第二章极限与连续
[单选题]
1、
若x0时，函数f(x)为x2的高阶无穷小量，则=（）
A、0
B、
C、1
D、∞
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【正确答案】 A
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【答案解析】
本题考察高阶无穷小.
根据高阶无穷小的定义，有.
[单选题]
2、
与都存在是函数在点处有极限的（）.
A、必要条件
B、充分条件
C、充要条件
D、无关条件
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【正确答案】 A
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【答案解析】
时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函
数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.
[单选题]
3、
（）.
A、
B、1
C、
D、0
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【正确答案】 A
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【答案解析】
[单选题]
4、
如果则（）.
A、0
B、1
C、2
D、5
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【正确答案】 D
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【答案解析】
根据重要极限,
[单选题]
5、
（）.
A、0
B、∞
C、2
D、-2
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【正确答案】 C
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【答案解析】
分子分母同除以，即
[单选题]
6、
（）.
A、0
B、∞
C、2
D、-2
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【正确答案】 C
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【答案解析】
[单选题]
7、
设，则（）.
A、
B、2
C、
D、0
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【正确答案】 B
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【答案解析】
[单选题]
8、
当时，与等价的无穷小量是（）. A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 B
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【答案解析】
由于故与等价,
推广，当时，
[单选题]
9、
时，与等价的无穷小量是（）. A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 A
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【答案解析】
由于，故与等价,
推广，当时，
[单选题]
10、
函数的间断点是（）.
A、x=6、x=-1
B、x=0、x=6
C、x=0、x=6、x=-1
D、x=-1、x=0
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【正确答案】 C
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【答案解析】
由于, 所以的间断点是x=0，x=6，x=-1.
[单选题]
11、
设,则是的（）.
A、可去间断点
B、跳跃间断点
C、无穷间断点
D、连续点
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【正确答案】 A
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【答案解析】
，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，
故为可去型间断点.
[单选题]
12、
计算（）.
A、
B、
C、
D、
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【正确答案】 D
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【答案解
析】
[单选题]
13、
计算（）.
A、
B、
C、
D、1
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【正确答案】 A
【您的答案】您未答题
【答案解析】
[单选题]
14、
（）.
A、1
B、﹣1
C、2
D、﹣2
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【正确答案】 B
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【答案解
析】
[单选题]
15、
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
求极限的常用方法典型例题 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =2 1613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即 x x x 1 0)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即
222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+?
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： ε δεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即
x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x
【极限】 一、数列极限 1）数列的单调性 对于数列﹛x n ﹜,如果有x n ≤x 1 +n （即x 1 ≤x 2 ≤····≤x n ≤···）, n ≥1，则称﹛x n ﹜是单调增加 的；若x n ≥x 1 +n ，n ≥1，则称﹛x n ﹜是单调减少的。 2）数列的有界性 如果对于数列﹛x n ﹜，存在正整数M ，使得对每一 个x n 都满足 n x ≤M ，则称数列﹛x n ﹜是有界的；如果这样的数不 存在，则称数列﹛x n ﹜是无界的。 例: ﹛n 1﹜, ﹛﹙﹣1﹚1 +n ﹜，﹛2 1n n +﹜是有界的， ﹛n 2 ﹜是无界的 3）数列的极限 对于数列﹛x n ﹜，如果当n →∞时，x n 无限的趋于 一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷大时，数列﹛x n ﹜以常数A 为极限，或称数列﹛x n ﹜收敛于A ， 记作： n x n lim ∞ →＝A 或x n →A （当n →∞时） 否则称数列﹛x n ﹜没有极限，如果数列﹛x n ﹜没有极限，就称数列
﹛x n ﹜是发散的。 4）数列极限的性质 定理1：若数列﹛x n ﹜收敛，则其极限值必定唯一 定理2：若数列﹛x n ﹜收敛，则它必定有界（反之 不对！！） 5）数列极限的存在准则 定理3：（两边夹定理） 若数列﹛x n ﹜，﹛y n ﹜, ﹛z n ﹜满足下列条件： ①y n ≤x n ≤z n ，n ＝1,2，···· ②lim ∞ →n x n ＝A ，n z n lim ∞ →＝A 那么，数列﹛x n ﹜的极限存在，且n x n lim ∞ →＝A 定理4：若数列﹛x n ﹜为单调有界数列，则n x n lim ∞ →存在 6）数列极限四则运算 定理5：若n x n lim ∞ →＝A n y n lim ∞ →＝B 则 ①lim ∞ →n (n x ±y n )＝lim ∞ →n n x ±lim ∞ →n y n ＝A ±B ②lim ∞ →n (n x ·y n )＝lim ∞ →n n x ·lim ∞ →n y n ＝AB
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且；5)13(lim 2 =-→x x ；???≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,) ()(lim 成立此时需≠= B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim =→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim =→x x x ，e x x x =--→21 ) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有：
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
求极限的方法总结 1．约去零因子求极限 例1：求极限11lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】4)1)(1(lim 1) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x 习题：2 33 lim 9x x x →-- 22121lim 1x x x x →-+- 2．分子分母同除求极限 例2：求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 【说明】∞∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除．．．．．．．．x ．的最高次方；．．．．．．且一般．．．x ．是趋于无穷的．．．．．． ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 习题 3232342 lim 753x x x x x →∞+++- 2324n 1lim n n n n n →∞+++- 1+13l i m 3n n n n n +→∞++（-5)（-5) n n n n n 323)1(lim ++-∞→
3．分子(母)有理化求极限 例1：求极限) 13(lim 22+-++∞→x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例2：求极限30 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】 x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 习题：2 lim 1 x x x x →∞ +-+ 12 13lim 1 --+→x x x 4.用函数的连续求极限（当函数连续时，它的函数值就是它的极限值．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ） 22 034lim 2x x x x →+++ 【其实很简单的】 5.利用无穷小与无穷大的关系求极限 例题 3 3lim 3x x x →+- 【给我最多的感觉，就是：当取极限时，分子不为 0而分母为0时 就取倒数！】 6. 有界函数与无穷小的乘积为无穷小 例题 s i n l i m x x x →∞ , arctan lim x x x →∞
第一节极限的定义二、两个重要极限三、无穷小的比较二、初等函数的连续性三、闭区间上连续函数的性质五、函数连续性的定义***** 六、函数的间断点间断点分类: 例如: 内容小结练习备用题确定函数间断点的类型. 2. 求三、极限3. 无穷小例6. 求下列极限：令例7. 确定常数a , b , 使显然为其可去间断点. (4) (5) 为其跳跃间断点. 左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式⑸利用分子、分母消去共同的非零公因子求形式的极限；⑹利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求形式的极限；⑺利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限；⑻利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4. 定理左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性, 极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 二、学法建议1 ．本章的重点是极限的求法及函数在一点的连续的概念，特别是求极限的方法，灵活多样．因此要掌握这部分知识，建议同学自己去总结经验体会，多做练习．2 ．本章概念较多，且互相联系，例如：收敛，有界，单调有界；发散，无界;无穷大, 极限，无穷小，连续等．只有明确它们之间的联系，才能对它们有深刻的理解，因此同学们要注意弄清它们之间的实质关系．3 ．要深刻理解在一点的连续概念，即极限值等于函数值才连续．千万不要求到极限存在就下连续的结论; 特别注意判断分段函数在分段点的连续性．三、例题精解例1 求下列极限: (1) (2) (3) (4) (5) 例2 设问当为何值时，
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→解：原式 11)32(1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。
3．两个重要极限 （1） 1 sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210 ) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 利用两个重要极限求极限 例5 2 03cos 1lim x x x -→解：原式= 61 )2(122sin 2lim 32sin 2lim 2 2 02 2 0=?=→→x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例 6 x x x 2 ) sin 31(lim -→=6 sin 6sin 31 sin 6sin 310 ] ) sin 31[(lim ) sin 31(lim ---→-? -→=-=-e x x x x x x x x x x 例7 n n n n )12(lim +-∞→= 31 331 1 331])131[(lim )131(lim -+--+∞→+-?-+∞→=+-+=+-+ e n n n n n n n n n n 。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0 x x →时的无穷小，且)(x f ～ )(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当 ) () (lim 110 x g x f x x →存在时， )() (lim x g x f x x →也存在且等于 ) (x f ) ()(lim 110 x g x f x x →，即 )() (lim x g x f x x →=)()(lim 11 0x g x f x x →。
第一章 函数.极限和连续 第一节 函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类） （1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）； （3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1） （5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 《 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节 极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0|
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。
8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 解：原式11)32 (1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m
极限与连续习题 一．填空题 1. 当0→x 时，x cos 1-是2x 的_______________无穷小量. 2. 0x =是函数x x x f sin )(= 的___________间断点. 3. =-→x x x 20)11(lim ___________。 4. 函数11arctan )(-=x x f 的间断点是x =___________。 5. =--→x x e x x x sin )1(lim 20___________. 6. 已知分段函数sin ,0(),0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 7. 由重要极限可知，()1 lim 1+2x x x →=___________. 8. 已知分段函数sin ,0()2,0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 9. 由重要极限可知，1lim (1)2x x x →+∞+=___________. 10. 知分段函数()sin 1,1()1,1x x f x x x b x -?>?=-??-≤? 连续，则b =___________. 11. 由重要极限可知，1 0lim(12)x x x →+=___________. 12. 当x →1时，233+-x x 与2ln x x 相比，_______________是高阶无穷小量. 13. 251lim 12n n n -→∞??- ???=___________.
14. 函数2 2(1)()23x f x x x +=--的无穷间断点是x =___________. 15. 0tan2lim 3x x x →=___________. 16. 351lim 12n n n +→∞??- ???=___________. 17. 函数2 2(1)()23 x f x x x +=--的可去间断点是x =___________. 18. 2 01cos lim x x x →-=___________. 19. 253lim 12n n n +→∞??+ ???=___________. 20. 函数221()34 x f x x x -=+-的可去间断点是x =___________. 21. 当0x →时，sin x 与3x 相比，_______________是高阶无穷小量. 22. 计算极限22 1lim 1n n n +→∞??+ ???=___________. 23. 设函数()21,0,0x x f x x a x +>?=?-≤? ，在0x =处连续, 则a =__________ 24. 若当1x →时, ()f x 是1x -的等价无穷小, 则1()lim (1)(1) x f x x x →=-+_______ . 25. 计算极限1lim 1x x x →∞??- ???=__________. 26. 设e ,0,(),0.x x f x x a x ?≤=?+>? 要使()f x 在0x =处连续, 则 a = . 27. . 当x →0时，sin x x -与x 相比， 是高阶无穷 小量.
1、常用等价无穷小：当0x →时， sin x x :，tan x x :，arcsin x x :， 2 11cos 2 x x -:，ln(1+x)~x ，ex-1~x ，(1+x)a-1~ax ，ax-1~xlna ） 2、泰勒公式（麦克劳林公式） n n x n f x f x f f x f ! )0( !2)0()0()0()()(2+???+''+ '+≈ n x x n x x e ! 1 !2112+???+++≈ )()!12()1(!51!31sin 212153x R x m x x x x m m m +--+???++-=-- 3、洛必达法则 定理1 （洛必达法则Ⅰ）若函数)(),(x g x f 满足条件： (1) ;0)(lim ,0)(lim ==x g x f (2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='') () (lim (或∞) 则 A x g x f x g x f =='') () (lim )()(lim (或∞). 定理2 （洛必达法则Ⅱ）若函数)(),(x g x f 满足条件： (1) ;)(lim ,)(lim ∞=∞=x g x f (2) )(),(x g x f 在点0x 的某个邻域内(点0x 可除外)可导,且0)(0≠'x g ; (3) A x g x f ='') () (lim (或∞) 则 A x g x f x g x f =='') () (lim )()(lim (或∞). 4、定积分定义 定积分是用极限来定义的