数学归纳法知识总结

数学归纳法知识总结

1、运用数学归纳法证明命题要分两步,第一步是归纳奠基(或递推基础),第二步是归纳递推(或归纳假设),两步缺一不可二易错点

1、归纳起点易错（1）n未必是从n=1开始例用数学归纳法证明：凸n边形的对角线条数为点拔：本题的归纳起点n=3（2）n=1时的表达式例用数学归纳法证明，在验证n=1时，左边计算所得的式子是（）

A、1

B、

C、

D、点拨 n=1时，左边的最高次数为1，即最后一项为，左边是，故选B

2、没有运用归纳假设的证明不是数学归纳法例1 用数学归纳法证明：错证：（1）当n=1时，左=右=1，等式成立（2）假设当n=k时等式成立，则当n=k+1时，综合（1）（2），等式对所有正整数都成立点拨：错误原因在于只有数学归纳法的形式，没有数学归纳法的“实质”即在归纳递推中，没有运用归纳假设3 从

n=k到n=k+1增加项错误例1 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（且为偶数）时命题为真，，则还需证明（）

A、n=k+1时命题成立

B、 n=k+2时命题成立

C、 n=2k+2时命题成立

D、 n=2（k+2）时命题成立点拨：因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k+2，故选例2 用数学归纳法证明不等式的过程中，由k推导到k+1时，不等式左边增加的式子是点拨：求即可当 n=k时，左边，n=k+1时，左边,故左边增加的式子是，即三

知识应用用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何问题等1 用数学归纳法证明等式例1 用数学归纳法证明等式：例2 用数学归纳法证明：2 用数学归纳法证明不等式例3用数学归纳法证明不等式例

4、证明不等式(n∈N)、3 用数学归纳法证明整除问题例5 求证：能被6 整除、例6 证明：能被整除4 用“归纳猜想证明”解决数列问题例7在数列中，，（1）写出；（2）求数列的通项公式例8 在数列中，，其中，求数列的通项公式5用“归纳猜想证明”解决几何问题例

9、n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？四

练习巩固

1、用数学归纳法证明：1(n2-1)+2(n2-22)+…+n(n2-

n2)=(n∈N*)、2、用数学归纳法证明：

123+234+…+n(n+1)(n+2)=(n+1)( n+2)(n+3)(n∈N*)、3、当

n>1，n∈N*时，求证：

4、用数学归纳法证明：(n∈N*)

5、用数学归纳法证明49n+16n-1能被64整除(n∈N*)

6、用数学归纳法证明 mn+2+(m+1)2n+1能被m2+m+1整除

(n∈N*)

7、在数列中，an>0,且Sn=1/2(an+)(1)求a

1、a

2、a3；(2)猜测出an的关系式并用数学归纳法证明。

8、设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…、(1)求a1，a2；(2)猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明、9、平面内有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n2-n+2个部分。

人教版高中数学总复习[知识点整理及重点题型梳理]推理与证明、数学归纳法

推理与证明、数学归纳法 编稿：辛文升 审稿：孙永钊 【考纲要求】 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异． 4.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点． 5.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点． 6.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 【知识网络】 【考点梳理】 【推理与证明、数学归纳法407426 知识要点】 考点一：合情推理与演绎推理 1．推理的概念 根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个判断，这种思维方式叫做推理．从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设)叫做前提，一部分是由已知推出的判断，叫做结论． 2．合情推理 根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理称为合情推理． 合情推理又具体分为归纳推理和类比推理两类： (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这 推 理 与 证 明 归纳 推 理 证 明 合情推理 演绎推理 数学归纳法 综合法 分析法 直接证明 类比 间接证明 反证法

些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理，归纳推理简称归纳． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理简称类比． 3．演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 三段论是演绎推理的一般模式，它包括： (1)大前提——已知的一般原理； (2)小前提——所研究的特殊情况； (3)结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 要点诠释： 合情推理与演绎推理的区别与联系 （1）从推理模式看： ①归纳推理是由特殊到一般的推理． ②类比推理是由特殊到特殊的推理． ③演绎推理是由一般到特殊的推理． （2）从推理的结论看： ①合情推理所得的结论不一定正确，有待证明。 ②演绎推理所得的结论一定正确。 （3）总体来说，从推理的形式和推理的正确性上讲，二者有差异；从二者在认识事物的过程中所发挥的作用的角度考虑，它们又是紧密联系，相辅相成的。合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎推理的内容一般是通过合情推理获得的；演绎推理可以验证合情推理的正确性，合情推理可以为演绎推理提供方向和思路. 考点二：直接证明与间接证明 1．综合法 (1)定义：综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因索果的证明方法，又叫顺推法． (2)综合法的思维框图： 用P 表示已知条件，1i Q i =（，2，3，...，n ）为定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为： 1P Q ?（）→12Q Q ?（）→23Q Q ?（）→.........n Q Q ?（） 2．分析法 (1) 定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判断一个明显成立的条件(已知条件，定理，定义，公理)为止．这种证明方法叫做分析法．分析法又叫逆推法或执果索因法． (2)分析法的思维框图： 1Q P ?（）→12P P ?（）→23P P ?（） →.........得到一个明显成立的条件. 3．反证法

数学归纳法.知识点梳理

课题：数学归纳法 备课教师：沈良宏参与教师：郭晓芳、龙新荣审定教师：刘德清 1、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 2、教学难点：学归纳法中递推思想的理解. 3、学生必须掌握的内容： 1．数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： (1)证明当n＝n0时命题成立． (2)假设当n＝k(k∈N＋且k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 2．数学归纳法的适用范围 适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题． 3．数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)验证当n＝n0(n0为命题成立的起始自然数)时命题成立； (2)(归纳递推)假设当n＝k(k∈N＋，且k≥n0)时命题成立，推导n＝k＋1时命题也成立． (3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切n≥n0的自然数都成立． 注意：用数学归纳法证明，关键在于两个步骤要做到“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”，因此必须注意以下三点： (1)验证是基础．数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并不一定就是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是正确运用数学归纳法要注意的第一个问题． (2)递推是关键．数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程，必须把归纳假设“n＝k”时命题成立作为条件来导出“n＝k＋1”时命题成立，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次，没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法． (3)正确寻求递推关系．数学归纳法的第二步递推是至关重要的，那么如何寻找递推关系呢？①在第一步验证时，不妨多计算几项，并正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的；②探求数列的通项公式时，要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置；③在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项．除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚． 4、容易出现的问题： （1）混淆数学归纳法与归纳法； （2）忽视第一步的归纳基础，数学归纳法的解题步骤有两步，第一步是归纳基础，第二步是归纳假设，在证明命题成立时，归纳假设这部分是一个难点，学生往往比较重视第二步的证明，却对忽视了归纳基础。常见的错误有： ①没有写第一步，而是直接假设成立，进行第二步归纳假设的证明； ②有写第一步，但是只是形式上写一下归纳基础，并没有进行验证是否成立，容易发生第一步是不成立的情况。因为第一步往往是正确的，而且是比较显然的，所以学生容易忽视它，但是就像玩多米诺骨牌游戏一样，如果第一块骨牌没有办法倒下，那么就算后面的骨牌排得多么整齐都不会倒下. 5、解决方法： 针对数学归纳法的特殊证明思路和特点，讲解清楚数学归纳法的概念及它的特征和相关要点，并结合学生的课堂反应，课堂多注重基础，多找出有代表性的典例适时强化学生理解

专题13定积分与微积分基本定理知识点

专题13定积分与微积分基 本定理知识点 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

考点13 定积分与微积分基本定理 一、定积分 1．曲边梯形的面积 （1）曲边梯形：由直线x =a 、x =b (a ≠b )、y =0和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形(如图①)． （2）求曲边梯形面积的方法与步骤： ①分割：把区间[a ，b ]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)； ③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和； ④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积． 2．求变速直线运动的路程 3．定积分的定义和相关概念 （1）如果函数f (x )在区间[a ,b ]上连续，用分点a =x 0

数学归纳法知识点大全(综合)

数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 0n n =（N n ∈01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立，

②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． （2）反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 )(n P 对无限多个正整数n 成立； ②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 例如，用数学归纳法证明： 为非负实数，有 在证明中，由 真，不易证出 真；然而却很容易证出 真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要 型的自然数）为真；从而证明 ，不等式成立． （3）螺旋式归纳法 P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如 ①P(n0)成立； ②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立；

七大积分总结

七大积分总结 一． 定积分 1. 定积分的定义：设函数f(x)在[a,b]上有界，在区间[a,b]中任意插入n －1个分点： a=x 0

? ??==b a b a b a du u f dt t f dx x f )()()(。 （2） 定义中区间的分法与ξi 的取法是任意的。 （3） 定义中涉及的极限过程中要求λ→0，表示对区间[a,b]无限细分的过程，随λ →0必有n →∞，反之n →∞并不能保证λ→0，定积分的实质是求某种特殊合式的极限： 例：∑?=∞→=n i n n i f dx x f 1 1 0n 1 )()(lim （此特殊合式在计算中可以作为公式使用） 2. 定积分的存在定理 定理一 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 定理二 若函数f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间上可积。 3. 定积分的几何意义 对于定义在区间[a,b]上连续函数f(x)，当f(x)≥0时，定积分 ? b a dx x f )(在几何上表示由曲线y=f(x),x=a,x=b 及x 轴所围成的曲边梯形的面积；当f(x) 小于0时，围成的曲边梯形位于x 轴下方，定积分?b a dx x f )(在几何意义上表示曲边梯形面积的负值。若f(x)在区间上既取得正值又取得负值时，定积分的几何意义是：它是介于x 轴，曲线y=f(x),x=a,x=b 之间的各部分曲边梯形的代数和。 4．定积分的性质 线性性质（性质一、性质二）

高中数学定积分知识点

数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；

6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如

数学归纳法案例分析

数学归纳法案例分析 一、内容提要 数学归纳法是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一种重要的数学方法，数学归纳法这一方法，贯通了高中数学的几大知识点：不等式，数列，三角函数，平面几何等。通过对它的学习，能起到以下几方面的作用：提高学生的逻辑思维、推理能力；培养学生辩证思维素质，全面提高学生数学能力；培养学生科学探索的创新精神，提高学生综合素质。 二、教学设计 根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的引导发现法和感性体验法进行教学。 在引出的《数学归纳法》这个课题后，我通过一个盒子中的十个乒乓球和等差数列的通项公式，导出完全归纳法和不完全归纳法这两个概念，又通过的两个例子促进学生对“ 递推关系” 的理解，明了两个概念的必要性，为数学归纳法的应用前提和场合提供形象化的参照物。 同点做准备时抓住这两个问题的类似之处，由具体到抽象，引导学生掌握本堂课的重点，为进一步突出难。 三、设计理念 1 、初步掌握归纳与推理的能力；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。 2 、掌握了自主探索问题、自主学习的方法。 3 、培养学生对于数学内在美的感悟能力。 四、教学片断 师：问题1 ：这个盒子里有十个乒乓球，如何证明里面的球全为白色？ 问题2 ：请大家回忆，课本是如何得出等差数列的通项公式的？

教师引导学生明了以上两个问题的异同点。由此，得出归纳法的概念，同时指明了完全归纳法与不完全归纳法的区别。 师：若盒子里的乒乓球有无数个，如何证明它们全是白色球呢？ 生：①证明第一次拿出的乒乓球是白色的；②构造一个命题并证明，此命题的题设是：“ 若某一次拿出的球是白色的” ，结论是：“ 下次拿出的球也是白色的” 。以上两步都被证明，则盒子中的乒乓球全是白色的。 教师引导学生讨论：以上两个步骤如果都得到证明，是否能说明全部的乒乓球都是白色的？由此，得出数学归纳法的基本概念。 师：这种思考方法能不能用来证明第二个问题呢？ 生：能，学生对比上一问题与此问题类似之处，进而得出数学归纳法的证题思路和步骤。 让学生用数学归纳法证明第二人个问题( 略) 。 师再强调数学归纳法的“ 奠基步骤” 和“ 递推步骤” 这“ 两个步骤” 以及“ 一个结论” 。 师引导学生总结： ①教学归纳法是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自然数有关的问题。 ②两个步骤、一个结论缺一不可否则结论不能成立。 ③在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等变换。 五、课后反思 ? 通过一个生活事例和一个课本公式的比较，引导学生讨论，促使学生主动思维。? 通过本节课的教学也使学生掌握递推原理，提高学生的逻辑思维和推理能力。? 本节课的结构可以，对学生的学法指导不错，让学生清楚学习数学归纳法的用途，指明的方向。 对数学归纳法的解题步骤可再介绍具体一点

定积分知识点总结

定积分知识点总结 北京航空航天大学 李权州 一、定积分定义与基本性质 1.定积分定义 设有一函数f(x)给定在某一区间[a,b]上. 我们在a 与b 之间插入一些分点b x x x x a n =<<<<=...210. 而将该区间任意分为若干段. 以||||π表示差数 )1,...,1,0(1-=-=?+n i x x x i i i 中最大者. 在每个分区间],[1+i i x x 中各取一个任意的点i x ξ=. )1,...,1,0(1-=≤≤+n i x x i i i ξ 而做成总和 ∑-=?=1 0)(n i i i x f ξσ 然后建立这个总和的极限概念： σπ0 ||||lim →=I 另用""δε-语言进行定义： 0>?ε，0>?δ，在||||πδ<时，恒有 εσ<-||I 则称该总和σ在0→λ时有极限I . 总和σ在0→λ时的极限即f(x)在区间a 到b 上的定积分，符号表示为 ?=b a dx x f I )( 2.性质 设f(x)，g(x)在[a,b]上可积，则有下列性质 (1) 积分的保序性 如果任意)(),(],,[x g x f b a x ∈，则??≥b a b a dx x g dx x f ,)()(

特别地，如果任意,0)(],,[≥∈x f b a x 则?≥b a dx x f 0)( (2) 积分的线性性质 ???±=±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()())()((βαβα 特别地，有??=b a b a x f c dx x cf )()(. 设f(x)在[a,b]上可积，且连续， (1)设c 为[a,b]区间中的一个常数，则满足 ???+=b c c a b a dx x f dx x f dx x f )()()( 实际上，将a,b,c 三点互换位置，等式仍然成立. (4)存在],[b a ∈θ，使得 )()()(θf a b dx x f b a -=? 二、达布定理 1.达布和 分别以i m 和i M 表示函数f(x)在区间],[1+i i x x 里的下确界及上确界并且做总和 ∑∑=+=+-=-=n i i i i n i i i i x x m f S x x M f S 1 11 1)(),(,)(),(ππ ),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布上和，),(f S π称为f(x)相应于分割π的达布下 和 特别地，当f(x)连续时，这些和就直接是相应于任意分割法的积分和的最小者和最大者，因为在这种情形下f(x)在没一个区间上都可以达到其上下确界. 回到一般情况，有上下界定义知道 i i i M f m ≤≤)(ξ 将这些不等式逐项各乘以i x ?(i x ?是正数)并依i 求其总和，可以得到

浅谈数学归纳法在高考中的应用

1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++?????? =?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递 归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发

定积分计算方法总结

定积分计算方法总结 Final revision by standardization team on December 10, 2020.

定积分计算方法总结 一、不定积分计算方法 1.凑微分法 2.裂项法 3.变量代换法 1)三角代换 2)根幂代换 3)倒代换 4.配方后积分 5.有理化 6.和差化积法 7.分部积分法（反、对、幂、指、三） 8.降幂法 二、定积分的计算方法 1.利用函数奇偶性 2.利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法 三、定积分与极限 1.积和式极限 2.利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3.洛必达法则 4.等价无穷小

四、 定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则∫f (f )ff f f >=∫f (f )f f dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) 当0

3)常数变易法 4)利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法

数学归纳法经典练习及解答过程

数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-

第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D

2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，

第六章 定积分的应用总结

第六章 定积分的应用 总结 一、定积分的元素法 1．用定积分表示量U 的条件 如果量U 满足： （1） ； （2） ； （3） ，那么就可考虑用定积分表示这个量U ． 2．写出量U 的积分表达式的步骤： （1） ； （2） ； （3） ． 二、平面图形的面积 1．若平面图形由连续曲线))()()((),(x g x f x g y x f y ≥==及直线)(,b a b x a x <==所围成，则其面积为=A ． 2．若平面图形由连续曲线))()()((),(y y y x y x ψ?ψ?≥==及直线)(,d c d y c y <==所围成，则其面积为=A ． 3．由连续曲线0)(),(≥=θ?θ?ρ及两射线βθαθ==,围成的曲边扇形的面积为=A ． 三、体积 1．旋转体的体积 （1）由连续曲线0)(≥=x f y ，直线)(,b a b x a x <==及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为=x V ． （2）由连续曲线0)(≥=y x ?，直线)(,d c d y c y <==及y 轴所围成的平面图形绕y 轴

旋转一周而成的旋转体的体积为=V ． 2．平行截面面积为已知的立体的体积 适当建立x 轴，使立体在过点)(,b a b x a x <==且垂直于x 轴的两平面之间，)(x A 为该立体过点x 且垂直于x 轴截面的面积，于是该立体的体积为=V ． 四、平面曲线的弧长 1．曲线可求长的充分条件： ． 2．求光滑曲线弧的长度的公式：（设L 为平面光滑曲线弧） 如果已知L 的参数方程：)(),(), (βαψ?≤≤???==t t y t x ，其中)(t ?和)(t ψ在],[βα上有连续导数， 且0)()(22≠'+'t t ψ?，则L 的长度为=s ． 如果已知L 的直角坐标方程：)()(b x a x f y ≤≤=，其中)(x f 在],[b a 上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ． 如果已知L 的极坐标方程：)()(βθαθρρ≤≤=，其中)(θρ在],[βα上有一阶连续导数，则L 的长度为=s ． 四、定积分在物理学上的应用 1．变速直线运动的路程 某物体作直线运动，已知速度)(t v 是时间t 的连续函数，且0)(≥t v ，则该物体从时刻1t 到时刻2t （21t t ≤）的运动路程为=s ． 2．变力沿直线作功 如果力F 的方向不变（与x 轴同向）且大小为)(x F ，物体在力F 的作用下由x 轴上的点a 移动到点b ，则力F 对物体作的功为=W ． 3．水压力 一般使用定积分的 法得到水压力的定积分表示式，再计算其值． 4．引力 求引力时通常分别求引力在两个坐标轴上的分力，使用定积分的 法．要注意充分利用对称性．

不定积分知识点总结

三一文库（https://www.doczj.com/doc/195604734.html,）/总结 〔不定积分知识点总结〕 引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！ ▲不定积分 1、原函数存在定理 定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。 分部积分法 如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数 的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数 的乘积，就可设对数和反三角函数为u。 2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。 ▲定积分 1、定积分解决的典型问题

(1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的路程 2、函数可积的充分条件 定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=可积。 定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积 3、定积分的若干重要性质 性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。 推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx 推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx 性质设及分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则 ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤ ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分 值的大致范围。 性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。 4、关于广义积分 设函数f(x)在区刚[a,b]上除点 ( ab )外连续，而在点的邻域内无界，如果两个广义积分∫af(x)dx与∫bf(x)dx 都收敛，则定义∫af(x)dx=∫bf(x)dx ,否则 (只要其中一

定积分知识点汇总(新、选)

定积分 一．定积分的几何意义 ① ()0f x >时，()b a f x dx S =? ()0f x <时， ()b a f x dx S =-? ()f x 有正有负时， 1(), b a f x dx S =?2(), c b f x dx S =-? 3()d c f x dx S =? 面积和123()()()b c d a b c S S S f x dx f x dx f x dx ++=-+? ?? [()()]b a f x g x dx S -=? 二．定积分基本性质 ①当a b =时，()0b a f x dx =? . ②()()b b a a kf x dx k f x dx =? ? ③1212[()()()]()()()b b b b n n a a a a f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx ±±???±=±±÷??±? ??? ④ 12 1 ()()()()n b c c b a a c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++???+? ??? ⑤若奇函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则()0a a f x dx -=? ⑥若偶函数()y f x =在[,]a a -上连续不断，则0()2()a a a f x dx f x dx -=? ? 123()()()().d b c d a a b c f x dx f x dx f x dx f x dx S S S =++=-+? ? ??

微分基本定理：如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，且'()()F x f x =，则 ()() ()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? （牛顿—莱布尼兹公式） 1.直线0,,0x x y π===与曲线sin y x =所围成图形的面积用定积分表示为 2.用定积分表示抛物线2 23y x x =-+与直线3y x =+所围成图形的面积为 3.曲线2 1,2,0,0y x x x y =-===围成的阴影部分的面积用定积分表示为 4.由曲线24,4,0,0y x x x y =-===和x 轴围成的封闭图形的面积是（ ） 4 2 .(4)A x dx -? 4 20 .|(4)|B x dx -? 420 .|4|C x dx -? 24 2202 .(4)(4)D x dx x dx -+-?? 5.计算下列定积分 （1）3 23 9x dx --? （2）1 21 44x dx --?

导数及定积分知识点的总结及练习(经典)

导数的应用及定积分 （一）导数及其应用 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx → f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。 2．导数的几何意义 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 3．函数的导数 对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。 5．常见函数的导数 (x n )′＝__________.(1 x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________. (a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则： (f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，?? ?? f (x ) g (x )′＝___________________. （3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 6．函数的单调性 设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导， (1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________． (2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________． 7．函数的极值

数学归纳法的应用

数学归纳法的应用 姓名 甘国优 指导教师 赵慧炜 中文摘要：数学归纳法是数学中一种非常普遍的证题的方法，其应用极为广泛．本次主要简述了数学归纳法的简略步骤：观察（探索）﹑归纳﹑猜想﹑证明于一体的数学思想，体现出数学归纳法的证题思路．并归纳总结了数学归纳法解决代数恒等式﹑几何等方面的一些简单应用问题的方法，对应用中常见的误区加以剖析，以及介绍一些证题方法技巧，有助于提高对数学归纳法的应用能力． 关键词：数学归纳法；步骤;证明方法． Abstract: Mathematical induction is a common evidence method in mathematics, it is have very broad application. In this paper, author research into the step of the Mathematical induction , it includes summariz ，evidence and guess embody the idea of the evidence of mathematical induction. Also at here ,we summariz the method of the mathematical induction application in solve algebra identities , geometric ,order and portfolio ,and so on .also analyze the common errors on application and into duct skill of the proof ,proof of skills introduced. It is help to increased the level of the Mathematical induction’s application ． Key words ：Mathematical induction; Steps ; Proof. 引言 演绎和归纳是人在思维过程中两个完全相反的过程.同时又是数学思维中两种基本的方法.数学归纳法是一种重要的数学证明方法，他有着其他方法所不能代替的作用，也是证明与自然数有关的数学命题的一种完全归纳法.我们在学习运用数学归纳法应具备两个条件：①当1n =时，这个命题为正确的（奠基），②当n k =时，这个命题也为正确的．推出当+1n k =时，这个命题也为正确的（递推）．通过“递推”链接，实现从特殊到一般的转化，抽象的进行数学归纳.首先

浅谈定积分的应用

浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)( a F b F dx x f b a -=?