大学解析几何
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空间解析几何
基本知识
一、向量
1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量
12212121(,,)M M x x y y z z =---u u u u u u r
2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→，则
（1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→
（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→→
（3）),,(321a a a a λλλλ=→
3、向量的内积→→?b a
（1）>
（2）332211b a b a b a b a ++=?→→
其中><→→b a ,为向量→→b a ,的夹角，且π>≤≤<→→b a ,0
注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平
面的夹角。
4、向量的外积→→?b a （遵循右手原则，且→→→⊥?a b a 、→→→⊥?b b a ）
321321
b b b a a a k j i
b a →
→→→→=?
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5、（1）332211//b a b a b a b a b a ==?
=?→→→→λ （2）00332211=++?=??⊥→→→→b a b a b a b a b a
二、平面
1、平面的点法式方程
已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→
，则平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 注意：法向量为),,(C B A n =→
垂直于平面
2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→
3、（1）平面过原点)0,0,0(? 0=++Cz By Ax
（2）平面与x 轴平行（与yoz 面垂直）?法向量→n 垂直于x 轴
0=++?D Cz By （如果0=D ，则平面过x 轴）
平面与y 轴平行（与xoz 面垂直）?法向量→
n 垂直于y 轴0=++?D Cz Ax
（如果0=D ，则平面过y 轴）
平面与z 轴平行（与xoy 面垂直）?法向量→
n 垂直于z 轴
0=++?D By Ax （如果0=D ，则平面过z 轴）
（3）平面与xoy 面平行?法向量→
n 垂直于xoy 面0=+?D Cz
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 平面与xoz 面平行?法向量→n 垂直于xoz 面0=+?D By
平面与yoz 面平行?法向量→n 垂直于yoz 面0=+?D Ax
注意：法向量的表示
三、直线
1、直线的对称式方程
过点),,(000z y x P 且方向向量为),,(321v v v v =→直线方程
3
02010v z z v y y v x x -=-=- 注意：方向向量),,(321v v v v =→和直线平行 2、直线的一般方程???=+++=+++0
022221111D z C y B x A D z C y B x A ，注意该直线为平面01111=+++D z C y B x A 和02222=+++D z C y B x A 的交线
3、直线的参数方程??
???+=+=+=t v z z t v y y t v x x 302010
4、（1）方向向量),,0(32v v v =→，直线垂直于x 轴
（2）方向向量),0,(31v v v =→，直线垂直于y 轴
（3）方向向量)0,,(21v v v =→
，直线垂直于z 轴
5、（1）方向向量),0,0(3v v =→，直线垂直于xoy 面
（2）方向向量)0,,0(2v v =→，直线垂直于xoz 面
（3）方向向量)0,0,(1v v =→，直线垂直于yoz 面
应用
一、柱面
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1、设柱面的准线方程为???==0
),,(0),,(21z y x f z y x f ，母线的方向向量),,(321v v v v =→，求柱面方程
方法：在准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为
3
12111v z z v y y v x x -=-=- 又因为),,(111z y x M 在准线上，故
0),,(1111=z y x f （1） 0),,(1112=z y x f （2）
令
t v z z v y y v x x =-=-=-312111 （3） 由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出t ，再把t 代入求出关于z y x ,,的方程
0),,(=z y x F ，则该方程为所求柱面方程
例1：柱面的准线为???=++=++2
221222222z y x z y x ，而母线的方向为{}1,0,1-=v ρ，求这柱面方程。 解：在柱面的准线上任取一点),,(111z y x M ，则过点),,(111z y x M 的母线为
1
01111z z y y x x -=-=-- 即t z z y y t x x -==+=111,,（1）
又因为),,(111z y x M 在准线上，故1212121=++z y x （2），2
222
12121=++z y x （3）
由（1）（2）（3）得012222=-+++xz z y x
2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹，该距离为圆柱面的半径
方法：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过),,(0000z y x M 点做一平面垂直
于对称轴，该平面的法向量为对称轴的方向向量，把该平面方程和对称轴方程
联立求得平面和对称轴的交点),,(1111z y x M ，则||10M M 为圆柱的半径
例2：已知圆柱面的轴为
21211-+=--=z y x ，点1M （1，-2，1）在此圆柱面上，求这个圆柱面的方程。
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解：设圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过点),,(0000z y x M 且垂直于轴的平面为
0)(2)(2)(000=-----z z y y x x
轴方程的参数式为t z t y t x 21,21,--=-==代入平面方程得 9
22000z y x t --=
故该平面和轴的交点为)9
4429,94429,922(
000000000z y x z y x z y x ++--++--- 过点1M （1，-2，1）和轴垂直的平面和轴的交点为)35,31,31(- 因为圆柱截面的半径相等，故利用距离公式得
0991818844558222=-+--++++z y yz xz xy z y x
注意：也可找圆柱面的准线圆处理
例3：求以直线x=y=z 为对称轴，半径R=1的圆柱面方程
解：在圆柱面上任取一点),,(0000z y x M ，过点),,(0000z y x M 且垂直于轴的平面为
0)()()(000=-+-+-z z y y x x
轴方程的参数式为t z t y t x ===,,代入平面方程得 3
000z y x t ++= 故该平面和轴的交点为M 1)3,3,3(
000000000z y x z y x z y x ++++++ 则10M M 的长等于半径R=1
故利用距离公式得
1)3
()3()3(200002000020000=++-+++-+++-z y x z z y x y z y x x 即所求方程为9)2()2()2(200020002000=+--+-+-+--z y x z y x z y x
二、锥面
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锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线，定点为顶点，定曲线为准线。
1、设锥面的准线为???==0),,(0
),,(2
1z y x f z y x f ，顶点为),,(0000z y x M ，求锥面方程
方法：在准线上任取一点),,(1111z y x M ，则过点),,(1111z y x M 的母线为
10010010z z z
z y y y y x x x x --=--=-- （1）
又因为),,(111z y x M 在准线上，故
0),,(1111=z y x f （2） 0),,(1112=z y x f （2）
由（1）、（2）、（3）消去111,,z y x 求出关于z y x ,,的方程0),,(=z y x F ，则该方程为所求锥面方程
例1锥面的顶点在原点，且准线为?????==+c
z b y a x 122
22，求这锥面方程。
解：在准线上任取一点),,(1111z y x M ，则过点),,(1111z y x M 的母线为
1
11z z
y y x x
==
又因为),,(111z y x M 在准线上，故122
1221
=+b y
a x 且c z =1
上面三个方程消去111,,z y x 得022
2222=-+c z b y a x
2、圆锥面
已知圆锥面的顶点),,(0000z y x M ，对称轴（或轴）的方向向量为
),,(321v v v v =→，求圆锥面方程
方法：在母线上任取一点),,(z y x M ，则过该点的母线的方向向量为
),,(000z z y y x x n ---=→
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利用→v 和→
n 的夹角不变建立关于z y x ,,的方程，该方程为所求
例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。（2222)(z y x z y x ++=++） 解：在坐标轴上取三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，则过三点的平面为
1=++z y x 故对称轴的方向向量为)1,1,1(，一条母线的方向向量为)0,0,1(， 则母线和对称轴的夹角为αcos 13010111??=?+?+?，即33cos =
α 在母线上任取一点),,(z y x M ，则过该点的母线的方向向量为),,(z y x n =→
αcos 3222?++=++z y x z y x
所以2222)(z y x z y x ++=++
例3圆锥面的顶点为)3,2,1(，轴垂直于平面0122=+-+z y x ，母线和轴成030，求圆锥面方程
解：在母线上任取一点),,(z y x M ，轴的方向向量为)1,2,2(-，母线的方向向量为)3,2,1(---=→
z y x n 则022230cos 9)3()2()1()3()2(2)1(2?-+-+-=---+-z y x z y x
即 2222)3(27)2(27)1(27)322(4-+-+-=--+z y x z y x
三、旋转曲面 设旋转曲面的母线方程为???==0
),,(0),,(21z y x f z y x f ，旋转轴为Z z z Y y y X x x 000-=-=-，求旋转曲面方程
方法：在母线上任取一点),,(1111z y x M ，所以过),,(1111z y x M 的纬圆方程
???-+-+-=-+-+-=-+-+-201201201202020111)
()()()()()(0)()()(z z y y x x z z y y x x z z Z y y Y x x X 又因为),,(1111z y x M 在母线上，有
???==0),,(0),,(1
1121111z y x f z y x f 由上述四个方程消去111,,z y x 的方程0),,(=z y x F 为旋转曲面
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例4求直线
112-==z y x 绕直线l ：z y x ==旋转一周所得的旋转曲面的方程。 解：在母线上任取一点),,(1111z y x M ，则过),,(1111z y x M 的纬圆方程
???++=++=-+-+-21
21212221110)()()(z y x z y x z z y y x x 又因为),,(1111z y x M 在母线上，有0
112111-==z y x 由上述方程消去111,,z y x 的方程得9)1(59992222+-++=++z y x z y x
四、几种特殊的曲面方程
1、母线平行于坐标轴的柱面方程
设柱面的准线是xoy 平面上的曲线?
??==00),(z y x f ，则柱面方程为0),(=y x f 设柱面的准线是xoz 平面上的曲线?
??==00),(y z x g ，则柱面方程为0),(=z x g 设柱面的准线是yoz 平面上的曲线?
??==00),(x z y h ，则柱面方程为0),(=z y h 注意：（1）母线平行于坐标轴的柱面方程中只含两个字母
（2）准线为坐标平面内的椭圆、双曲线、抛物线等柱面称为椭圆柱面、双
曲线柱面、抛物线柱面
例求柱面方程
（1）准线是???==0
22x z y ，母线平行于x 轴 解：柱面方程为z y 22=
（2）准线是??
???==-+319422
2y z y x ，母线平行于y 轴 解：柱面方程为224z x =
（3）准线是??
???==-+219942
22x z y x ，母线平行于z 轴
收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 解：2=x
2、母线在坐标面上，旋转轴是坐标轴的旋转曲面
设母线是???==0
0),(z y x f ，旋转轴是x 轴的旋转曲面为0),(22=+±z y x f ；旋转轴是y 轴的旋转曲面为0),(22=+±y z x f
（同理可写出其它形式的旋转曲面方程）
注意：此类旋转方程中一定含有两个字母的平方和的形式，且它们的系数相等。 例方程02
22
2=-+x z y 是什么曲面，它是由xoy 面上的什么曲线绕什么轴旋转而成的
解：xoy 面上的02
2
=-x y 绕x 轴旋转而成的 3、平行于坐标面的平面和曲面0),,(=z y x f 的交线方程
平行于xoy 面的平面h z =和曲面0),,(=z y x f 的交线为???==h
z h y x f 0),,( 平行于xoz 面的平面h y =和曲面0),,(=z y x f 的交线为???==h
y z h x f 0),,( 平行于yoz 面的平面h x =和曲面0),,(=z y x f 的交线为???==h
x z y h f 0),,( 例求曲面和三个坐标面的交线
（1）6416222=++z y x
解：???==+06422z y x 、???==+0641622y z x 、?
??==+0641622x z y （2）64164222=--z y x
解：注意在yoz 面上无交线
（3）z y x 10922=+
解：在xoy 面上交于一点)0,0(
五、求投影 1、求点在平面上的投影、求点到平面的距离、求关于平面的对称点