合情推理与演绎推理
2．1.1合情推理
预习课本P70～77，思考并完成下列问题
(1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？
(2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？
(3)合情推理的含义是什么？
[新知初探]
1．归纳推理和类比推理
[点睛](1)归纳推理与类比推理的共同点：都是从具体事实出发，推断猜想新的结论．
(2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因此不一定正确．
2．合情推理
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种估计属于归纳推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用．( ) (3)由个别到一般的推理为归纳推理．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√
2．由“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”得到“若a ＞b ，则ac ＞bc ”采用的是( ) A ．归纳推理 B ．演绎推理 C ．类比推理
D ．数学证明
答案：C
3．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于________． 答案：65
[典例] (1)a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( ) A ．28 B ．76 C ．123 D ．199
(2)已知f (x )＝
x
1－x
，设f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))(n ＞1，且n ∈N *)，则f 3(x )的表达式为________，猜想f n (x )(n ∈N *)的表达式为________．
[解析] (1)利用归纳法：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝3＋1＝4，a 4＋b 4＝4＋3＝7，a 5
＋b 5＝7＋4＝11，a 6＋b 6＝11＋7＝18，a 7＋b 7＝18＋11＝29，a 8＋b 8＝29＋18＝47，a 9＋b 9＝47＋29＝76，a 10＋b 10＝76＋47＝123，规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．
(2)∵f (x )＝
x 1－x ，∴f 1(x )＝x
1－x
. 又∵f n (x )＝f n －1(f n －1(x ))，
∴f 2(x )＝f 1(f 1(x ))＝x
1－x 1－x 1－x ＝x
1－2x ，
f 3(x )＝f 2(f 2(x ))＝x 1－2x 1－2×
x 1－2x
＝x
1－4x
，
f 4(x )＝f 3(f 3(x ))＝x 1－4x 1－4×
x 1－4x ＝x
1－8x
，
f 5(x )＝f 4(f 4(x ))＝x 1－8x 1－8×
x 1－8x ＝x
1－16x
，
∴根据前几项可以猜想f n (x )＝x
1－2n －
1x
. [答案] (1)C (2)f 3(x )＝
x 1－4x f n (x )＝x 1－2n －
1x
1．已知等式或不等式进行归纳推理的方法
(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律； (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征； (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点； (4)运用归纳推理得出一般结论． 2．数列中的归纳推理
在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n 项和． (1)通过已知条件求出数列的前几项或前n 项和；
(2)根据数列中的前几项或前n 项和与对应序号之间的关系求解； (3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n 项和公式． [活学活用] 1．观察下列等式：
????sin π3－2＋????sin 2π3－2＝43
×1×2；
????sin π5－2＋????sin 2π5－2＋????sin 3π5－2＋????sin 4π5－2＝43×2×3； ????sin π7－2＋????sin 2π7－2＋????sin 3π7－2＋…＋????sin 6π7－2＝43×3×4
； ????sin π9－2＋????sin 2π9－2＋????sin 3π9－2＋…＋????sin 8π9－2＝43
×4×5； …… 照此规律，
????sin π2n ＋1－2＋????sin 2π2n ＋1－2＋???
?sin 3π2n ＋1－2＋…＋????sin 2n π2n ＋1－2＝________. 解析：通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，4
3
后面第一个数是
等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，4
3后面第二个数是第一个数的下
一个自然数，所以，所求结果为43×n ×(n ＋1)，即4
3
n (n ＋1)．
答案：4
3
n (n ＋1)
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，满足S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)． (1)求a 2，a 3，a 4的值． (2)猜想a n 的表达式．
解：(1)因为a 1＝3，且S n ＝6－2a n ＋1(n ∈N *)， 所以S 1＝6－2a 2＝a 1＝3，解得a 2＝3
2，
又S 2＝6－2a 3＝a 1＋a 2＝3＋32，解得a 3＝3
4，
又S 3＝6－2a 4＝a 1＋a 2＋a 3＝3＋32＋3
4，
解得a 4＝3
8
.
(2)由(1)知a 1＝3＝320，a 2＝32＝321，a 3＝34＝3
22，
a 4＝38＝323，…，猜想a n ＝3
2
n －1(n ∈N *).
[典例] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是( )
A ．26
B ．31
C ．32
D ．36
[解析] 有菱形纹的正六边形个数如下表：
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项，以5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋5×(6－1)＝31.故选B.
[答案] B
利用归纳推理解决几何问题的两个策略
(1)通项公式法：数清所给图形中研究对象的个数，列成数列，观察所得数列的前几项，探讨其变化规律，归纳猜想通项公式．
(2)递推公式法：探究后一个图形与前一个图形中研究对象的个数之间的关系，把各图形中研究对象的个数看成数列，列出递推公式，再求通项公式．
[活学活用]
1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为()
A．6n－2B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
解析：选C归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为a n＝6n＋2.
2．(陕西高考)观察分析下表中的数据：
多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)
三棱柱569
五棱锥6610
立方体6812
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
答案：F＋V－E＝2
类比推理的应用
[典例]如图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a=b·cos C+c·cos
B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空
间四面体性质的猜想．
[解] 如图所示，在四面体P -ABC 中，S1，S2，S3，S 分别表示△
PAB ，△PBC ，△PCA ，△ABC 的面积，α，β，γ依次表示平面PAB ，平面PBC ，平面PCA 与底面ABC 所成二面角的大小．
我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S=S1·cos α+S2·cos β+S3·cos γ.
1．类比推理的步骤
(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性)．
(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想． (3)检验这个猜想．
2．平面图形与空间图形类比如下
[活学活用]
1．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ＝12
(AB +AC
)，将命题类比到四面体中去，
得到一个命题为：______________________________________.
解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．
答案：在四面体A -BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13
(AB
+AC +AD )
2．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．
解：如图，在Rt △ABC 中，
cos 2
A ＋cos 2
B ＝????b c 2＋????a c 2＝a 2
＋b
2
c 2＝1.
于是把结论类比到四面体P -A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P -A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
层级一 学业水平达标
1．观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A. B ．△ C.
D ．○
解析：选A 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
2．下面几种推理是合情推理的是( )
①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n 边形的内角和是(n －2)·180°(n ∈N *，且n ≥3)．
A ．①②
B ．①③④
C ．①②④
D ．②④
解析：选C ①是类比推理；②④是归纳推理，∴①②④都是合情推理．
3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为( )
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．1∶8
D ．1∶16
解析：选C 由平面和空间的知识，可知面积之比与边长之比成平方关系，在空间中体积之比与棱长之比成立方关系，故若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积之比为1∶8.
4．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其
中正确的结论是( )
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
解析：选B 根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论． 5．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋
－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )
A.n
n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.n
n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4
＝2 解析：选A 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 正确．
6．观察下列等式
1＝1 2＋3＋4＝9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n 个等式为________．
解析：观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n －1，故第n 行等式左边的数依次是n ，n ＋1，n ＋2，…，(3n －2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2.
答案：n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
7．我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有矩形与圆中，圆的面积最大，将这些结论类比到空间，可以得到的结论是_______________________．
解析：平面图形与立体图形的类比：周长→表面积，正方形→正方体，面积→体积，矩形→长方体，圆→球．
答案：表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大；表面积一定的所有长方体和球中，球的体积最大
8．如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如
果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.
解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和图(乙)中的各直角三角形，由勾股定理，
可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 2
3＝
(2)2＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n
9．在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？
解：因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得1
2
n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．
所以凸n 边形的对角线条数为1
2
n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．
10．已知f (x )＝1
3x ＋3，分别求f (0)＋f (1) ，f (－1)＋f (2)，f (－2)＋f (3)，然后归纳猜想
一般性结论，并证明你的结论．
解：f (x )＝
1
3x ＋3
，
所以f (0)＋f (1)＝130
＋3＋131＋3＝3
3
，
f (－1)＋f (2)＝13－1
＋3＋132＋3＝3
3
，
f (－2)＋f (3)＝
13－
2＋3＋133＋3＝3
3
. 归纳猜想一般性结论；f (－x )＋f (x ＋1)＝33
. 证明如下：f (－x )＋f (x ＋1)＝
13－x
＋3＋1
3x ＋1＋3
＝3x 1＋3·3x ＋13x ＋1＋3＝3·3x 3＋3x ＋1＋13x ＋1
＋3
＝3·3x ＋13＋3x ＋
1＝3·3x ＋13(1＋3·3x )＝33
. 层级二 应试能力达标
1．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a ·b ＝b ·a ”；
②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )”；
④“t ≠0，mt ＝xt ?m ＝x ”类比得到“p ≠0，a ·p ＝x ·p ?a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a ·b |＝|a |·|b |”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a ·c b ·c ＝a
b ”．
其中类比结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故应选B. 2．类比三角形中的性质： (1)两边之和大于第三边； (2)中位线长等于底边长的一半； (3)三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：
(1)任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；
(2)过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的1
4；
(3)四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．(1) B ．(1)(2) C ．(1)(2)(3)
D ．都不对
解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．
3．观察下列式子：1＋122＜32，1＋122＋132＜53，1＋122＋132＋142＜7
4，…，根据以上式子可
以猜想：1＋122＋132＋…＋1
2 0172
＜( )
A.4 031
2 017 B.4 0322 017 C.4 0332 017
D.4 0342 017
解析：选C 观察可以发现，第n (n ≥2)个不等式左端有n ＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n ＋1)2；右端分母为n ＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n 个不等式为1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2＜2n ＋1n ＋1，所以当n ＝2 016时不等式为：1＋122＋1
32＋…＋
12 0172＜4 033
2 017
. 4．设△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r ，则r ＝2S
a ＋
b ＋
c ；
类比这个结论可知：四面体P -ABC 的四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，内切球的半径为r ，四面体P -ABC 的体积为V ，则r ＝( )
A.V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4 B.2V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4 C.3V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
D.4V
S 1＋S 2＋S 3＋S 4
解析：选C 将△ABC 的三条边长a ，b ，c 类比到四面体P -ABC 的四个面面积S 1，S 2，S 3，S 4，将三角形面积公式中系数12，类比到三棱锥体积公式中系数1
3，从而可知选 C.证明
如下：以四面体各面为底，内切球心O 为顶点的各三棱锥体积的和为V ，∴V ＝13S 1r ＋1
3S 2r
＋13S 3r ＋1
3S 4r ，∴r ＝3V S 1＋S 2＋S 3＋S 4
. 5．观察下图中各正方形图案，每条边上有n (n ≥2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S ，按此规律推出S 与n 的关系式为____________．
解析：每条边上有2个圆圈时共有S ＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S ＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S 增加4，∴S 与n 的关系为S ＝4(n －1)(n ≥2)．
答案：S ＝4(n －1)(n ≥2)
6．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b 2＝
1(a ＞b ＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为______________．
解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b
a ，
即k ＝b a ，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a ＝πab . 答案：πab
7．观察下列两个等式：
①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝3
4①；
②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝3
4
②.
由上面两个等式的结构特征，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想． 解：由①②知若两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为3
4
.
猜想：若β－α＝30°，则β＝30°＋α，sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3
4.
下面进行证明：
左边＝sin 2α＋cos(α＋30°)[cos(α＋30°)＋sin α] ＝sin 2α＋
????32cos α－12sin α???
?32cos α＋12sin α
＝sin 2α＋34cos 2α－14sin 2α＝3
4＝右边．
所以，猜想是正确的．
故sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)＝3
4
.
8．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于点D ，有
1AD 2＝1AB 2＋1
AC 2
成立．那么在四面体A -BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及理由．
解：猜想：类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，可以猜想四面体A -BCD 中，AB ，AC ，AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD .则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD
2.
下面证明上述猜想成立
如图所示，连接BE，并延长交CD于点F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD，
AC∩AD=A，
∴AB⊥平面ACD.
而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴
1
AE2＝
1
AB2＋
1
AD2.
在Rt△ACD中，AF⊥CD，
∴
1
AF2＝
1
AC2＋
1
AD2.
∴
1
AE2＝
1
AB2＋
1
AC2＋
1
AD2，故猜想正确．
2．1.2演绎推理
预习课本P78～81，思考并完成下列问题(1)什么是演绎推理？它有什么特点？
(2)什么是三段论？一般模式是什么？
(3)合情推理与演绎推理有什么区别与联系？
[新知初探]
1．演绎推理
(1)概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．
(2)特点：演绎推理是从一般到特殊的推理．
(3)模式：三段论．
2．三段论
“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
[点睛]用集合的观点理解三段论
若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“三段论”就是演绎推理．()
(2)演绎推理的结论是一定正确的．()
(3)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理．()
答案：(1)×(2)×(3)×
2．平行于同一直线的两直线平行，因为a∥b，b∥c，所以a∥c，这个推理称为() A．合情推理B．归纳推理
C．类比推理D．演绎推理
答案：D
3．正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin(x 2＋1)是奇函数，以上推理中“三段论”中的__________是错误的．
答案：小前提
把演绎推理写成三段论的形式
[典例] 将下列推理写成“三段论”的形式：
(1)向量是既有大小又有方向的量，故零向量也有大小和方向；
(2)0.332·
是有理数；
(3)y ＝sin x (x ∈R)是周期函数．
[解] (1)大前提：向量是既有大小又有方向的量． 小前提：零向量是向量． 结论：零向量也有大小和方向．
(2)大前提：所有的循环小数都是有理数．
小前提：0.332·
是循环小数．
结论：0.332·
是有理数．
(3)大前提：三角函数是周期函数． 小前提：y ＝sin x (x ∈R)是三角函数． 结论：y ＝sin x (x ∈R)是周期函数．
用三段论写推理过程的技巧
(1)关键：用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中大前提提供了一个一般原理，小前提提供了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．
(2)何时省略：有时可省略小前提，有时甚至也可将大前提、小前提都省略． (3)如何寻找：在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提． [活学活用]
下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )
A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数
B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数
C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数
D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数
解析：选B对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式；对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确；对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式；对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.
演绎推理在几何中的应用
[典例]如图所示，D，E，F分别是BC，CA，AB边上的点，∠BFD=
∠A，DE∥BA，求证：DE=AF.写出“三段论”形式的演绎推理．
[解](1)同位角相等，两直线平行，(大前提)
∠BFD和∠A是同位角，且∠BFD=∠A，(小前提)
所以DF∥AE.(结论)
(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)
DE∥BA且DF∥EA，(小前提)
所以四边形AFDE为平行四边形．(结论)
(3)平行四边形的对边相等，(大前提)
DE和AF为平行四边形的对边，(小前提)
所以ED=AF.(结论)
几何证明中应用演绎推理的两个关注点
(1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论．
(2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论．
提醒：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误．
[活学活用]
如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：
EF∥平面BCD.
证明：三角形的中位线平行于底边，大前提
点E，F分别是AB，AD的中点，小前提
所以EF∥BD.结论
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，
则这条直线与此平面平行，大前提
EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提
所以EF∥平面BCD.结论
演绎推理在代数中的应用
[典例]已知函数f(x)＝a x＋x－2
x＋1
(a＞1)，求证：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．
[证明]对于任意x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，若f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在(－1，＋∞)上是增函数．(大前提)
设x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝ax1＋x1－2
x1＋1
－ax2－
x2－2
x2＋1
＝ax1－ax2＋x1－2
x1＋1
－
x2－2
x2＋1
＝ax1－ax2＋
3(x1－x2)
(x1＋1)(x2＋1)
，
∵a＞1，且x1＜x2，∴ax1＜ax2，x1－x2＜0.
又∵x1＞－1，x2＞－1，∴(x1＋1)(x2＋1)＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．(小前提)
∴函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(结论)
应用演绎推理解决的代数问题
(1)函数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等．
(2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等．
(3)三角函数的图象与性质．
(4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质．
(5)不等式的证明．
[活学活用]
已知函数f(x)＝x2－a ln x在区间[1,2]内是增函数，g(x)＝x－a x在区间(0,1]内是减函数，则a＝______.
解析：f′(x)＝2x－a
x，依题意f′(x)≥0，x∈[1,2]，
即a≤2x2，x∈[1,2]．
因为上式恒成立，所以a≤2.①
又g′(x)＝1－
a
2x
，
依题意g′(x)≤0，x∈(0,1]，
即a≥2x，x∈(0,1]．
因为上式恒成立，所以a≥2.②
由①②得a＝2.
答案：2
层级一学业水平达标
1．下面说法：
①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．
其中正确的有()
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：选C①③④都正确．
2．若三角形两边相等，则该两边所对的内角相等，在△ABC中，AB＝AC，所以在△ABC 中，∠B＝∠C，以上推理运用的规则是()
A．三段论推理B．假言推理
C．关系推理D．完全归纳推理
解析：选A∵三角形两边相等，则该两边所对的内角相等(大前提)，在△ABC中，AB＝AC，(小前提)，∴在△ABC中，∠B＝∠C(结论)，符合三段论推理规则，故选A.
3．推理过程“大前提：__________，小前提：四边形ABCD是矩形．结论：四边形ABCD的对角线相等．”应补充的大前提是()
A．正方形的对角线相等
B．矩形的对角线相等
C．等腰梯形的对角线相等
D．矩形的对边平行且相等
解析：选B由三段论的一般模式知应选B.
4．若大前提是：任何实数的平方都大于0，小前提是：a∈R，结论是：a2＞0，那么这个演绎推理出错在()
A．大前提B．小前提
C．推理过程D．没有出错
解析：选A要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提、小前提和结论及推理形式是否都正确，若这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．因为任何实数的平方都大于0，又因为a是实数，所以a2＞0，其中大前提是：任何实数的平方都大于0，它是不正确的．
5．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是()
A．①④B．②④
C．①③D．②③
解析：选A根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．
6．求函数y＝log2x－2 的定义域时，第一步推理中大前提是a有意义时，a≥0，小前提是log2x－2 有意义，结论是____________．
解析：由三段论方法知应为log2x－2≥0.
答案：log2x－2≥0
7．某一三段论推理，其前提之一为肯定判断，结论为否定判断，由此可以推断，该三段论的另一前提必为________判断．
解析：根据三段论的特点，三段论的另一前提必为否定判断．
答案：否定
8．函数y＝2x＋5的图象是一条直线，用三段论表示为：
大前提：_______________________________________________________________.
小前提：___________________________________________________________________.
结论：_____________________________________________________________.
解析：本题忽略了大前提和小前提．大前提为：一次函数的图象是一条直线．小前提为：函数y＝2x＋5为一次函数．结论为：函数y＝2x＋5的图象是一条直线．答案：①一次函数的图象是一条直线②y＝2x＋5是一次函数③函数y＝2x＋5的图象是一条直线
9．将下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)菱形的对角线互相平分．
(2)奇数不能被2整除，75是奇数，所以75不能被2整除．
解：(1)平行四边形的对角线互相平分(大前提)； 菱形是平行四边形(小前提)； 菱形的对角线互相平分(结论)． (2)一切奇数都不能被2整除(大前提)； 75是奇数(小前提)； 75不能被2整除(结论)．
10．下面给出判断函数f (x )＝1＋x 2＋x －1
1＋x 2＋x ＋1的奇偶性的解题过程：
解：由于x ∈R ，且f (x )
f (－x )＝1＋x 2＋x －11＋x 2＋x ＋1·
1＋x 2－x ＋11＋x 2－x －1＝(1＋x 2)－(x －1)2(1＋x 2)－(x ＋1)2＝
2x －2x ＝－1. ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数． 试用三段论加以分析．
解：判断奇偶性的大前提“若x ∈R ，且f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数；若x ∈R ，且f (－x )＝f (x )，则函数f (x )是偶函数”．在解题过程中往往不用写出来，上述证明过程就省略了大前提．解答过程就是验证小前提成立，即所给的具体函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )．层
级二 应试能力达标
1．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是( )
A ．类比推理
B ．归纳推理
C ．演绎推理
D ．一次三段论
解析：选C 这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．
2．有这样一段演绎推理：“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，这是因为( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．非以上错误
解析：选C 用小前提“S 是M ”，判断得到结论“S 是P ”时，大前提“M 是P ”必须是所有的M ，而不是部分，因此此推理不符合演绎推理规则．
3．如图，设平面α∩β＝EF ，AB ⊥α，CD ⊥α，垂足分别是点B ，D ，如果增加一个条
件，就能推出BD ⊥EF ，这个条件不可能是下面四个选项中的( ) A ．AC ⊥β
小学数学第八册第四单元试卷(A) 一、判断题(每道小题2分共10分) 1. 小数都比1小．() 2. 小林身高是11.4米．() 3. 0.14读作:零点十四() 4. 0.1是1的十分之一, 是0.01的10倍．() 5. 把6写成两位小数是0.06．() 二、填空题(1-6每题1分, 7-19每题2分, 第20小题3分, 21-29每题4分, 第30小题5分, 第31小题6分, 共82分) 1. 比较大小． 1.75□1.745 2. 比较大小． 1.5□1.50 3. 比较大小． 0.07□0.70 4. 比较大小． 0.46□0.464 5. 比较大小． 4.020□4.002 6. 比较大小． 15.08□16 7. 在小数的()添上零或者去掉零, ()不变．
8. 0.48里面有()个十分之一, ()个百分之一． 9. 把下面的数改写成以"元"为单位的数． 9分=() 10. 1里面有()个0.1, 0.1里面有()个0.001． 11. 4个十分之一, 九个百分之一, 组成的数是(), 它的计数单位是 ()． 12. 化简下面小数． 0.090＝() 0.750米＝() 13. 化简下面小数． 0.30＝() 1.350＝() 14. 化简下面小数． 140.00元＝() 0.2400＝() 15. 与5.7相邻的两个整数分别是(), ()． 16. 零点二零五, 写作:(), 保留一位小数约是()． 17. 2.508读作: (), 这个小数四舍五入到百分位约是() 18. 写出大于5, 小于6的一位小数两个是(), ()． 19. 150公顷=()平方千米 20. 3.45这个数中, 3在()位上, 表示()个(), 4在()位上,表示()个(), 5在()位上, 表示()个()． 21. 0.65元=()角()分 22. 3.6平方米=()平方米()平方分米 23. 800千克=()吨
2016版小学数学新课程标准【最新精选】2011版小学数学新课程标准 第一部分前言. 1 一、课程性质. 1 二、课程基本理念. 2 三、课程设计思路. 4 第二部分课程目标. 9 一、总目标. 9 二、学段目标. 10 第三部分内容标准. 16 第一学段(1~3年级). 16 一、数与代数. 16 二、图形与几何. 18 三、统计与概率. 19 四、综合与实践. 20 第二学段(4~6年级). 20 一、数与代数. 20 二、图形与几何. 23 三、统计与概率. 25 四、综合与实践. 26 第三学段(7~9年级). 26 一、数与代数. 26 二、图形与几何. 31 三、统计与概率. 40 1 四、综合与实践. 42 第四部分实施建议. 43 一、教学建议. 43 二、评价建议. 54 三、教材编写建议. 62
四、课程资源开发与利用建议. 70 附录. 75 附录1 有关行为动词的分类. 75 附录2 内容标准及实施建议中的实例. 78 第一部分前言 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能;培养学生的抽象思维和推理能力;培养学生的创新意识和实践能力;促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念 2
2016小学数学新课标内容 一、前言 《全日制义务教育数学课程标准（修定稿）》（以下简称《标准》）是针对我国义务教育阶段的数学教育制定的。根据《义务教育法》.《基础教育课程改革纲要（试行）》的要求，《标准》以全面推进素质教育，培养学生的创新精神和实践能力为宗旨，明确数学课程的性质和地位，阐述数学课程的基本理念和设计思路，提出数学课程目标与内容标准，并对课程实施（教学.评价.教材编写）提出建议。 《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用，教学内容的选择和教学活动的组织应当遵循这些基本理念和目标。《标准》规定的课程目标和内容标准是义务教育阶段的每一个学生应当达到的基本要求。《标准》是教材编写.教学.评估.和考试命题的依据。在实施过程中，应当遵照《标准》的要求，充分考虑学生发展和在学习过程中表现出的个性差异，因材施教。为使教师更好地理解和把握有关的目标和内容，以利于教学活动的设计和组织，《标准》提供了一些有针对性的案例，供教师在实施过程中参考。 二、设计理念 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类的活动息息相关，特别是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。数学是人类文化的重要组
成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能。 义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生的整体素质的提高，促进学生全面.持续.和谐发展。课程设计要满足学生未来生活.工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识和基本技能，发展学生抽象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识，在情感.态度与价值观等方面都要得到发展；要符合数学科学本身的特点.体现数学科学的精神实质；要符合学生的认知规律和心理特征.有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题.构建数学模型.得到结果.解决问题的过程。为此，制定了《标准》的基本理念与设计思路。 基本理念 数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性.普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。课程内容既要反映社会的需要.数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容要贴近学生的生活，有利于学生经验.思考与探索。内容的组织要处理好过程与结果的关系，
2015 年小学数学新课程标准测试题及答案 一、填空 1、数学学习的主要方式应由单纯的（）、模仿和（）转变为（）、（）和实践创新； 2、从“标准”的角度分析内容标准，可发现以下特点：（）（）（）（）。 3、内容标准是数学课程目标的进一步（）。 4、内容标准应指关于（）的指标 5、和现行教材中主要采取的“（）——定理——（）——习题”的形式不同，《标准》提倡以“（）——（）——解释、使用和拓展”的基本模式呈现知识内容 6、新课程的“三维”课程目标是指（），（）、（）。 7、改变课程内容难、（）、（）的现状，建设浅、（）、（）的内容体系，是数学课程改革的主要任务之一。 8、“数据统计活动初步对数据的收集、（）、（）和分析过程有所体验。 9、数学课程的总体目标包括（）、（）、（）（） 10、综合实践活动的四大领域（）、（）信息技术教育和劳动和技术教育。 11、“实践和综合使用” 在第一学段以（）为主题，在第二学段以（）为主题。 12、统计和概率主要研究现实生活中的（）和客观世界中的（）。 13、在第一学段空间和图形部分，学生将认识简单的（）和（），感受（）、（）、（），建立初步的（）。 14、和大纲所规定的内容相比，课程标准在内容的知识体系方面有（），在内容的学习要求方面有（），在内容的结构组合方面有（），在内容的表现形式方面有（）。 15、“空间和图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的（）（） ()及其变换,它是人们更好地认识和描述生活空间，并进行交流的重要工具。 16、数学是人们对（）定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛使用的过程。 17、为了体现义务教育的普及性、( )和发展性，新的数学课程首先关注每一个学生的情感、 ( )、( )和一般能力的发展。 18、新课程的最高宗旨和核心理念是（）。
【小学数学新课标内容】2016年最新小学数学新课程标准_小学数学新课标内容 地位，阐述数学课程的基本理念和设计思路，提出数学课程目标与内容标准，并对课程实施（教学、评价、教材编写）提出建议。《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用，教学内容的选择和教学活动的组织应当遵循这些基本理念和目标。《标准》规定的课程目标和内容标准是义务教育阶段的每一个学生应当达到的基本要求。《标准》是教材编写、教学、评估、和考试命题的依据。在实施过程中，应当遵照《标准》的要求，充分考虑学生发展和在学习过程中表现出的个性差异，因材施教。为使教师更好地理解和把握有关的目标和内容，以利于教学活动的设计和组织，《标准》提供了一些有针对性的案例，供教师在实施过程中参考。 设计理念数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类的活动息息相关，特别是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成
部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能。义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生的整体素质的提高，促进学生全面、持续、和谐发展。课程设计要满足学生未来生活、工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识和基本技能，发展学生抽象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识，在情感、态度与价值观等方面都要得到发展；要符合数学科学本身的特点、体现数学科学的精神实质；要符合学生的认知规律和心理特征、有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程。为此，制定了《标准》的基本理念与设计思路。 基本理念数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性、普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 1、课程内容既要反映社会的需要、数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容要贴近学生的生活，有利于学生经验、思考与探索。内容
小学数学教学设计理念 新课程下的小学数学教学设计理念数学化设计理念新课程标准强调的数学学习的基本理念之一是人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展，这种数学大众化的教育思想，要求我们在教学设计的时候要力求做到“生活问题数学化”好的教师，善于选用学生身边的人、学生身边的事、学生熟悉的物来进行数学化设计[案例1]一位教师在进行“分数除法”的内容教学时，就有这么一个片段师：谁能告诉老师，我们班男生、女生各有多少？生：我们班有男生25人，女生20人师：根据这两条信息，你们想到什么，生：男生人数是女生的5／4生：女生人数是男生的4／5根据以上四条信息，你们能不能选取其中两条，提出一个问题？我们班有男生25人，女生人数是男生的4／5，女生有多少人？我们班有女生20人，男生人数是女生的5／4，男生有多少人？我们班有女生20人，女生人数是男生的4／5，男生有多少人？我们班有男生25人，男生人数是女生的5／4，女生有多少人？师：你们自己能解答这些问题吗？试试看我们看到，在上课前，教师就利用学生熟悉的班级男生与女生人数，引导学生去提问，去组合条件编写题目，从而将生活中的问题不知不觉地数学化了，这不仅激发了学生的学习热情与积极情感，也培养了学生数学应用与数学化的意识[案例2]“三位数的乘法”教学
“乘数是三位数的乘法”时，原题的内容是一个粮店三月份售出面粉6学生很快算出平年是4380千克，闰年是4392千克随着计算结果的出现，学生觉得非常吃惊：“哇!这么多呀！”看着学生吃惊的样子，教师又提出新的要求：“你家所住的楼房共有多少户?如果按一家一个水龙头计算，一年要白白流掉多少水?”虽说都是“三位数的乘法”的应用题，但是由于学生们对来源于生活的素材感兴趣，所以他们感觉不难而且有趣，同时体现了课程综合化要求，使学生受到了节约用水的教育这样，把教材中缺少生活气息的题材改编成了学生感兴趣的、活生生的题目，使学生积极主动地投入到学习生活中，让学生发现数学就在自己身边，从而提高了学生用数学思想来看待实际问题的能力通过开联欢会，能与数学联系起来，与数学的除法、余数等联系起来，这是谁能事前想到的呢？也正是通过这种现实生活的活动，通过活动与数学的巧妙联系，让学生感受并体验到数学化，体验到生活中处处充满数学，生活需要数学问题化设计理念在教学设计的时候，如果始终将数学的教与学置于各种奇妙的富于思考的问题情境之中，这种设计就是很好地贯穿了问题化设计理念提出问题是思维活动的出发点，对于数学知识的学习，如果教师能善于把课堂教学设计成一个又一个生动有趣却又富于思考的问题，那么学生就会真正地处于一种积极的思考状态我们的教学设计，要处处体现问题化理念，问题化理念
二年级数学 第一学期期中质量检测卷 一、我会认真填一填。（共17分，每空1分） 1. 一个角有（）个顶点，（）条边。 2. 27米-18米=（）米 15厘米-8厘米=（）厘米30厘米+70厘米=（）厘米 =（）米 3. 三角板上有（）个角，其中有（）个直角。 4.小明身高125（），旗杆高约12（）。 5.量比较短的物体的长度，可以用（）作单位，量比较长的物体的长度或距离，通常用（）做单位。 6.一个数比44多18，这个数是（）。 7.笔算加减法时，（）要对齐，从（）位算起。 8.量一支粉笔的长度，先把尺子的（）刻度对准粉笔的左端，再看粉笔的右端正好对着刻度“11”，那么这支粉笔的长度就是（）厘米。 二、选择正确答案的序号填在（）里。（共15分，每题3分） 1. 角的大小和两条边的长短（）。 ①有关②无关③不能确定 2. 一个三角板上有（）个直角。 ①1 ②2 ③3
3.水果店有100千克苹果，上午卖了35千克，下午卖了43千克，还剩（）千克。 ①22 ②32 ③28 4.教室的长是7（）。 ①米②厘米 5.得数大于60的算式是（）。 ①36﹢18 ②93-23 ③29+23 三、判断，对的画“√”，错的画“×”（共10分，每题2分） 1.两位数减两位数要从十位减起。（） 2.25比9多16。（） 3.一张课桌长35米。（） 4.直角是角中最大的角。（） 5.学校操场长100厘米。（） 四、我能正确计算。（共27分） 1.小小口算家。（共9分，每题1分） 33+30= 4+43= 45+9= 23+8= 46－6= 67－8= 2+6+13= 24+7－8= 18+7－9= 2.用竖式计算。（共18分，每题3分）
小学数学课程标准（2016）
2016小学数学新课标内容 一、前言 《全日制义务教育数学课程标准（修定稿）》（以下简称《标准》）是针对我国义务教育阶段的数学教育制定的。根据《义务教育法》.《基础教育课程改革纲要（试行）》的要求，《标准》以全面推进素质教育，培养学生的创新精神和实 践能力为宗旨，明确数学课程的性质和地位，阐述数学课程的基本理念和设计思路，提出数学课程目标与内容标准，并对课程实施（教学.评价.教材编写）提出建议。 《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有 指导作用，教学内容的选择和教学活动的组织应当遵循这些基本理念和目标。《标准》规定的课程目标和内容标准是义务教育阶段的每一个学生应当达到的基本要求。《标准》是教材编写.教学.评估.和考试命题的依据。在实施过程中，应当遵照《标准》的要求，充分考虑学生发展和在学习过程中表现出的个性差异，因材 施教。为使教师更好地理解和把握有关的目标和内容，以利于教学活动的设计和 组织，《标准》提供了一些有针对性的案例，供教师在实施过程中参考。 二、设计理念 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类的活动息息相关，特别 是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个 方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然 科学和技术科学的基础，而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本 素养。数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌
握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能。 义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生的整体素质的提高，促进学生全面.持续.和谐发展。课程设计要满足学生未来生活.工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识和基本技能，发展学生抽象思维和推 理能力，培养应用意识和创新意识，在情感.态度与价值观等方面都要得到发展；要符合数学科学本身的特点.体现数学科学的精神实质；要符合学生的认知规律 和心理特征.有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果 的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题.构建数学模型.得到结果.解决问题的过程。为此，制定了《标准》的基本理念与设计 思路。 基本理念 数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性.普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。课程内 容既要反映社会的需要.数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包 括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容要贴近 学生的生活，有利于学生经验.思考与探索。内容的组织要处理好过程与结果的 关系，直观与抽象的关系，生活化.情境化与知识系统性的关系。课程内容的呈 现应注意层次化和多样化，以满足学生的不同学习需求。数学活动是师生共同参与.交往互动的过程。有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，学生是数 学学习的主体，教师是数学学习的组织者与引导者。数学教学活动必须激发学生
2016版小学数学新课程标准【最新精选】第一部分前言 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能;培养学生的抽象思维和推理能力;培养学生的创新意识和实践能力;促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念 1(数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得:人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 2(课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的
选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系;要重视直观，处理好直观与抽象的关系;要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。 3(教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。 数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。 4(学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程;既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心。 5(信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式
正比例 教学目标： 1．理解正比例的意义，能够根据正比例的意义判断两个量是否成正比例。 2．了解表示成正比例的量的图像特征，能根据图像解决有关正比例的简单问题。 3．通过观察、实验、计算等方法，逐步理解正比例的意义。 4．在小组合作学习中，发展学生的观察分析、判断推理和抽象概括的能力，初步渗透函数思想。 5．培养学生动手操作、实验、观察等良好的学习态度和习惯。 6．感受数学的魅力，体会数学知识间的联系，感受数学知识在生活中的广泛应用。 教学重点：理解正比例的意义。 教学难点：掌握正比例的量的变化规律及其特征。 教学过程： 一、复习导入 商店里有两种包装的袜子，一种是5双一包的，售价为25元，一种是8双一包的，售价为32元，哪种袜子更便宜？ 学生独立完成后，老师提问：你们是怎么比较的？（求出袜子的单价再进行比较）根据哪个数量关系式进行计算的？（单价=总价÷数量）如果单价不变，商品的总价和数量的变化有什么规律呢？这节课，我们就来研究正比例。老师板书课题。 二、新授
1．教学例1，学习正比例的意义。 ⑴出示例1表格，让学生观察表中的数据，思考表中有哪两种量？总价是怎样随着数量的变化而变化的？（表中有数量和总价两种量，数量增加，总价增加；数量减少，总价减少。数量扩大到原来的几倍，总价也扩大到原来的几倍；数量缩小到原来的几分之几，总价也随着缩小到原来的几分之几。） ⑵认识相关联的量。 像这样，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量叫做“相关联的量”。 2．计算表中的数据，理解正比例的意义。 ⑴计算相应的总价与数量的比值，看看有什么规律。 0.5/1=1.0/2=1.5/3=2.0/4=2.5/5=3.0/6=3.5/7=4.0/8，比值相等。 ⑵说一说，每一组数据的比值表示什么？（铅笔的单价） ⑶让学生用公式把铅笔的总价、数量、单价之间的关系表示出来。 总价/数量=单价（一定） ⑷明确成正比例的量及正比例关系的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。 如果用字母y和x表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用下面的式子表示：y/x=k（一定）（老师板书） 3．列举并讨论成正比例的量。 ⑴生活中还有哪些成正比例的量？让学生说一说。（速度一定，路程和时间成正比例；长方形的宽一定，面积和长成正比例）
小学数学新课程标准培训总结 平等对话是课堂教学的基础。下面是为大家整理的关于小学数学新课程的标准培训总结，欢迎大家的阅读。 小学数学新课程标准培训总结一经过一个阶段的 小学数学培训，使我受益匪浅，感受很多，教师要适应新课程教学，就必须接受继续教育。应对新课程充分理解，诚心接受，热情投入，有效实施并根据新课程要求，不断提高自身综合素质。在新课程实施中实现自身发展，教师的发展又将构成新课程实施的条件。 通过学习，使我对新课程标准有了进一步的理解，对新教材有了一个新的认识，获得了教材实验操作上的一些宝贵经验。其中感触最深的是新教材特别关注学生的全面发展。由原来过多地关注基础知识和技能的形成转变为在学习基础知识和技能的同时，更加关注学生的情感，态度、价值观新教材的编写从儿童的现实生活和童真世界出发。图文并茂，版式多样、风格活泼，色彩明丽，能吸引学生阅读，激发学习兴趣。因此，面对耳目一新的教材。我们当教师的就应该理解教材目标，明白把握教材编排的特点，选用恰当的教学手段，努力为学生创造一个良好的有利益学生全面发展的教学情境。从而达到激发学习兴趣，使学生积极主动的参与到教学中来。那下面就根据自己对课程标准的理解谈点体会。 心理学告诉我们，学生的学习积极性，很大程度取决于学习
兴趣。因此，教师在教学活动中就要用各种教学手段，努力为学 生创设一种宽松、愉快、和谐的教学情境，引发学生积极思考，主动学习。新教材中例题，习题的安排都与学生的生活实际非常接近，许多情境图完全可以通过学生实际活动，亲身体验来表现。同时学生也会感受到学习不是枯燥的，而是有趣的。所以教学时完全可以根据实际情况采用游戏，表演等实际活动将情景图所提供的内容进一步动作化，情景化，使学生全身心地置身于真实的数学活动情境中，增加实际体验，亲身感受数学，还可用现代化教学手段创设情境，使静态的画面动作，抽象的知识形象化，具体化、渲染气氛，创设学习情境。 新教材体现的是算法多样化的教学思想。因此教师在教学中要鼓励学生大胆思考，用同一个问题积极寻求多种不同的思路，使之有所发现，有所创新，工作总结《小学数学培训总结》。让学生充分暴露和展示思考问题的过程，发表独特地见解。对于学生的不同想法，教师要及时地给予肯定和表扬，使他们享受到成功的喜悦，增强创造性活动的信心。如新教材在编排“ 9加几”的计算时，注意体现新的教学理念，设计的情境有利于学生了解现实生活中的数学，让学生感受到数学与现实生活的密切联系。这样既培养学生从多方 面，不同角度思考问题的能力，同时学生的求异思维也得到 了培养。 当然，教学过程中创设情境，培养学生学习主动性的方法是
小学数学课程标准 第一部分前言 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来，数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值，推动着社会生产力的发展。 数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念 1．数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。 2．课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。
《小学四年级数学上册》课程标准 科目名称：小学数学 课程类型：基础性课程 课程材料：人教版四年级数学上册 授课时间：60课时左右 授课教师：董建新黄美红 授课对象：北京王府外国语学校四年级 使用时间：2015—2016学年度第一学期 一、教材分析 本册教材内容包括：大数的认识，公顷和平方千米、三位数乘两位数（口算乘 法和笔算乘法），除数是两位数的除法（口算除法和笔算除法），角的度量，平行四边形和梯形的认识，复式条形统计图；数学广角和数学实践活动等。 本册教材主要特点：总体上看，本册实验教材仍然具有内容丰富、关注学生的经验与体验、体现知识的形成过程、鼓励算法多样化、改变学生的学习方式，体现 开放性的教学方法等特点。教材努力体现新的教材观、教学观和学习观，具有创新、实用、开放的特点。既注意体现新理念，又注意继承传统数学教育的内涵， 使教材具有基础性、丰富性和发展性。 1.优化大数认识的编排结构，突出数学的文化特色，为培养学生的数感提供丰富 素材。 2.计算教学内容的编排体现改革的理念，注重培养学生灵活的计算能力，发展学 生的数感。 3.提供丰富的空间与图形的教学内容，注重实践与探索，促进学生空间观念的发展。 4.加强统计知识的教学，使学生的统计知识和统计观念得到进一步提升。 5.有步骤地渗透数学思想方法，培养学生数学思维能力和解决问题的能力。 6.情感、态度、价值观的培养渗透于数学教学中，用数学的魅力和学习的收获激 发学生的学习兴趣与内在动机。 二、课程目标： 这一册教材的课程目标是，使学生： 1、认识计数单位“十万”“百万”“千万”“亿”“十亿”“百亿”“千亿”，认识 自然数，掌握十进制计数法，会根据数级读、写亿以内和亿以上的数，会根 据要求用“四舍五入”法求一个数的近似数。体会和感受大数在日常生活中的应用，进一步培养数感。 2、会笔算三位数乘两位数的乘法，除数是两位数的除法，会进行相应的乘、除 法估算和验算。
2018小学数学新课程标准测试题及答案 2018 小学数学新课程标准测试题及答案 一、填空 1、数学学习的主要方式应单纯的、模仿和转变为、与实践创新； 2、从“标准”的角度分析内容标准，可发现以下特点：。 3、内容标准是数学课程目标的进一步。 4、内容标准应指关于的指标 5、与现行教材中主要采取的“——定理————习题”的形式不同，《标准》提倡以“————解释、应用与拓展”的基本模式呈现知识内容 6、新课程的“三维”课程目标是指，、。 7、改变课程内容难、、的现状，建设浅、、的内容体系，是数学课程改革的主要任务之一。 8、“数据统计活动初步对数据的收集、、和分析过程有所体验。 9、数学课程的总体目标包括、、 10、综合实践活动的四大领域、信息技术教育和劳动与技术教育。 11、“实践与综合应用”在第一学段以为主题，在第二学段以为主题。 12、统计与概率主要研究现实生活中的和客观世界中的。 13、在第一学段空间与图形部分，学生将认识简单的和，
感受、、，建立初步的。 14、与大纲所规定的内容相比，课程标准在内容的知识体系方面有，在内容的学习要求方面有，在内容的结构组合方面有，在内容的表现形式方面有。 15、“空间与图形”的内容主要涉及现实世界中的物体、几何体和平面图形的 ( )及其变换,它是人们更好地认识和描述生活空间，并进行交流的重要工具。 16、数学是人们对定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。 17、为了体现义务教育的普及性、( )和发展性，新的数学课程首先关注每一个学生的情感、 ( )、( )和一般能力的发展。 18、新课程的最高宗旨和核心理念是。 19.新课程倡导的学习方式是。 20.教材改革应有利于引导学生利用已有的和，主动探索知识的发生与发展 二、多选 1. 简述质性评定的主要特征有 A.评定是一种自上而下的评价. B.评价的目的在于促进主体人的发展 C.评价的方式具有情境性 D.评定是不断探索改进的过程 2.下列关于新型知识观的说法正确的是 A.个人见解在给定的课程知识面前没有意义 B.知识客观化和科学化的追求必然是以牺牲个人知识因素为代价的 C.缄默知识对人类的认识有着深刻的影响 D.知识为
2016版小学数学新课程标准【最新精选】第一部分 前言 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关,随着现代信息技术的飞速发展,数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具,不仅是自然科学和技术科学的基础,而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。特别是20世纪中叶以来,数学与计算机技术的结合在许多方面直接为社会创造价值,推动着社会生产力的发展。 数学是人类文化的重要组成部分,数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。作为促进学生全面发展教育的重要组成部分,数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能,更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。 一、课程性质 义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程,具有基础性、普及性和发展性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能;培养学生的抽象思维和推理能力;培养学生的创新意识和实践能力;促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础。 二、课程基本理念 1(数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标,要面向全体学生,适应学生个性发展的需要,使得:人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展。 2(课程内容要反映社会的需要、数学的特点,要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的
选择要贴近学生的实际,有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程,处理好过程与结果的关系;要重视直观,处理好直观与抽象的关系;要重视直接经验,处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性和多样性。 3(教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一,学生是学习的主体,教师是学习的组织者、引导者与合作者。 数学教学活动应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯,使学生掌握恰当的数学学习方法。 学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外,动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础,面向全体学生,注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用,处理好讲授与学生自主学习的关系,引导学生独立思考、主动探索、合作交流,使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得基本的数学活动经验。 4(学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果,激励学生学习和改进教师教学。应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果,也要重视学习的过程;既要关注学生数学学习的水平,也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度,帮助学生认识自我、建立信心。 5(信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术,要注意信息技术与课程内容的整合,注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式
2016小学数学课程标准
2016小学数学新课标内容 一、前言 《全日制义务教育数学课程标准（修定稿）》（以下简称《标准》）是针对我国义务教育阶段的数学教育制定的。根据《义务教育法》.《基础教育课程改革纲要（试行）》的要求，《标准》以全面推进素质教育，培养学生的创新精神和实践能力为宗旨，明确数学课程的性质和地位，阐述数学课程的基本理念和设计思路，提出数学课程目标与内容标准，并对课程实施（教学.评价.教材编写）提出建议。 《标准》提出的数学课程理念和目标对义务教育阶段的数学课程与教学具有指导作用，教学内容的选择和教学活动的组织应当遵循这些基本理念和目标。《标准》规定的课程目标和内容标准是义务教育阶段的每一个学生应当达到的基本要求。《标准》是教材编写.教学.评估.和考试命题的依据。在实施过程中，应当遵照《标准》的要求，充分考虑学生发展和在学习过程中表现出的个性差异，因材施教。为使教师更好地理解和把握有关的目标和内容，以利于教学活动的设计和组织，《标准》提供了一些有针对性的案例，供教师在实施过程中参考。 二、设计理念 数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类的活动息息相关，特别是随着计算机技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在社会科学与人文科学中发挥着越来越大的作用。数学是人类文化的重要组
成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。数学教育作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，一方面要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，一方面要充分发挥数学在培养人的科学推理和创新思维方面的功能。 义务教育阶段的数学课程具有公共基础的地位，要着眼于学生的整体素质的提高，促进学生全面.持续.和谐发展。课程设计要满足学生未来生活.工作和学习的需要，使学生掌握必需的数学基础知识和基本技能，发展学生抽象思维和推理能力，培养应用意识和创新意识，在情感.态度与价值观等方面都要得到发展；要符合数学科学本身的特点.体现数学科学的精神实质；要符合学生的认知规律和心理特征.有利于激发学生的学习兴趣；要在呈现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题.构建数学模型.得到结果.解决问题的过程。为此，制定了《标准》的基本理念与设计思路。 基本理念 数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，体现基础性.普及性和发展性。义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。课程内容既要反映社会的需要.数学学科的特征，也要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结论，也应包括数学结论的形成过程和数学思想方法。课程内容要贴近学生的生活，有利于学生经验.思考与探索。内容的组织要处理好过程与结果的关系，
义务教育《小学数学课程标准》评价建议（研修资料）评价的主要目的是全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。评价应以课程目标和内容标准为依据，体现数学课程的基本理念，全面评价学生在知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现。 评价不仅要关注学生的学习结果，更要关注学生在学习过程中的发展和变化。应采用多样化的评价方式，恰当呈现并合理利用评价结果，发挥评价的激励作用，保护学生的自尊心和自信心。通过评价得到的信息，可以了解学生数学学习达到的水平和存在的问题，帮助教师进行总结与反思，调整和改进教学内容和教学过程。 1. 基础知识和基本技能的评价 对基础知识和基本技能的评价，应以各学段的具体目标和要求为标准，考查学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度，以及在学习基础知识与基本技能过程中的表现。在对学生学习基础知识和基本技能的结果进行评价时，应该准确地把握“了解、理解、掌握、应用”不同层次的要求。在对学生学习过程进行评价时，应依据“经历、体验、探索”不同层次的要求，采取灵活多样的方法，定性与定量相结合、以定性评价为主。 每一学段的目标是该学段结束时学生应达到的要求，教师需要根据学习的进度和学生的实际情况确定具体的要求。例如，下表是对第一学段有关计算技能的基本要求，这些要求是在学段结束时应达到的，评价时应注意把握尺度，对计算速度不作过高要求。 表1 第一学段计算技能评价要求 学习内容速度要求 20以内加减法和表内乘除法口算8~10题/分 百以内加减法口算3~4题/分 三位数以内的加减法笔算2~3题/分 两位数乘两位数笔算1~2题/分 一位数除两位或三位数的除法笔算1~2题/分 教师应允许学生经过较长时间的努力，随着数学知识与技能的积累逐步达到学段目标。在实施评价时，可以对部分学生采取“延迟评价”[5]的方式，提供再次评价的机会，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。 2. 数学思考和问题解决的评价 数学思考和问题解决的评价要依据总目标和学段目标的要求，体现在整个数学学习过程中。 对数学思考和问题解决的评价应当采用多种形式和方法，特别要重视在平时教学和具体的问题情境中进行评价。例如，在第二学段，教师可以设计下面的活动，评价学生数学思考和问题解决的能力： 用长为50厘米的细绳围成一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积达到
一、平面图形的周长公式 长方形的周长： C= 正方形的周长： C= 圆的周长：已知r， C= 已知d， C = 二、平面图形的面积公式 三角形面积： S= 平行四边形面积： S= 梯形面积： S= 长方形的面积： S= 正方形的面积： S= 圆的面积：已知r，S= 已知d，S= 已知C，S= 圆环形面积： S环= 三、立体图形的表面积公式长方体的表面积： S表= 正方体的表面积： S表= 圆柱体的侧面积： 已知r和h，S侧= 已知d和h，S侧= 已知C和h，S侧= 圆柱体的表面积： 已知r和h，S表= 已知d和h，S表= 已知C和h，S表= 四、立体图形的体积公式 长方体的体积：V长方体= 正方体的体积：V正方体= 圆柱体的体积： 已知r和h，V圆柱= 已知d和h，V圆柱= 已知C和h，V圆柱= 长方体、正方体和圆柱都共用的体积公式： 已知S和h，V= 圆锥体的体积： 已知r和h，V圆锥= 已知d和h，V圆锥= 已知C和h，V圆锥= 已知S和h，V圆锥= 五、常用π的默写 2π=_______3π=________4π=_______ 5π=_______6π=________7π=_______ 8π=_______9π=________10π=_______ 11π=________12π=_______13π=_______ 14π=_______15π=_______16π=_______ 17π=_______18π=_______19π=_______ 20π=_______25π=________36π=________
64π=________49π=________81π=________