线性代数习题[第一章]行列式

习题1—1 全排列及行列式的定义

1． 计算三阶行列式123

4

56789

。

2． 写出4阶行列式中含有因子1324a a 并带正号的项。

3． 利用行列式的定义计算下列行列式：

⑴0

004003002001

0004

D

⑵0

0000000052

51

42413231

2524232221

151********a a a a a a a a a a a a a a a a D =

⑶0

10000

200

0010Λ

ΛΛΛΛΛΛn

n D n -=

4． 利用行列式的定义计算210111()0211

1

1

x

x x f x x x

-=

中34

,

x x 的系数。

习题1—2 行列式的性质

1． 计算下列各行列式的值：

⑴

2141

012112025

62

-

⑵ef

cf

bf

de cd bd

ae ac ab

---

⑶

2

2

2

2

2

2

2

2

22222222)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a

2． 在n 阶行列式nn

n n n n a a a a a a a a a D Λ

ΛΛΛΛ2

1

222

2111211

=

中，已知),,2,1,(n j i a a ji ij Λ=-=，

证明：当n 是奇数时，D=0. 3． 计算下列n 阶行列式的值：

⑴x

a

a

a x a a a x

D n Λ

ΛΛΛΛ=

⑵n

n a a a D +++=

11

1

11111121

Λ

ΛΛΛΛ()120n a a a ≠L

习题1—3 行列式按行（列）展开

1． 已知ij A 是行列式1

22

30

5

4

03

--的元素ij a （3,2,1,=j i ）的代数余子式，求323127A A +的

值。

2． 按第三列展开下列行列式，并计算其值：

1

1

111110101

d

c

b a ------

3． 计算下列n 阶行列式的值

⑴a

a a a

D n 0

1

0000

00

100Λ

ΛΛΛΛΛΛ=

⑵x

y

y x y x y x D n 0

0000

00

000Λ

ΛΛΛΛΛΛΛ=

4． 试用数学归纳法证明：

n n n n n n n

n a x a x a x a x a a a a x x x

D ++++=+---=

----1111

2

2

110000

0100001ΛΛ

ΛΛΛΛΛΛΛ

习题1—4 克拉默法则

1． 用克拉默法则解下列方程组：

⑴??

?

??=+-=+--=-+4452227253

2z y x z y x z y x

⑵???????-=++-=+-+=---=-++8

232422383226232t z y x t z y x t z y x t z y x

2． 判断齐次线性方程组??

?

??=-+=+-=-+028*******z y x z y x z y x 是否仅有零解

3． 问λ取何值时，齐次线性方程组??

?

??=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(z y x z y x z y x λλλ有非零解

4． λ取何值时，齐次线性方程组??

?

??=+-=-+=-+0200z y x z y x z y x λλ仅有零解