2020-2021海南中学高三数学下期末一模试卷含答案
一、选择题
1．设1i
2i 1i
z -=++，则||z = A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
2．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）
A ．3+3i
B ．-1+3i
C ．3+i
D ．-1+i
3．下列各组函数是同一函数的是（ ）
①()32f x x =
-与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与
()2g x x =；
③()0
f x x =与()01
g x x
=
；④()221f x x x =--与()2
21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 4．若,,a b R i ∈为虚数单位，且()a i i b i +=+，则
A ．1,1a b ==
B ．1,1a b =-=
C ．1,1a b ==-
D ．1,1a b =-=-
5．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.
A ．6500元
B ．7000元
C ．7500元
D ．8000元
6．函数()()sin 22f x x π????
=+<
??
?
的图象向右平移
6
π
个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π??
-????
上的最大值为（）
A ．3
B 3
C ．
12
D ．12
-
7．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A ．108cm 3
B ．100cm 3
C ．92cm 3
D ．84cm 3
8．已知向量()1,1m λ=+r
，()2,2n λ=+r
，若()()m n m n +⊥-r r r r
，则λ=（ ） A ．4-
B ．3-
C ．2-
D ．1-
9．若双曲线22
221x y a b
-=3，则其渐近线方程为（ ）
A ．y=±2x
B ．y=2x
C ．1
2
y x =±
D ．22
y x =±
10．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >?> B ．22a b a b >?> C ．33a b a b >?>
D ．22a b a b >?>
11．在等比数列{}n a 中，44a =，则26a a ?=（ ） A ．4
B ．16
C ．8
D ．32
12．已知,m n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m αP ，m n ⊥，则n α⊥； ②若m α⊥，n αP ，则m n ⊥；
③若,m n 是异面直线，m α?，m βP ，n β?，n αP ，则αβ∥； ④若,m n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面. 其中为真命题的是（ ） A ．②③④
B ．①②③
C ．①③④
D ．①②④
二、填空题
13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()2
21y ax a x =+++相切,则a= ．
14．设n S 是等差数列{}*
()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =
15．在ABC V 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c
A B C
++=++________．
16．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
17．若,满足约束条件则的最大值．
18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲
19．已知四棱锥S ABCD
-的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积等于_________.
20．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．
三、解答题
21．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为
cos
sin
x t
y t
α
α
=
?
?
=
?
（t为参数，0≤α<π）．以坐
标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
244cos2sin
ρρθρθ
-=-．
(Ⅰ)写出曲线C的直角坐标方程；
(Ⅱ)若直线l与曲线C交于A，B两点，且AB的长度为5l的普通方程．
22．设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛
物线2
2(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为1
2
. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为
6
，求直线AP 的方程. 23．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期
望．
24．已知函数()3
2
f x x ax bx c =+++，过曲线()y f x =上的点()()
1,1P f 处的切线方
程为31y x =+．
（1）若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数()y f x =在区间[]
3,1-上的最大值．
25．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且1
4
AM AD =，将AED,DCF V V 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.
()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.
26．如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB =2，AD =3BAD =90°． （Ⅰ）求证：AD ⊥BC ；
（Ⅱ）求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；
（Ⅲ）求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()
1i 1i 1i
2i 2i 1i 1i 1i z ---=
+=++-+ i 2i i =-+=，
则1z =，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．C
解析：C 【解析】
因为2
(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
定义域相同，对应关系一致的函数是同一函数，由此逐项判断即可. 【详解】
①中()f x =
的定义域为(),0∞-，()f x =(),0∞-，但
()
f x ==-与()f x =
②中()f x x =与()g x =
R ，但()g x x ==与()f x x =对应关系不
一致，所以②不是同一函数；
③中()0
f x x =与()01
g x x =
定义域都是{}|0x x ≠，且()0
1f x x ==，()
11g x x ==对应关系一致，所以③是同一函数；
④中()2
21f x x x =--与()2
21g t t t =--定义域和对应关系都一致，所以④是同一函数.
故选C 【点睛】
本题主要考查同一函数的概念，只需定义域和对应关系都一致即可，属于基础题型.
4．C
解析：C 【解析】 【分析】
利用复数乘法的运算法则化简原式，利用复数相等的性质可得结果. 【详解】
因为()a i i b i +=+， 即1ai b i -+=+，
因为,,a b R i ∈为虚数单位，所以1,1a b ==-， 故选C. 【点睛】
本题主要考查复数的乘法运算以及复数相等的性质，属于基础题.
5．D
解析：D 【解析】 【分析】
设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可． 【详解】
设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ． 【点睛】
本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题．
6．B
解析：B 【解析】 【分析】
由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性可得
3πφk π-+=，k z ∈，由此根据||2?π
<求得?的值，得到函数解析式即可求最值． 【详解】
函数()()sin 22f x x π????
=+< ??
?
的图象向右平移
6
π
个单位后， 得到函数sin 2sin 263ππy x φx φ??????=-
+=-+ ? ?????????
的图象， 再根据所得图象关于原点对称，可得3
π
φk π-+=，k z ∈， ∵||2?π<
，∴3π
?=，()sin 23πf x x ??=- ??
?，
由题意,02x ??
∈-????
π，得42,333πππx ??-∈--????， ∴321,3πsin x ???
?-∈-?? ?????
，
∴函数()sin 23πf x x ?
?=- ??
?在区间,02π??-????的最大值为3， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，考查了正弦函数最值的求法，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，能根据正弦函数的性质求最值，属于基础题．
7．B
解析：B 【解析】
试题分析：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）．据此即可得出体积．
解：由三视图可知：该几何体是一个棱长分别为6，6，3，砍去一个三条侧棱长分别为4，4，3的一个三棱锥（长方体的一个角）． ∴该几何体的体积V=6×6×3﹣=100．
故选B ．
考点：由三视图求面积、体积．
8．B
解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵()()m n m n +⊥-r r r r ，∴
()()0m n m n +?-=r r r r . ∴
，即2
2
(1)1[(2)4]0λλ++-++=，
∴3λ=-,，故选B. 【考点定位】 向量的坐标运算
9．B
解析：B 【解析】
22
3
a b +=b y x a =±，计算得2b a =方程为2y x =.
【考点定位】本小题考查了离心率和渐近线等双曲线的性质.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
由不等式的性质，对各个选项逐一验证即可得，其中错误的可举反例． 【详解】
选项A ，当c ＝0时，由a ＞b ，不能推出ac 2
＞bc 2
，故错误； 选项B ，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，显然有a ＞b ，但a 2＜b 2，故错误； 选项C ，当a ＞b 时，必有a 3＞b 3，故正确；
选项D ，当a ＝﹣2，b ＝﹣1时，显然有a 2＞b 2，但却有a ＜b ，故错误． 故选：C ． 【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及不等式的性质，属基础题．
11．B
解析：B 【解析】
等比数列的性质可知2
26416a a a ?==,故选B .
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据空间中点、线、面位置关系，逐项判断即可. 【详解】
①若m αP ，m n ⊥，则n 与α位置关系不确定；
②若n αP ，则α存在直线l 与n 平行，因为m α⊥，所以m l ⊥，则m n ⊥； ③当m α?，m P β，n β?，n αP 时，平面α，β平行； ④逆否命题为：若m 与n 垂直于同一平面，则,m n 平行，为真命题. 综上，为真命题的是②③④. 故选A 【点睛】
本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记线面关系、面面关系，即可求解，属于常考题型.
二、填空题
13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】
解析：8 【解析】
试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111
|1|2x x y x
===+
='，所以切线方程为；曲线2
(2)1y ax a x =+++的导函数的为
，因与该曲线
相切，可令
，当
时，曲线为直线，与直线
平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点
，代入切线方程即
可求得
.
考点：导函数的运用.
【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函
数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．
14．25【解析】由可得所以
解析：25 【解析】
由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5
252
S +?=
=． 15．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c 进而利用余弦定理可求a 的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在
解析：
3
【解析】 【分析】
由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】
60A =?Q ，1b =
11sin 122bc A c ==??, 解得4c =，
由余弦定理可得：
a ===，
所以sin sin sin sin 32
a b c a A B C A ++===
++,
【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
16．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小
解析：8 【解析】
分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =
点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.
17．3【解析】作出可行域如图中阴影部分所示由斜率的意义知yx 是可行域内一点与原点连线的斜率由图可知点A （13）与原点连线的斜率最大故yx 的最大值为3考点：线性规划解法 解析：
【解析】
作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A （1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
考点：线性规划解法
18．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
解析：1：8 【解析】
考查类比的方法，111112
22221111
314283
S h
V S h V S h S h ??＝＝＝＝，所以体积比为1∶8. 19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：
1015
π
【解析】 【分析】
先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】
由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，
令1r 为SAB ?外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23
SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=
，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得222
1R r OF =+，
计算得，2
81101
12020
R =
+= ， 所以2
101
45
S R ππ==. 故答案为
101
.5
π 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
20．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1
【解析】 【分析】
由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求． 【详解】
设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h
==
，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19
'23h h
??=， 所以
'2
3
h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13
h ， 所以三棱锥111S A B C -的体积为111
'91339
S h ?=?=． 故答案为1． 【点睛】
本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1
V 3
S h =
n 底，本题是中档题． 三、解答题
21．(Ⅰ) ()()2
2
219x y -++=；（Ⅱ）3
4
y x =和x=0. 【解析】 【分析】
（I ）将x cos y sin ρθρθ=??=?
代入曲线C 极坐标方程，化简后可求得对应的直角坐标方程.（II ）
将直线的参数方程代入曲线方程，利用弦长公式列方程，解方程求得直线的倾斜角或斜率，由此求得直线l 的普通方程. 【详解】
解：（Ⅰ）将x cos y sin ρθ
ρθ=??=?
代入曲线C 极坐标方程得：
曲线C 的直角坐标方程为：2
2
442x y x y +-=- 即()()2
2
219x y -++=
（Ⅱ）将直线的参数方程代入曲线方程：
()()
22
cos 2sin 19t t αα-++=
整理得24cos 2sin 40t t t αα-+-= 设点A ，B 对应的参数为1t ，2t ， 解得124cos 2sin t t αα+=-，124t t ?=-
则12AB t t =-=
=
=23cos 4sin cos 0ααα-=，因为0απ≤<
得3tan 2
4π
αα=
=
或，直线l 的普通方程为3
4
y x =和x=0 【点睛】
本小题主要考查极坐标方程和直角坐标方程互化，考查利用直线的参数方程来求弦长有关的问题，属于中档题.
22．（Ⅰ）2
2
413
y x +=， 24y x =.（Ⅱ）330x +-=，或330x -=.
【解析】
试题分析：由于A 为抛物线焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12
，则1
2a c -=，又椭
圆的离心率为
1
2
，求出,,c a b ，得出椭圆的标准方程和抛物线方程；则(1,0)A ，设直线AP 方程为设1(0)x my m =+≠，解出P Q 、两点的坐标，把直线AP 方程和椭圆方程联立解出B 点坐标，写出BQ 所在直线方程，求出点D 的坐标，最后根据APD △的面积为
m ，得出直线AP 的方程. 试题解析：（Ⅰ）解：设F 的坐标为(),0c -.依题意，
12c a =，2p a =，1
2
a c -=，解得1a =，12c =
，2p =，于是222
34
b a
c =-=. 所以，椭圆的方程为2
2
413
y x +=，抛物线的方程为24y x =.
（Ⅱ）解：设直线AP 的方程为()10x my m =+≠，与直线l 的方程1x =-联立，可得点
21,P m ??-- ???，故21,Q m ??- ???.将1x my =+与22
413
y x +=联立，消去x ，整理得
()
2
23460m
y my ++=，解得0y =，或2634
m
y m -=
+.由点B 异于点A ，可得点
222
346,3434m m B m m ??-+- ?++??
.由21,Q m ?
?- ???，可学*科.网得直线BQ 的方程为()222623*********m m x y m m m m ??--+????-+-+-= ? ? ?++???
???，令0y =，解得2
2
2332m x m -=+，故2
223,032m D m ??- ?+??
.所以2222
23613232m m AD m m -=-=++.又因为APD V 的面积为2，故
22162232m m m ??=+
，整理得2320m -+=
，解得m =
m =. 所以，直线AP
的方程为330x -=
，或330x -=. 【考点】直线与椭圆综合问题
【名师点睛】圆锥曲线问题在历年高考都是较有难度的压轴题，不论第一步利用椭圆的离心率及椭圆与抛物线的位置关系的特点，列方程组，求出椭圆和抛物线方程，还是第二步联立方程组求出点的坐标，写直线方程，利用面积求直线方程，都是一种思想，就是利用大熟地方法解决几何问题，坐标化，方程化，代数化是解题的关键. 23．（1）1
3
； （2）()1E X =. 【解析】 【分析】
（1）可根据题意分别计算出“从10人中选出2人”以及“2人参加义工活动的次数之和为4”的所有可能情况数目，然后通过概率计算公式即可得出结果；
（2）由题意知随机变量X 的所有可能取值，然后计算出每一个可能取值所对应的概率值，写出分布列，求出数学期望值． 【详解】
（1）由已知有11
23432
101
()3
C C C P A C ?+==， 所以事件A 的发生的概率为
13
； （2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2；
2223342104(0)15C C C P X C ++===；1
1
1
1
33342107
(1)15
C C C C P X C ?+?===； 11
342
104
(2)15
C C P X C ?===； 所以随机变量X 的分布列为：
数学期望为()
0121151515
E X =???. 【点睛】
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，能否正确计算出每一个随机变量所对应的的概率是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题． 24．（1）()3
2
245f x x x x =+-+；（2）13。
【解析】 【分析】
（1）由f （x ）=x 3+ax 2+bx+c 求导数，利用导数几何意义结合切线方程及函数f （x ）在x=-2时有极值即可列出关于a ，b ，c 的方程，求得a ，b ，c 的值，从而得到f （x ）的表达式．
（2）先求函数的导数f′（x ），通过f′（x ）＞0，及f′（x ）＜0，得出函数的单调性，进一步得出函数的最值即可． 【详解】
（1）依题意，()2
32f x x ax b =++'，且()14f =，()13f '=，()20f '-=，
∴143231240a b c a b a b +++=??
++=??-+=?
，解得2a =，4b =-，5c =． ∴()3
2
245f x x x x =+-+．
（2）由（1）知()2
344f x x x '=+-，
令()0f x '=，得2
3
x =或2x =-． ∴当2x <-或23x >
时，()f x 为增函数；当2
23
x -<<时，()f x 为减函数． ∴()f x 在2x =-时取极大值，()213f -=． 又∵()14f =，
∴函数()f x 在区间[]
3,1-上的最大值为13． 【点睛】
本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值、利用导数研究函数的单调性等基本知识，考查计算能力，属于中档题． 25．（1）见解析；（2
）.3
【解析】 【分析】
(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；
（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果. 【详解】
（1）PB P 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则11
24
BN BO BD =
=，
在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB n 中，有1
4
BN BD =
，1
4
PM PD =
， MN PB P ∴． PB ?Q 平面MEF ，MN ?平面MEF ，故PB P 平面MEF ；
（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的
Rt ADE n 与Rt CDF n ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ?＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ， 则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．
可知PM PN ⊥，则在Rt MND n 中，12PM PN ＝，=
，则
22PM PN 3MN =+=．
在MND n 中，332MD DN =＝，，由余弦定理，得
2226
2MN DN MD cos MND MN DN +-∠==
?． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为
6．
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型. 26．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)13
26
；(Ⅲ)34．
【解析】
分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面ABC ，则AD ⊥BC ．
（Ⅱ）取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND ．由几何关系可知∠DMN （或其补角）为异面直
线BC 与MD 所成的角．计算可得
1
132MN
cos DMN DM ∠==
．则异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为
13
26
． （Ⅲ）连接CM ．由题意可知CM ⊥平面ABD ．则∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．计算可得3CM sin CDM CD ∠=
=
．即直线CD 与平面ABD 3
详解：（Ⅰ）证明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．
（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．
在Rt△DAM中，AM=1，故DM22=13
AD AM
+AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN22=13
AD AN
+．
在等腰三角形DMN中，MN=1，可得
1
13
2
cos
MN
DMN
DM
∠==．
所以，异面直线BC与MD 13
．
（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，
CM3ABC⊥平面ABD，而CM?平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．
在Rt△CAD中，CD22
AC AD
+．
在Rt△CMD中，
3 sin
CM
CDM
CD
∠==．
所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为
3
4
．
点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．