平方差公式培优训练
◆基础训练
平方差公式：(a+b)(a-b)=________________________________，
1.下列计算中，错误的有（）
①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2；
③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（）3．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2．A．5 B．6 C．－6 D．－5
4．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．
5（1）（2+1）（22+1）（24+1（28+1）
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－
4016
3
2
．
6．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082．，
22007
200720082006
-?
，
2
2007
200820061
?+
．
完全平方公式培优训练
◆基础训练
1．完全平方公式：（a+b）2=______，（a－b）2=______．即两数的_____的平方等于它们的_____，加上（或减去）________．
2．计算:
（1）（2a+1）2=（_____）2+2·____·_____+（____）2=________；
（2）（2x－3y）2=（_____）2－2·____·_____+（_____）2=_______．3．（____）2=a2+12ab+36b2；（______）2=4a2－12ab+9b2．
4．（3x+A）2=9x2－12x+B，则A=_____，B=______．
5．m2－8m+_____=（m－_____）2．
6．下列计算正确的是（）
A．（a－b）2=a2－b2B．（a+2b）2=a2+2ab+4b2
C．（a2－1）2=a4－2a2+1 D．（－a+b）2=a2+2ab+b2
7．运算结果为1－2ab2+a2b4的是（）
A．（－1+ab2）2B．（1+ab2）2C．（－1+a2b2）2D．（－1－ab2）2 8．计算（x+2y）2－（3x－2y）2的结果为（）
A．－8x2+16xy B．－4x2+16xy C．－4x2－16xy D．8x2－16xy 9．计算（a+1）（－a－1）的结果是（）
A．－a2－2a－1 B．－a2－1 C．a2－1 D．－a2+2a－1 10．运用完全平方公式计算:
（1）（－1+3a）2 （2）（1
3
a+
1
5
b）2
（3）（－a－b）2（4）（－a+1
2
）2
（5）（xy+4）2（6）（a+1）2－a2（7）1012（8）1982
11．计算:
（1）（a+2b）（a－2b）－（a+b）2（2）17.计算(a－2b+3c)2－(a+2b－3c)2
提高训练
1．已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
2．已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
3、已知224,4a b a b +=+=求22a b 与2()a b -的值。
4、已知(a +b)2=60，(a -b)2=80，求a 2+b 2及a b 的值
5．已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
6.已知222450x y x y +--+=，求21(1)2
x xy --的值。
拓展提升
1．已知x+
1x =3，试x 2+21x
和（x －1x ）2的值．
2、0132=++x x ，求（1）221x x +
（2）441x
x +
3、试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
3、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=________.
4.要使式子0.36x 2+
41y 2成为一个完全平方式，则应加上________.
5.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 A.
27y 2 B.249y 2 C.449y 2 D.49y 2
6、当代数式532++x x 的值为7时,求代数式2932-+x x 的值.
7、已知2=x 时，代数式10835=-++cx bx ax ，求当2-=x 时，代数式 835-++cx bx ax 的值
8、已知012=-+a a ，求200722
3++a a 的值.
完全平方公式为： 注：1.完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同． 结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a ?b ）2＝a 2 ?2ab+b 2 ; 平方差公式的结果是两项， 即（a+b ）（a?b ）＝a 2?b 2. 2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、 不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。 例1 用完全平方公式计算： （1）(2x ?3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2 练习： 1、计算：2 )221 (y x - (n +1)2－n 2 (2x 2－3y 2)2 2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 例2.计算： （1）(-1-2x )2 （2）()()n m n m +--22 （3）)432)(432(-++-y x y x （4）22)32 1()321(b a b a +-
练习： (1)()2c b a -+ (2) (-2x +1) 2 （3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ （4）??? ??+-??? ??-b a b a 32132 1 拓展：1.已知31=+ x x ，则=+221x x ________________ 2. 已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m = 4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+ a a a a 2)1(1222 +-=+a a a a 拓展二：ab b a b a 4)()(22=--+ ()()2 2 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求 ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 2 2 a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则2221 21y xy x ++= ⑶已知xy ２ y x ，y x x x -+-=---2 22 2)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab ⑴若()()a b a b -=+=2 2 713，，则a b 22 +=____________，a b =_________
第2章《有理数》单元培优测试卷（含答案）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间60分钟，试题共28题，选择8道、填空10道、解答8道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2020?盐城）2020的相反数是（） A．﹣2020 B．2020 C．D．2．（2020?徐州模拟）据统计，徐州市2020年参加中考人数共有11.8万人，11.8万用科学记数法表示为（） A．11.8×103B．1.18×104C．1.18×105D．0.118×106 3．（2019秋?江苏省海安市校级月考）在﹣22、（﹣2）2、﹣（﹣2）、﹣|﹣2|中，负数的个数是（） A．4个B．3个C．2个D．1个 4．（2019秋?江苏省镇江期末）在数，1.010010001，，0，﹣2π，﹣2.6266266…，3.1415中，无理数的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2019秋?江苏省泰兴市期末）数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点 A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（） A．﹣2 B．0 C．3 D．5 6．（2019秋?江苏省镇江期末）能使等式|2x﹣3|+2|x﹣2|＝1成立的x的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2020春?江苏省如皋市期末）将九个数分别填在3×3 （3行3列）的方格中，如果满足每个横行，每个竖列和每条对角线上的三个数之和都等于m，则将这样的图称为“和m幻方”．如图①为“和15幻方”，图②为“和0幻方”，图③为“和39幻方”，若图
绝密★启用前 完全平方公式 测试时间:20分钟 一、选择题 1.计算(a-3)2 的结果是( ) A.a 2 -9 B.a 2 +9 C.a 2 -6a+9 D.a 2 +6a+9 2.计算(-a-b)2 等于( ) A.a 2 +b 2 B.a 2 -b 2 C.a 2 +2ab+b 2 D.a 2 -2ab+b 2 3.下列式子中,总能成立的是( ) A.(a-1)2 =a 2 -1 B.(a+1)2 =a 2 +a+1 C.(a+1)(a-1)=a 2 -a+1 D.(a+1)(1-a)=1-a 2 4.对于任意有理数a,b,现用“☆”定义一种运算:a☆b=a 2 -b 2 ,根据这个定义,代数式(x+y)☆y 可以化简为( ) A.xy+y 2 B.xy-y 2 C.x 2 +2xy D.x 2 5.(2019黑龙江伊春中考)下列各运算中,计算正确的是( ) A.a 2 +2a 2 =3a 4 B.b 10 ÷b 2 =b 5 C.(m-n)2 =m 2 -n 2 D.(-2x 2)3 =-8x 6 6.(2019湖南张家界中考)下列运算正确的是( ) A.a 2 ·a 3 =a B.a 2 +a 3 =a 5 C.(a+b)2 =a 2 +b 2 D.(a 3)2 =a 6 7.(2018江苏淮安洪泽期末)下列各式中计算正确的是( ) A.(a-b)2 =a 2 -b 2 B.(a+2b)2 =a 2 +2ab+4b 2 C.(a 2 +1)2 =a 4 +2a+1 D.(-m-n)2 =m 2 +2mn+n 2 8.(2018四川南充中考)下列计算正确的是( ) A.-a 4 b÷a 2 b=-a 2 b B.(a-b)2 =a 2 -b 2 C.a 2 ·a 3 =a 6 D.-3a 2 +2a 2 =-a 2 9.已知x 2 +16x+k 是完全平方式,则常数k 等于( ) A.64 B.48 C.32 D.16 10.已知(x+y)2 =9,(x-y)2 =5,则xy 的值为( ) A.-1 B.1 C.-4 D.4 11.已知a+b=3,ab=2,则a 2 +b 2 的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题 12.(1)( +4y)2 =1+8y+ ; (2)(a- )2 =a 2-14a+164. 13.一个正方形的边长增加了2 cm,面积相应增加了32 cm 2 ,则原正方形的边长为 . 三、解答题 14.化简:(m+2)2 +4(2-m). 15.计算: (1)(b+c)(-b-c);(2)(-x+3y)2 ;(3)(-m-n)2 . 16.计算:(x -1 2y)2 -(x -1 2y)(1 2y +x). 参考答案 一、选择题 1.答案 C (a-3)2 =a 2 -6a+9,故选C. 2.答案 C (-a-b)2 =(-a)2 -2·(-a)·b+b 2 =a 2 +2ab+b 2 .故选C. 3.答案 D 根据完全平方公式可知(a-1)2 =a 2 -2a+1,(a+1)2 =a 2 +2a+1,根据平方差公式可知(a+1)(a-1)=a 2 -1,故A 、B 、C 均不成立;D 中(a+1)(1-a)=(1+a)(1-a)=1-a 2 ,故D 成立. 4.答案 C (x+y)☆y=(x+y)2 -y 2 =x 2 +2xy+y 2 -y 2 =x 2 +2xy.故选C. 5.答案 D A.a 2 +2a 2 =3a 2 ,故此选项错误; B.b 10 ÷b 2 =b 8 ,故此选项错误; C.(m-n)2 =m 2 -2mn+n 2 ,故此选项错误; D.(-2x 2)3 =-8x 6 ,故此选项正确. 故选D. 6.答案 D a 2 ·a 3 =a 2+3 =a 5 ,A 错误; a 2与a 3 不是同类项,不能合并,B 错误; (a+b)2 =a 2 +b 2 +2ab,C 错误; (a 3)2 =a 3×2=a 6 ,D 正确. 故选D. 7.答案 D A 项,应为(a-b)2 =a 2 -2ab+b 2 ,故本选项错误;B 项,应为(a+2b)2 =a 2 +4ab+4b 2 ,故本选项错误;C 项,应为(a 2 +1)2 =a 4 +2a 2 +1,故本选项错误;D 项,(-m-n)2 =m 2 +2mn+n 2 ,正确.故选D. 8.答案 D -a 4 b÷a 2 b=-a 2 ,故选项A 错误, (a-b)2 =a 2 -2ab+b 2,故选项B 错误, a 2 ·a 3 =a 5,故选项C 错误, -3a 2 +2a 2 =-a 2 ,故选项D 正确. 9.答案 A 16x=2·8x,(x+8)2 =x 2 +16x+64,故k=64. 10.答案 B 由(x+y)2 =9,得x 2 +2xy+y 2 =9,① 由(x-y)2 =5,得x 2 -2xy+y 2=5,② ①-②,得4xy=4,所以xy=1. 11.答案 C ∵a+b=3,ab=2,∴a 2 +b 2 =(a+b)2 -2ab=32 -2×2=5. 二、填空题 12.答案 (1)1;16y 2 (2)1 8 解析 (1)(1+4y)2 =1+8y+16y 2 . (2)(a -18)2 =a 2 -14a+1 64. 13.答案 7 cm
第 1 页 共 2 页 2018—2019学年度 一．选择题（每题3分，共10小题） 1．下列说法正确的是（ ） A ．所有的整数都是正数 B ．不是正数的数一定是负数 C ．0不是最小的有理数 D ．正有理数包括整数和分数 2．全面贯彻落实“大气十条”，抓好大气污染防治，是今年环保工作的重中之重．其中推进燃煤电厂脱硫改造15000 000千瓦是《政府工作报告》中确定的重点任务之一．将数据15 000 000用科学记数法表示为（ ） A ．15×106 B ．1.5×107 C ．1.5×108 D ．0.15 ×108 3．下列各组数中，互为相反数的是（ ） A ．﹣1与（﹣1）2 B ．1与（﹣1）2 C ．2与 D ．2与|﹣2| 4．如图，的倒数在数轴上表示的点位于下列两个点之间（ ） A ．点E 和点F B ．点F 和点G C ．点G 和点H D ．点H 和点I 5．质检员抽查某种零件的质量，超过规定长度的记为正数，短于规定长度的记为负数，检查结果如下：第一个为0.13豪米，第二个为﹣0.12毫米，第三个为﹣0.15毫米，第四个为0.11毫米，则质量最差的零件是（ ） A ．第一个 B ．第二个 C ．第三个 D ．第四个 6．在﹣0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的字是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 7．已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|﹣|a ﹣2b|﹣|c+2b|的结果是（ ） A ．4b+2c B ．0 C ．2c D ．2a+2c 8．绝对值大于﹣2且小于5的所有的整数的和是（ ） A ．7 B ．﹣7 C ．0 D ．5 9．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点的个数是（ ） A ．2018或2019 B ．2019或2020 C ．2020或2021 D ．2021或2022 10．若ab ＜0，且a ＞b ，则a ，|a ﹣b|，b 的大小关系为（ ） A ．a ＞|a ﹣b|＞b B ．a ＞b ＞|a ﹣b| C ．|a ﹣b|＞a ＞b D ．|a ﹣b|＞b ＞a 二、填空题（每题3分，共30分） 11.一艘潜艇正在﹣50米处执行任务，其正上方10米处有一条鲨鱼在游弋，则 鲨鱼所处的高度为 米． 12.若()2 2120x y -++=，则2x y += . 13. 已知|a|=5，|-b|=-7，且ab ＜0，则a-b= ． 14. 设n 是正整数，则1﹣（﹣1）n 的值是 . 15. 绝对值小于2018的整数有 个，和为 ，积为 ．
完全平方公式 完全平方公式即(a±b)2=a2±2ab+b2 该公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，是因式分解中常用到的公式。该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用。难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解）。 必须注意的： ①漏下了一次项 ②混淆公式（与平方差公式） ③运算结果中符号错误 ④变式应用难于掌握。 学会用文字概述公式的含义: 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
这两个公式的结构特征： 1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方 和，加上或减去这两项乘积的2倍； 2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接；左边两项符号相反时，右 边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍（注：这里说项时未包括其符号在内）. 完全平方公式口诀 前平方，后平方，二倍乘积在中央。 同号加、异号减，符号添在异号前。（可以背下来） 即 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2（注意：后面一定是加号） 公式变形（习题） 变形的方法 （一）、变符号： 例1：运用完全平方公式计算： （1）(-4x+3y)2（2）(-a-b)2 分析：本例改变了公式中a、b的符号，以第二小题为例，处理该问题最简单的方法是将这个式子中的(-a)看成原来公式中的a，将(-b)看成原来公式中的b，即可直接套用公式计算。 解答： (1)原式=16x2-24xy+9y2 (2)原式=a2+2ab+b2 （二）、变项数：
完全平方公式的综合应用（习题） 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”． 观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值．
3. 已知2310a a -+=，求221a a +，44 1a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________． 6. 若22464100a b a b +--+=，则a b -=______． 7. 当a 为何值时，2814a a -+取得最小值，最小值为多少？ 8. 求224448x y x y +-++的最值． 思考小结 1. 两个整数a ，b （a ≠b ）的“平均数的平方”与他们“平方数的平均数”相等 吗？若不相等，相差多少？ 2. 阅读理解题：
一、初一数学有理数解答题压轴题精选（难） 1．如图，已知数轴上有A、B两点(点A在点B的左侧)，且两点距离为8个单位长度，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t(t＞0)秒. （1）图中如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点A表示的数是________； （2）当t＝3秒时，点A与点P之间的距离是________个长度单位； （3）当点A表示的数是－3时，用含t的代数式表示点P表示的数； （4）若点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，请直接写出t的值. 【答案】（1）-4 （2）6 （3）解：当点A为-3时，点P表示的数是-3+2t； （4）解：当点P在线段AB上时，AP＝2PB，即2t＝2（8?2t）， 解得，t＝， 当点P在线段AB的延长线上时，AP＝2PB，即2t＝2（2t?8）， 解得，t＝8， ∴当t＝或8秒时，点P到A的距离是点P到B的距离的2倍. 【解析】【解答】解：（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b， 则|a|＋|b|＝8，又|a|＝|b|， ∴|a|＝4， ∴a＝?4， 则点A表示的数是?4； （ 2 ）∵P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动， ∴当t＝3秒时，点A与点P之间的距离为6个单位长度； 【分析】（1）设点A表示的数是a，点B表示的数是b，两点间的距离是8及互为相反数的两个数分别位于原点的两侧，到原点的距离相等即可判断得出答案； （2）根据路程等于速度乘以时间即可得出答案； （3）由点A表示的数结合AP的长度，即可得出点P表示的数； （4）分当点P在线段AB上时，AP=2t，BP=（8-2t），根据AP＝2PB 列出方程，求解即可；当点P在线段AB的延长线上时，AP=2t，BP=（2t-8），根据 AP＝2PB 列出方程，求解即可，综上所述即可得出答案. 2．如图，已知数轴上点A表示的数为-3，B是数轴上位于点A右侧一点，且AB=12.动点P 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向点B方向匀速运动，设运动时间为t秒.
完全平方公式专项练习 知识点： 姓名： 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定： ① 两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2 ② 两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。 即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2 -a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2 专项练习： 1．（a ＋2b ）2 2.（3a －5）2 3.．（－2m －3n ）2 4. （a 2－1）2－（a 2＋1）2 5.（－2a ＋5b ）2 6.（－21ab 2－3 2c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ） 8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 12. 972； 13. 20022； 14. 992－98×100； 15. 49×51－2499； 16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2 17.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 18. (a+b+c+d)2 19.（２a ＋１）2－（１－２a ）2 20.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）
完全平方公式讲解 第一部分概念导入 1．问题：根据乘方的定义，我们知道：a2=a·a，那么（a+b）2应该写成什么样的形式呢？（a+b）2的运算结果有什么规律？计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=_______；（m+2）2=_______； （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）=________；（m-2）2=_______； 2．学生计算 3．得到结果：（1）（p+1）2=（p+1）（p+1）=p2+2p+1 （m+2）2=（m+2）（m+2）= m2+4m+4 （2）（p-1）2=（p-1）（p-1）= p2-2p+1 （m-2）2=（m-2）（m-2=m2-4m+4 4．分析推广：结果中有两个数的平方和，而2p=2·p·1，4m=2·m·2，恰好是两个数乘积的二倍。（1）（2）之间只差一个符号。 推广：计算（a+b）2=_____ ___ （a-b）2=_____ ___ 【2】 得到公式，分析公式 （1）．结论：(a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 即： 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍． （2）公式特征 左边：二项式的平方 右边：二项式中每一项的平方与这两项乘积2倍的和． 注意：公式右边2ab的符号取决于左边二项式中两项的符号．若这两项同号，则2ab取“＋”，若这两项异号，则2ab的符号为“－”． （3）公式中字母可代表的含义 公式中的a和b可代表一个字母，一个数字及单项式． （4）几何解释 图1－5 图1－5中最大正方形的面积可用两种形式表示：①（a＋b）2②a2＋2ab＋b2，由于这两个代数式表示同一块面积，所以应相等，即（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2 因此，用几何图形证明了完全平方公式的正确性． 【学习方法指导】 ［例1］计算 （1）（3a＋2b）2（2）（mn－n2）2 点拨：运用完全平方式的时候，要搞清楚公式中a，b在题目中分别代表什么，在展开的过程中要把它们当作整体来做，适当的地方应打括号，如：进行平方的时候．同时应注意公式中2ab的符号．解：（1）（3a＋2b）2＝（3a）2＋2·（3a）·（2b）＋（2b）2＝9a2＋12ab＋4b2
完全平方公式提升练习题 一、完全平方公式 1、（－ 21ab 2－3 2c ）2； 2、（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 3、（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； 4、若k x x ++22是完全平方式，则k =____________. 5、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 6、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 7、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 二、公式的逆用 8．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 9．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 10．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 11．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 12．代数式xy －x 2－4 1y 2等于（ ）2 三、配方思想 13、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 14、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 15、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.
16、已知x 、y 满足x 2十y 2十 45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 17．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 四、完全平方公式的变形技巧 18、已知 2 ()16,4,a b ab +==求22 3a b +与2()a b -的值。 19、已知2a －b ＝5，ab ＝2 3，求4a 2＋b 2－1的值． 20、已知16x x -=，求221x x +，441x x + 21、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +
第1页/共3页 完全平方公式提升练习题 一、完全平方公式 （1）（－21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； （3）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （4）（2a ＋3）2＋（3a －2）2 （5）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； （6）（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2；（7）（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 8.已知x 2－5x +1=0,则x 2+ 21 x =________. 二、完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = [来源:学#科#网] 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 三、公式的逆用[来源:Z+xx+https://www.doczj.com/doc/1914210546.html,] 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－4 1 y 2等于（ ）2 四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2 x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十4 5 ＝2x 十y ，求代数式 y x xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 五、完全平方公式的变形技巧 1、已知 2 ()16,4,a b ab +==求22 3 a b +与2()a b -的值。
2 213.计算:（1） （―2。+5。）2； ⑵（十2_§）2； (3)(工一3y —2)(尤+3y —2)； (4) (x~2y) (x 2—4>,2)(尤+2y)； 完全平方公式一 1. （。+2人）2 =决+ ______ +4人2； （3Q —5） 2=9Q 2+25— _______ 2. (2尤— ___ ) 2= ________ —Axy-^y 1； (3m 2+ ______ .)2 = ______ +12冰〃+ ___ 3. JC —xv+ = (x~ - )2； 49a 2- + 81^2= ( +%) 2 4. ( ~2m —3n) 2 = ； （￡+圮）2 = ? 4 3 5. 4决+4。+3= (2Q +1) 2+ ? (。——人) 2= (Q +Z?) 2— 6.疽 +》2= (Q + 人)2_ =(a~b) 2 — _____ ■ 7. (。—b+c) 2 =. 8. (a 2— 1 ) 2— (Q 2+1)2=[(Q 2— 1)+ (Q 2+])][( Q 2— 1)—() ]= 9. 代数式xy-x 2--y 2等于 .................. ( ) 4 (A) (x~-y) 2 (B) (—x —-y) 2 (C) (-y —x) 2 (D) — (x~-y) 2 2 2 2 2 10. 已知 j (x 2— 16) +。= (X 2—8) 2,则 Q 的值是.................... ( ) (A) 8 (B) 16 (C) 32 (D) 64 11. 如果4Q 2—N 泌+8场2是一个完全平方式，则N 等于 ..................... ( ) (A) 18 (B) ±18 (C) ±36 (D) ±64 12. 若(a+b) 2=5, (a-b) 2=3,则 a 2+b 2与沥的值分别是 ...................... ( ) (A) 8 与上 (B) 4-^- (C) 1 与4 (。)4与1
6 1.8完全平方公式 （总分100分 时间40分钟） 一、填空题:(每题4分,共28分) 1 2 2 1 2 1. ( _x+3y) = _____ ,( ) = —y-y+1. 3 4 2 2 2 2 2. ( ) =9a - ______ +16b ,x +10x+ _______ =(x+ 2 3. (a+b-c) = ___________________ . 2 2 2 1 4. (a-b) + _______ =(a+b) ,x + 飞 + ___________ =(x- x 2 5. 如果a 2 +ma+9是一个完全平方式，那么m= _______ 6. （x+y-z ）（x-y+z ）= ____ . 7. 一个正方形的边长增加 2cm,它的面积就增加12cm 2 ,?这个正方形的边长是 ________________ 二、选择题:（每题5分,共30分） 8. 下列运算中，错误的运算有（） 2 2 2 2 2 2 2 2 2 〔22 I ①(2x+y) =4x +y ,②(a-3b) =a -9b ,③(-x-y) =x -2xy+y ,④(x- ) =x - 2 x+ , 4 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 9.若 a 2 +b 2 =2,a+b=1,则 ab 的值为 () A.-1 B.- 1 C.- 3 D.3 2 2 10.若 4 4 ~2 — 1,则-=() x x x A.-2 B.-1 C.1 D.2 11.已知 x-y=4,xy=12,则 x 2 +y 2 的值是() 1 14. 已知 X M 0 且 x+ =5,求 x 4 x .) A.28 B.40 C.26 D.25 12.若 x 、y 是有理数，设 N=3x+2y-18x+8y+35,则() A.N C.N 定是负数 定是正数 1 13.如果（一a 2 八1 2 3 3 三、解答题：（ x)2 B.N D.N 1 2 a 4 2 3 或-1 3 每题7分,共42分） B.- 一定不是负数 的正负与x 、y 的取值有关 1 ,则 x 、y 9 -C. 3 的值分别为（
年级八年级课题完全平方公式课型新授教学媒体多媒体 教学目标知识 技能 1．经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一 步发展符号感和推理能力． 2．会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．过程 方法 进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力． 情感 态度 了解数学的历史，激发学习数学的兴趣．鼓励学生自己探索算法的多样化，有意 识地培养学生的创新能力． 教学重点(a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用． 教学难点完全平方公式的推导和公式结构特点及其应用． 教学过程设计 教学程序及教学内容师生行为设计意图一、复习旧知 探究，计算下列各式，你能发现什么规律？ （1）（p＋1）2 =（p＋1）（p＋1）＝_________； （2）（m＋2）2=（m＋2）（m＋2）＝_________； （3）（p－1）2 =（p－1）（p－1）＝_________； （4）（m－2）2=（m－2）（m－2）＝_________． 答案：（1）p2+2p+1；（2）m2+4m+4；（3）p2－2p+1；（4）m2－4m+4． 二、探究新知 1.计算:（a+b）2 和（a－b）2 ；并说明发现的规律。（a+b）2=（a+b）（a+b）= a（a+b）+b（a+b）=a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2． （a－b）2=（a－b）（a－b）=a（a－b）－b（a－b）=a2－ab －ab+b2=a2－2ab+b2． 2.归纳完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍，即学生利用多项式与 多项式相乘的法则 进行计算，观察计算 结果，寻找一般性的 结论，并进行归纳 教师让学生利用多 项式的乘法法则进 行推理. 教师让学生用自己 的语言叙述所发现 的规律，允许学生之 间互相补充，教师不 急于概括． 这里是对前边 进行的运算的 复习，目的是 让学生通过观 察、归纳，鼓 励他们发现这 个公式的一些 特点，如公式 左右边的特 征，便于进一 步应用公式计 算 公式的推导既 是对上述特例 的概括，更是 从特殊到一般 的归纳证明， 在此应注意向 学生渗透数学
完全平方公式和平方差公式法习题(内含答案)二次根式的运算知识点 知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘， 根指数不变，只把被开方数相乘. 要点诠释：在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a 、b 都必须是非 负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数) (1)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： (3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. ，即积的算术平方根知识点二、积的算术平方根的性质 等于积中各因式的算术平方根的积. 要点诠释： （1）在这个性质中，a 、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a 移到根号外面. （3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简 （4）步骤：①对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式②利用积的算术平方根的性质 ③利用（一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即被开方数中的一些因式 移到根号外 ④被开方数中每个因数指数都要小雨2 （5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点三、 二次根式的除法法则： 把被开方数相除.
要点诠释：，即两个二次根式相除，根指数不变， (1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a 、b 的取值范围应特别注意，其中 ，因为b 在分母上，故b 不能为0. (2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号. 知识点四、商的算术平方根的性质 ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. （2）步骤①利用商的算术平方根的性质 ② a ，b 利用积的算术平方根的性质化简③分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化 （3）被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简 知识点五：最简二次根式 1. 定义：当二次根式满足以下两条： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释： (1)最简二次根式中被开方数不含分母； (2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能 为1次. 2. 把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：
有理数培优题 一、填空题 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有 个 2、如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。 3、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。 4、已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。 5、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为 。 6、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简c c a b b a ------+11的结果为 。 7、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于b a ,的四种情况如图所示，则成立的是 。 ① ② ③ ④ 8、已知是有理数，且()()012 122=++-y x ，那么y x +的值是 。 9、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是（ A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 10、数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么c a +与d b +的大小关系是（ ） A ．d b c a +<+ B ．d b c a +=+ C ．d b c a +>+ D ．不确定的 11、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ，B ，C ，若c a c b b a -=-+-，那么点B （ ） A ．在A 、C 点右边 B ．在A 、 C 点左边 C ．在A 、C 点之间 D ．以上均有可能 12、设11++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题） A ．y 没有最小值 B ．只一个x 使y 取最小值 C ．有限个x （不止一个）使y 取最小值 D ．有无穷多个x 使y 取最小值
完全平方公式与平方差公式 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址内容：8.3（2）P64--67 课型：新授 日期： 学习目标： 、经历探索平方差公式的过程，发展学生观察、交流、归纳、猜测、验证等能力。 2、会推导平方差公式，了解公式的几何背景，会用公式计算。 3、进一步体会数形结合的数学思想和方法。 学习重点：会推导平差方公式，并能运用公式进行简单的计算。 学习难点：掌握平方差公式的结构特征，理解公式中a.b 的广泛含义。 学习过程： 一、学习准备 、利用多项式乘以多项式计算： （1） （2） （3）
（4） 观察以上算式及运算结果，你发现了什么？再举两例验证你的发现。 2、以上算式都是两个数的和与这两个的差相乘，运算结果是这两个数的平方的差。我们把这样特殊形式的多项式相乘，称为平方差公式，以后可以直接使用。 平方差公式用字母表示为：=a2-b2 尝试用自己的语言叙述平方差公式： 3、平方差公式的几何意义：阅读课本65页，完成填空。 4、平方差公式的结构特征：=a2-b2 左边是两个二项式相乘，两个二项式中的项有什么特点？右边的结果与左边的项有什么关系？ 注意：公式中字母的含义广泛，可以是 ，只要题目符合公式的结构特征，就可以运用这一公式，可用符号表示为：=□2-○2 5、判断下列算式能否运用平方差公式。 二、合作探究 、利用乘法公式计算：
分析：要分清题目中哪个式子相当于公式中的a（相同的一项），哪个式子相当于公式中的b（互为相反数的一项） 2、利用乘法公式计算： 999×1001 分析：要利用完全平方公式，需具备完全平方公式的结构，所以999×1001可以转化为（ ）×（ ）, 可以转化为（ ）×（ ） 3、利用乘法公式计算： 三、学习体会 对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？ 四、自我测试 、下列计算是否正确，若不正确，请订正； =x2-4
有理数及整式培优练习题 一、选择题 1.在数轴上，点x 表示到原点距离小于5的那些点，则│x+5│+│x-5│等于（? ） A.10 B.-2x C.-10 D.2x 2.若x=-2 π ，化简│x+1│-│x+2│+│x+3│-│x+4│+…-│x+10│得（ ） A.2x+7 B.2x-7 C.-2x-7 D.-2x+7 3.绝对值小于3π的所有整数的乘积为（ ） A.9π2 B.3π C.π D.0 4.如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5.有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，c b b a b a -++++化简结果为（ ） A ．c b a -+32 B ．c b -3 C ．c b + D ．b c - 6.已知是有理数，且()()01212 2 =++-y x ，那以y x +的值是（ ） A ． 21 B ．23 C ．21或2 3 - D ．1-或23 7.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应 的数分别是整数d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 8.数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么c a +与d b +的大小关系是（ ） A ．d b c a +<+ B ．d b c a +=+ C ．d b c a +>+ D ．不确定的9．)]([c b a ---去括号应得（） A.c b a -+-; B.c b a +--; C.c b a ---; D.c b a ++-. 10．不改变ab a b b a ++--2223的值，把二次项放在前面有“＋”号的括号里，一次项放在前面有“－”号的括号里，下列各式正确的是（） A.)()23(22a b ab b a +-+++.B.（B ）)()23(22a b ab b a -----+. C.)()23(22a b ab b a --+-+.D.)()23(22a b ab b a --+++. 11．两个5次多项式相加，结果一定是（） A.5次多项式.B.10次多项式. C.不超过5次的多项式. D.无法确定.