎｙｐｏｏｔｎｓｐｅｅｔｄ．ｅａｐｒａｈｏｍｐｏｉｇｔｉｔｏｓｉｅｈｏｓｅｃｒｐｒｉｓ

ｏｃｅｋｎｔｏｏｃｍｐｅｅｃｍｐｉｎｍａ ｒｘ．ｈｉｇｍｅｈｆｒｉｏｌｔｏａｓｔｉｃ ｄｎｏ ＫｅｒｓＩｃｍｐｅｅｃｍｐｒｓｎｍａｒｘ；ｅａｅｒｄｍｏｓｓｅｃｃｌ；ｏｓｓｅｃｃｌ；ｙｗｏｄ：ｎｏｌｔｏａｉｏ ｔｉＡｖｒｇａｏｃｎｉｔｎｙｓａｅＣｎｉｔｎｙｓａｅｎ ｏｓｓｅｃｈＣｎｉｔｎｙｃｅｋｎｃｉｇ 应用（｛）Ｉ…进行决策的关键是填写两两比较的判断矩阵，）但在实际中经常会出现决策者对一些判断矩阵缺少把握，不感兴趣，或对某些敏感的问题不想发表意见的情况，这种情况是可以允许的，这时得到的判断矩阵称之为残缺判断矩阵．目前，对残缺判断矩阵的研究取得了一些成果［８，２］其中文献［－５均提出了处理残缺判断矩阵的方法，－２）文献（，］６７涉及残缺判断矩阵的排序问题，文献［３８关于残缺判断矩阵的应用．显然一个判断矩阵的残缺程度对排序正确性是有明显影响的． 信息越少，排序的随意性越大．要能够进行排序，必须对残缺程度，及其位置有一些限制，也就是研究什么样的残缺矩阵是