高等数学第七章定积分的应用

第七章 定积分的应用

一、本章提要

1. 基本概念

微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法

(1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量，

(7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心．

二、要点解析

问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？

解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件：

（1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2）

Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下：

（1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,；

（2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b

a

a

Q Q f x x =??．

下面举例说明．

例1 用定积分求半径为R 的圆的面积．

解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间

[]R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元

x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=，

于是

?

?---==R

R

R R

x x R A A d 2d 22=2πR ．

解二 选取如图所示的坐标系，

取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2

1d 2

R A =

，于是

22π

20

2π

20

ππ22

1

d 21d R R R A A =?===?

?θ．

解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =，于是

20

2

π2

π2d π2R r r r A R

R =?

==

?

．

问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值?-=b a

x x f a b u d )(1

是有限

个数的算术平均值的推广．

解析 首先，我们知道几个数 y y y n 12,,,???的算术平均值为

y y y y n n y n k k n

=++???+==∑()/121

1，

对于函数)(x f ，我们把区间[]b a , n 等分，设分点为a =x x x b n 01<

x i n n

-?=

=???，各分点i x 所对应的函数值为12(),(),f x f x ,???()n f x ，其算术平均值 ∑=n

i i x f n 1)(1可近似地表达函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值．显然，

n 越大，分点越多，这个平均值就越接近函数)(x f 在[]b a ,上取得一切值的平均值． 因此，

称极限

lim n →∞11

n f x i i n

()=∑

为函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的平均值，记为[]b a y ,．

下面用定积分表示函数)(x f 在[]b a ,上的平均值[]b a y ,．在定积分定义中，若取

ξi i x =，?x b a

n

i =-，则

∑∑?

=∞

→=→-=?=n

i i n n i i i b a

n

a

b x f x f x x f 1

1

)

(lim )(lim d )(ξλ，

这里{}12max ,,,n b a

x x x n

λ-=???=L ． 因此

n a

b x f a b x f n n

i i n n i i n --=∑∑=∞→=∞→1

1)(lim 1)(1lim

1

1

lim ()n

i i n i f x x b a →∞==

?-∑ ?-=b a x x f a

b d )(1

， 即 ?-=

b a b a x x f a

b y d )(1

],[． 在生产实践和科学研究中，有许多连续量的平均值需要计算，如平均电流强度、平均电

压、平均功率等等．

例2 求从0到T 这段时间内自由落体运动的平均速度． 解 因为自由落体运动的速度gt v =，所以

200

1111

d 022

T

T v gt t gt gT T T ??

===

?-??

?． 三、例题精解

例3 求纯电阻电路中正弦电流 t I t i m ωsin )(=在一个周期上的平均功率（其中m

I 及ω均为常数）．

解 设电阻为R （R 为常数），则电路中的电压

t RI iR u m ωsin ==，

而功率 2

)sin (t I R iu p m ω==，

因此p 在2π0,

ω??

????

上的平均功率（功率的平均值） 2π

2π

222

2π00

11cos 2sin d d 0

2π2

m m RI t

p R t t t I ωω

ωωωω-==-??

2π22011(1cos )d()()4π22

m m

m m m m I R t t I R I U U I R ωωω=-===?，

这说明纯电阻电路中正弦电流的平均功率等于电流、电压的峰值之积的一半．

对一般的周期为T 的交变电流)(t i ，它在R 上消耗的功率为R t i t i t u p )()()(2

==，在

[]T ,0上的平均功率为T

t R t i p T ?

=

2d )(．

通常交流电器上标明的功率就是平均功率．

例4 当交变电流)(t i 在其一个周期内在负载电阻R 上消耗的平均功率等于取固定值电流I 的直流电在R 上消耗的功率时，称I 为)(t i 的有效值，即电流)(t i 的有效值为I ，试求)(t i 的有效值．

解 固定值为I 的电流在电阻R 上消耗的功率为2I R ．

对于交变电流)(t i 在其一个周期内在负载电阻R 上消耗的平均功率为

??==T T t t i T R t R t i T p 02

02d )(d )(1，

于是 ?=T t t i T R R I 0

2

2

d )(，

得 ?

=

T t t i T

I 0

2d )(1

为交变电流)(t i 的有效值．

通常在交流电的电器上所标明的电流即为交变电流的有效值．

一般地，把

?-b a

t t f a b d )(1

2称为连续函数)(x f 在[]b a ,上的均方根．因此，周期性电流)(t i 的有效值就是它的一个周期上的均方根．

例5 由力学知道，位于平面上点),(i i y x 处的质量为),,2,1(n i m i ???=的几个质点所构成的质点系的质心（也叫质点系的重心）坐标),(y x 计算公式为

m

M x y =

，

m

M y x

=

， 其中∑==

n

i i

m

m 1

(质点系中全部质点的质量之和)，∑==

n

i i

i y x m M 1

（质点系中，各质点关于y

轴的静力矩m i x i 之和m x

i

i

i n

=∑1

，称其为质点系对y 轴的静力矩），∑==

n

i i i x y m M 1

（质点系

对x 轴的静力矩）．

由此可见，质点系m i （ i n =???12,,,）的质心坐标（x y ,）满足：质量为m m

i

i n

=

=∑1

，

坐标为（x y ,）的质点M 关于y 轴和x 轴的静力矩分别与质点系关于y 轴和x 轴的静力矩相等．

按上述关于质点系之质心的概念，用定积分的微元法讨论均匀薄片的质心． 解 设均匀薄片由曲线)()((x f x f y =≥)0，直线x =a ，x =b 及x 轴所围成，其面密度μ为常数，其质心坐标（x y ,）．

为研究该薄片的质心，首先要将该薄片分成若干个小部分，每一小部分近似看成一个质点，于是该薄片就可近似看成质点系．具体做法如下：

将[]b a ,区间分成若干个小区间，代表性小区间[]x x x d ,+所对应的窄长条薄片的质量微元 x x f x y m d )(d d μμ==，

由于d x 很小，这小窄条的质量可近似看作均匀分布在窄条的左面一条边上，由于质量是均

匀分布的，故该窄条薄片又可看作质量集中在点??

?

??)(21,

x f x 处且质量为d m 的质点，所以这窄条薄片关于x 轴及y 轴的静力矩微元x M d 与y M d 分别为

x x f x x f x f M x d )(2

1

d )()(21d 2μμ==

， x x f x M y d )(d μ=，

把它们分别在[]b a ,上作定积分，便得到静力矩 x x f M b a

x d )(2

2?

=

μ

，

?

=b

a

y x x xf M d )(μ

，

又因为均匀薄片的总质量 ??==b

a

b a

x x f m m d )(d μ，

所以该薄片的质心坐标为

??=

=

b a

b

a y x

x f x x xf m

M x d )(d )(， 2

1()d 2()d b a x b

a

f x x M y m

f x x

==??． 上面关于质心（y x ,）的计算公式适用于求均匀薄片的质心，有关非均匀薄片质心的计算将在二重积分应用中予以介绍．

例6 求密度均匀，半径为R 的半圆形薄片的质心． 解 如图所示建立坐标系，

上半圆周方程22x R y -=，由对称性知，质心在y 轴上，即0=x ，利用例5中的

质心计算公式得

32

20

2112()d 42

3,13π

π2

R R x R x x R y R ?-===

故所求质心为4(0,

)3π

R

． 四． 练习题

判断正误

(1) 由x 轴，y 轴及2

)1(-=x y 所围平面图形的面积为定积分

x x d )1(1

2?

-；

（√ ）

解析 x 轴、y 轴及2

)1(-=x y 所围成的曲边三角形位于x 轴的上方，由定积分的几

何意义可知，其面积正是

x x d )1(1

2?

-．

（2）闭区间[]b a ,上的连续函数)(x f 在该区间上的平均值为

f x b a

()

- ； （ × ）

解析 由定积分中值定理可知，闭区间],[b a 上的连续函数)(x f 在该区间上的平均值

为

1

()d b a

f x x b a -?． （3）由曲边梯形D ：a ≤x ≤b ，0≤y ≤)(x f 绕x 轴旋转一周所产生的旋转体的体积 2π()d b a

V f x x =

?

； （ √ ）

解析 如图，对任意的],[b a x ∈，旋转体的截面积)(x A =2

π()f x ．由平行截面物体的

2

)1

体积得 V =

()d b a

A x x ?

=

2π()d b a

f x x ?

．

（4）若变量y 关于x 的变化率为2

3x ，则 3

x y =． （ × ）

解析 y 关于x 的变化率为2

3x ，则

2d 3d y

x x

=，积分得 y =23d x x ?

=3

x C +．

2．填空题

(1) 设一平面曲线方程为)(x f y =，其中)(x f 在[]b a ,上具有一阶连续导数，则此曲线对应于a x =到b x =的弧长L

=

a

x ?

；若曲线的参数方程为{

(),(),

x x t y y t ==（a

≤t ≤β），)(),(t y t x 在[]αβ,上有连续导数，则此曲线弧长L

=

t β

α

? ；

(2) 设一平面图形由b x a x x g y x f y ====,),(),(所围成))()((x f x g >，其中

)(x f ，)(x g 在[]b a ,上连续，则该平面图形的面积S =

[()()]d b a

g x f x x -?

；

解 如图，

因为)()(x f x g >， 取x 为积分变量，于是得 d [()()]d A g x f x x =-，故平面图形的面积 A =

[()()]d b a

g x f x x -?

．

(3) 周期为T 的矩形脉冲电流

{

,0(),(0)0,a t c i t a c t T

≤≤=

><≤

的有效值为 T

c

a

； 解

)(x f 在],[b a 上的均方根．周期性电流)(t i 的有效值就是它的一个周期上的均方根， 则

2

()d T i t t ?

=20

d c a t ?+0d T

c

t ?=c a 2，

所以此脉冲电流的有效值 I

T

c

a 2=T c a ．

(4) 若某产品的总产量的变化率为2

10)(t t t f -=，那么t 从40=t 到81=t 这段时间内的总产量为

3

272

． 解 设总产量为)(t Q ， 则 )()(t f t Q ='=2

10t t -，

积分得 Q =8

2

4(10)d t t t -?=8432

)35(t t -=3

272

．

3. 解答题

（1）抛物线x y 22

=把图形82

2

=+y x 分成两部分，求这两部分面积之比；

解 曲线围成的区域如图中阴影部分．

联立方程 222

2,8,

y x x y ?=?+=? ? {2,2,x y ==或 {

2,2,x y ==-得到两条曲线相交的交点为 （2，

y 2），（2，2-）．

从而

2S =222

)d 2y y -

?=2(2

200d 2

y y y -?

?)， 其中

y

?

y t

=π404)t t ??=π240

8cos d t t ?

=π40

4

(1cos 2)d t t +?

=π

40

π2sin 2t +=2+π，

220

d 2y y ?

=2

0361y =3

4， 所以 2S =2（2+4π3-

）=2π+3

4

， 而

1S +2S =2

π=8π，

于是 =1S 48π(2π)3-+=46π3

-

， 所以，两部分面积比为 1S ：2S =（9π-2）：（3π+2）．

（2）计算e x

y -=与直线0=y 之间位于第一象限内的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积；

解 如图，

当+∞→x 时，y =e

0x

-→，我们可以把未封闭的区域看作当+∞→x 时的闭区域，

则其绕 x 轴旋转一周的体积

V =20

π()d f x x +∞?

=20

πe d x x +∞-?=20

π

e 2

x

-+∞-=

π2

， 所以，所得旋转体体积为

π

2

．

（3）一密度均匀的薄片，其边界由抛物线ax y =2

与直线a x =围成，求此薄片的质

心坐标；

解 如图，

由对称性知，质心在x 轴上，即y =0，利用质心计算公式，有

x =22

2

()d d a a a a y y

a y y

a --??=3

25235

2

a a a a ??=a 53， 所以，薄片的质心坐标为(a 5

3，0)．

（4）半径为r m 的半球形水池灌满了水，要把池内的水全部抽出需作多少功； 解 如图，

设水池的上边缘为y 轴，原点在半球形水池的圆心位置，x 轴竖直向下．球面方程为

y =22x r -±，则水深x 处所对应的截面半径为

22x r -，截面面积

22()π()S x r x =-．将x 到d x x +这层水抽出需克服的重力为

d G =d g V ρ=g ρ()d S x x =22π()d g r x x ρ-，

因为 W =22

0π()d r

g r x x ρ-?=2222

01π()d()2

r g r x r x ρ---?

=222

1π()40r g r x ρ--=41π4

g r ρ(J )，

所以，把水全部抽出需做功

41

π4

g r ρ(J )． （5）一直径为6m 的半圆形闸门，铅直地浸入水内，其直径恰位于水表面（水的密度为 103 kg/m 3 ），求闸门一侧受到水的压力；

解 如图，

设水面为y 轴，原点在圆心位置，x 轴竖直向下．半圆形闸门的方程为92

2=+y x ，则x 到d x x +这层闸门的截面面积d ()

S x =2x ，所受到的压强P =gx ρ，压力

d F

=d ()P S x =gx

x ρ，闸门所受到的压力

F =

30

2x ρ?

=20

)g x ρ--?

=30

2

32)9(3

2x g --ρ=4

1.810g ? (N )，

所以，闸门的一侧受到水的压力为4

1.810g ? (N )．

（6）某石油公司经营的一块油田的边际收入和边际成本分别为 )/(31)(,)/()(3

13

1年百万元年百万元t

t C t

q t R +='-='，

求该油田的最佳经营时间，以及在经营终止时获得的总利润（已知固定成本为4百万元，q 为实数）；

解 由最大利润原理，令 )()(t C t R '='，则 3

13131t t q +=-，得 t =64

)1(3

-q ，

总利润 L =

3(1)640

[()()]d 4q R t C t t -''--?=311(1)3

3

640

(13)d 4q q t t t -----?

=

31(1)3

640

(14)d 4q q t t ----?

=[34(1)3

640

(1)3]4q q t t ----

=4256

)1(4

--q （百万元）， 所以，油田的最佳经营时间为 64

)1(3-q 年，经营终止时获得的总利润为

4256)1(4

--q 百万元．

（7）有一弹簧，用5N 的力可以把它拉长0. 01m ，求把它拉长0. 1m ，力所作的功； 解 已知 kx F =， 5)01.0(=F ， 所以 k 01.05=， 即 500=k ， x F 500=, 所以 W =0.10

500d x x ?

=2501

.00

2

x =2.5(J )

所以，力所做的功为2.5(J )．

（8）求心形线)cos 1(θ+=a r （a 为常数）的全长． 解一 将极坐标转换为直角坐标，有

{

cos (1cos )cos ,sin (1cos )sin ,

x r a y r a θθθθθθ==+==+ 于是 d [(sin )cos (1cos )(sin )]d x a a θθθθθ=-++-=[(sin sin 2)]d a θθθ-+，

d [(sin )sin (1cos )cos ]d y a a θθθθθ=-++=[(cos cos 2)]d a θθθ+，

弧长微元 d s

θ

θ

θ

θ=2cos

d 2

a θ，

所以，心形线的全长 s

=θ=π

08cos d 22a θθ?=π0

8sin

2

a θ

=8a ． 解二 将极坐标转换为直角坐标，有

{cos (1cos )cos ,sin (1cos )sin ,

x r a y r a θθθθθθ==+==+

则 d d d cos d sin d ,d d d sin d cos d ,

x x x r r r r y y y r r r r θθθθθθθθθθ???

=+=-???????=+=+???

弧长微元d s

θ， 心形线的全长

s =02?

θ =2π02cos d 2a θθ?=π0

8sin

2

a θ

=8a ，

所以，心形线的全长为8a ．

高等数学定积分应用

第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用

一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+

高等数学 第七章 定积分的应用

第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性 质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第5章 定积分及其应用 定积分的概念与性质 【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义 ； 【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质； 【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法； 【教学时数】：2学时 【教学过程】： 案例研究 引例5.1.1 曲边梯形的面积问题 所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边 梯形的面积． 分析 由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2

梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个 与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边 梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积 （如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩 形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割 在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ， 它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形； （2）取近似 在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的 面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=， （3）求和 把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ， 将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑； （4）取极限 当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值， 即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义 定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插 入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=， 将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --， 各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-， 在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的 乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =， 当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区

高等数学定积分的应用

授课单元12教案

教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分． iia 0??1i ? 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ： 两步： x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素 dQf (x )dx ＝b Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 ．由 轴所围成图形面积公式 及，a

d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a 2211b??????

最新高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y

4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>== 体的体积。 旋转轴旋转，计算所得两个轴及所围成的图形，分别绕由y x y x x y 0,2,.133=== 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： ;,0,,0)1(轴绕与x y a x x a x ch a y ==== ;,2sin )2(轴绕与x x y x y π = = ; ,)2 0(cos sin )3(轴绕与x x x y x y π ≤≤== ; 0,2,ln )4(轴绕与y y x x y === ;0,2)5(2轴绕与y y x y x x y ==-= ; , 16)5()6(22轴绕y y x =+- 。产生的旋转体的体积旋转 轴绕轴所围的图形处的切线和及其在求由抛物线x x x y )2,0()1(4.152-= 积。轴旋转所得旋转体的体所围图形绕求x y x y x 2223,4.16≥ ≤+ 求其体积。 ， 图面都是等边三角形为底，垂直于长轴的截一立体以椭圆)26(125 100.1722 -≤+y x

高等数学(上)第五章定积分归纳

第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积 (1) 矩形面积=底?高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积≈底?高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小.

第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i Λ=?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<=Λ10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i ΛΛ=?=-=?=--λ记

高等数学不定积分总结

第5章 不定积分 一、不定积分的概念和性质 若()()F x f x '=，则()d ()f x x F x C =+?， C 为积分常数不可丢！ 性质1()d ()f x x f x ' ??=???或 d ()d ()d f x x f x x =?或()d ()d f x x f x dx ??=??? 性质2()d ()F x x F x C '=+?或d ()()F x F x C =+? 性质3[()()]d f x g x x αβ±?()d ()d f x x g x x α β=±?? 或[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x += +??? ；()d ()d kf x x k f x x =??. 二、基本积分公式或直接积分法 基本积分公式 d k x =?k x C +d x x μ=?111x C μμ+++(μ为常数且1μ≠-) 1d x x =?ln x C + e d x x =?e x C +d x a x =?ln x a C a + cos d x x =?sin x C +sin d x x =?cos x C -+ 2d cos x x =?2sec d x x =?tan x C +2d sin x x =?2csc d x x =?cot x C -+ sec tan d x x x =?sec x C +csc cot d x x x =?csc x C -+ 2d 1x x =+?arctan x C +（arccot x C -+）=arcsin x C +（arccos x C -+） 直接积分法：对被积函数作代数变形或三角变形，化成能直接套用基本积分公式。 代数变形主要是指因式分解、加减拆并等；三角变形主要是指三角恒等式。 三、换元积分法： 1.第一类换元法（凑微分法） ()()()d (())()d (())d () ()d [()]u x u x g x x f x x x f x x f u u F u C ??????=='====+????. 注 (1)常见凑微分： 2111(), (),2), (ln ||) 2dx d ax c xdx d x c d c dx d x c a x =+=+==+ 21(tan )(cot (arcsin )(cos )1+dx d arc x d arc x d x d arc x x ==-==-

高等数学定积分的应用

授课单元12教案 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的近似值，即表成乘积i i x f ?ξ)(的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分 ()()i n i i b a x f dx x f ?ξ=∑?=→λ1 lim （即整体量） ． 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实际应用时，为了方便，一般把计算在区间[]b a ,上的某个量Q 的定积分的方法简化成下面的两步：：

（1） 确定积分变量x ，求出积分区间],[b a （2） 在区间],[b a 上，任取一小区间],[dx x x + ，并在该小区间上找出所求量Q 的微分元素 dQ ＝dx x f )( （3） 写出所求量Q 的定积分表达式 dx x f Q b a ?=)( 用以上两步来解决实际问题的方法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 1、．由)(x f y =，b x a x ==,及ox 轴所围成图形面积公式 ()b a A f x dx = ? 1'、(),,x y y c y d ?===及y 轴所围成图形面积公式()d c A y dy ?=? 例 求曲线3 x y =与直线2,1=-=x x 及x 轴所围成的图形面积 解 4 17 2 30 1 3= +- =?? -dx x dx x s 2、由两条连续曲线()x y y 2=和()()()()x y x y x y y 211≤=与直线)(,b a b x a x <==所围成平面图形（如图1）的面积()()[]dx x y x y A b a ?-=12 图1 图2 2'、由两条连续曲线()y x x 2=和()()()()y x y x y x x 211≤=与直线)(,d c d y c y <==所 围成平面图形(如图2)的面积 ?-=d c dy y x y x A )]()([12

同济版高等数学教案 定积分

第五章定积分 教学目的： 1、理解定积分的概念。 2、掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点： 1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、定积分的概念 2、积分中值定理 3、定积分的换元积分法分部积分法。 4、变上限函数的导数。 §5. 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例 1.曲边梯形的面积 曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 1

天津工业大学理学院基础数学系高等数学、经济数学教研室 2 的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称为曲边. 求曲边梯形的面积的近似值: 将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形, 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替, 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积, 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值. 具体方法是: 在区间[a , b ]中任意插入若干个分点 a =x 0< x 1< x 2< ? ? ?< x n -1< x n = b , 把[a , b ]分成n 个小区间 [x 0, x 1], [x 1, x 2], [x 2, x 3], ? ? ? , [x n -1, x n ], 它们的长度依次为?x 1= x 1-x 0 , ?x 2= x 2-x 1 , ? ? ? , ?x n = x n -x n -1 . 经过每一个分点作平行于y 轴的直线段, 把曲边梯形分成n 个窄曲边梯形. 在每个小区间 [x i -1, x i ]上任取一点ξ i , 以[x i -1, x i ]为底、f (ξ i )为高的窄矩形近似替代第i 个窄曲边梯形(i =1, 2, ? ? ? , n ) , 把这样得到的n 个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A 的近似值, 即 A ≈f (ξ 1)?x 1+ f (ξ 2)?x 2+? ? ?+ f (ξ n )?x n ∑=?=n i i i x f 1)(ξ. 求曲边梯形的面积的精确值: 显然, 分点越多、每个小曲边梯形越窄, 所求得的曲边梯形面积A 的近似值就越接近曲边梯形面积A 的精确值, 因此, 要求曲边梯形面积A 的精确值, 只需无限地增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零. 记 λ=max{?x 1, ?x 2,? ? ?, ?x n }, 于是, 上述增加分点, 使每个小曲边梯形的宽度趋于零, 相当于令λ→0. 所以曲边梯形的面积为 ∑=→?=n i i i x f A 1 0)(lim ξλ. 2. 变速直线运动的路程

高等数学教案--定积分的应用

高等数学教案—定积分的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 i. 一.定积分应用的微元法 用定积分计算的量的特点： (1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [],a b 有关，且在该区间上具有可 加性. 就是说，F 是确定于 [],a b 上的整体量，当把 [],a b 分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1 n i i F F == ∑。 (2) 所求量F 在区间[],a b 上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [],a b 的长不成正比（否则的话，F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）. 用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 1Δn i i F F ==∑; 第二步：求出每个部分量的近似值，Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ= 第三步：写出整体量 F 的近似值，1Δn i i F F ==∑≈ 1()Δn i i i f x ξ=∑； 第四步：取max{Δ}0i x λ=→时的 1 ()Δn i i i f x ξ=∑极限，则得 1 lim ()Δ()d n b i i a i F f x f x x λξ→===∑?. 观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可（ i ξ换为 x ；i x ?换为 d x ）. 而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 [],a b 上无限累加，即在 [] ,a b

上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 F 能用定积分计算定积分应用的微元法： (一)在区间 [微小区间 [],d x x x +，然后写出在这个小区间上 ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为F 的微 ); (二)将微元d F 在[],a b 上积分（无 限累加），即得 ()d .b a F f x x =? 微元法中微元的两点说明： (1)()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分d F ; (2)具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 x x f F d )(d = 二、用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分. （1）曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及Ox 轴所围图形，如下左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d b a A f x x =?. （2）由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，如下右图，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积 [()()]d b a A f x g x x =-?.

(完整版)高等数学定积分应用习题答案.doc

第六章定积分的应用 习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积： (1) y x 2 6x 8, [0, 3] ( 2) y 2x x2 , [ 0, 3] 2．求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1) y e x , y e x与x1; ( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ; (3) y 2x x2与 y x , y 0 ; ( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ; (5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ; (6) y x2 与 y x , y 2x ; (7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ; (8) y x 2 , x 2 y 2 （两部分都要计算） ; 2 8

4．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。 5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p , p) 处的法线所围成的图形的面积。 2 7．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。 x 2 y 2 1 所围图形的面积。 8．求椭圆 2 b 2 a 9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。 10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： (1) 2a sin (a 0) ; ( 2) 2a (2 cos ) (a 0); (3) 2 2 cos 2 （双纽线） ; 12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x ( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。 13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转 体的体积。 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： (1) y ach x 0, x a , y 0 , 绕 x 轴 ; 与 x a ( 2) y sin x 与 y 2x , 绕 x 轴 ; (3) y sin x 与 y cos x (0 x ) , 绕 x 轴 ; 2 ( 4) y ln x , 与 x 2 , y 0 绕 y 轴 ; (5) y 2x x2 与 y x , y 0 绕 y 轴 ; (6) ( x 5)2 y 2 16 , 绕 y 轴 ; 15. 求由抛物线y 2 4(1 x) 及其在 (0, 2) 处的切线和x 轴所围的图形绕 x 轴旋转 产生的旋转体的体积。 16. 求 x 2 y 2 4, x 3 y 2所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 17. 一立体以椭圆x 2 y2 1 为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形( 图 6 2)，100 25 求其体积。