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2020届河北省高三上学期第一次大联考数学(理)试题(解析版)

2020届河北省高三上学期第一次大联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合{|A x y ==和集合2{|}B y y x ==，则A B 等于（）

A ．{}(0,1),(1,0)

B ．[0,)+∞

C ．[1,1]-

D ．[0,1]

【答案】D

【解析】分别求出集合A 与集合B ，再求A B 即可.

【详解】

由已知{}

11A x x =-≤≤，{}0B y y =≥，则[]

0,1A B ?=，故选：D . 【点睛】

本题考查交集及其运算，属于基础题.

2．已知x ∈R ，复数11i z x =+，22i z =-，若12z z ?为纯虚数，则实数x 的值为（） A ．2- B ．1

- C ．2或12

D ．1

【答案】A

【解析】先根据复数的乘法计算12z z ?，再由12z z ?为纯虚数，得出结果. 【详解】

由()12(1i)(2i)=221i z z x x x ?=+-++-，由12z z ?为纯虚数，

则20210x x +=??-≠?

，解得2x =-.

故选：A. 【点睛】

本题考查复数的运算及纯虚数的概念，属于基础题.

3．如图是调查某学校高一、高二年级学生参加社团活动的等高条形图，阴影部分的高表示参加社团的频率．已知该校高一、高二年级学生人数均为600人（所有学生都参加了调查），现从参加社团的同学中按分层抽样的方式抽取45人，则抽取的高二学生人数为（）

A ．9

B ．18

C ．27

D ．36

【答案】C

【解析】根据等高条形图，利用分层抽样原理求出应抽取的人数即可. 【详解】

根据等高条形图可知，参加社团的高一和高二的人数比为2:3，由分层抽样的性质可得，抽取的高二学生人数为3

45275

?=人，故选：C ．【点睛】

本题主要考查等高条形图、分层抽样，属于基础题.

4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，则

5S =（）

A ．

112

B ．112

C ．

121

D ．121

【答案】D

【解析】利用2533a a a =，且4a 与79a 的等差中项为2，求出等比数列的首项和公比，再利用等比数列的求和公式，即可得出结论. 【详解】

∵数列{}n a 是等比数列，253433a a a a a ==，∴3

413a a q ==．∵4a 与79a 的等差中

项为2，∴(

4749194a a a q

+=+=，解得13

q =，181a =．∴551

81[1()]

3121113

S ?-=

=-．故选：D ．【点睛】

本题主要考查等差中项及等比数列前n 项和，属于基础题. 5．下列有关命题的说法正确的是（） A ．若“p q ∧”为假命题，则“p q ∨”为假命题 B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件 C ．命题“若1x >，则

<”的逆否命题为真命题 D ．命题“0x ?>，201920190x +>”的否定是“00x ?≤，020*******x +≤” 【答案】C

【解析】由p 且q 的真值表可判断A ；由充分必要条件的定义和二次方程的解法，可判断B ；由命题和其逆否命题等价即可判断C ；由特称命题的否定为全称命题，可判断D ．【详解】

A. 若“p q ∧”为假命题，则,p q 中至少有一个假命题，则“p q ∨”可真可假，所以该选项是错误的；

B. “1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，因为由2"560"x x --=得到“1x =-或6x =”，所以该选项是错误的；

C. 命题“若1,x >则

<”的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；

D. 命题“0x ?>，201920190x +>”的否定应该是“00x ?>，020*******x +≤”，所以该选项是错误的. 故选：C. 【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用，属于基础题.

6．已知直线240x y +-=经过椭圆22

221x y a b

+=（0a b >>）的右焦点2F ，且与椭

圆在第一象限的交点为A ，与y 轴的交点为B ，1F 是椭圆的左焦点，且1AB AF =，则椭圆的方程为（）

A ．22

14036x y +=

B ．22

12016

x y +=

C ．22

1106

x y +=

D ．2

215

x y +=

【答案】D

【解析】由直线过椭圆的右焦点，求出c ，再由直线240x y +-=与椭圆E 在第一象限的交点为M ，与y 轴交于点N ，推导出2122MN MF MF F N a =+==，由此能求出椭圆的方程．【详解】

直线240x y +-=与x 轴和y 轴的交点分别为()22,0F ，()0,4B ，所以2c =，

又12222a AF AF AB AF BF =+=+==，所以a =

2541b =-=，

所以椭圆方程为2215

x y +=，

故选：D ．【点睛】

本题考查椭圆的定义及椭圆的简单性质，属于基础题. 7．为了得到函数cos 2y x =的图象，可以将函数sin(2)4

y x π

的图象（）

A ．向左移

4π

个单位 B ．向左移

8π

个单位 C ．向右移4

个单位 D ．向右移

个单位【答案】B

【解析】先将函数sin 24y x π??

的解析式通过诱导公式变为cos 24y x π??

，进一步变为cos28y x π??

=- ??

，结合图象平移规律即可得解. 【详解】因为sin 2cos 2cos2448y x x x πππ??

???

?=+

=-=- ? ? ??

?????

，所以要得到函数cos2y x =的图象，只需要将函数sin 24y x π?

的图象向左平移

个单位．

故选：B ．【点睛】

本题主要考查三角函数图象平移变换，解决三角函数图象平移和伸缩变换的有两种思路：1、先平移后伸缩；2、先伸缩后平移，属于常考题.

8．如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（）

A ．

B ．

D ．2

【答案】B

【解析】将该几何体放在棱长为2的正方体中，通过三视图还原出几何体，计算各侧面面积比较即可. 【详解】

由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC -，

故1AC =，2PA =，BC PC ==AB =PB =

∴1

2112

ABC PAC S S ??==

??=， 1

22PAB S ?=??=，1

PBC S ?=?=

∴该多面体的侧面最大面积为故选：B ．【点睛】

本题主要考查由三视图还原几何体，还原时可以将该几何体放在正方体中考虑，属于常考题.

9．设1

2020

2019

2020log

log 2019

a b c ===，则a,b,c 的大小关系是（）

A ． a b c >>

B ． a c b >>

C ．c a b >>

D ．c b a >>

【答案】C

【解析】按照指数和对数的运算法则变形后，再结合指数函数和对数函数的单调性判断即可. 【详解】

22019201920191111

log 2019log log 2020log 201912222

a =<==<=； 1

202020202020111

0log log 2019log 2020;2019 1.222

b c <====

故选：C. 【点睛】

本题考查利用指对数函数单调性比较大小，解决此类问题的一般思路是：首先利用单调性进行比较，然后将式子与0和1进行比较，属于常考题.

10．已知函数()()(0)f x sin x ωω=>在(0,1)上恰有一个极值点和一个零点，则ω的取值范围是（） A ．3(,

π B ．3[,

ππ C ．(

,]2

π D ．[,)2

【答案】A

【解析】将x ω看成一个整体，令t x ω=，将问题转化为函数sin y t =在区间(0,)ω上恰有一个极值点和一个零点的问题. 【详解】

将x ω看成一个整体，研究函数()sin()f x x ω=， (0,1)x ∈，∴0x ωω<<，

令t x ω=，函数()()(0)f x sin x ωω=>在()0,1上恰有一个极值点和一个零点的问题转化为函数sin y t =在区间(0,)ω上恰有一个极值点和一个零点的问题, 要使函数恰有一个极值点和一个零点，结合正弦函数的图象可知，ωπ>且32

πω≤

，所以ω的取值范围是：3,2ππ??

. 故选：A.

【点睛】

本题考查三角函数的性质，考查逻辑思维能力和转化思想，属于常考题. 11．已知O 为ABC ?的外心，若2

AO BC BC ?=，则ABC ?为（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定

【答案】C

【解析】因为点O 为ABC ?的外心，故点O 为ABC ?三边垂直平分线的交点，因此可取BC 边的中点为点M ，根据平面向量的知识，将2

AO BC BC ?=转化为

()(

)

AB AC AC AB BC +-=，得到三边的数量关系，再根据余弦定理的推论判断

cos 0B <，从而判断出三角形的形状.

【详解】

设M 为边BC 的中点，并设角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，则

()()(

)

b c AO BC AM MO BC AM BC AB AC

AC AB -?=+?=?=+-=，故22222222b c a b c a -=?-=，所以2222cos 022a c b a B ac ac

+--==<，从而角B 为钝

角.

所以ABC ?为钝角三角形．故选：C. 【点睛】

本题考查判断三角形的形状，考查逻辑思维能力，属于中档题.

12．过双曲线22

221x y a b

-=（0a b >>）右焦点F 的直线交两渐近线于A 、B 两点，

若0OA AB ?=，O 为坐标原点，且OAB ?，则该双曲线的离心率为（）

A ．

B C D 1

【答案】A

【解析】由题意画出图形，设内切圆圆心为M ，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，

MT AB ⊥于T ，结合图形可得四边形MTAN 为正方形,根据点到直线的距离可得

FA b =，再根据OF c =，得OA a =，即可求出3b a =，再根据e =，即可求出. 【详解】

因为0a b >>，所以双曲线的渐近线如图所示，

设内切圆圆心为M ，则M 在AOB ∠平分线Ox 上，过点M 分别作MN OA ⊥于N ，MT AB ⊥于T ，由FA OA ⊥得四边形MTAN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b 得FA b =，又OF c =，所以OA a =，

NA MN ==

，所以||NO =，

所以tan MN b AOF a NO =∠==3e ==

. . 故选：A. 【点睛】

本题考查双曲线的性质，考查逻辑思维能力，正确作出图形是解题的关键，属于中档题.

二、填空题

13．已知函数,0

()(),0

x a b x f x g x x ?+≥=?

【答案】15-

【解析】先由()f x 为奇函数，得出(0)0f =，求出b 的值；再由()4log 21f =得出a 的值，从而得出()2g -的值. 【详解】

因为函数()f x 是奇函数，所以()0

00f a b =+=，解得1b =-，

又()4log 21f =，即112f ??

= ???

，所以1122112a a -=?=，解得4a =，所以()()41,0,0

x f x g x x ?-≥?=?

2224115g f f -=-=-=--=-．

故答案为：15-. 【点睛】

本题考查分段函数求值以及奇偶性的问题，当x ∈R 时，()f x 是奇函数，可以得到

(0)0f =，属于常考题.

14．已知函数3

1()4sin 3

f x x x =+

在0x =处的切线与直线60nx y --=平行，则2

()n x x

-的展开式中常数项为__________；

【答案】24

【解析】函数()3

14sin 3

f x x x =+

在0x =处的切线的斜率为()'04f =，直线60nx y --=的斜率为n ，依题得()'0=f n ，故4n =，再利用二项式定理计算结果

即可. 【详解】

由题意知，()2

'4cos f x x x =+.由题意知()'04f n ==，即4n =.

422n x x x x ????-=- ? ?????，其常数项为2

2234224T C x x ??=?-= ???

. 故答案为：24. 【点睛】

本题考查导数的几何意义和二项式定理，属于基础题.

15．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，若23sin c ab C =，则当b a

a b

+取最大值时，cos C =__________；

【解析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，结合条件23sin c ab C =，将式子b a

a b

通分化简得3sin 2cos C C +，再由辅助角公式得出

b a

a b

+()C ?=+，当

C π

?+=

时，

b a

a b

+取得最大值，从而求出结果. 【详解】

在ABC ?中由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，

所以2222cos 3sin 2cos 3sin 2cos b a a b c ab C ab C ab C C C a b ab ab ab

++++====+

()

C ?=+，其中sin 13?=

，cos 13

?=，

当

b a a b +2C π?+=，∴cos cos sin 213C π????=-== ???

．

故答案为：13

. 【点睛】

本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题. 16．如图，已知三棱锥A BCD -的四个顶点A 、B 、C 、D 都在球O 的表面上， ACD ?是正三角形，BCD ?是等腰直角三角形， 2BC BD ==，若二面角A CD B --的余

弦值为，则球O 到平面BCD 的距离为________．

【答案】1

【解析】取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，AEB ∠即为二面角A CD B --的平面角，在ABE ?中，由余弦定理求得AB ，可以得出90ADB ACB ∠=∠=，分别连接OC ，

OD ，确定球心O 的位置，连接OE ，可知OE ⊥面BCD ，在OBE ?中计算OE 的长

度即可. 【详解】

取CD 的中点E ，分别连接AE ，BE ，

故BE CD ⊥,AE CD ⊥，AEB ∠即为二面角A CD B --的平面角，

ACD ?是正三角形，BCD ?是等腰直角三角形，2BC BD ==，

∴

BE =，AE =，

二面角A CD B --的余弦值为cos 3

AEB ∠=-，

∴在ABE ?中，由余弦定理得2

26212AB ?=+-= ??

，

即AB =

∴90ADB ACB ∠=∠=，取AB 的中点为O ，分别连接OC ，OD ，显然

OA OB OC OD ===

，所以线段AB 为球O 的直径，故R

延长BE ，过点A 作AG 垂直于BE 的延长线于点G ,

sin

3AEB ∠=-

，∴sin 3

AEG ∠=

∴i 2s n A AG AE EG ==?=∠，

连接OE ，OE 即为球心O 到平面BCD 的距离，显然1

OE AG ==，所以球心O 到平面BCD 的距离为1．故答案为：1. 【点睛】

本题主要考查三棱锥外接球球心位置的确定以及二面角平面角的确定，考查逻辑思维能

力，属于高考常考题型.

三、解答题

17．已知等比数列{}n a 的首项12a =，且2a 、32a +、4a 成等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若221log n n b a -=，求数列1

{

}n n b b +的前n 项和n T ．【答案】(1) 2n

n a =； (2) 21

n n

T n =

+. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据2a 、32a +、4a 成等差数列，列出关于q 的方程，求出q 即可；

（2）先求出n b ，再利用裂项相消法求和. 【详解】

（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意有()24322a a a +=+，

即()

3222222q q q +=+，解得2q =，所以2n

n a =；

（2）由（1）可得21n b n =-，设1

n n n c b b +=

?，

则()()1

111212122121n c n n n n ??=

=- ?-+-+??

，

∴1211111

1123352121n n T c c c n n ??????

??=++

-+-++- ? ? ???-+????

????

11122

121

n n n ??=-= ?

++??．【点睛】

本题考查数列等比数列通项公式以及裂项相消法求和，裂项相消法适用于：如果一个数列的通项公式是分母为两项相乘的分式，即考虑用裂项相消法求和，属于高考常考题型. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，22AB AD BC ===，BC AD ∥，AB AD ⊥，PBD ?为正三角形，且PA =

（1）证明：直线AB ⊥平面PBC ；

（2）若四棱锥P ABCD -的体积为2，E 是线段CD 的中点，求直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

. 【解析】（1）证明AB PB ⊥，AB BC ⊥，推出AB ⊥平面PBC ；

（2）以A 为原点，直线AB 、AD 分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由（1）的结论知，AB ⊥平面PBC ，所以则向量PE 与向量AB 所成的角或其补角与直线PE 与平面PBC 所成的角互余，计算结果即可. 【详解】

（1）

AB AD ⊥，且

2AB AD ==，BD ∴=，

又PBD ?为正三角形，所以PB PD BD ===，

又

2AB =，PA =AB PB ⊥，又AB AD ⊥，BC //AD ，

AB BC ∴⊥，PB BC B ?=，所以AB ⊥平面PBC .

（2）设点P 到平面ABCD 的距离为h ，则()1112232P ABCD V h h -??

??+??=????

，依题可得2h =，以A 为原点，直线AB 、AD 分别为x 轴，y 轴，建立空间直角坐标系，分别求出各点的坐标和向量PE ，由（1）可知AB ⊥平面PBC ，故向量AB 是平面PBC 的一个法向量，则向量PE 与向量AB 所成的角或其补角与直线PE 与平面PBC 所成的角互余.

则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D

，()2,1,0C ，则3

1,,02

E ?? ??

，设(),,2P x y ，

由PA =

PB PD ==()()2222

412248248x y x y x y ?++=??+-+=??-++=??

，解得2x =，2y =，

即()2,2,2P ，所以11,,22PE ?

=--

- ???

，又由（1）可知，()2,0,0AB =是平面PBC 的一个法向量， ∴

cos ,PE AB =

，所以直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为21

. 【点睛】

本题考查线面垂直的判定以及用向量法求线面角，考查逻辑思维能力和空间想象能力，属于高考常考题型.

19．已知抛物线2

2y x =，过点(1,1)P 分别作斜率为1k ，2k 的抛物线的动弦AB 、CD ，

设M 、N 分别为线段AB 、CD 的中点．

（1）若P 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程；

（2）若121k k +=，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）y x =；（2）证明见解析，定点(0,1)．

【解析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，利用“点差法”确定1k 的值，从而求出直线的方程；

（2）求出直线MN 的方程，利用韦达定理以及121k k +=探究直线过哪个定点. 【详解】

（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，则2112y x =①，2

222y x =②．

①－②，得 ()()()1212122y y y y x x -+=- ．又因为()1,1P 是线段AB 的中点，所以122y y += 所以，2112121

=1y y k x x y y -=

=-+．

又直线AB 过()1,1P ，所以直线AB 的方程为y x =；

（2）依题设(),M M M x y ，直线AB 的方程为()111y k x -=-，即111y k x k =+-，亦即12y k x k =+，代入抛物线方程并化简得 ()2

2112222

k x k k x k +-+=．所以，1212

1222

112222k k k k x x k k --+=-= 于是，12

211M k k x k -=，1212122

1111M M k k y k x k k k k k -=?+=?+=．同理，122

21N k k x k -=

，2

N y k =．易知120k k ≠，所以直线MN 的斜率2121

1M N M N y y k k

k x x k k -=

=--．

故直线MN 的方程为21122121111

1k k k k y x k k k k ??--=- ?-??

，

即21

11k k y x k k =

+-．此时直线过定点()0,1．

故直线MN 恒过定点()0,1．【点睛】

本题主要考查圆锥曲线中“中点弦”以及弦过定点的问题，考查数形结合思想、考查运算求解能力，综合分析和解决问题的能力.

20．近一段时间来，由于受非洲猪瘟的影响，各地猪肉价格普遍上涨，生猪供不应求。各大养猪场正面临巨大挑战，目前各项针对性政策措施对于生猪整体产能恢复、激发养殖户积极性的作用正在逐步显现．

现有甲、乙两个规模一致的大型养猪场，均养有1万头猪.根据猪的重量，将其分为三个成长阶段如下表．猪生长的三个阶段

根据以往经验，两个养猪场内猪的体重X 均近似服从正态分布X~N 2

(50,16). 由于我国有关部门加强对大型养猪场即将投放市场的成年期的猪监控力度，高度重视其质量保证，为了养出健康的成年活猪，甲、乙两养猪场引入两种不同的防控及养殖模式．已知甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为45，3

．（1）试估算各养猪场三个阶段的猪的数量；

（2）已知甲养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利400元，若为不合格的猪，则亏损200元；乙养猪场出售一头成年期的猪，若为健康合格的猪，则可盈利500元，若为不合格的猪，则亏损100元．记Y 为甲、乙养猪场各出售一头成年期猪所得的总利润，求随机变量Y 的分布列，假设两养猪场均能把成年期猪售完，求两养猪场的总利润期望值．（参考数据：若(

,Z N υσ

:，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，

(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=）

【答案】（1）甲、乙两养猪场各有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头；（2）分布列见解析，135450元.

【解析】（1）根据正态分布的相关知识进行计算即可；

（2）根据甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为45，3

，随机变量Y 可能取值为900，300，300-，

分别求出()3Y=9005P =，()7Y=30020

P =，()1

Y=30020

P -=

，写出分布列和期望即可. 【详解】

（1）由于猪的体重X 近似服从正态分布(

50,16

N ，设各阶段猪的数量分别为

123n ,,n n

∴0.99740.9544

(218)(5031650216)0.02152

P x P x -≤<=-?≤<-?==，

∴1100000.0215215n =?=（头）；

同理，(1882)(5021650216)0.9544P x P x ≤<=-?≤<+?=， ∴2100000.95449544n =?=（头）；

()()0.99740.9544

829850216503160.02152

P x P x -≤≤=+?≤≤+?=

=，

∴3100000.0215215n =?=（头）.

所以，甲、乙两养猪场各有幼年期猪215头，成长期猪9544头，成年期猪215头。（2）依题意，甲、乙两个养猪场内一头成年期猪能通过质检合格的概率分别为45，34

，随机变量Y 可能取值为900，300，300-.

()433Y=900545P =?=，()41137

Y=300545420P =?+?=，

()111

Y=3005420

P -=?=，

所以Y 的分布列为：

所以()371Y 90030030063052020

E =?

+?-?=（元），由于各养猪场均有215头成年猪，一头猪出售的利润总和的期望为630元，则总利润期望为630215135450?=（元）. 【点睛】

本题考查正态分布及随机变量的分布列及数学期望的求法，考查逻辑思维能力，属于基础题.

21．已知函数()x f x e x =-．（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若12()()f x f x =，12x x ≠，求证：122x x e e +>．

【答案】（1）()f x 在()0,∞+单调递增，在(),0-∞单调递减；（2）见解析．【解析】（1）分别令()0f x '>，()0f x '<求出单调性；

（2）设21x x >，则21

1221

1x x x x e e e x e x x x --=-?

=-，要证：122x x e e +>，即证：()2121212x x x x x x e e e e -?+>-，而()()2121

2121

212111x x x x x x x x x x e e e x x e e e ---+?+=---，令21t x x =-，()0,t ∈+∞，()2121212x x x x x x e e e e -?+>-等价于()

1212201

t t t t e t t e e e +?>?+-+>-， ()0,t ∈+∞，证明()g t 的单调性即可.

【详解】

（1）函数()f x 定义域为,R ()1x

f x e '=-，

令()0f x '>得()0,x ∈+∞，令()0f x '<得(),0x ∈-∞，故()f x 在()0,∞+单调递增，在(),0-∞单调递减.

（2）()()12f x f x =，不妨设21x x >，则21

1221

1x x x x e e e x e x x x --=-?

=-，要证：122x x e e +>，即证：

()21

212x x x x x x e e e e

-?+>-……（），而()()2121

121

212111

x x x x x x x x x x e e e x x e e e ---+?+=---，令21t x x =-，()0,t ∈+∞，（）等价于()

1212201

t t t t e t t e e e +?>?+-+>-， ()0,t ∈+∞，

设()()

122t

g t t e e =+-+，()0,t ∈+∞，

()()()11211,

g t t e e t e '=+

+-=-+ 令()()11t

h t t e =-+，

()'0t h t te =>在()0,t ∈+∞恒成立，

则()g t '在()0,t ∈+∞单调递增，故()()00g t g ''>=，故()g t 在()0,t ∈+∞单调递增，

故()()00g t g >=，故原命题得证．【点睛】

本题考查利用导数求单调区间以及利用导数证明不等式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于高考常考题型.

22．已知直线l

的参数方程112x t y ?

=+????=??

（t 为参数），曲线22

(1):143x y

C -+=.

（1）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴且具有相同单位长度建立极坐标系，求直线l 和曲线C 的极坐标方程；

（2）直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求11

OM ON

+值. 【答案】（1）()3

R π

θρ=

∈，22(3sin )(6cos )90θρθρ+--=；

（2）4

．【解析】（1）直线l 的参数方程消去参数t ，得到直线l 的普通方程，再得到直线l 的极坐标方程；利用2

x y ρ+=及cos x ρθ=，sin y ρθ=将曲线C 的直角坐标方程化为

极坐标方程；（2）将3

πθ=

代入(

)()2

23sin

6cos 90θρθρ+--=中，得254120ρρ--=，

由韦达定理得出12ρρ+和12ρρ的值代入11

OM ON

+进行计算. 【详解】

（1

）由112y t ?=+

=??

得y =.直线l 的极坐标方程为()3

R π

θρ=∈ 由

()2

114

x y -+=，得2236490x x y -+-=. 由222

x y ρ+=及cos ,sin x y ρθρθ==.可化为2

36cos sin 90ρρθρθ-+-=.

所以曲线C 的极坐标方程为(

)()2

23sin 6cos 90θρθρ+--=.

（2）将3

πθ=

代入(

)()2

23sin

6cos 90θρθρ+--=中，得254120ρρ--=，

由极坐标几何意义，设1,3M πρ??

?，2,

3N πρ??

，不妨设10ρ>，20ρ<，则1245ρρ+=

，12125

ρρ=-，

即2112121111435

OM ON ρρρρρρ-+=-===

-. 【点睛】

本题考查参数方程化为普通方程、直角坐标方程化为极坐标方程以及极坐标的几何意义，属于基础题.

23．设函数()213f x x x =--+．（1）解不等式()0f x >；

（2）若()33f x x a ++≥对一切实数x 均成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）2

{|3

x x <-

或4}x > ；（2）(,7]-∞．【解析】（1）方法一：根据绝对值不等式的意义解不等式；方法二：将不等式

2130x x --+>变形为213x x ->+，两端平方整理成关于x 的一元二次不等式，

求解即可；

（2）利用绝对值不等式()()33212321267f x x x x x x ++=-++≥--+=，可得7a ≤. 【详解】

（1）解法一：当1

x ≥

时，()()21340f x x x x =--+=->，解得4x >；当132x -≤<时,()()213320f x x x x =-+-+=-->，解得2

x -≤<-；

当3x <-时，()()21340f x x x x =-+++=-+>，解得3x <-，综上,原不等式的解集为2

{|3

x x <-

或4}x > ；解法二：()0213f x x x >?->+，两边平方整理得，231080x x -->，解得

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