4.1.1二次根式
教学目标
知识与技能：
1、了解二次根式的定义，会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意
义的条件。
2、会根据公式2)
(a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。
过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的定义，发展学生的归纳能力。情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等教学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。
教学重难点
1．重点：会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意义的条件。 2．难点：会根据公式2)
(a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列问题：
1、4的平方根是？4的算术平方根是？
2、0的平方根是？0的算术平方根是？
3、2的平方根是？2的算术平方根是？
4、－7有没有平方根？－7有没有算术平方根？
对于每一个正实数a有且只有个平方根，记作，其中一个正的平方根叫做a的记作，另一个平方根是。
0的平方根记作，即。
二、探索新知
一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，简称根号，根号下的数叫做被开方的数。
由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
( 1 ) 必须有二次根号；
( 2 ) 被开方数不能小于0 。
例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
（1）32； （2）6； （3）12- ；
（4）m -（m ≤0）； (5)xy (x y 异号)
（6）12+a ； （7）38
解：二次根式有：（1）32； （2）m -（m ≤0）； （3）12+a ； 例2当x 是多少时，二次根式1-x 在实数范围内有意义？ 解：由x-1≥0，得：x ≥1
当x ≥1时，1-x 在实数范围内有意义．
例3计算：
讨论：如果将上题中的数字换成字母，你发现2)(a 与
2a 有何异同呢？
三、巩固练习：见学案
四、课堂小结：
1、二次根式的概念；
2、二次根式的性质。
五、布置作业： P 131T 1、2、3。
==2222251））（（））（（()=?22225 =?248
()()()???<-≥=≥=0)0(.20.122a a a a a a a a ()()22
0a a a =≥时，当
16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 （a ≥0 ）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0 ）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2 的三个思考题： 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根（a ≥0）?的式子叫做二 （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评: （略） 例 1．下列式子，哪些是二次根式， x>0） 、、、 （x ≥0，y?≥0）． 分析”；第二，被开方数是正数 或0 ． （x>0、 x ≥0，y ≥0）；不是二、． 例2．当x 1 x 1 x y +1x 1x y +
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0， 才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习 1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x +在实数范围内有意义？ 分析+ 中的≥0和中的x+1≠0． 解：依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥- 且x ≠-1+ 在实数范围内有意义． 例4(1)已知 +5，求 的值．(答案:2) (2)=0，求 a 2004+ b 2004的值．( 答案: ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业 1．教材P5 1，2，3，4 2．选用课时作业设计． 1 3 1 3 1 1 x +1 1 x +1 1 x +230 10 x x +≥??+≠?32 3211 x +x y 25
章节 第一章 课题 数的开方与二次根式 课型 复习课 教法 讲练结合 教学目标（知识、能力、教育） 1.理解平方根、 立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根 2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二 次根式和同类二次根式。掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式， 能根据指定字母的取值范围将二次根式化简； 3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会 进行简单的分母有理化。 教学重点 使学生掌握二次根式的有关概念、性质及根式的化简. 教学难点 二次根式的化简与计算. 教学媒体 学案 教学过程 一：【课前预习】 （一）：【知识梳理】 1.平方根与立方根 (1)如果x 2=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有 个平方根，它们互为 ； 零的平方根是 ； 没有平方根。 （2）如果x 3=a ，那么x 叫做a 的 。一个正数有一个 的立方根；一个负数 有一个 的立方根；零的立方根是 ； 2.二次根式 （1） （2） （3） （4）二次根式的性质 ①20,a ≥=若则(a) ；③ab = (0,0)a b ≥≥ ②2( )()a a a a ?==?-?；④(0,0)a a a b b b =≥ （5）二次根式的运算 ①加减法：先化为 ，在合并同类二次根式；
②乘法：应用公式(0,0)a b ab a b ?=≥≥； ③除法：应用公式(0,0)a a a b b b =≥ ④二次根式的运算仍满足运算律，也可以用多项式的乘法公式来简化运算。 (二）：【课前练习】 1.填空题 2. 判断题 3. 如果2(x-2)=2-x 那么x 取值范围是（） A 、x ≤2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞2 4. 下列各式属于最简二次根式的是（ ） A ．225x +1 B.x y C.12 D.0.5 5. 在二次根式：①12, ②32③23 ；④273和是同类二次根式的是（ ） A ．①和③ B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④ 二：【经典考题剖析】 1. 已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c, 且a 、b 、c 满足a 2 －6a+9+4|5|0b c -+-=，试判断△ABC 的形状． 2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义 （1）23x -+； （2）211x x -+； （3）14 x - 3.找出下列二次根式中的最简二次根式： 2222 1127,,2,0.1,,21,,,22a x y x x y ab x x a b ++--+ 4.判别下列二次根式中，哪些是同类二次根式：
第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？
2、已知053=-+ +y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 二次根式 课题 二次根式 授课时间 课型 复习 二次修改意见 课时 1 授课人 科目 数学 主备
教学目标知识与技能 1、使学生理解二次根式的意义,会讨论式子 b ax+(b a,是已知数且0 ≠ a)中字x的取值范围； 2、理解和应用二次根式的性质()()0 2 ≥ =a a a 过程与方法探究、归纳． 情感态度价 值观 通过运用知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力． 教 材分析重难点 理解二次根式的意义及其性质 求二次根式的被开方数中的字母的取值范围 教学设想教法三主互位导学法学法小组合作学习法教具幻灯片 课堂设计 目标展示 1．计算的结果是（） A．﹣3 B．3 C．﹣9 D．9 2．若二次根式有意义，则x的取值范围为（） A．x≥2 B．x≠2 C．x＞2 D．x=2 3．下列二次根式中，最简二次根式是（） A． B． C． D． 预习检测 4．下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 5．下列计算中，正确的是（） A．= B．×=6 C．÷=4 D．﹣= 6．计算的结果为（）
第16章二次根式复习课 【教学目标】 1. 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子; 2 ?熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 【教学重点】 含二次根式的式子的混合运算. 【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 【教学方法】典例解析法 【教学过程】 【知识回顾】( 填空形式，学生口答) 1. 二次根式： 式子.a ( a >0)叫做二次根式。(当a > 0时，..a > 0；当a > 0时, a 在实数范围内有意义。) 2. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ；⑵被开方数中 不含分母；⑶分母中不含根 式。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： (1) ( a ) 2 =a ( a > 0)； 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运 算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 ⑵二次根式的乘除运算: 掐？祁￡ = 3匕(a > 0,b > 0) ； a 卑 a 0,b 0 \ b Vb 【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间 的联系，掌握 注意的地方，加深对知识的全面理解。 例1 1.使 有意义的的取值范围是 _________________ (2) .. a 2 a ■ a ( a > 0) 0 ( a =0)； a ( a v 0)
分析：第2题的分子是二次根式，分母是含 有意义，同时使分母的值不等于零。 例2下列根式中属最简二次根式的是（ A.~1 B. ￡ C. 分析：B选项根式被开方数中中含有分母，的取值范围是______________ . x的多项式，因此x的取值必须使二次根式）.8 D.27 CD选项中含有能开得尽方的因数（或式）< 2. 中,
第十六章二次根式 16．1二次根式 第1课时二次根式的概念和性质 1．二次根式的概念和应用． 2．二次根式的非负性． 重点 二次根式的概念． 难点 二次根式的非负性． 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔． 电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝2Rh(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1km，h2km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果，并提问． 生：半径之比为2Rh1 2Rh2 ，暂时我们还不会对它进行化简． 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容． 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm； (3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m； (4)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________； (5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4) 3 a (5)h 5 活动2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子a表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子a才有意义？ (2)当a＞0时，a________0；当a＝0时，a________0；二次根式是一个________．【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数(2)＞＝非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此a＞0； 当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0. 也就是说，当a≥0时，a≥0.
§12.1 二次根式（1） 个人复备学习目标： 1.了解二次根式地概念 2.能根据二次根式地意义确定被开方数中字母地取 值范围 3.理解公式a a2（a≥0），能利用公式化简二次根式 重点：二次根式地概念以及二次根式地基本性质 难点：经历知识产生地过程，探索新知识 学习过程 一.【预习练习】初步感知、激发兴趣 1.复习：
9地平方根是________，算术平方根是__________； 0.64地平方根是_________，算术平方根是__________； 0地平方根是_________，算术平方根是__________； 总结：一个正数有______个平方根，0地平方根是_______，负数_________平方根； a（a≥0）地平方根是____________，算术平方根是__________； 2.（1）边长为1地正方形地对角线地长为___________; （2）面积为S地圆地半径为___________；
（3）直角边长分别为a、b地直角三角形斜边地长为_____________； 一般地，__________________________叫做二次根式，a叫做_________________。 二.【新知探究】师生互动、揭示通法 问题1：下列哪些式子是二次根式？为什么？ （1）35 ；（2）―(―3) 2 ；（3） 3 2 ；（4）－12 （5）xy（x、y异号）；（6）－m（m≤0）（7）a2＋1 。 问题2：x是怎样地实数时，下列各式在实数范围内 有意义？
（1）（2）x 2（3）12x （4） 问题3：计算：（1）（ 12）2；（2）（32）2；（3）（b a ）2（a ＋b ≥0） （4）（35）2（5）2531（6） 2b a （b ≥0） 三.【变式拓展】能力提升、突破难点 问题4：（1）若2x-1 ＋|y －1|=0，那么x =__ __，y =___ _ （2）若22340a b c ，求a －b +c 地值. 问题5：已知y=2x +2x +5，求x y 地值． x 231 1 x 个人复备
课 题 二次根式单元复习 教 学 目 标 1、掌握二次根式的知识结构，理清要点； 2、掌握二次根式的基本运算法则，会二次根式加减乘除运算； 3、进一步加强训练，提高处理问题的能力； 教 学 重 点 掌握知识结构和方法体系 教 学 难 点 掌握方法体系 教 具 学 具 多媒体课件 教 学 内 容 及 教 师 活 动 二次备课 一、知识结构 （一）三个概念 1、二次根式 我们把形如____________（ ）的式子叫做二次根式。 2、最简二次根式： 满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）根号内不含分母，分母中不含根号。 化简二次根式的常用的方法有：运用性质化简、分解开方和分母有理化法。 a 的有理化因式是_____， a + b 的有理化因式是______，a b +的有理化因式是______ 3、同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式 (二)、三个性质 1、二次根式的双重非负性:二次根式0a ≥中被开方数a 是非负数，即a ≥0，二次根式 0a ≥ 本身也是非负数，即0a ≥。 2、根的方。)0(,)(2≥=a a a 3、方的根。?????<-=>==) 0(,)0(,0) 0(,2 a a a a a a a (三)、三类运算 二次根式乘法法则a b ab ?=（a ≥0，b ≥0） 二次根式除法法则a b a b ÷=÷（a ≥0，b ＞0） 注意：这两个法则的等号从左到右和从右到左双向都成立。 二次根式的加减： 先把所有二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，类似于合并同类项。
二次根式复习课 崇礼初中初三数学备课组 复习内容 本节课是对二次根式进行系统的复习，巩固所学知识，提升应用方法。 复习目标 1．知识与技能：会理解二次根式的意义，会化简二次根式，会进行二次根式的乘除、加减混合运算 2．过程与方法：经历探究二次根式概念及运算的过程，体会二次根式的解题方法 3．情感、态度与价值观：培养学生良好的运算习惯和不懈的探索精神。 复习重点、难点、关键 重点：二次根式的化简以及运算。 难点：二次根式的性质及运算法则的正确使用。 关键：充分理解二次根式的概念，运用知识迁移的手法，休会二次根式的混合运算的算法。 复习过程设计 一、复习 1.请同学回忆： （1） 二次根式：a (a ≥0)的式子：() a a ；a a ==2 2 ||（a ≥0） （2） 运算法则：二次根式的计算有二次根式的乘法、除法及加减法。 乘法：b a ab ?=（a ≥0，b ≥0） 除法： b a b a = （a ≥0，b>0） 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时要考虑字母的取值范围，运算结果化成最简二次根式 2.二次根式的运算主要研究二次根式的乘除和加减，对于二次根式的加减，
关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。 注意：二次根式运用算结果应尽可能化简 （1）．二次根式的化简必须满足：A.被开方数不含分母；B.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. （2）.二次根式的加减:即合并同类二次根式.同类二次根式必须满足:A.都是最简二次根式,B.它们的被开方数必须完全相同. 二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零．
16.1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 知识与技能目标：a≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点关键 1a≥0）的式子叫做二次根式的概念. 2a≥0）”解决具体问题． 教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。 2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。 学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。 2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。 4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程 一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标 是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． B A 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x ）． 问题2：由勾股定理得 二、探索新知 都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， 我们就把它称二次根式．因此，一般地， a≥0）的式子叫做二次根式， ” 称为二次根号． 议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、、 、 1 x y + （x≥0，y≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． 解： （x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二次
4.1.1二次根式 教学目标 知识与技能： 1、了解二次根式的定义，会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意 义的条件。 2、会根据公式2) (a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。 过程与方法：经历观察、比较、总结二次根式的定义，发展学生的归纳能力。情感、态度与价值观：经历观察、比较、总结和应用等教学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识。 教学重难点 1．重点：会判断一个二次根式在实数范围内是否有意义及有意义的条件。 2．难点：会根据公式2) (a=a(a≥0) 及2a=∣a∣进行计算。 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列问题： 1、4的平方根是？4的算术平方根是？ 2、0的平方根是？0的算术平方根是？ 3、2的平方根是？2的算术平方根是？ 4、－7有没有平方根？－7有没有算术平方根？ 对于每一个正实数a有且只有个平方根，记作，其中一个正的平方根叫做a的记作，另一个平方根是。 0的平方根记作，即。 二、探索新知 一般地，我们把形如a（a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，简称根号，根号下的数叫做被开方的数。 由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。 从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件： ( 1 ) 必须有二次根号； ( 2 ) 被开方数不能小于0 。
例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： （1）32； （2）6； （3）12- ； （4）m -（m ≤0）； (5)xy (x y 异号) （6）12+a ； （7）38 解：二次根式有：（1）32； （2）m -（m ≤0）； （3）12+a ； 例2当x 是多少时，二次根式1-x 在实数范围内有意义？ 解：由x-1≥0，得：x ≥1 当x ≥1时，1-x 在实数范围内有意义． 例3计算： 讨论：如果将上题中的数字换成字母，你发现2)(a 与 2a 有何异同呢？ 三、巩固练习：见学案 四、课堂小结： 1、二次根式的概念； 2、二次根式的性质。 五、布置作业： P 131T 1、2、3。 ==2222251））（（））（（()=?22225 =?248 ()()()???<-≥=≥=0)0(.20.122a a a a a a a a ()()22 0a a a =≥时，当
精锐教育学科教师辅导讲义 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T(二次根式) C（二次根式）C（二次根式的水平）授课日期即时段 教学内容 一、同步知识梳理 二次根式 知识点1、二次根式的概念：形如a (a≥0) 的式子叫做二次根式。 知识点2、二次根式的性质： 1.= 2 ) (a a （a≥0）, 2. a≥ 0(a≥0) 3. ? ? ? ? ? < = > = = )0 ___( )0 ___( )0 ___( ____ 2 a a a a 知识点3：二次根式的乘除： 1.计算公式：二次根式乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)． 二次根式除法法则： a b ＝ a b(a≥0，b＞0)． 2.化简公式： ? ? ? ? ? > ≥ = ≥ ≥ = ? )0 ,0 ___( )0 ,0 ___( b a b a b a b a 知识点4：二次根式的加减： 1.法则：先把各个二次根式化成最简二次根式，再把二次根式分别合并，合并时，仅合并同类的二次根式，不是同类二次根式不能合并。
2.概念：???同类二次根式： 最简二次根式： .2.1 注：最简二次根式必须同时满足条件： 1．根号中不含开方开得尽的因数或因式； 2．根号中不含分母； 3. 分母中不含根号。 二、同步题型分析 考点1、二次根式的意义及性质 1、在函数y= 2 121- -x x 中，自变量的取值范围是 A. x ≠ 21 B.x ≤21 C.x ﹤21 D.x ≥2 1 考点：函数自变量的取值范围 分析：此立函数自变量的取值范围是1-2x ≥0 和x-21 ≠0 同时成 解答： 1-2x ≥0且x-21≠0 解得：x ﹤21 点评：此题考查了学生对函数自变量的取值范围待掌握：为整式时取一切实数，是分数时分母不能为零，是二次根式 时被开方数为非负数 变式训练、 1、若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ． x ＜2 B ． x ≤2 C ． x ＞2 D ． x ≥2 答案：D 考点2、二次根式的相关概念 1、下列各组根式中，属于同类二次根式的是 （ ） A ．3和18 B ．3和1 3 C ．a 2b 和ab 2 D ．a ＋1 和a －1 考点：同类二次根式 解答：B 2、化简后，根式 b －a 3b 和2b －a ＋2 是同类根式，那么a =_____，b =______. 考点：同类二次根式以及二次根式的书写
人教版数学 16.1二次根式教学设计 四海店镇中学
16.1 二次根式(1) 一、学习目标： 知识与技能：1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 过程与方法：先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。 情感态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题 的能力及研究问题的严谨性。 二、学习重点：理解二次根式的概念 三、学习难点：明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。 四、学习过程 （一）复习引入： 1、已知一个正数x，满足x2 = a，x是a的________, 记为______, a一定是_______数。 2、（1） 4的算术平方根为_______ ，用式子表示为 __________； （2） 16的算术平方根是_______，用式子表示为 __________； （3） 0 的算术平方根是_______； （4）正数a的算术平方根为_______， （5）－7_______算术平方根。 归纳：_______和_______都有算术平方根；_______没有算术平方根 （二）出示学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 （三）探索新知、提出问题 思考：用带有根号的式子填空 1、面积为3的正方形的边长是_______，面积为S的正方形的边长是_______。 2、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______米。 3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_______. 很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式 （学生举例巩固） （四）议一议 1、-1有算术平方根吗？ 2、0的算术平方根是多少？ 3、当a<0时，有意义吗？ 点评：1、表示非负数a的算术平方根。 2、a可以是数也可以是一个含有字母的式子。
二次根式期末复习教学 案教案 集团标准化小组：[VVOPPT-JOPP28-JPPTL98-LOPPNN]
期末复习教学案 第三章 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根 式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 ⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a b a b a 【基础训练】 1．化简：（1） 72=__ __； （2）222524-=___ __； （3）61218??=___ _； （4）3275(0,0)x y x y ≥≥=___ _； （5）_______420=-。 2.(08，安徽)化简()24-=_________。 3.（08，武汉）计算4的结果是 Ａ.2 Ｂ．±2 Ｃ．-2 Ｄ．4 4. 化简： （1）（08，泰安）9的结果是 ； （2）（08，南京）123-的结果 是 ； （3）(08，宁夏)825-= ； （4）（08，黄冈）5x -2x =_____ _； （5）（08，宜昌）3＋（5－3）=_________； （6）(08，大 庆) ； a （a ＞a -（a ＜0
（7）(08，荆门)＝________；（8）（08，厦门） ． 5．（08，重庆）计算28-的结果是 A 、6 B 、6 C 、2 D 、2 6．（08，广州）3的倒数是 。 7. (08，聊城)下列计算正确的是 A ． B ． C ． D ． 8.下列运算正确的是 A 、4.06.1= B 、()5.15.12-=- C 、39=- D 、3 294= 9．（08，中山）已知等边三角形ABC 的边长为33+，则ΔABC 的周长是____________； 10. 比较大小：３ 10。 11．（08，嘉兴）使2x -有意义的x 的取值范围是 ． 12.(08，常州)若式子5x +在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 >-5 <-5 ≠-5 ≥-5 13. (08，黑龙江)中，自变量的取值范围是 ． 14.下列二次根式中，x 的取值范围是x ≥2的是 A 、2－x B 、x+2 C 、x －2 D 、 1x －2 15.（08，荆州）下列根式中属最简二次根式的是 A.21a + B.12 C.8 D.27 16．（08，中山）下列根式中不是最简二次根式的是 A ．10 B ．8 C ．6 D ．2 17．（08，常德）下列各式中与是同类二次根式的是 A ．2 B ． C ． D ． 18．下列各组二次根式中是同类二次根式的是 A ．2112与 B ．2718与 C ．3 13与 D ．5445与
第十六章二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a(a≥0)是非负数，并会运用会进 行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究()2a和2a所含运 算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a有意义的条件. 2.a≥0时a≥0的应用. 3.()2a和2a的运算、化简 教学难点： 当a<0时2a的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： h 65，S，2， 5 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义.
活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ① 9 的运算结果是3，9是不是二次根式？3 是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的 情况下，其运算结果是怎样的实数？ 2-x ， 1 1+x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，2x ，3x 有意义？ 1、若m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______. 2、已知053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对 ()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方 再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对 2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再 开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子( )2 a -()2 c 与式子 2 )(c a -有什么关系？ 三、课堂训练
第16章二次根式 16.1二次根式（1） 【教学目标】 1．根据算术平方根的意义了解二次根式的概念；知道被开方数必须是非负数的理由； 2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系． 【教学重点】 从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念． 【教学过程】 一.创设情境提出问题 1.电视塔越高，从塔顶发射的电磁波传得越远，从而能收看到电视节目的区域越广，电视塔高h（单位：km）与电视节目信号的传播半径r（单位：km） 之间存在近似关系r=，其中地球半径R≈6 400 km．如果两个电视塔的 高分别是h1 km、h2 km 你能化简这个 式子吗？ 式子 表示什么？ 公式中 r=中的 表示什么意义？ 2.问题： （1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______． （1）中式子你是怎么得到？得到的两个式子有什么不同？ （2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m2，则它的宽为______m．（2）中得到的式子有什么意义？ （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t2，如果用含有h 的式子表示t ，则 ． （3）中当h 的值分别为0，10，15，20，25时，得到的结果分别是什么？
表示的数怎样变化？ 二.合作探究 形成知识 （1）这些式子分别表示什么意义？ （2）这些式子有什么共同特征？ 分别表示3，S ，65，5 h 的算术平方根 这些式子的共同特征是： 都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根． （3）根据你的理解，请写出二次根式的定义． 用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式． a≥0）?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 三.初步应用 巩固知识 练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？ 二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的算术平方根是二次根式．
课时授课计划年月日
课 时 授 课 计 划 06 年 2 月 15 日 课 题 §1.2二次根式的性质（第一课时） 课 时 教 学 目 标 1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法。 2、了解二次根式的上述两个性质。 3、会运用上述两个性质进行有关计算。 教 学 设 想 教学重点：是理解二次根式的上述两个性质；教学难点：是灵活运用上述两个性质进行有关计算。 教 学 程 序 与 策 略 一、 回顾与引入 1、 平方根的概念：一个数的平方等a （a ≥0），则这个数叫做a 的平方根，记做a ±，则() a a =±2 2、 () a a =2 3、大家抢答 填空 () =2 2 () =2 13 =??? ? ??2 71 二、新课讲解 从熟悉的知识出发先练习、再观察发现总结规律得出性质一 4、性质一： () ()02 ≥=a a a 5、能用几何图形作出直观解释吗？用正方形的面积 启发诱导数形结合思想 6、填空 课本6页 7、比较 2a 和a 有何关系？当a ≥0时，2a ＝ 和a ﹤0，2a ＝ 先练习、再观察发现总结规律得出性质二 8、性质二： 9、课内练习 () () () ()() ()()()()() ( )2 2 2 2 3 2 2 211_____,2______,33_____, 5141_____,54____,62____. ?? -==-= ??? ??=-=--= ?
三、引申与提高 例4 化简： （1）（2）（3） (a＜0,b＞0) （4） (a＞1 ) 四、分享与体会 你能说出这节课你的收获和体验与大家分享吗？ 五、作业 1．课本作业题 2．作业本（2） 教 后 反 思 录 课时授课计划 06 年 2 月 17 日课题1、2二次根式的性质（2） 课时教学目标1、经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、类比的思想方法； 2、了解二次根式的上述两个性质； 3、会用二次根式的性质将简单二次根式化简。 教学 重点：二次根式的乘法、除法的性质与利用性质进行运算。
第2课时 二次根式的性质 1．经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；(重点) 2．了解并掌握二次根式的性质，会运用其进行有关计算．(重点，难点) 一、情境导入 a 2等于什么？ 我们不妨取a 的一些值，如2，－2，3，－3，…分别计算出对应的a 2的值，看看有什么规律． 22＝4＝2；（－2）2＝4＝2； 32＝9＝3；（－3）2＝9＝3；… 你能概括一下a 2的值吗？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的性质 【类型一】行计算 化简： (1)(5)2；(2)52；(3)（－5）2；(4)(－5)2. 解析：根据二次根式的性质进行计算即可． 解：(1)( 5)2＝5；(2) 52＝5； (3)（－5）2＝5；(4)( －5)2＝5. 方法总结：利用a 2＝|a |进行计算与化简，幂的运算法则仍然适用，同时要注意二次根式的被开方数要为非负数． 【类型二】 在实数范围内分解因式． (1)a 2－13；(2)4a 2－5；(3)x 4－4x 2＋4. 解析：由于任意一个非负数都可以写成一个数的平方的形式，利用这个即可将以上几个式子在实数范围内分解因式． 解：(1)a 2－13＝a 2－(13)2＝(a ＋13)(a －13)； (2)4a 2－5＝(2a )2－(5)2＝(2a ＋5)(2a －5)； (3)x 4－ 4x 2＋4＝(x 2－2)2＝[(x ＋2)(x －2)]2＝(x ＋2)2(x －2)2. 方法总结：一些式子在有理数的范围内 无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．这就需要把一个非负数表示成 平方的形式． 探究点二：二次根式性质的综合应用 【类型一】 结合数轴利用二次根式的 性质求值或化简 已知实数a ，b 在数轴上的位置如 图所示，化简：（a ＋1）2＋2（b －1）2－|a －b |. 解析：根据数轴确定a 和b 的取值范围，进而确定a ＋1、b －1和a －b 的取值范围，再根据二次根式的性质和绝对值的意义化简求解． 解：从数轴上a ，b 的位置关系可知－2＜a ＜－1，1＜b ＜2，且b ＞a ，故a ＋1＜0，b －1＞0，a －b ＜0.原式＝|a ＋1|＋2|b －1|－ |a －b |＝－(a ＋1)＋2(b －1)＋(a －b )＝b －3. 方法总结：结合数轴利用二次根式的性质求值或化简，解题的关键是根据数轴判断字母的取值范围和熟练运用二次根式的性质． 【类型二】 二次根式的化简与三角形三边关系的综合 已知a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简（a ＋b ＋c ）2－（b ＋c －a ）2＋（c －b －a ）2. 解析：根据三角形的三边关系得出b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c .根据二次根式的性质得出含有绝对值的式子，最后去绝对值符号合并即可． 解：∵a 、b 、c 是△ABC 的三边长，∴b ＋c ＞a ，b ＋a ＞c ，∴原式＝|a ＋b ＋c |－|b ＋c －a |＋|c －b －a |＝a ＋b ＋c －(b ＋c －a )＋(b ＋a －c )＝a ＋b ＋c －b －c ＋a ＋b ＋a －c ＝3a ＋b －c .
二次根式复习课 ————蒲岐中学姚鹏飞 教学内容： 浙教版义务教育课程标准试验教科书《数学》，初中八年级（下）第一章复习（立足全章，专题研究） 教学目标： 1、知识与技能目标： （1）了解二次根式的概念，二次根式的值、二次根式的性质及运算法则，勾股定理； （2）掌握二次根式的性质及运算法则，能运用性质及运算法则解决方格中有关的简单几何问题；初步接触动态几何中的最值问题。 2、过程与方法目标 （1）经历应用性质、运算法则、勾股定理解决问题的过程，进一步发展学生的推理能力、以及在格点中的作图能力，体会数学是一门严谨而有趣的锻炼思维能力的学科 （2）在解决问题的过程中，让学生学会聆听、学会思考，同时发展学生归纳、概括的能力，使学生体会分类讨论、转化思想、数形结合的奇妙用处； 3、情感与态度目标：通过格点中的连续性问题，培养学生勇于探索的精神，激发学生的学习兴趣和学习积极性。通过学生自己提问，让学生间加强交流合作、相互协作，体验一起进步的快乐。 重点和难点： 教学重点：能用勾股定理、二次根式的性质和运算法则解决格点中有关的简单几何问题。 教学难点：动态几何中的最值问题思维的形成过程及解决方法，数学结合的应用。 教学准备：方格子，三角板 教学过程设计 一、温故知新、引出课题： 每一位同学手上都有一张方格子，不要小看这张小小的方格子，它当中蕴含着非常多的数学知识，今天，老师就带大家走进方格子的数学世界。 问题情境一：在如图所示的4×4的方格内，点A在个点上，画一条线段AB ，点B也在 格点上。 课堂预设： 生1：边长为1的正方形的对角线。 ，谁能来解释下？ 生2 = 师：两位同学回答的非常好，即给出了作图的方法，又给出了作图的依据。还能用到我们数学史上非常有名的勾股定理，确实不错。