高中数学“构造法”解题法分类解析
一. 构造函数解题
例1. (1)在实数范围内解。(2)解不等式
方程与不等式都是高次的,展开求解是不现实的。根据其自身特点,分别作适当的变形,然后构造函数,再利用函数的有关性质求解。
(1)原方程变形为。
设函数,上述方程即为。
由于在上是单调增函数,故若,则必有成立。因此,即,故原方程有唯一解。
(2)设,,易证f(x)在区间上为增函数。
,
为奇函数,从而f(x)在区间上为增函数,
原不等式可化为,即,即。
说明:函数的单调性和奇偶性是函数的两个十分重要的性质,要熟练掌握函数的图象的几何特征和代数含义,它们在研究方程、不等式中经常用到。
二. 构造一元二次方程解题
例2. 已知三内角A、B、C的大小成等差数列,且
,求A、B、C的大小。
由题知,联想到,由A、B、C成等差数列,得,故。
是方程的两根,得
。当A 说明:由根与系数的关系来构造一元二次方程是最常见的思路,不可忽视。 三. 构造数列解题 例3. 已知,求满足 的正整数n的取值范围。 解析: 因此可知数列是以为首项,以为公比的等比数列。 。 ,得。所求n的取值范围是。 说明:有一些与数列有关的问题或看似无关的问题(变量为正整数的函数),通过巧妙地构造出一个数列,其问题的本质能更好地凸显出来,并能用数列的有关知识较简捷地解答。 四. 构造几何图形解题 例4. 试证:对任何,都有 ,当有仅当时等号成立。 观察题目特点,从联想到余弦定理,可以构造三角形,同理,另两个根式也可构造三角形,利用几何图形进行证明。 根据题意构造图形(如上图),其中AB=a,BC=c,BD=b,,由余弦定理得: 在中,,则 。但当A、D、C三点共线时等号成立,此时,,即 。 ,即 说明:本题若不构造一个三角形,而是运用三角知识解题,直接将两边平方,则无论是用综合法还是分析法,不仅计算过程十分复杂,而且很不容易说明。 例5. 设关于的方程在区间(0,)内有相异的两个实根。求实数a的取值范围。 设,则由题设知,直线与圆有两个不同的交点A()和B ()。 即原点O到直线的距离小于1,即。解得:。 又因为、,且,直线不过点(1,0),即。 所以,即 说明:将代数问题构造平面图形后,用平面解析几何的有关知识解题,实际上是数形结合思想的灵活应用。 ▍ ▍ ▍ ▍