概率统计讲义
一．近5年全国卷高考题回顾
1.（2012?新课标 第11题） 将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种
2.（2012?新课标 第18题）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，n ∈N ）的函数解析式．
日需求量n 14 15 16 17 18 19 20
频数 10 20 16 16 15 13 10 （i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；
（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．
（1）当时，
， 当
时，
，
得：()
*∈??
?≥≤-=N n n n n y 16
,8015
,8010
（2）（ⅰ）X 可取60，70，80。
，
X 的分布列为
，
。
（ⅱ）购进17枝时，当天的利润为76.4 > 76，从利润角度看，故应购进17枝。 而此时
，说明购17支在利润相差不大的情况下，其波动较大，故购16支也可。
3.（2013 新课标 第3题）为了解某地区中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理抽样方法是( ) A 、简单随机抽样
B 、按性别分层抽样
C 、按学段分层抽样
D 、系统抽样
4.（2013 新课标 第19题）.一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任
取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。如果n=3，再从这批产品中任取4件作
检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。 假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为
2
1
，且各件产品是否为优质品相互独立。
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。 （1）
；
（2）分布列如下所示，数学期望为506.25
5.（2014·新课标全国卷Ⅰ第5题）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（ ）
A .18
B .38
C .58
D .78
6.（2014·新课标全国卷Ⅰ第18题）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2
(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .
（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；
（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX . 附：150≈12.2.
若Z ～2
(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为
，
；
（2）（i）由（1）知，从而P(187.8 < Z <212.2) =P (200-12.2 < Z < 200+12.2)=0.6826；
（ii）由（i）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，
依题意得，
所以。
7.（2015新课标?第4题）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知
某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概
率为( )
（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312
8.（2015新课标?第19题）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣
传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对
近8年的年宣传费x i和年销售量y i（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散
（x i﹣）2（w i﹣）2（x i﹣）（y i﹣）（w i﹣）（y i﹣）46.6563 6.8289.8 1.61469108.8
表中w i=1，=
（1）根据散点图判断，y=a+bx与y=c+d x哪一个适宜作为
年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？（给出判断即
可，不必说明理由）
（2）根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（3）已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x．根据（2）的结果回答下列
问题：
（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ii）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据（u1 v1），（u2 v2）…..（u n v n），其回归线v=α+βu的斜率和截
距的最小二乘估计分别为：=，=﹣．
9.(2016新课标? 第4题)某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ） A.31 B.
21 C.32 D.4
3 10.（2016新课标? 第19题）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘
汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． （1）求X 的分布列；
（2）若要求P （X ≤n ）≥0.5，确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=19与n=20之中选其一，应选用哪个？
（1）由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8, 9,10,11的概率分别为
0.2,0.4,0.2,0.2. 从而：(16)0.20.20.04P X ==?=；
(17)20.20.40.16P X ==??=； (18)20.20.20.40.40.24P X ==??+?=； (19)20.20.220.40.20.24P X ==??+??=； (20)20.20.40.20.20.2P X ==??+?=；
(21)20.20.20.08P X ==??=； (22)0.20.20.04P X ==?=.
所以X 的分布列为：
（2）由（1）知,(18)0.44P X =≤,(19)0.68P X =≤,故的最小值为19. （3）记Y 表示2台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）. 当19=n 时，
192000.68(19200500)0.2EY =??+?+?+
(192002500)0.08(192003500)0.04?+??+?+??4040=.
当20n =时,
202000.88(20200500)0.08EY =??+?+?+(202002500)0.044080?+??=.
可知当19n =时所需费用的期望值小于20n =时所需费用的期望值,故应选19n =. 二．近5年全国卷高考题分值与考点剖析 从上表可以看出，近5年概率统计所考察的内容（1大1小17分） 1.试题特点
（1）选择填空：统计图表（茎叶图）、回归分析和概率的计算（古典概型与几何概型） （2）解答题：考查比较综合全面，设计知识面广,主要有抽样方法、统计图表（直方图）、
数字特征的估计，分布列与数学期望，独立性检验，正态分布的相关知识。
既有必修内容，又有选修内容，既有老教材内容，又有新增内容，且有机的糅合在一起，非常有新意，但难度并不大。
2.纵观2014年和2015年2016年的高考题对本热点的考查,可以发现概率和统计、统计案例相结合是高考命题的热点,在2012年高考中,结合实际问题将函数和概率问题巧妙结合在一起,新颖别致,但是题目难度不大,这也体现了“新题不难”的命题特点,主要考查生
活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法,以及生活中
最大利润的判断；2013年则是直接利用概率与统计的知识解决实际问题；2014年主要考查了频率分布直方图,正态分布的3 原则,二项分布的期望及回归分析.2015年分别考查了回归分析、茎叶图；2016年3套试卷分别考查了回归分析、分布列、期望的应用.这也体现了高考对新课标的新增内容的要求,试题难度不大,但是要求同学们对相关的基础
知识掌握必须准确. 从近几年的高考试题来看,频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差、分布列是高考的热点,题型既有选择题、填空题,又有解答题,客观题考查知识点较单一,解答题考查得较为全面,常常和概率、平均数等知识结合在一起,考查学生应用知识解决问题的能力．独立性检验、回归分析高考对此部分内容考查有加强趋势,主要是以考查独立性检验、回归分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来考查一些基本的统计思想,在高考中多为选择、填空题,也有解答题出现．根据这几年高考试题预测2017年高考,频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差,离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点,同时应注意和概率、平均数、分布列,期望,二项分布,正态分布等知识的结合,同时应注意独立性检验在实际生活中的应用,有可能涉及一道与独立检验有关的大题．
三.概率与统计常考题型及复习建议
1.掌握抽样方法、理解统计图表（频率分布直方图，频率分布表，频率分布折线图，茎叶图等），会利用数字特征估计总体。
2.掌握利用排列组合知识求等可能事件、互斥事件、独立事件的概率（文科降低难度，事件仅要求能数出来）。
3.概率统计与现实生活联系紧密，要关注与函数部分的应用题。加强学生的审题读题能力。
4.掌握随机变量的分布列和期望的求法。（注意正态分布的应用，二项分布与超几何分布的区别和联系）
5.让学生明白统计思想的本质，而不是把统计部分看成简单的运算。注意概率知识与统计知识等其它知识的联系。重视统计知识与算法的联系(如几何概型中的圆周率π的估计），未考到的内容要特别关注
四．典例精析
类型1. 纯概率应用题
1.某职称考试有A ，B 两门课程，每年每门课程均分别有一次考试机会，若某门课程上一年通过，则下一年不再参加该科考试，只要在连续两年内两门课程均通过就能获得该职称。某考生准备今年两门课程全部参加考试，预测每门课程今年通过的概率均为2
1
。若两门均没有通过，则明年每门课程通过的概率均为3
2
；若只有一门没过，则明年这门课程通过的概率为
4
3。 (1)求该考生两年内可获得该职称的概率；
(2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望。
解：（1）依题意，该考生两年内可获得该职称可能有以下三种情况： ①今年两门全部通过其概率为
②今年只有一门没过但明年通过其概率为
③今年两门均没有通过但明年通过其概率为 ……3分 该考生两年内可获得该职称的概率为 ……6分
（2）随机变量X 的取值可为2,3,4
的分布列为： X 2
3
4
P
41 21 4
1 ……10分 的数学期望（次） ………12分
2（2016.全国卷2）某种险的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： 上年度出险次数 0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下： 一年内出险次数
1
2
3
4
≥5
（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；
60的概率；（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出%
（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值。
（1）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故
（2）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故
又，故
因此所求概率为
(3) 平均保费
，
∴平均保费与基本保费比值为
3.有一种掷骰子移动棋子的游戏，分为A,B两方，开始时棋子在A方，根据下列(1)(2)(3)的规则移动棋子：(1)骰子出现1点时，不移动棋子；(2)骰子出现2,3,4,5点时，把骰子移动到对方；(3)骰子出现6点时，如果棋子在A方就不动，如果在B方，就移动到A方，记P n为骰子掷n次后棋子仍在A方的概率。
（1）求P1,P2的值；
（2）求数列{P n}的通项公式；
（3）求P n的最大值和最小值。
（1），
骰子掷2次后棋子仍在A方有两种情形：一是骰子掷1次后棋子在A方，二是掷一次后棋子在B方，故.
（2）骰子掷n次后棋子仍在A方有两种情形：一是骰子第n-1次后棋子在A方，二是骰子掷第n-1次后棋子在B方，故，即，
所以，
故数列是首项，公比为的等比数列，所以，
故.
（3）当n 为奇数时，单调递增，所以
，即
，
当n 为偶数时，单调递减，所以
，即
.
综上可知，的最大值和最小值分别为和.
类型2.离散型随机变量的分布列、均值（期望）与方差
1. 某单位要从甲、乙、丙、丁4支球队中选拔两支参加上级比赛，选拔赛采用单循环制（即每两个队比赛一场），并规定积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分。在经过3场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙队和丁队各积0分。
根据以往的比赛情况统计：
注：各队之间比赛结果相互独立。
（1）选拔赛结束，求乙队积4分的概率；
（2）设随机变量X 为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量X 的分布列和数学期望； （3）在目前的积分情况下，M 同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N 同学认为：乙队至少积5分才能确保出线。你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
解:(1)设乙队胜、平、负丙队为事件321,,A A A ,乙队胜、平、负丁队为事件321,,B B B .
则,;;
设乙队最后积4分为事件C,
则
(2)随机变量X 的可能取值为:7,5,4,3,2,1
;
； ;;
;
;
随机变量X的分布列为
(3)N同学的观点对,乙队至少积5分才可以出线.
当乙队积5分时,丙队或丁队的得分可能为4,3,2,1,乙队为小组第2出线; 当乙队积4分时,丙队或丁队均有可能为6分或4分,不能确保乙队出线.
①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；
②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．
所以X 的分布列为：
所以EX =0．9a ×1
6+0．8a ×1
12+0．7a ×1
12+a ×1
3+1．1a ×1
4+1．3a ×1
12=
119a 12
=
1130512
≈942．
（Ⅱ） ①由统计数据可知任意一辆该品牌车龄已满三年的二手车为事故车的概率为1
3，三
辆车中至多有一辆事故车的概率为P =(1?1
3
)3+C 31
13(2
3
)2=
2027
．
Y 为该销售商购进并销售一辆二手车的利润，Y 的可能取值为?5000，10000． 所以Y 的分布列为：
所以EY =?5000×1
3
+10000×2
3
=5000．
所以该销售商一次购进100辆该品牌车龄已满三年的二手车获得利润的期望值为100×EY =50万元．
类型3.与频率分布直方图和茎叶图相关
1.【2016年高考四川】我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用
水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照0,0.5)，0.5,1)，…，4,4.5)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a的值；
（2）（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
（1）由频率分布直方图知，月均用水量在0,0.5)中的频率为0.08×0.5=0.04，
同理，在0.5,1)，1.5,2)，2,2.5)，3,3.5)，3.5,4)，4,4.5)中的频率分别为0.08，0.20，0.26，0.06，0.04，0.02．
由0.04+0.08+0.5×a+0.20+0.26+0.5×a+0.06+0.04+0.02=1，
解得a=0.30．
2.下图为某市2017年2月28天的日空气质量指数折线图．
由中国空气质量在线监测分析平台提供的空气质量指数标准如下： 空气质量指
数
(0,50] (50,100]
(100,150] (150,200]
]300,200(
300以上 空气质量等
级
1级
优
2级良
3级轻度污染 4级中度污
染 5级重度污
染 6级严重污
染
黑矩形区域），并估算该市2月份空气质量指数监测数据的平均数（保留小数点后一位）；
（2）在该月份中任取两天，求空气质量至少有一天为优或良的概率； （3）如果该市对环境进行治理，治理后经统计，每天的空气质量指数近似满足)55,75(~2
N X ，则治理后的空气质量指数均值大约下降了多少？
日期
02-01 02-03 02-05 02-07 02-09 02-11 02-13 02-15 02-17 02-19 02-21 02-23 02-25 02-27
250 0300 200 150 100 5
空气质量指数（AQI ）
3．某种产品的质量以其质量指标值衡量,并依据质量指标值划分等级如下表： 质量指标值
等级
三等品
二等品
一等品
从某企业生产的这种产品中抽取200件,检测后得到如下的频率分布直方图：
（1）根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%”的规定？
（2）在样本中,按产品等级用分层抽样的方法抽取8件,再从这8件产品中随机抽取4件,求抽取的4件产品中,一、二、三等品都有的概率；
（3）该企业为提高产品质量,开展了“质量提升月”活动,
活动后在抽样检测,产品质量指标值近似满足,则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？
解：（1）根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.2000.3000.260
++0.0900.025++
0.875=，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品
至少要占全部产品92%”的规定.
（2）由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375、0.5、0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件.再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，
三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件.故所求的概率
211121
3413414
8C C C C C C P C +=3
7=
.
（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为
1700.0251800.1?+?+1900.22000.3?+?+2100.262200.09?+?+2300.025200.4?=，
“质量提升月”活动后，产品质量指标值X 近似满足
()
218,140X N :，则
()218
E X =.
m 185m <185205m ≤<205m ≥X ()218,140X N ~
所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了17.6.
4. 某市为了鼓励市民节约用水，实行“阶梯式”水价，将该市每户居民的月用水量划分为三档：月用水量不超过4吨的部分按2元/吨收费，超过4吨但不超过8吨的部分按4元/吨收费，超过8吨的部分按8元/吨收费。
（1）求居民月用水量费用y（单位：元）关于月用水量x（单位：吨）的函数解析式；（2）为了了解居民的用水情况，通过抽样，获得今年3月份100户居民每户的用水量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图。若这100户居民中，今年3月份用水费用不超过16元的占60%，求a,b的值；
（3）在满足条件（2）的条件下，若以这100户居民用水量的频率代替该月全市居民用户用水量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记为该市居民用户3月份的用水费用，求y的分布列和数学期望。
5.某班甲、乙两名同学参加100米达标训练，在相同条件下两人10次训练的成绩（单位：秒）如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
甲11.6 12.2 13.2 13.9 14.0 11.5 13.1 14.5 11.7 14.3
乙12.3 13.3 14.3 11.7 12.0 12.8 13.2 13.8 14.1 12.5
（1）请作出样本数据的茎叶图，如果从甲、乙两名同学中选一名参加学校的100米比赛，从成绩的稳定性方面考虑，选派谁参加比赛更好，并说明理由（不用计算，可通过统计图直接回答）。
（2）从甲、乙两人的10次训练成绩中各随机抽取一次，求抽取的成绩中至少有一个低于12.8秒的概率。
（3）经过对甲、乙两位同学多次成绩的统计发现，甲、乙的成绩都分布在[]5.14,5.11内，现甲、乙比赛一次，求甲、乙成绩之差的绝对值小于0.8的概率。（2016年全国卷1求解几何概型题目的关键是明确测度是一维、二维还是三维）
(1)茎叶图
…………2分
从统计图中可以看出，乙的成绩较为集中，差异程度较小，应选派乙同学代表班级参加比赛更好；………………4分
（2）设事件A 为：甲的成绩低于12.8，事件B 为：乙的成绩低于12.8， 则甲、乙两人成绩至少有一个低于
秒的概率为：
=；……………8分
（此部分，可根据解法给步骤分:2分)
（3）设甲同学的成绩为X ，乙同学的成绩为Y ， 则，……………10分
得
，
如图阴影部分面积即为
，则
. …………12分
类型4.与回归分析相关
1.参加成都七中数学选修课的同学，对某公司的一种产品销量与价格进行了统计，得到如下数据和散点图 定价x(kg/元) 10 20 30 40 50 60 年销量y(kg) 1150 643 424 262 165 86 z=2ln y 15.1
13.9
13.1
12.1
11.2
9.9
01000
2000
20
40
60
80
x-y 散点图
10
20020406080
x-z 散点图
（1）根据散点图判断，y 与x ，z 与x 哪一对具有较强的线性相关性（给出判断即可，不必说明理由）？
（2）根据（1）的判断结果及数据，建立y 关于x 的回归方程（方程中的系数均保留两位有效数字）
（3）定价为多少元/kg 时，年利润的预计值最大？
附：对于一组数据（u 1 v 1），（u 2 v 2）…..（u n v n ），其回归线v=α+βu 的斜率和截距的
最小二乘估计分别为：=，=
﹣．
2.（教材例题回顾）一只红铃虫的产卵数和温度有关，现收集了7组观测数据列于下表中，试建立与之间的回归方程.
1.讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，即两个变量呈非线性相关关系，所以不．能直接．．．
用线性回归方程来建立两个变量之间的关系. ① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选线性回归模型来建模；如果散点图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型．．．．．．．
来建模. y x y x
② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线y =的周围（其
中是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.
③ 在上式两边取对数，得
，再令，则，而与间的关系如下：
观察与的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合.
④ 利用计算器算得，与间的线性回归方程为，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为.
⑤ 利用回归方程探究非线性回归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行.
其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 3. 班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班名女同学，
名男同学中
随机抽取一个容量为的样本进行分析
.
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不必计算出结果）
（2）随机抽取位，他们的数学分数从小到大排序是：60,65,70,75,80,85,90,95，物理分数从小到大排序是：72,77,80,84,88,90,93,95. ①若规定
分以上（包括
分）为优秀，求这位同学中恰有位同学的数学和物理分数
均为优秀的概率；
②若这位同学的数学、物理分数事实上对应如下表：
2C 1e x
C 12,c c 21ln ln y c x c =+ln z y =21ln z c x c =+z x z x 3.843,0.272a b =-=z x 0.272 3.843z
x =-$$
0.272 3.843
x y e -=→→
根据上表数据，用变量与的相关系数或散点图说明物理成绩与数学成绩之间线性相关关系的强弱.如果具有较强的线性相关关系，求与的线性回归方程（系数精确到）；如果不具有线性相关性，请说明理由.
参考公式：相关系数；回归直线的方程是：，其中对应的回归估计值，，是与对应的回归估计值.
参考数据：，，，，，，，.
（1）应选女生位，男生位，可以得到不同的样本个数是．（2）（i）这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均为
优秀，则需要先从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分
数对应，种数是（或），然后将剩下的5个数学分数
和物理分数任意对应，种数是，根据乘法原理，满足条件的
种数是．这8位同学的物理分数和数学分数分别对应的
种数共有种．
故所求的概率．
（ii）变量y与x的相关系数．可以看出，物理与数学成绩高度正相关．也可以数学成绩x为横坐标，物理成绩y为纵坐标做散点图如下：
从散点图可以看出这些点大致分布在一条直线附近，并且在逐步上升，故物理与数学成绩高度正相关．
设y与x的线性回归方程是，根据所给数据，可以计算出，a=84. 875-0.66×77.5≈33.73，
所以y与x的线性回归方程是．
4. 随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享
单车应运而生.某市场研究人员为了了解共享单车运
营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市
私塾国际学府学科教师辅导教案组长审核：
（1）y=3x （2）y=4x+2（3）y= 3 1 x （4）y=-4x 当堂检测 1．小明去文具商店买日记本，已知每本日记本定价为2元． (1)小明所花的钱y(元)与所买日记本的本数x(本)之间的关系式为________． (2)在这个问题中，变量是________，常量是________． 2．函数2 3 -=x y 的自变量x 的取值范围是（） A ．2>x B ．2≠x C ．2≥x D ．2≠x 且0≠x 3．函数1 3 x y x -= -的自变量x 的取值范围是() A ．x ＞1 B ．x ＞1且x ≠3 C ．x ≥1 D ．x ≥1且x ≠3 4.《齐鲁晚报》每份0.8元，购买《齐鲁晚报》所需钱数y （元）与所买份数x 之间的关系是_________，其中_______是常量,_________是变量。 5.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（） A ． B ． C ． D ． 6．与函数y=x 是同一函数的是（） A 、y=|x| B 、x x y 2 =C 、33x y =D 、2x y = 7.设点A （a ，b ）是正比例函数3 2 y x =- 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（） A ．2a+3b=0B ．2a ﹣3b=0C ．3a ﹣2b=0D ．3a+2b=0 8．设圆的面积为S ，半径为R,那么下列说法正确的是（） A 、S 是R 的一次函数B 、S 是R 的正比例函数 C 、S 是R2的正比例函数D 、以上说法都不正确 9.一等腰三角形的周长是20cm ，将底边长y （cm ）表示成腰长x （cm ）的函数． 10.（1）写出函数解析式；（2）求出腰长x 的取值范围． 本知识点小结
工程硕士《应用概率统计》复习题 考试要求：开一页；题目类型：简答题和大题；考试时间：100分钟。 1. 已知 0.5,)( 0.4,)( 0.3,)(===B A P B P A P 求)(B A P ?。 解：因为 0.7,0.3-1)(-1(A)===A P P 又因为, ,-- A B A B A A B A AB ?== 所以 0.2,0.5-7.0)( -(A))(A ===B A P P B P 故 0.9.0.2-0.40.7P(AB)-P(B)(A))(A =+=+=?P B P 2.设随机变量)1(,9 5 )1(),,4(~),,2(~≥=≥Y P X P p b Y p b X 求并且。 解： . 8165 31-1-10)(Y -11)(Y ),3 1,4(~,31,94-1-1-10)(X -1)1(,9 5)1(),,2(~422 ====≥=====≥=≥）（故从而解得）所以（） （而且P P b Y p p p P X P X P p b X 3．随机变量X 与Y 相互独立，下表中给出了X 与Y 的联合分布的部分数值，请将表中其
4．设随机变量Y 服从参数2 1=λ的指数分布，求关于x 的方程0322 =-++Y Yx x 没有实根的概率。 解：因为当时没有实根时，即0128Y -Y 03)-4(2Y -Y 2 2 <+<=?，故所求的概率为}6Y P{20}128Y -P{Y 2 <<=<+，而Y 的概率密度 ?? ???≤>=0,00 ,21f(y)21-y y e y ，从而36221 -621-1dy 21f(y)dy 6}Y {2e e e P y ===<
第六章概率与概率分布 本章是推断统计的基础。 主要内容包括：基础概率，概率的数学性质，概率分布、期望值与变异数推断统计研究如何依据样本资料对总体性质作出推断，这是以概率论为基础的。 第一节基础概率 概率论起源于17世纪，当时在人口统计、人寿保险等工作中，要整理和研究大量的随机数据资料，这就需要一种专门研究大量随机现象的规律性的数学。 参赌者就想：如果同时掷两颗骰子，则点数之和为9 和点数之和为10 ，哪种情况出现的可能性较大？ 例如17世纪中叶，贵族德·梅尔发现：将一枚骰子连掷四次，出现一个6 点的机会比较多，而同时将两枚掷24次，出现一次双6 的机会却很少。 概率论的创始人是法国的帕斯卡(1623—1662)和费尔马(1601—1665)，他们在以通信的方式讨论赌博的机率问题时，发表了《骰子赌博理论》一书。棣莫弗(1667—1754)发现了正态方程式。同一时期瑞士的伯努利(1654一1705)提出了二项分布理论。1814年，法国的拉普拉斯(1749—1827)发表了《概率分析论》，该书奠定了古典概率理论的基础，并将概率理论应用于自然和社会的研究。此后，法国的泊松(1781—1840)提出了泊松分布，德国的高斯(1777—1855)提出了最小平方法。 1、随机现象和随机事件 概率是与随机现象相联系的一个概念。所谓随机现象，是指事先不能精确预言其结果的现象，如即将出生的婴儿是男还是女？一枚硬币落地后其正面是朝上还是朝下?等等。所有这些现象都有一个共同的特点，那就是在给定的条件下，观察所得的结果不止一个。随机现象具有非确定性，但内中也有一定的规律性。例如，事先我们虽不能准确预言一个婴儿出生后的性别，但大量观察，我们会发现妇女生男生女的可能性几乎一样大，都是0.5，这就是概率。
人教版小学奥数 数的整除 我们在已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 常见整除数的特点： （1）能被2整除的数的特点： 个位数字是0，2，4，6，8中的一个。 （2）能被5整除的数的特点： 个位数字如果是0或5。 （3）能被3整除的数的特点： 各个数位上的数字之和能被3整除。
（4）能被4或25整除的数的特点： 一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）、（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
人教版初中数学八年级下册一次函数与正比例函数讲义 一次函数与正比例函数讲义 1．一次函数的定义 若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)． 谈重点 一次函数的条件 函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式． 【例1】 下列函数中，是一次函数的是( )． A ．y ＝7x 2 B ．y ＝x －9 C ．y ＝6x D ．y ＝1x ＋1 解析： A × x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B √ 符合一次函数的一般形式． C × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D × 答案：B 2．正比例函数的定义 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数． 辨误区 一次函数与正比例函数的关系 需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数． 【例2】 下列函数中，是正比例函数的是( )． A ．y ＝－2x B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x 2 D ．y ＝－2x A √ 符合正比例函数的一般形式． B × b ＝1≠0，所以它不是正比例函数． C × x 的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数. D × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以它不是正比例函数. 辨误区 正比例函数的判断 要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y ＝kx ＋b (k ≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y ＝kx (k ≠0)的形式． 3．根据条件列一次函数关系式 列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式． 点技巧 如何列函数关系式 列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量． 【例3】 甲、乙两地相距30 km ，某人从甲地以每小时4 km 的速度走了t h 到达丙地，并继续向乙地走． (1)试分别确定甲、丙两地距离s 1(km)及丙、乙两地距离s 2(km)与时间t (h)之间的函数关
5-2-2.数的整除之四大判断法 综合运用（二） 教学目标 1.了解整除的性质； 2.运用整除的性质解题； 3.整除性质的综合运用. 知识点拨 一、常见数字的整除判定方法 1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11 或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个 数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a，c∣a． 性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12． 性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那
数列求和 数列求和这类问题在初中、高中乃至大学的课本里都占有一定的比例，我们在小学学习数列求和问题的目的旨在发散思维，断炼学生观察事物的能力，通过观察，得以揭示出事物的发展和变化规律。 【知识要点】 数列：若干个数排成一列称为数列。 项：数列中的每一个数称为一项。其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。特殊的数列——等差数列：数列中任意相邻两项的差相当 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差。 在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。 通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 【例题讲解及思维拓展训练题】 例1：有一等差数列：3，7，11，15，……，这个等差数列的第100项是多少？ 分析：这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。要求第100项 列表分析找规律： 解：第100项=3+（100－1）×4=399. 总结：通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差 思维拓展训练一： 1.一等差数列，首项=3.公差= 2.项数=10，它的末项是多少？ 2.求1，4，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列2，6，10，14……的第100项。 例2：有一个数列：4，10，16，22，…，52.这个数列共有多少项？ 分析：容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52. 总结例1：要求一列数有多少项，可以先求出末项比首项多的公差的个数，再加1.解：项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。 总结：项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1 思维拓展训练二： 1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差= 2.这个等差数列共有多少项？ 2.有一个等差数列：2，5，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项？ 3.已知等差数列11，16，21，26，…，1001.这个等差数列共有多少项？
一次函数讲义优质讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
④．该记者在出发后5h 到达采访地 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④ 8. 平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形且面积为16，满足条件的P 点有( ) A ．4个 B ．8个 C ．10个 D ．12个 二．填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：3 －64 ＝ ▲ ． 10. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为 . 11. 若032=++-y x ，则() 2013 y x +的值为 ． 12. 在平面直角坐标系中，若点M （-1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是 ． 13. 如图，已知函数y ＝2x ＋1和y ＝－x －2的图像交于点P ，根据图像， 可得方程组???2x －y ＋1＝0 x ＋y ＋2＝0 的解为 . 14. 将一次函数y ＝2x -1的图像向上平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为 ． 15. 如图，在△ABC 中，AB ＝，BC ＝，∠B ＝60°，将△ ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 . 16. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ， 使点B 恰好落在AC 边上的点E 处.若 ∠A ＝26°，则∠ADE ＝ °. 17. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形 -1-1 y= -x-2 y=2x+1 x y P （第13题图） D E C A B （第16题图） x y 1 234–1–2 –3–4 1 2 3 4–1–2–3–4C D B A o （第18题图） （第15题图） D E A C B
数的整除 、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除; 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个 数能被11整除? 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这 个数能被7、11或13整除. 【备注】(以上规律仅在十进制数中成立?) 二、整除性质 性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除?即如果c| a, c I b，那么c | (a±b). 性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除.即如果b I a, c I b,那么c I a. 用同样的方法，我们还可以得出：
性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除.即如果bc I a,那
性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除.即如果 b I a, c I a,且（b, c）=1，那么be I a. 例如：如果 3 I 12, 4 I 12,且（3, 4）=1，那么（3 冶）I 12. 性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除.如果 b | a，那么bm | am （m 为非0整数）； 性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除.如果b | a，且d | c，那么bd | ac; 当两个整数a和b（b 0）, a被b除的余数为0时（商为整数），则称a被b整除或b整除a，也把a叫作b的倍数，b叫作a的约数；如果a被b除所得的余数不为0 ,则称a不能被b整除，或b 不整除a . 【例1】某数被13除，商是9，余数是8，则某数等于____________ 【分析】9 13 8 125 【例2】173口是一个四位数。数学老师说：我在其中的方框内先后填入3个数字，得到3个 四位数，依次能被9、11、8整除。”问：数学老师在方框中先后填入的3个数字之和是多少？ 【分析】因为9|173口，所以9|1 7 3 □口11 , 9口 2 , □ 7 ； 因为11|173^，所以11| □ 7 3 1 □ 3 , □ 8 ; 因为8|173口，所以8|73口，因为739 8 92L L 3，所以73^ 739 3 736 , □ 6 ;
第五节 数列的求和 掌握等差数列、等比数列的前n 项和公式，能把某些不是等差和等比数列的求和问题转化为等差、等比数列来解决；掌握裂项求和的思想方法，掌握错位相减法求和的思想方法，并能灵活地运用这些方法解决相应问题． 知识梳理 一、直接用等差、等比数列的求和公式求和 1．等差数列{}a n 的前n 项和公式． S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . 2．等比数列{}a n 的前n 项和公式． S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. (注意：公比含字母时一定要分类讨论) 二、错位相减法求和 例如{}a n 是等差数列，{}b n 是等比数列，求a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 的和就适用此法．做法是先将和的形式写出，再给式子两边同乘或同除以公比q ，然后将两式相减，相减后以“q n ”为同类项进行合并得到一个可求和的数列(注意合并后有两项不能构成等比数列中的项，不要遗漏掉)． 三、分组求和 把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和． 四、并项求和 例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法． 五、裂项相消法求和 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项． 1．特别是对于???? ??c a n a n ＋1，其中{}a n 是各项均不为0的等差数列，通常用裂项相消法，即
利用c a n a n ＋1＝c d ??? ?1a n －1a n ＋1(其中d ＝a n ＋1－a n )． 2．常见的拆项． 1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ???12n －1－12n ＋1； 1n (n ＋1)(n ＋2)＝12? ???1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)； 六、公式法求和 ∑k ＝1n k ＝n (n ＋1)2；∑k ＝1n ()2k －1＝n 2；∑k ＝1n k 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6； ∑k ＝1n k 3＝????n (n ＋1)22. 七、倒序相加法求和 如果一个数列{a n }多与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和就是用此法推导的． 八、其他求和法 如归纳猜想法、奇偶分拆法等． 基础自测 1．(2012·南阳一中考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 解析：由等差数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴9,36－9，S 9－36成等差数列，即54＝9＋S 9－36.∴S 9＝81.∴a 7＋a 8＋a 9＝81－36＝45.故选B. 答案：B 2．(2013·三亚质检)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (2n －1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝( ) A ．－200 B ．－100 C ．200 D ．100 解析：由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100 ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2×100－1)
第七章课后习题答案 7.2 设总体X ~ N(12,4), X^XzJII’X n 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对 值大于1的概率. X 解：由于 X ~ N(12,4),故 X 一 ~ N(0,1) /V n 1 ( 2 0.8686 1) 0.2628 10 7.3 设总体X ?N(0,0.09),从中抽取n 10的简单随机样本，求P X ： 1.44 i 1 X i 0 X i 0 X i ~N(0,°.09),故亠-X0r~N(0,1) X 所以 ~ N(0,1)，故U n P{ X 1} 1 P{ X 1} 解: 由于X ~ N (0,0.09),所以 10 所以 X i 2 2 是)?(10) 所以 10 10 X ： 1.44 P i 1 i 1 X i 2 (倉 1.44 P 0.09 2 16 0.1 7.4 设总体 X ~ N( , 2), X 1,X 2,|||,X n 为简单随机样本 2 ,X 为样本均值，S 为样 本方差，问U n X 2 服从什么分布? 解: (X_)2 2 ( n )2 X __ /V n ,由于 X ~ N( , 2)， 2 ~ 2(1)。 1 —n
7.6 设总体X ~ N( , 2), Y?N( , 2)且相互独立，从X,Y中分别抽取 m 10, n215的简单随机样本，它们的样本方差分别为S2,M，求P(S2 4S ； 0)。 解： S2 P(S24S2 0) P(S24S；) P 12 4 由于X ~ N( , 2), Y~ N( , 2)且相互独立S2 所以S12~ F(10 1,15 1)，又由于F°oi(9,14) 4.03 S2 即P F 4 0.01
九 进 制 乔治·兰伯特是美国加利福尼亚州一所中学的数学教师，他对数学特别敏感而且有极大的研究兴趣。他常年与数字、公式打交道，深感数学的神秘与魅力。他开始注意一些巧合的事件，力图用数学的方式来破解巧合。 他发现：法国皇帝拿破仑与纳粹元首希特勒相隔一个多世纪，但是他们之间有很多数字巧合。拿破仑1804年执政，希特勒1933年上台，相隔129年。拿破仑1816年战败，希 特勒1945年战败，相隔129年。拿破仑1809年占领维也纳，希特勒在1938 年攻人维也纳，也是相隔129年。拿破仑1812年进攻俄国，希特勒在相隔 129年后进攻苏联。美国第16届总统林肯于1861年任总统，美国第35届 总统肯尼迪于1961年任总统，时隔100年。两人同在星期五并在女人的参 与下被刺遇害。接任肯尼迪和林肯的总统的名字都叫约翰逊。更巧的是， 杀害林肯的凶手出生于1829年，杀害肯尼迪的凶手出生于1929年，相隔 又是100年。 兰伯特被这些数字迷住了，他经常将这些数字翻来覆去地分解组合。 他惊奇地发现，拿破仑和希特勒的巧合数129与林肯和肯尼迪的巧合数100，把它们颠倒过去分别是921和001，用921减去129，用100减去001，得数都能被9除尽：921-129=792，100-001=99；792+9=88，99÷9=11，结果都有一个十位和个位都相同的两位数的商。 兰伯特非常吃惊，他对9着了迷。他发现将l 、2、3、4、5、6、7、8、9加在一起是45，而4+5=9。他还发现，用9乘以任何一个数，将所得到的积的各位数字相加，所得到的和总是9。取任何一个数，比如说2004，将每位数加起来是2+0+0+4=6，用2004减去6结果得到1998，而1998÷9=222，能被9除尽。 他还总结出这样一个规律：把一个大数的各位数字相加得到一个和，再把这个和的各位数字相加又得到一个和。这样继续下去，直到最后的数字之和是一个一位数为止。最后这个数称为最初那个数的“数字根”，这个数字等于原数除；29的余数，这个计算过程被称作是“弃9法”。懂得了弃9法，蓝伯特醒悟了不少，他进而想到，人类不应该10个10个地数数，也不应该12个12个数数，而应该9个9个地数数，实行9进制。 课前预习 数论之整除性
第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )
第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N {1}1{1}1P X P X P μμ?->=--≤=-≤ 112(11(20.86861)0.262822P ??=-≤=-Φ-=-?-=?????? 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 ( )~(10)0.3 i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 2 2 X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。
7.6 设总体2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2 ~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 所以2 122 ~(101,151)S F S --，又由于0.01(9,14) 4.03F = 即()40.01P F >=
概率统计在经典统计物理中的应用 概率论是现代数学的一个重要学科。一方面，他有丰富的数学理论，与其他 数学学科有深入的相互渗透。另一方面，它与自然科学、技术科学、管理科学、经济科学以至人文科学有广泛的交叉。很多问题都可以归结为概率模型，应用概 率论和随机过程的理论和方法加以研究．并且这些问题也向概率论提出了新的重 要研究课题。经典统计物理学便是这样一个新的概率论分支。统计物理学根据对 物质微观结构及微观粒子相互作用的认识，用概率统计的方法，对由大量粒子组 成的宏观物体的物理性质及宏观规律作出微观解释的理论物理学分支。 下面我们分别以麦克斯韦气体分子速率分布律、麦克斯韦-波尔兹曼统计分 布、理想气体的温度公式和压强公式为例，说明概率统计在经典统计物理中的 应用。 1. 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦用概率论证明了在平衡态下，理想气体分子速度分布是有规律的， 这个规律叫做麦克斯韦速度分布率，若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速 率分布率。 能量为l ε的分子概率密度是 e l A βερ-=, (1-1) 其中Z A 1= 是归一化常数，而分子能量是 212 l m ευ=. (1-2) 由归一化条件d 1ΩρΩ=?得 1e d l A βεΩ Ω-=?， 相体积元d d d d d d d x y z x y z υυυΩ==2d d d sin d d d x y z υθθ?υ. 不失一般性，设气体体积为单位体积，则积分 e d l I βεΩΩ-==?22π2π22220000sin d d e d 4e d m m V kT kT υθθ?υυπυυ--∞∞=????.
第九讲整除和位值原理 整除问题 整除是我们很早接触的一个概念，对于它的性质我们也比较熟悉，不过它在题目表现出来的很大的灵活性和很强的技巧性，仍然是值得我们不断学习和思考的．下面我们先回顾一下相关知识： 1.整除的概念 b ，如果a÷b=c，即整数a除以整数b，得到的商是整数c且 a，b，c为整数，且0 没有余数，那么称作n能被b整除，或者是说b能整除a，记作；否则，称为a不能被b整除，或是说b不能整除n．如果整数a能够被整数b整除，则a叫做b的倍数，b叫做a 的约数． 2.整除的基本性质 ①如果a，b都能够被c整除，那么它们的和与差也能够被c整除．即：如果，那么 ②如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a．即：如果，那么 ③如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a．即：如果 ④如果b，c都能够整除，且b与c互质，那么b与c的乘积能整除a．即： 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0，2，4，6，8； ②能被3(或9)整除的数的特征：各位的数字之和能够被3(或9)整除； ③能被4(或25)整除的数的特征：末两位数能够被4(或25)整除； ④能被5整除的数的特征：个位数字是0或5；
⑤能被7(或11、13)整除的数的特征：一个整数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之⑥差能够被7(或1、11、13)整除； ⑦能被8(或125)整除的数的特征：末三位数能够被8(或125)整除； ⑧能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能够被11整除． 4.位值原理 同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数也不同。也就是说，每一个数字除了本身的值以外，还有一个“位置值”。例如“5”，写在个位上，就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上，就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。 用阿拉伯数字和位值原理，可以表示出一切整数。例如，926表示9个百，2个十，6个一，即926=9×100+2×10+6。根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数，如：abc 表示a 个百，b 个十，c 个一。 其中a 可以是1～9中的数码，但不能是0，b 和c 是0～9中的数码。 5.位值原理的表达形式 以三位数为例：100101abc a b c =?+?+? abc 上面的横线表示这是用位值原理表示的一个数，用以区别abc a b c =?? 1.理解整除的概念，会用整除的性质解决有关问题。 2.理解位值原理的含义，能区分位值原理与字母乘法的区别。 3.掌握整除的性质，并熟练应用被2、3、4、5、8、9、11整除的数的特征。 例1：证明：当a c >时，abc cba -必是9的倍数。 分析：abc 与cba 的数字顺序恰好相反，我们称cba 与abc 互为反序数，互为反序数的两个数之差必能被9整除。
数列求和与综合（讲义） 知识点睛 一、数列求和 1． 公式法： （1）等差数列前n 项和公式； （2）等比数列前n 项和公式． 2． 错位相减法： 适用于形如{}n n a b ?的数列，其中{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比q ≠1的等比数列． 方法： 设1122n n n S a b a b a b =+++… ① 则12231 n n n qS a b a b a b +=+++… ② ①-②得：11231(1)()n n n n q S a b d b b b a b +-=++++-…，转化为公式法求和． 3． 裂项相消法： 把数列的通项拆分为两项之差，使之在求和时产生前后相互抵消的项的求和方法．常见类型有： （1） 1111 ()()n n k k n n k =-++； （2） 21 111()4122121 n n n =---+； （31 k =； （4）1 log (1)log (1)log a a a n n n +=+-． 4． 其他方法： （1）分解法：分解为基本数列求和，比如数列{}n n a b +，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列． （2）分组法：分为若干组整体求和，经常分为偶数项之和与奇数项之和， 比如通项公式为(1)n n a n =-的数列{}n a ． （3）倒序相加法：把求和式倒序后两和式相加，适用于具有对称性质的数列求和． 二、 数列综合 1. 已知n S 求n a 的三个步骤： （1）先利用11a S =，求出1a ；
（2）用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系式， 利用1(2)n n n a S S n -=-≥求出当2n ≥时n a 的表达式； （3）对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式， 如果符合，则可以把数列的通项公式合写； 如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写，即 11 1 2n n n a n a S S n -=?=?-?≥， ，． 2. 非等差或等比数列的转化： （1 ）转化为1{} n a 2 {}n a 、1{}n n a a +-等形式的等差、等比数列； （2）形如1=(010)n n a pa q p q ++≠≠，，的数列，转化为等比数列，设1+=()n n a p a λλ++，可解得= 1 q p λ-，则数列{}n a λ+为等比数列； （3）形如11=(010)n n n a pa qp p q +++≠≠，，的数列，转化为等差数列，两端同时除以1n p +，即得11n n n n a a q p p ++-=，则数列{}n n a p 为等差数列． 精讲精练 1. 在数列{}n a 中，1(1)n a n n = +，若它的前n 项和为2 014 2 015 ， 则项数n 为（ ） A ．2 013 B ．2 014 C ．2 015 D ．2 016
正比例函数（提高） 【学习目标】 1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象； 2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义 一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、 k x y =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质 正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小. 要点三、待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ， y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值. 【典型例题】 类型一、正比例函数的定义 1、若函数22432m n y x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值. 【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数
为1． 【答案与解析】 解：由题意，得221320m n m n -+=??-=? 解得 1 1.5 m n =??=? ∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数. 【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2） x 的指数是1. 举一反三： 【变式】（春?凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值． 【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1． 2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数； （2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】 解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数 12z k k x =∴ 120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数 ∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠ （2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴121 4 k k = ∴z 关于x 的函数关系式是14 z x = . 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆. 举一反三： 【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系． 【答案】 解：由题意，y kx =，z m kx =+ , ∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1， ∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k 解得k ＝－2，m ＝5
062应用数学 一、 填空题（每小题2分，共2?6=12分） 1、设服从0—1分布的一维离散型随机 变量X 的分布律是：011X P p p -， 若X 的方差是1 4，则P =________。 2、设一维连续型随机变量X 服从正态分布()2,0.2N ，则随机变量21Y X =+ 的概率密度函数为______________。 3、设二维离散型随机变量X 、Y 的联合分布律为：则a , b 满足条件：___________________。 X Y 11 2 3 1115 6 9
4、设总体X 服从正态分布()2 ,N μσ ， 12,,...,n X X X 是它的一个样本，则样本均 值X 的方差是________。 5、假设正态总体的方差未知，对总体均值 μ 作区间估计。现抽取了一个容量 为n 的样本，以X 表示样本均值，S 表示样本均方差，则μ 的置信度为1-α 的置信区间为：_______________________。 6、求随机变量Y 与X 的线性回归方程 Y a b X =+ ，在计算公式 xy xx a y b x L b L ?=-? ?=?? 中，() 2 1 n xx i i L x x == -∑，xy L = 。
二、单项选择题（每小题2分，共2?6=12分） 1、设A ，B 是两个随机事件，则必有（ ） ()()()()()()()()A P A B P A P B B P A B P A P A B -=--=- ()()()() ()()()()()C P A B P A P B D P A B P A P A P B -=-=- 2、设A ，B 是两个随机事件， ()()() 524,,556 P A P B P B A === ，（ ） () ()()1 1()()()232 12 ()()3 25 A P A B B P AB C P AB D P AB === = 3、设X ，Y 为相互独立的两个随机变量，则下列不正确的结论是（ ）