证明或判断等差（等比）数列的常用方法
湖北省 王卫华 玉芳
翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来．
一、利用等差（等比）数列的定义
在数列
{}
n a 中，若
1n n a a d
--=（d 为常数）或
1
n
n a q a -=（q 为常数），则数列{}n
a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n
a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：
例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11
214
n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数
，
记211
1234
n n b a n -=-=，，，，…．
（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．
解：（Ⅰ）213211111
44228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113
2416
a a a ==+，
所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=-
=-=-=-=-=- ? ?????
，，， 猜想：{}n b 是公比为
1
2
的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242
n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ， 所以{}n b 是首项为14a -
，公比为1
2
的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。
例2．（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且
125()n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．
解：由已知*
125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减
得:112()1n n n n S S S S +--=-+，即121n n a a +=+，从而112(1)n n a a ++=+，
当1n =时，21215S S =++，所以21126a a a +=+， 又15a =，所以211a =，从而2112(1)a a +=+．
故总有112(1)n n a a n *
++=+∈N ，，又11510a a =+≠，，从而
11
21
n n a a ++=+．
所以数列{1}n a +是等比数列．
评析：这是常见题型，由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子，得到1n n a pa q +=+的形式，再利用构造的方法得到所要证明的结论．本题若是先求出通项n a 的表达式，则较繁．
注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有
1
n
n a q a -==（常
数0≠）；②n *
∈N 时，有
1
n n
a q a +==（常数0≠）．
二．运用等差或等比中项性质
212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列，221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ?是等比数列，这
是证明数列{}n a 为等差（等比）数列的另一种主要方法．
例3．（2005江苏卷）设数列{}n a 的前项为n S ，已知1231
611a a a ===，，，且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A
B ，为常数． （1）求A 与B 的值；（2）证明数列{}n a 为等差数列；（3）略．
解：（1）由1231
611a a a ===，，，得1231718S S S ===，，．
把12n =，分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+，得28248A B A B +=-??
+=-?
，
解得，20A =-，8B =-．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，115()82208n n n n n S S S S n ++---=--，即 11582208n n n na S S n ++--=--，
①
又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-． ② ②-①得，21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-， 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-． ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-．
④
④-③得，321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=，∴32120n n n a a a +++-+=， ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-=
=-=，又215a a -=，
因此，数列{}n a 是首项为1，公差为5的等差数列．
评析：此题对考生要求较高，通过挖掘n S 的意义导出递推关系式，灵活巧妙地构造得到中项性质，这种处理大大简化了计算．
例4．（高考题改编）正数数列{}n a 和{}n b 满足：对任意自然数1n n n n a b a +，，，成等差
数列，11n n n b a b ++，，成等比数列．证明：数列为等差数列．
证明：依题意，1002n n n n n a b b a a +>>=+，，
，且1n a +
2)n a n ∴=≥．
2n b ∴=
由此可得=2)n =≥．
∴数列为等差数列．
评析：本题依据条件得到n a 与n b 的递推关系，通过消元代换构造了关于的等差
数列，使问题得以解决．
三．运算数学归纳法
这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k =时命
题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡．
例5．(2004全国高考题)数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知11a =，
12(1,2,)n n n a S n n ++=
=．证明：数列n S n ??
????
是等比数列． 证明：由11a =，12(1,2,)n n n a S n n ++=
=，知21121
3,1a S a +==214222
S a ==， 111S =，猜测n S n ??
????
是首项为1，公比为2的等比数列． 下面用数学归纳法证明：令n
n S b n
=
. (1)当2n =时，212b b =，成立．
(2)当3n =时，312332132(13)12,42S a a a b b =++=+++===，成立． 假设n k =时命题成立，即12k k b b -=．
那么当1n k =+时，11
12
2211
1k k
k k k k k k k S S S S a k b S b k k k k
+++++
+=====+++，命题成立．
综上知n S n ??
?
???
是首项为1，公比为2的等比数列． 例6．（2005浙江卷）设点1(0)(2)n n n n n A x P x -，，，和抛物线2:()n n n C y x a x b n *=++∈N ，其中11
242
n n a n -=---
，n x 由以下方法得到：11x =，点22(2)P x ，在抛物线2111:C y x a x b =++上，点11(0)A x ，到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距
离，
，点11(2)n n n P x ++，
在抛物线2:n n n C y x a x b =++上，点(0)n n A x ，到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离．
（1）求2x 及1C 的方程．（2）证明{}n x 是等差数列．
解：（I ）由题意得：2111(1,0),:7A C y x x b =-+．
设点(,)P x y 是1C
上任意一点，则1||A P =
=
令2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'2
1()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意：'2()0,f x =即2
222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又22(,2)P x 在1C 上，2
22127,x x b ∴=-+
解得：213,14.x b ==，故1C 方程为2
714.y x x =-+
(II)设点(,)P x y 是n C 上任意一点，则||n A P =
令222
()()()n n n g x x x x a x b =-+++，
则'2
()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++．
由题意得g 1'()0n x +=，即2
11112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++=
又
2112,n n n n n x a x b ++=++
11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= （*）
下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当1n =时，11,x = 等式成立．
②假设当n k =时，等式成立，即21,k x k =- 则当1n k =+时，由（*）知 1
10(12
)2k k k k k x x a ++=+-+
又11
242
,k k a k -=--- 11
22 1.12k k k
k k x a x k ++-∴==++
即当1n k =+时，等式成立．由①②知，等式对n N ∈成立．{}n x ∴是等差数列． 评析：例5是常规的猜想证明题，考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前n 项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法；例6是个综合性比较强的题目，通过求二次函数的最值得到递推关系式，再直接猜想然后用归纳法证明，解法显得简洁明了，如果直接利用递推关系式找通项，反而不好作． 四．反证法
解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去
考虑．如：
例7．（2000年全国高考（理））设{}{}n n a b ，是公比不相等的两等比数列，n n n c a b =+．证
明数列{}n c 不是等比数列．
证明：设{}{
}n n a b ，的公比分别为p q ，，p q ≠，n n n c a b =+，为证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠．事实上，222222
2111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++
2222222213113311111111()()()()()c c a b a b a b a p b q a p b q a b p q =++=++=+++
222p q p q pq ≠+>，，又11a b ，不为零，2
2
13c c c ∴≠，故{}n c 不是等比数列． 评析：本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力，对逻辑思维能力有
较高要求．要证{}n c 不是等比数列，只要由特殊项（如2
213c c c ≠）就可否定．一般地讲，
否定性的命题常用反证法证明，其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性 ．
五．看通项与前n 项和法
若数列通项n a 能表示成n a an b =+（a b ，为常数）的形式，则数列{}n a 是等差数列；
若通项n a 能表示成n
n a cq =(c q ，均为不为0的常数，n +∈N )的形式，则数列{}n a 是等比数列． 若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2
n S an bn =+ (a ，b 为常数)的形式，则数列
{}n a 等差数列；若S n
能表示成n n S Aq A =-(A q ，均为不等于0的常数且q ≠1)的形式，
则数列{}n a 是公比不为1的等比数列．这些结论用在选择填空题上可大大节约时间．
例8．(2001年全国题)若S n 是数列{}n a 的前n 项和，2
n S n =,则{}n a 是( ).
Ａ．等比数列，但不是等差数列 Ｂ.等差数列，但不是等比数列 Ｃ．等差数列，而且也是等比数列
Ｄ.既非等比数列又非等差数列
解析：用到上述方法，一下子就知道答案为B ，大大节约了时间，同时大大提高了命中率． 六．熟记一些常规结论，有助于解题
若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则
（1）数列{}n a {}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列；
（2）若{}n b 是公比为q '的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq '的等比数列； （3）数列1n a ???
?
??
是公比为1
q 的等比数列； （4）{}n a 是公比为q 的等比数列；
（5）在数列{}n a 中，每隔()k k *
∈N 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1
k q
+；
（6）
11212{}{}{}{}n n n n n n a a a a a a ++-+-，，，，123456789{}a a a a a a a a a ++++++，，，，等都是等比数列；
（7）若()m n p m n p *
∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等比数列； （8）232n n n n n S S S S S --，，均不为零时，则232n n n n n S S S S S --，，成等比数列； （9）若{log }b n a 是一个等差数列，则正项数列{}n a 是一个等比数列．
若数列{}n a 是公差为d 等差数列，则
（1）{}n ka b +成等差数列，公差为kd （其中0k k b ≠，，是实常数）；
（2）(1){}n k kn S S +-，（k k ∈N ，为常数），仍成等差数列，其公差为2
k d ；
（3）若{}{
}n n a b ，都是等差数列，公差分别为12d d ，，则{}n n a b ±是等差数列，公差为12d d ±；
（4）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时，数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列； （5）()m n p m n p *
∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等差数列．
例9．（96年全国高考题）等差数列{}n a 的前n 项和为30，前2n 项和为100则它的前3n
项和为（ ） Ａ．130
Ｂ．170
Ｃ．210
Ｄ．260
解：由上面的性质得：232n n n n n S S S S S --，，成等比数列，
故2322()()n n n n n S S S S S -=+-，
32(10030)30(100)n S ∴-=-， 3210n S ∴=．故选Ｃ．
评析：此题若用其它方法，解决起来要花比较多的时间，对于选择题来说得不断尝试．记住上面这些结论，在做选择填空题时可大大节约时间，并且能提高命中率．
从上面可以看出：证明或判断等差（等比）数列的方法有许多种，作题时到底用何种方法，一般说来大题用前四种：定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法，但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确，作小题应该用后面的方法．
等差数列及其前n 项和（二） 什邡中学数学组 廖美 重点：等差数列的判定与证明. 难点：①如何选择恰当的方法来证明或者判定等差数列； ②证明或者判定过程中如何根据已知条件化简. 教学目标：教会学生掌握简单的等差数列的证明与判定方法. 相关知识点： 1.证明等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 2．判定等差数列的方法 ①定义法：d n d a a n d a a n n n n )(2()1(11≥=-≥=--+或为常数） ②等差中项法： )2(2)1(21112≥=+≥=+-+++n a a a n a a a n n n n n n 或 ③通项公式法：是常数）b a b an a n ,(+= ④前n 项和公式法：是常数）b a bn an S n ,(2+= 例1.在数列{}n a 中，),2.(12,53*11N n n a a a n n ∈≥-==-,数列{}n b 满足1 1-=n n a b )(*N n ∈ （1） 求证：数列{}n b 是等差数列； （2） 求数列{}n a 中的最大项和最小项，并说明理由.
训练1.（01天津，2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2 n S n =，则{}n a 是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 训练2.数列{}n a 中，),2(112.1,2*1 121N n n a a a a a n n n ∈≥+===-+， 则其通项公式为=n a _________. 训练3.数列{}n a 的前n 项和为n S ，若31=a ，点),(1+n n S S 在直线11+++= n x n n y （)*N n ∈上. (1)求证：数列? ???? ?n S n 是等差数列； (2)求n S .
考点2 等差数列的判定与证明 1．等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥． 2.等差数列的通项公式 已知等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，求n a ． 由等差数列的定义：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，…… ∴21a a d =+，3212a a d a d =+=+，413a a d =+，…… 所以，该等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-． 3.等差中项 若a ，b ，c 三个数按这个顺序排列成等差数列，那么b 叫a ，c 的等差中项 4.等差数列的前n 项和公式 2)(1n n a a n S += 2)1(1d n n na S n -+= 公式二又可化成式子： n )2d a (n 2d S 12n -+= ，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 5. 性质： 等差数列{an}中，公差为d ， 若d ＞0，则{an}是递增数列； 若d=0，则{an}是常数列； 若d ＜0，则{an}是递减数列． {}（）是等差数列，若1a m n p q n +=+ ?+=+a a a a m n p q ?+=+==+--+a a a a a a n n r n r 1211… （）若，，成等差数列，，，也成等差数列。2p q r a a a p q r {}（）公差为的等差数列中，其子系列，，，…也32d a a a a m N n k k m k m ++∈() 成等差数列，且公差为md 。 {}（）公差为的等差数列中，连续相同个数的项的和也成等差数列，4d a n 即，，，…也成等差数列，其公差为。S S S S S m d m m m m m 2322-- 6. 充要条件的证明：
等差数列与等比数列的证明方法 证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。 一、 定义法 01.证明数列是等差数列的充要条件的方法： {}1()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}2222()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 02.证明数列是等差数列的充分条件的方法： {}1(2)n n n a a a d n --=≥?是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥?是等差数列 03.证明数列是等比数列的充要条件的方法： {}1 (00)n n n a q q a a +=≠≠?1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法： 1 n n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ?为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有 1 n n a q a -== （常数0≠）；②
n *∈N 时，有 1 n n a q a +== （常数0≠） ． 例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。 证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有 1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= 。 证明：先证必要性 设{}n a 为等差数列，公差为d ，则 当d =0时，显然命题成立 当d ≠0时， ∵ 111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? 再证充分性： ∵ 122334 111 a a a a a a ++???1111n n n n a a a a ++++= ?? ………① ∴ 122334 111 a a a a a a ++???11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++= ??? ………② ②﹣①得： 121211 11n n n n n n a a a a a a +++++=- ??? 两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+ 即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列 例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是
证明或判断等差（等比）数列的常用方法 湖北省 王卫华 玉芳 翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？且听笔者一一道来． 一、利用等差（等比）数列的定义 在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如： 例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数 ， 记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…． （Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论． 解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，； （Ⅱ）43113428a a a =+=+Q ，所以54113 2416 a a a ==+， 所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，， 猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列． 证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ， 所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列． 评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。 例2．（2005山东卷）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且 125()n n S S n n *+=++∈N （Ⅰ）证明数列{1}n a +是等比数列；（Ⅱ）略．
等差数列与等比数列的证明方法 高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何 处理这些题目呢？ 证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、 数学归纳法、反证法。 一、定义法 10.证明数列是等差数列的充要条件的方法： a n 1 a n d （常数）a n 是等差数列 a 2n 2 a 2n d （常数） a 2n 是等差数列 a sn 3 a 3n d （常数） a 3n 是等差数列 20 .证明数列是等差数列的充分条件的方法： a n a n [ d （n 2） 為是等差数列 a n 1 a n a n a n 1（n 2） 寺是等差数列 30.证明数列是等比数列的充要条件的方法： q （q 0且为常数，a 1 0） a n 为等比数列 a n 40 .证明数列是等比数列的充要条件的方法： a n a n 1 必须加上“ n > 2”否则n 1时a o 无意义，等比中一样有: （常数0 ）；②门N 时，有也 a n 1 n 。 a n a n 1 a 1a n 1 证明：先证必要性 注意事项：用定义法时常米用的两个式子 a n a n 1 d 和a 1 a n d 有差别，前者 例1.设数列a i ,a 2, |||,an,|||中的每一项都不为 0。 证明：a n 为等差数列的充分必要条件是：对任何 n N ，都有 a n q （n>2, q 为常数且工0） a n 为等比数列 n > 2时，有旦 a n 1 a i a 2 a 2a 3
设｛a n｝为等差数列，公差为d,则
当d =0时，显然命题成立 1 1 ________ 1_ a i a n 1 d a n a n 1 再证充分性: ②-①得: 1 a n 1 S n 2 Si a n 2 a 1 a n 同理：a 1 na n (n 1)a n 1 例2.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，试证｛a n ｝为等差数列的充要条件是 证：）若｛a n ｝为等差数列，则 1 "fl 1 —■ 1 十 I -------- 21幻丿也aj 1 a 日引 fl + — I L 祗 ^IH-1 fl. a i a 2 a ? a 3 a 3 a 4 1 a n a n 1 n a l a n 1 a 1 a 2 a 2 a 3 1 a 3 a 4 1 a n a n 1 1 S n 1 S n 2 a 1 41 2 两边同以a n a n 131 得: (n 1)a n 1 na ③—④得：2n a n 1 n(a n a n 2) 艮卩.a n 2 a n1 a n1 a n a n 为等差数列 S n n(a1 2 ^, (n N *)。
等差数列的判断方法 徐福贵 （吉林省东辽县职业高中） 我们虽然知道什么是等差数列，但对于等差数列的判断还没有很好的方法。本人根据多年教学实践总结出了一系列等差数列的判断方法，对于等差数列又有了更深的认识。 定理1 已知数列{ a}的通项n a，若n a－1n a-的差是一个与n 无关 n 的常数，则数列{ a}为等差数列（证明略） n 推论1 若数列{ a}的通项n a为常数，则{n a}为等差数列，且公差 n 为0。（证明略）。 推论2数列{ a}的通项n a是关于项数n的一次函数，则数列{n a} n 是等差数列，且公差为一次项的系数（证明略） 定理2 若{ a}的通项n a既不是常数，也不是关于项数n的一次函 n 数，则数列{ a}不是等差数列（证明略） n 定理3 已知数列{ a}的前n项和n S为0 ，则数列{n a}为等差数 n 列 证明 数列{ a}的前n项和n S为0， n ∴此数列为0,0, 0，---, 0,---， ∴数列{ a}为等差数列。 n 定理4 已知数列{ a}的前n项和n S，若n S是关于项数n的一次函 n 数，且常数项为0，则数列{ a}是等差数列，且公差为0。 n 证明： S是关于项数n的一次函数，且常数项为0，设n S＝An n （A为常数，且A≠0）
∴当n ≥2时，n a ＝n S －1n S -=An －A(n －1)=A, ∴n a －1n a -=0（n ≥2） 又1a ＝1S =A, 2212a S S A A A =-=-=, ∴2110()n n a a a a n N -+-=-=∈ ∴数列{n a }是等差数列，且公差为0。 定理5 已知数列{n a }的前n 项和n S ，若n S 是关于项数n 的二次函数，且常数项为0，则数列{n a }是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。 证明： n S 是关于项数n 的二次函数，且常数项为0，设 2(0n S An Bn A =+≠）。 当n ≥2时，n a ＝n S －1n S - ＝Ａ2n +Bn －Ａ(n －１)2－Ｂ（n －１） ＝２Ａn+B －Ａ( n ≥2) ∴2...n a a a ３ ，，...，，为等差数列，公差为２A 。 又1a ＝1S ＝Ａ+Ｂ，221a S S =- =４Ａ+２Ｂ－Ａ－Ｂ =３Ａ+Ｂ 212a a A -=。∴数列{n a }是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。 定理６ 若数列{n a }的前n 项和n S ≠０，且n S 既不是关于项数n 的一次函数，也不是关于项数n 的二次函数，则数列{n a }不是等差数列（证明略）
判定等差数列的几种方法 浙江省永康市古山中学（321307） 吴汝龙 经常有一类题目，我们必须先判断是何种数列，然后利用此类数列的性质进行解题，其中等差数列是我们最主要的数列之一，因此，我们应该掌握如何判断一个数列是否是等差数列，判断一个数列是否是等差数列，一般有以下五种方法： 1．定义法：d a a n n =-+1（常数）（+∈N n ）}{n a ?是等差数列。 2．递推法：212+++=n n n a a a （+∈N n ）}{n a ?是等差数列。 3．性质法：利用性质来判断。 4．通项法：q pn a n +=（ q p ,为常数）}{n a ?是等差数列。 5．求和法：Bn An S n +=2（B A ,为常数，n S 为}{n a 的前n 项的和）}{n a ?是等差数列。 其中4、5两种方法主要应用于选择、填空题中，在解答题中判断一个数列是否是等差数列，一般用1、2、3这三种方法，而方法3还经常与1、2混合运用。下面举例说明如何判断一个数列是等差数列。 例1：已知a 1，b 1，c 1成等差数列，则a c b +，b c a +，c b a +是否也成等差数列？并说明你的理由。 解1：∵a 1，b 1，c 1成等差数列，∴b c a 211=+，即)(2c a b ac += ∴b c a c a b c a ac c a b c a ac b a a c b c c b a a c b )(2)()(2)()()(222+=++=+++=+++=+++ ∴a c b +，b c a +，c b a +也是等差数列。 解2：∵ a 1， b 1， c 1成等差数列，∴a c b a ++，b c b a ++，c c b a ++也成等差数列， 即1++a c b ，1++b c a ，1++c b a 也是等差数列，故a c b +，b c a +，c b a +也是等差数列。 评析：上面的解法1是利用递推法，解法2是利用性质来判断。 例2：设数列}{n a 中，11=a ，且1 222-=n n n S S a （2≥n ），证明数列}1{n S 是等差数列，并求n S 。 解：由已知1222 1-=--n n n n S S S S ，去分母得212))(12(n n n n S S S S =---，112--=-n n n n S S S S ，两边同除以1-n n S S ，得2111=--n n S S ，∴}1{n S 是以11111==a S 为首项，以2为公差的等差数列，故 122)1(111 -=?-+=n n S S n （2≥n ）。
等差、等比数列的判断和证明 一、 1、等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差 等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+). 2、 等差数列的判断方法： ①定义法：)(1常数d a a n n =-+?{}a n 为等差数列。 ②中项法：等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且 2 a b A += 。 a a a n n n 212+++=?{}a n 为等差数列。 ③通项公式法：等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。公式变形为:b an a n +=. 其中a=d, b= a 1－d. b an a n +=（a,b 为常数）?{}a n 为等差数列。 ④前n 项和公式法：等差数列的前n 和：1()2n n n a a S +=，1(1) 2 n n n S na d -=+。公式变形为Sn=An 2+Bn 其中A= 2 d ，B=2 1d a - . Bn n A s n +=2（A,B 为常数）?{}a n 为等差数列。 3.等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 项和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 （3）对称性：若{}a n 是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a += (4) ①项数成等差,则相应的项也成等差数列.即),,...(,,*2N m k a a a m k m k k ∈++成等