第52讲简谐运动
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简谐运动
简谐运动的
表达式和图象Ⅰ
知识整合
一、机械振动
1．机械振动(振动)
(1)定义：物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的________运动．
(2)条件：①物体离开平衡位置就受到回复力作用；②阻力足够小．
(3)实例：弹簧振子、单摆．
二、简谐运动
1．运动特征：如果质点的位移与时间的关系遵从________规律，即它的振动图象(x -t 图象)是一条________曲线，这样的振动叫简谐运动．简谐运动是最简单、最基本的振动．2．受力特征：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成________，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动．
3．简谐运动的两种判定方式：从运动上，运动的位移与时间按正弦规律；从受力上，回复力与位移大小成正比．
4．弹簧振子的运动就是简谐运动．其振动位移与时间的关系如图所示．
三、回复力
1．定义：力的方向总是指向________，它的作用效果总是要把物体拉回到________，我们通常把这个力称为回复力．
2．回复力的提供：回复力是效果力，大小等于________方向上的合外力，它可以是________单独提供，也可以是一个力的________，还可以是几个力的________提供．
注意：回复力不一定等于合外力．
四、简谐运动的描述
1．位移(x)：由________指向振动质点所在位置的有向线段．
2．振幅(A)：振动物体离开平衡位置的________距离，是标量．
3．周期(T)：振动物体完成________所需的时间．
4．频率(f)：单位时间内完成全振动的________．
简谐运动的频率或周期由____________所决定，与振幅____________．
五、简谐运动图象
1．物理意义：描述振动物体在________时刻离开平衡位置的________，简谐运动的振动图象都是________或________曲线，它不是质点运动的________．如图，弹簧振子的振动图象．
2．从图象上可以得到信息
(1)可以直接读取振子在某一时刻相对于平衡位置的________大小．
(2)从振动图象上可以直接读出________、________.
(3)可以判断某一时刻振动物体的________方向和________方向，以及它们的________变化趋势．
六、简谐运动的表达式
表达式：____________．
式中x 表示振动质点相对于平衡位置的位移，t 表示振动的时间，A 表示振幅，ω表示简谐运动的圆频率，它也可以表示做简谐运动的物体振动的________，与周期T 及频率f
的关系是：ω＝2πT ＝2πf.故上面的公式还可写为x ＝A sin ? ??
??2πT t ＋φ或x ＝A sin (2πft ＋φ)，φ表示t ＝0时，做简谐运动的质点所处的状态称为________或________．ωt ＋φ代表了做简谐运动的质点在t 时刻处在一个运动周期中的哪个状态，代表简谐运动的相位．
七、简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律
1．振动中物体的位移x 都是以________为起点，方向从________指向________位置，大小为这两位置间直线的距离，在平衡位置位移为________．
2．速度大小v 和加速度a 的变化恰好________．在两个端点速度为________，加速度________，在平衡位置速度________，加速度为________．除两个端点外任何一个位置的速度方向都有________种可能．所以简谐运动属于变加速度的运动．
方法技巧考点1 简谐运动的基本特征及其规律应用
1．受力特征：简谐运动的回复力满足F ＝－kx ，回复力与位移的方向相反．由牛顿第二定律知，加速度a 与位移大小成正比，方向相反．
2．运动特征：简谐运动的位移：x ＝A sin ωt.当物体靠近平衡位置时，x 、a 都减小，v 增大；当物体远离平衡位置时，x 、a 都增大，v 减小．
3．能量特征：对单摆和弹簧振子来说，振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，机械能守恒．
4．周期性特征：物体做简谐运动时，其位移、回复力、加速度、速度等矢量都随时间做周期性变化，它们的变化周期就是简谐运动的周期(T)；物体的动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为T 2
. 5．对称性特征
(1)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P′时(OP ＝OP′)，位移、回复力、加速度均大小相等，方向相反，速度的大小相等(方向可能相同，也可能相反)、动能、势能相等．
(2)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P′所用时间，即t PO ＝t′OP .
(3)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO .
【典型例题1】 一个质点做简谐运动的图象如图所示，在t 1和t 2这两个时刻，质点的
( )
A ．加速度相同
B ．速度相同
C ．回复力相同
D ．位移相同
【典型例题2】 一弹簧振子的位移y 随时间t 变化的关系式为y ＝0.1sin 2.5πt ，位移y 的单位为m ，时间t 的单位为s .则( )
A ．弹簧振子的振幅为0.2 m
B ．弹簧振子的周期为1.25 s
C ．在t ＝0.2 s 时，振子的运动速度为零
D ．在任意0.2 s 时间内，振子的位移均为0.1 m
1.一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距10 cm 的A 、B
两点，且由A 到B 的过程中速度方向不变，历时0.5 s (如图)．过B 点后再经过t ＝0.5 s 质点以方向相反、大小相同的速度再次通过B 点，则质点振动的周期是( )
A ．0.5 s
B ．1.0 s
C ．2.0 s
D ．4.0 s
考点2 振动图象的物理意义
1．振动图象可以确定振动物体在任一时刻的位移．如图中，对应t 1、t 2时刻的位移分别为x 1＝＋7 cm ，x 2＝－5 cm .
2．确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅．如图所示振动的振幅是10 cm .
3．确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．
由图可知，OD 、AE 、BF 的间隔都等于振动周期，T ＝0.2 s ，频率f ＝1T
＝5 Hz . 4．确定质点的振动方向．例如图中的t 1时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t 3时刻，质点正接近平衡位置向位移的正方向运动．
5．比较各时刻质点加速度的大小和方向．例如在图中t 1时刻质点位移x 1为正，则加速度a 1为负，t 2时刻x 2为负，则加速度a 2为正，又因为|x 1|>|x 2|，所以|a 1|>|a 2|.
【典型例题3】 如图甲所示，一弹簧振子在AB 间做简谐运动，O 为平衡位置，如图乙是振子做简谐运动时的位移—时间图象，则关于振子的加速度随时间的变化规律，下列四个图象中正确的是( )
【典型例题4】 如图所示，弹簧振子在B 、C 间做简谐运动，O 为平衡位置，B 、C 间的距离为20 cm ，振子由B 运动到C 的时间为2 s ，则( )
A ．从O→C→O 振子做了一次全振动
B ．振动周期为2 s ，振幅是10 cm
C ．从B 开始经过6 s ，振子通过的路程是60 cm
D ．从O 开始经过3 s ，振子又到达平衡位置O
2.如图所示为某弹簧振子在0～5 s 内的振动图象，由图可知，下列说法
中正确的是( )
A ．振动周期为5 s ，振幅为8 cm
B ．第2 s 末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C ．第3 s 末振子的速度为正向的最大值
D ．从第1 s 末到第2 s 末振子在做加速运动
当堂检测 1.某沿水平方向振动的弹簧振子在0～6 s 内做简谐运动的振动图象如图
所示，由图可知( )
A ．该振子的振幅为5 cm ，振动周期为6 s
B ．第3 s 末振子的速度沿x 轴负方向
C ．第3 s 末到第4 s 末的过程中，振子做减速运动
D ．该振子的位移x 和时间t 的函数关系：
x ＝5sin (π2t ＋3π2
)(cm ) 第1题图
第2题图
2．如图是一个质点做简谐运动的振动图象，从图中可得( )
A ．在t ＝0时，质点位移为零，速度和加速度为零
B ．在t ＝4 s 时，质点的速度最大，方向沿负方向
C ．在t ＝3 s 时，质点振幅为－5 cm ，周期为4 s
D ．无论何时，质点的振幅都是5 cm ，周期都是4 s
3．(多选)如图所示为一水平弹簧振子做简谐运动的振动图象，由图可以推断，振动系统( )
第3题图
A．t1和t3时刻具有相等的动能和相同的加速度
B．t3和t4时刻具有相同的速度
C．t4和t6时刻具有相同的位移和速度
D．t1和t6时刻具有相等的动能和相反方向的速度
4．(多选)如图1所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动．取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是( )
图1 图2
第4题图
A．t＝0.8 s时，振子的速度方向向左
B．t＝0.2 s时，振子在O点右侧6 cm处
C．t＝0.4 s和t＝1.2 s时，振子的加速度完全相同
D．t＝0.4 s到t＝0.8 s的时间内，振子的速度逐渐增大
5．如图所示为一弹簧振子的振动图象，试完成以下问题：
(1)写出该振子简谐运动的表达式；
(2)在第2 s末到第3 s末这段时间内，弹簧振子的位移、加速度、速度各是怎样变化的？
(3)该振子在前100 s的总位移是多少？路程是多少？
第5题图
第52讲 简谐运动
知识整合 基础自测
一、1.(1)往复
二、1.正弦 正弦 2.正比
三、1.平衡位置 平衡位置 2.振动 某个力 分力 合力
四、1.平衡位置 2.最大 3.一次全振动
4．次数 振动系统本身 无关
五、1.任意 位移 正弦 余弦 轨迹
2．(1)位移 (2)振幅 周期 (3)速度 加速度 大小
六、x ＝A ·sin(ωt ＋Φ) 快慢 初相位 初相
七、1.平衡位置 平衡位置 现在所处 零 2.相反 零 最大 最大 零 两 方法技巧
·典型例题1· B 【解析】 在t 1和t 2时刻，质点的加速度、回复力和位移大小相等方向相反，而速度的大小和方向相同，故选B.
·典型例题2·C 【解析】 质点做简谐运动，振动方程为y ＝0.1sin 2.5πt ，可读出振幅A ＝0.1 m ，故A 错误；质点做简谐运动，振动方程为y ＝0.1sin 2.5πt ，可读出角
频率为2.5π，故周期T ＝2πω
＝0.8 s ，故B 错误；在t ＝0.2 s 时，振子的位移最大，故速度最小为零，故C 正确；根据周期性可知，质点在一个周期内通过的路程一定是4A ，但四分之一周期内通过的路程不一定是A ，故D 错误．
·变式训练1·C 【解析】 根据题意，由振动的对称性可知：AB 的中点(设为O )为平衡位置，A 、B 两点对称分布于O 点两侧．质点从平衡位置O 向右运动到B 的时间应为t OB ＝12×0.5 s ＝0.25 s ．质点从B 向右到达右方极端位置(设为D )的时间t BD ＝12
×0.5 s ＝0.25 s ．所以质点从O 到D 的时间t OD ＝14
T ＝0.25 s ＋0.25 s ＝0.5 s ．所以T ＝2.0 s ，C 对． ·典型例题3·C 【解析】 加速度与位移关系a ＝－kx m ，而x ＝A sin(ωt ＋φ)，所以a ＝－k m
A sin(ωt ＋φ)，则可知加速度—时间图象为C 项所示．
·典型例题4·C 【解析】 从O →C →O →B →O 振子做了一次全振动，A 错；振动周期4 s ，B 错D 错；从B 开始运动6 s ，振子共振动1.5个周期，通过的路程为6A ＝60 cm.C 正确．
·变式训练2·C 【解析】 根据图象，周期T ＝4 s ，振幅A ＝8 cm ，选项A 错误；第2 s 末振子到达负向位移最大处，速度为零，加速度最大，但沿x 轴正方向，选项B 错误；第3 s 末振子经过平衡位置，速度达到最大，且向x 轴正方向运动，选项C 正确；从第1 s 末到第2 s 末振子由平衡位置运动到达负向位移最大处，速度逐渐减小，选项D 错误．
当堂检测
1．C 【解析】 由图读出振动周期为4 s ，振幅为5 cm ，故A 错误；根据图象可知，第3 s 末振子经过平衡位置向正方向运动，故B 错误；第3 s 末振子处于平衡位置处，速度最大，则第3 s 末到第4 s 末的过程中，振子做减速运动，故C 正确；由振动图象可得：振幅
A ＝5 cm ，周期T ＝4 s ，初相φ＝T 2，则圆频率ω＝2πT ＝π2
rad/s ，故该振子做简谐运动的表达式为：x ＝5sin(π2t ＋π2
)，故D 错误． 2．D 【解析】 在t ＝0时刻，质点的位移为零，质点经过平衡位置，速度最大，而加速度为零．故A 错误；在t ＝4 s 时，质点经过平衡位置沿正方向运动，此时质点的速度最大．故B 错误；质点的振幅为A ＝5 cm 、周期为T ＝4 s ，保持不变．故C 错误，D 正确；故选D.
3．AB 【解析】 由图象可知，t 1、t 3两时刻振子位于同一位置(位移相等)，t 4、t 6两时刻振子位于同一位置，并且两位置关于平衡位置对称，据此可得，t 1、t 3时刻动能相等，加速度相同，故A 正确；t 3、t 4时刻振子向同一方向振动，其速度相同，B 正确；t 4、t 6时刻速度方向相反，C 错误；t 1、t 6时刻速度大小相等，方向相同，D 错误．
4．AD 【解析】 由图象可知振动的周期和振幅，振子向平衡位置运动的过程中，速度增大，加速度减小．由图象2知t ＝0.8 s 时，振子在平衡位置向负方向运动，所以速度方向向左，选项A 正确；t ＝0.2 s 时，振子远离平衡位置运动，速度逐渐减小，应在O 点右侧大于6 cm 处，选项B 错误；t ＝0.4 s 和t ＝1.2 s 时，振子的加速度大小相同，方向相反，选项C 错误；t ＝0.4 s 到t ＝0.8 s 的时间内，振子向平衡位置运动，速度逐渐增大，选项D 正确．
5．(1)x ＝5sin0.5πt (cm) (2)在第2 s 末到第3 s 末这段时间内，弹簧振子的位移负向逐渐增大，速度逐渐减小，加速度逐渐增大 (3)0 5 m
【解析】 (1)弹簧振子的周期为T ＝4 s ，则ω＝2πT
＝0.5 πrad/s ；振幅A ＝5 cm 故该振子简谐运动的表达式为x ＝A sin ωt ＝5sin0.5πt (cm)．
(2)第2 s 末到第3 s 末这段时间内，据图可知，振子的位移负向逐渐增大，速度减小，加速度逐渐增大；当3 s 末时，振子的位移最大，加速度最大，速度为零．
(3)因n ＝t T ＝1004
＝25，而振子在一个周期内通过的路程是4A ，所以振子在前100 s 的总路程是：s ＝25×4 A ＝100×5 cm ＝500 cm ＝5 m ；总位移为0.
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