高考复习：函数的单调性
定义
定义域
区间
对应法则值域
一元二次函数一元二次不等式
映射
函数
性质
奇偶性
单调性周期性
指数函数
根式分数指数
指数函数的图像和性质
指数方程对数方程
反函数
互为反函数的函数图像关系
对数函数
对数
对数的性质
积、商、幂与根的对数
对数恒等式和不等式常用对数自然对数对数函数的图像和性质
一、单调性
1．定义：如果函数f(x)y 对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、 若函数f (x )在整个定义域l 内只有唯一的一个单调区间，则f (x )称为 . 2．判断单调性的方法： (1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ . (2) 导数法，若函数y ＝f (x )在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则f (x )在这个区间上是增函数；②若 ，则f (x )在这个区间上是减函数. 二、单调性的有关结论 1．若f (x ), g (x )均为增(减)函数，则f (x )＋g (x ) 函数； 2．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为 ； 3．互为反函数的两个函数有 的单调性； 4．复合函数y ＝f [g(x )]是定义在M 上的函数，若f (x )与g(x )的单调相同，则f [g(x )]为 ，若f (x ), g(x )的单调性相反，则f [g(x )]为 . 5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调性 . 1、增函数与减函数的定义： 定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数。 2、单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 说明：（1）函数的单调区间是其定义域的子集； （2）应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）， 1、定义法 步骤：(1)取值：设2121,x x A x x <∈且； (2)作差：21()()f x f x -； (3)变形：一般结果要分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出； (4)定号：即确定差21()()f x f x -的符号，当符号不确定时，可进行分区 间讨论； (5)判断：根据增函数与减函数的定义下结论。 例 讨论函数342+-=x x y 的单调性. 解：取x 1＜x 2，x 1、x 2∈R ， 取值 f (x 1)－f (x 2)＝(x 12－4x 1+3)－(x 22－4x 2+3) 作差 ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4) 变形 当x 1＜x 2＜2时，x 1＋x 2－4＜0，f (x 1)＞f (x 2)， 定号 ∴y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减． 判断 当2＜x 1＜x 2时， x 1＋x 2－4＞0，f (x 1)＜f (x 2)， ∴y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增．综上所述y ＝f (x )在(－∞, 2)单调递减，y ＝f (x )在(2, ＋∞)单调递增. 2、导数法：一般地，设函数y =f (x ) 在某个区间内有导数. 常用方法 (1)如果在这个区间内y '>0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的增函数； (2)如果在这个区间内y '<0，那么函数y =f (x ) 在为这个区间内的减函数. 利用导数确定函数的单调性的步骤： (1) 确定函数f (x )的定义域； (2) 求出函数的导数； (3) 解不等式f '(x )＞0，得函数的单调递增区间； 解不等式f '(x )＜0，得函数的单调递减区间． 例 已知函数 ||ln )(2x x x f =，求函数)(x f 的单调区间； 解：函数)(x f 的定义域为{R x x ∈|且0≠x } 当0>x 时， )1ln 2(1 ln 2)(2+?=? +?='x x x x x x x f 若2 10- < x ，则 0)(<'x f ，)(x f 递减； 若2 1 ->e x ， 则 0)(>'x f ，)(x f 递增． 当0x <时，由于 )(x f 是偶函数，得)(x f 的递增区间是),(2 1---∞e 和 ),(2 1∞+- e ；递减区间是)0,(2 1--e 和),0(2 1- e ． 例1已知 ?? ?≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么 a 的取值范 围是 （ ） （A ）)1,0( （B ）) 31 ,0( （C ）) 3 1,71[ （D ）) 1,71[ 例2在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ） A ． ) (log 2 1x y --= B ． x x y -= 1 C ．2 )1(+-=x y D ．2 1x y += 典型例题 例3 设1,0≠>a a ，函数x a x f -=)(是增函数，则不等式0 )75(log 2 >+-x x a 的 解集为 ( ) 【（2，3）】 例4 判断函数 )0(1)(2 ≠-= a x ax x f 在区间（-1，1）上的单调性。 例5 设a >0且1≠a ，试求函数) 34(log 2x x y a -+=的单调区间。 例6已知函数)x (f =x a +1 2 +-x x (a ＞1)，证明：函数)x (f 在(-1,+∞)上为增函数. 证明 方法一 任取1x 、2x ∈(-1,+∞), 不妨设1x ＜2x ,则2x -1x ＞0,12x x a -＞1且01 >x a ， ∴ 0)1(1 21 1 2 >-=--x x x x x a a a a ，又∵x 1+1＞0,x 2+1＞0, ∴ ) 1)(1() (3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122++-=+++--+-=+--+-x x x x x x x x x x x x x x ＞0, 于是f(x 2)-f(x 1)=12 x x a a -01 2 121122>+--+-+ x x x x 故函数)x (f 在（-1,+∞）上为增函数. 方法二 )x (f =)1(1 3 1>+- +a x a x , 求导数得)(x f '=a ln a x 2 )1(1++x ,∵a ＞1,∴当x ＞-1时，a ln a x ＞0, 2)1(1+x ＞0, )(x f '＞0 在（-1，+∞）上恒成立，则)x (f 在（-1,+∞）上为增函数. 方法三 ∵1>a ,∴x a y =为增函数， 又1 3 112+-+=+-= x x x y ，在（-1，+∞）上也是增函数. ∴1 2 +-+=x x a y x 在（-1，+∞）上为增函数. 例7. (2009·福建文)已知函数 3 21(),3 f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）令 1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点 1122(,()),(,())M x f x N x f x ， 证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点； 解法一： （I ） 依题意，得2'()2f x x ax b =++； （II ） 由 '(1)120f a b -=-+=得21b a =- （Ⅱ）由（I ）得 32 1()(21)3 f x x ax a x =++- 故2 '()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++- 令 '*()0f x =，则1x =-或12x a =- ①当1a >时，121a -<- 当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表： x (,12)a -∞- (2,1)a -- (1)-+∞ '()f x + — + ()f x 单调递增 单调递减 单调递增 由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和，单调减区间 为(12,1)a -- ②由1a =时，121a -=-，此时， '()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处 '()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1) -∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a -- 综上：当 1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞， 单调减区间为(12,1)a --； 当1a =时，函数 ()f x 的单调增区间为R ； 当1a <时，函数 ()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区 间为(1,12)a -- （Ⅲ）当1a =-时，得3 21()33f x x x x =--； 由 3'()230f x x x =--=，得121,3x x =-= 由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区 间为 (1,3)- 所以函数 ()f x 在121.3x x =-=处取得极值。 故 5 (1,).(3,9)3 M N -- 所以直线MN 的方程为 813 y x =-- 由22 133813y x x x y x ?=--????=--?? 得32330x x x --+= 令32()33F x x x x =--+ 易得 (0)30,(2)30 F F =>=-<，而 () F x 的图像在 (0,2)内是一条连续不断的曲线， 故()F x 在(0,2)内存在零点 0x ，这表明线段MN 与曲线()f x 有异于 ,M N 的公共点 解法二： （I ）同解法一 （Ⅱ）同解法一。 （ Ⅲ ） 当 1 a =-时，得 32 1()33f x x x x x =--，由 2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-= 由（Ⅱ）得 ()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为 (1,3) -，所以函数 () f x 在 121,3 x x =-=处取得极值，故 5 (1,),(3,9)3 M N -- 所以直线MN 的方程为8 13 y x =-- 由 32133813y x x x y x ?=--??? ?=--?? 得 32330 x x x --+=； 解得 1231, 1.3x x x =-== 12331211 35119,,33x x x y y y =-=??=??? ∴???=-==-????? 所以线段 MN 与曲线 ()f x 有异于,M N 的公共点11 (1,)3 - 1．证明一个函数在区间D 上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论. 2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内. 3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围. 1：讨论函数f （x ）=x+x a （a ＞0）的单调性. 2. 判断函数f(x)= 12-x 在定义域上的单调性. 变式训练：求函数y= 2 1 log （4x-x 2）的单调区间. 3. 求下列函数的最值与值域： （1）y=4- 2 23x x -+; (2)y=x+x 4;(3)y= 4 )2(122+-++x x . 变式训练：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf （x ）=f （x+1）-f （x ）.某公司每月最多生产100台报警系统装置，生产x （x ＞0）台的收入函数为R （x ）=3 巩固练习 小结归纳 000x-20x 2 (单位：元)，其成本函数为C （x ）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差. （1）求利润函数P （x ）及边际利润函数MP （x ）； （2）利润函数P （x ）与边际利润函数MP （x ）是否具有相同的最大值？ 4．（2009·广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f( )2 1 x x =f(x 1)-f(x 2)，且当x ＞1时，f(x)＜0. （1）求f(1)的值； （2）判断f(x ）的单调性； （3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2. 变式训练：函数f(x)对任意的a 、b ∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x ＞0时，f(x)＞1. （1）求证：f(x)是R 上的增函数； （2）若f(4)=5,解不等式f(3m 2-m-2)＜3. 补充例题： 【例2】设a >0且1≠a ，试求函数)34(log 2 x x y a -+=的单调区间。 【例1】判断函数)0(1 )(2 ≠-= a x ax x f 在区间（-1，1）上的单调性。 【例3】求函数)21(3 )(2 ≤≤-= x x x x f 的值域。 补充练习： 1．在区间)0,(-∞上为增函数的是（ ） A ．)(log 2 1x y --= B ．x x y -= 1 C ．2 )1(+-=x y D ．2 1x y += 2．已知偶函数)(x f 在区间],0[π上单调递增，那么下列关系成立的是（ ） A ．)(π-f >)2(-f >)2 (π f B ．)(π-f >)2 (π-f >)2(-f C ．)2(-f >)2 (π- f >)(π-f D ．)2 (π- f >)2(-f >)(πf 3．已知函数)(x f 在),(∞+-∞内是减函数，0,,≤+∈b a R b a 且，则有（ ） A ．)()()()(b f a f b f a f --≤+ B ．)()()()(b f a f b f a f --≥+ C ．)()()()(b f a f b f a f -+-≤+ D ．)()()()(b f a f b f a f -+-≥+ 4．函数2 x x e e y --=的反函数是（ ） A ．是奇函数，且在),0(∞+上是减函数 B ．是奇函数，且在),0(∞+上是增函数 C ．是偶函数，且在),0(∞+上是减函数 D ．是偶函数，且在),0(∞+上是增函数 5．函数x x y +-= 11的减区间是 6．函数5 42)2 1(+-=x x y 的单调减区间是 7．若函数2)1(2)(2 +-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上是减函数，那么实数a 的取值范围是 8．已知奇函数)(x f y =是定义在（-2，2）上的减函数，若0)12()1(>-+-m f m f ，则实数m 的取值范围是 9．设x x e a a e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数， （1）求a 的值；（2）证明)(x f 在),0(∞+上是增函数。 10．已知函数x x x f 1 )(+ = （1）判断)(x f 在区间（0，1）和),1[∞+上的单调性； （2）求)(x f 在]5,2 1[∈x 时的值域。 10月2日 抽象函数的单调性 1、对任意都有：，当，又知 ()f x ,x y R ∈()()()f x y f x f y +=+0,()0x f x ><时，求在上的值域. (1)2f =-()f x []3,3x ∈-2、f(x)对任意实数x 与y 都有,当x>0时,f(x)>2 ()()()2f x f y f x y -=--（1）求证:f(x)在R 上是增函数； （2）若f(1)=5/2,解不等式f(2a-3) < 3. 3、已知函数对任意有，当时，f x ()x y R ，∈f x f y f x y ()()()+=++2x >0，，求不等式的解集. f x ()>2f ()35=f a a ()2223--<4、f(x)是定义在x>0的函数,且f(xy) = f(x) + f(y);当x>1时有f(x)<0;f(3) = -1. (1)求f(1)和f(1/9)的值；（2）证明f(x)在x>0上是减函数； （3）解不等式f(x) + f(2-x) < 2。 5、定义在上函数对任意的正数均有：，且当(0,)+∞()y f x =,a b (()() a f f a f b b =-时，,（I ）求的值;（II ）判断的单调性, 1x <()0f x >(1)f ()f x 6、若非零函数对任意实数均有，且当时，)(x f b a ,()()()f a b f a f b +=?0 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. ★备考知考情 1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P15 注意： 研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！ 知识点一函数的单调性 1.单调函数的定义 1 2 2.单调性、单调区间的定义 若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间. 注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？ (1)定义中x 1，x 2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式： 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1 3 1212 ()() 0-<-f x f x x x ? f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0?f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0?f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2、《名师一号》P16 问题探究 问题2 单调区间的表示注意哪些问题？ 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结． 知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法: 利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x 1、x 2∈D ，且x 1 高一数学函数单调性 一、函数单调性知识结构 【知识网络】 1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用 二、重点叙述 1. 函数单调性定义 (一)函数单调性概念 (1)增减函数定义 一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 : 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数; 如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。 如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。 (2)函数单调性的内涵与外延 ⑴函数的单调性也叫函数的增减性。函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。 ⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D, ① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性) ② y=f(x)在区间D上是增函数,且x1＜x2 , f(x1 ) ＜f(x2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D上是增函数,且f(x1 ) ＜f(x2 ), x1＜x2。(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法 证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。 实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。 (1)定义法:利用增减函数的定义证明。在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比 函数的单调性 知识梳理 1. 单调性概念 一般地，设函数()f x 的定义域为I ： （1）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说函数()f x 在区间D 上是增函数； （2）如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就说函数()f x 在区间D 上是减函数. 2. 单调性的判定方法 （1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （2）定义法步骤； ①取值：设12,x x 是给定区间内的两个任意值，且12x x < (或12x x >)； ②作差：作差12()()f x f x -，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号为止）； ③定号：判断12()()f x f x -的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论； ④下结论：根据定义得出其单调性. （3）复合函数的单调性： 当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 3. 单调区间的定义 如果函数()y f x =，在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间D 叫做()y f x =的单调区间． 例题精讲 【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图． (1)从左向右看，图形是如何变化的？ (2)在哪些区间上升哪些区间下降？ 解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降； （2）在区间[0,4]和[14,24]下降，在区间[4,14]下降。 【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律： （1）f (x )=x ; ①从左至右图象上升还是下降 ②在区间(-∞，+∞)上，随着x 的增大，f (x )的值随着怎么变化？ 1、已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求 证：f x ()是偶函数。 2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由. 3、函数f(x)对任意x ?y ∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, f x ()<0, f(3)=-2. (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (2 1)=－1,当且仅当0 6、定义在R 上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a 、b ∈R ，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x ∈R ，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R 上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x 2)>1，求x 的取值范围。 7、已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2) 判断函数()f x 的单调性,并证明. 8、函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 意,x y R ∈,有()[()]y f xy f x =;③1 ()13 f >. (1)求(0)f 的值; (2)求证: ()f x 在R 上是单调减函数; 2.3 函数的单调性 学习目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值． 重点难点：函数单调性的应用 一、知识点梳理 1．函数单调性定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D, 当x 1 若内外两函数的单调性相反时，则()y f g x =????在x 的区间D 内单调递减． 3．常见结论 若f(x)为减函数，则-f(x)为增函数 ； 若f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数) (1x f 在其定义域内为减函数． （ 二、例题精讲 题型1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间 （1）,b kx y += （2）x k y =， （3）c bx ax y ++=2． * 2．求函数22||3y x x =-++的单调区间． # ３．判断函数f （x ）＝1 x 2－4x 的增减情况． 用函数单调性定义证明 例1、用函数单调性定义证明: (1)为常数)在上是增函数. (2)在上是减函数. 分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论. 证明: (1)设是上的任意两个实数，且， 则 = 由得，由得， . ，，即 . 于是即 . 在上是增函数. (2) 设是上的任意两个实数，且， 则 由得，由得 .又 ， . 于是 即 . 在 上是减函数. 小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号. 根据单调性确定参数 例1、函数 在 上是减函数，求 的取值集合. 分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究. 解：当 时，函数此时为 ，是常数函数，在 上不 具备增减性. 当 时， 为一次函数，若在 上是减函数，则有 ，解得 .故所求 的取值集合为 . 小结：此题虽比较简单，但渗透了对分类讨论的认识与使用. 例1、 设函数ax x x f -+=1)(2，其中0>a ，求a 的取值范围，使函数)(x f 在 区间[]+∞,0上是单调函数． 分析：由于函数的单调性不易直接判断，而且含有字母系数，求解过程中需要讨论字母的范围，因此可以从单调性定义出发，从定义求解释一种基本的方法，不可忽视． 解： 在[]+∞,0上任取1x ，2x ，使得21x x < )()(21x f x f -(完整版)高中抽象函数的单调性习题总结,推荐文档
函数的单调性 知识点与题型归纳
高一数学函数的单调性知识点
函数的单调性知识点总结与题型归纳
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
函数的单调性知识点总结及练习
用函数单调性定义证明