1．5.2 球 坐 标 系
[对应学生用书P16]
[读教材·填要点]
1．球坐标系
设空间中一点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，点M 在xOy 坐标面上的投影点为M 0，连接OM 和OM 0，设z 轴的正向与向量OM 的夹角为φ，x 轴的正向与OM 0的夹角为θ，M 点到原点O 的距离为r ，则由三个数r ，θ，φ构成的有序数组(r ，θ，φ)称为空间中点M 的球坐标．在球坐标中限定r ≥0，0≤θ<2π，0≤φ≤π.
2．直角坐标与球坐标的转化
空间点M 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为
??? x ＝r sin φ·
cos θ，y ＝r sin φ·
sin θ，z ＝r cos φ.
[小问题·大思维]
球坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？
提示：空间某点的球坐标中的第二个坐标θ就是该点在xOy 平面上投影点的极坐标中的第二个坐标θ.
[对应学生用书P16]
[例1] 已知点M 的球坐标为? ??
??5，4π3，5π6，求它的直角坐标． [思路点拨] 本题考查球坐标与直角坐标的变换关系．解答本题需要先搞清球坐标? ??
??5，4π3，5π6中各个坐标的意义，然后代入相应的公式求解即可．
[精解详析] ∵M 的球坐标为? ??
??5，4π3，5π6， ∴r ＝5，φ＝5π6，θ＝4π3
. 由变换公式????? x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，
z ＝r cos φ，
得????? x ＝5sin 5π6cos 4π3＝－54，y ＝5sin 5π6sin 4π3＝－534，
z ＝5cos 5π6＝－532.
故它的直角坐标为? ??
??－54
，－
534，－532.
已知球坐标求直角坐标，可根据变换公式直接求解，但要分清哪个角是φ，哪个角是θ.
1．已知点P 的球坐标为? ??
??4，π4，3π4，求它的直角坐标． 解：由变换公式得
x ＝r sin φcos θ＝4sin
3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2， z ＝r cos φ＝4cos 3π4
＝－2 2. ∴它的直角坐标为(2,2，－22).