数列知识点总结及题型归纳总结
高三总复习----数列
一、数列的概念
（1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数
列；
数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n
a ，在数
列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n
a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n
a 。
例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;
(2)2010年各省参加高考的考生人数。
（2）通项公式的定义：如果数列}{n
a 的第n 项与n
之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。
例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，…
②：5
1
4131211，，，，… 数列①的通项公式是n
a = n （n ≤7，n N +
∈），
数列②的通项公式是n a = 1n
（n N +
∈）。 说明：
①{}n
a 表示数列，n
a 表示数列中的第n 项，n
a = ()f n 表
示数列的通项公式；
② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n
a = (1)n
-=1,21
()1,2n k k Z n k
-=-?∈?+=?
； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，
1.41，1.414，……
（3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9
上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一
个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +
（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n
a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。
例：画出数列12+=n a n
的图像.
（4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：
有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。
例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常
数列、摆动数列？
（1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8,
7, 6, 5, …
(3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a,
a,…
（5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n
a 的关系：
1
1(1)(2)n n
n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n
a 的前n 项和3
22+=n s
n
，求数列}{n
a 的通
.
5.观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为 .
A．40个 B．45个 C．50个 D．55个
二、等差数列
题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为
1
(2)
n n
a a d n
-
-=≥或1(1)
n n
a a d n
+
-=≥。
例：等差数列1
2-
=n
a
n
，=
-
-1
n
n
a
a
题型二、等差数列的通项公式：
1
(1)
n
a a n d
=+-；
说明：等差数列（通常可称为A P数列）的单调性：d0>为递
增数列，0
d=为常数列，0
d<为递减数列。
2条直
线相
3条直
线相
4条直
线相
（1（4（7（（
例：1.已知等差数列{}n
a 中，12
497116a a a a ，则，==+等于（ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
2.{}n
a 是首项1
1
a
=，公差3d =的等差数列，如果2005
n
a
=，
则序号n 等于
（A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）
670
3.等差数列12,12+-=-=n b n a n
n
，则n
a 为 n
b 为 （填“递增数列”或“递减数列”） 题型三、等差中项的概念：
定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差
中项。其中2
a b
A += a ，A ，b 成等差数列?2
a b A += 即：2
1
2+++=n n n a a a
（m
n m
n n
a a a +-+=2） 例：1．（14全国I ）设{}n
a 是公差为正数的等差数列，若
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75
2.设数列{}n
a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，
前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A ．1 B.2 C.4 D.8
题型四、等差数列的性质：
（1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项
的等差中项；
（2）在等差数列{}n
a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差
数列；
（3）在等差数列{}n
a 中，对任意m ，n N +
∈，()n
m
a a n m d =+-，n m
a a d n m
-=-()m n ≠； （4）在等差数列{}n
a 中，若m ，n ，p ，q N +
∈且m n p q +=+，则
m n p q
a a a a +=+；
题型五、等差数列的前n 和的求和公式：
11()(1)22
n n n a a n n S na d +-=
=+n d
a ）（2n 2112-+=。(),(2为常数B A Bn
An S
n
+=?{}
n a 是
等差数列 )
递推公式：2
)(2)()1(1n
a a n a a S
m n m n n
--+=+=
例：1.如果等差数列{}n
a 中，3
4512
a
a a ++=，那么1
2
7...a a
a +++=
（A ）14 （B ）21 （C ）28
（D ）35
2.（2015湖南卷文）设n
S 是等差数列{}n
a 的前n 项和，
已知2
3
a
=，6
11
a
=，则7
S 等于( )
A ．13
B ．35
C ．49
D ． 63
3.（2015全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，
若9
72
S
=,则2
49
a
a a ++=
4.（2015重庆文）（2）在等差数列{}n
a 中，1
9
10
a a
+=，则
5
a 的值为（ ）
（A ）5 （B ）6 （C ）8
（D ）10
5.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A.13项
B.12项
C.11项
D.10项
6.已知等差数列{}n
a 的前n
项和为
n
S ，若
=+++=11
85212
21a a a a S ，则
7.（2014全国卷Ⅱ理）设等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，
若5
3
5a
a =则95
S S
= 8．（2014全国）已知数列｛b n ｝是等差数列，b 1=1，
b 1+b 2+…+b 10=100.
（Ⅰ）求数列｛b n ｝的通项b n ；
9.已知{}n
a 数列是等差数列，10
10
=a
，其前10项的和
70
10=S ，则其公差d 等于( )
3
1
3
2
-
-
．．B A C.31 D.3
2
10.（2015陕西卷文）设等差数列{}n
a 的前n 项和为n
s ,若6
312
a s ==,则n
a =
11．（2013全国）设｛a n ｝为等差数列，S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，已知S 7＝7，S 15＝75，T n 为数列｛n S n
｝的前n
项和，求T n 。
12.等差数列{}n
a 的前n 项和记为n
S ，已知50
302010
==a a
，
①求通项n
a ；②若n
S =242，求n
13.在等差数列{}n
a 中，（1）已知812
148,168,S S
a d
==求和；（2）
已知658810,5,a S a S ==求和；(3)已知31517
40,a a S +=求
题型六.对于一个等差数列：
（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1
n
n S a
S a
+=
奇
偶
； （2）若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n
a
a ==中
；
②1
S n
S n =
-奇偶
。
题型七.对与一个等差数列，n
n
n
n
n
S S S S S 232,,--仍成等差数列。 例：1.等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（ ）
A.130
B.170
C.210
D.260
2.一个等差数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，则前3n 项的和为 。
3．已知等差数列{}n
a 的前10项和为100，前100项和
为10，则前110项和为
4.设n
S 为等差数列{}n
a 的前n 项和，9
7104
3014S S S S
，则，=-==
5．（2015全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，
若3
6
S S ＝13
，则6
12
S
S ＝ A ．310 B ．13 C ．1
8
D ．19
题型八．判断或证明一个数列是等差数列的方法：
①定义法：
）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}
n a 是等差数列
②中项法：
)22
1*++∈+=N n a a a n n n （?{}
n a 是等差数列
③通项公式法：
),(为常数b k b
kn a n +=?{}
n a 是等差数列 ④前n 项和公式法：
),(2为常数B A Bn
An S n +=?{}
n a 是等差数列
例：1.已知数列}{n
a 满足21
=--n n
a a ，则数列}{n
a 为 （ ）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列
也不是等比数列 D.无法判断
2.已知数列}{n
a 的通项为52+=n a n
，则数列}{n
a 为 （ ）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列
也不是等比数列 D.无法判断
3.已知一个数列}{n a 的前n 项和422
+=n s n ，则数列}{n
a 为（ ）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列
也不是等比数列 D.无法判断
4.已知一个数列}{n a 的前n 项和2
2n s n =，则数列}{n
a 为（ ）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列
也不是等比数列 D.无法判断
5.已知一个数列}{n
a 满足0212=+-++n n n a a a ，则数列}{n
a 为（ ）
A.等差数列
B.等比数列
C.既不是等差数列
也不是等比数列 D.无法判断
6.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n
n n a a a a ，且 （*
∈N n ）
①求数列{}n
a 的通项公式；
7．（14天津理，2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2
，则{a n }是（ ）
A.等比数列，但不是等差数列
B.等差数
列，但不是等比数列
C.等差数列，而且也是等比数列
D.既非
等比数列又非等差数列
题型九.数列最值
（1）1
0a >，0d <时，n
S 有最大值；10a <，0d >时，n
S 有最小值； （2）n S 最值的求法：①若已知n S ，n
S 的最值可求二次函数
2n S an bn
=+的最值；
可用二次函数最值的求法（n N +
∈）；②或者求出{}
n
a 中的正、负分界项，即：
若已知n
a ，则n
S 最值时n 的值（n N +
∈）可如下确定
10
n n a a +≥??
≤?或1
n
n a a
+≤??
≥?
。 例：1．等差数列{}n
a 中，
12
91
0S S a =>，，则前 项
的和最大。
2．设等差数列{}
n a 的前n
项和为
n
S ，已知
001213
12
3
<>=S S a ，，
①求出公差d 的范围，
②指出12
2
1
S S S ，，
， 中哪一个值最大，并说明理由。
3．（12上海）设｛a n ｝（n ∈N *
）是等差数列，S n 是其前
n 项的和，且S 5＜S 6，S 6＝S 7＞S 8，则下列结论错误．．
的是
（ ）
A.d ＜0
B.a 7＝0
C.S 9＞S 5
D.S 6与S 7均
为S n 的最大值
4．已知数列{}n
a 的通项99
98
--
n n （*
∈N n ），则数列{}n
a 的前30
项中最大项和最小项分别是
5.已知}{n
a 是等差数列，其中1
31
a
=，公差8d =-。
（1）数列}{n
a 从哪一项开始小于0？
（2）求数列}{n
a 前n 项和的最大值，并求出对应n 的值．
6.已知}{n
a 是各项不为零的等差数列，其中1
a
>，公差
d <，若10
S
=,求数列}{n
a 前n 项和的最大值．
7.在等差数列}{n
a 中，1
25
a
=，17
9
S
S =，求n
S 的最大值．
题型十.利用
1
1(1)(2)
n n n S n a S S n -=?=?
-≥?求通项．
1.数列{}n
a 的前n 项和21
n
S
n =+．（1）试写出数列的前5项；（2）
数列{}n
a 是等差数列吗？（3）你能写出数列{}n
a 的通项公式吗？
2．已知数列{}n
a 的前n 项和，
142+-=n n S
n
则
3.设数列
}
{n a 的前n 项和为S n =2n 2
，求数列}{n
a 的通项公式；
4.已知数列{}n
a 中，，
31
=a
前n 和1)1)(1(2
1
-++=
n n
a n S
①求证：数列{}n
a 是等差数列
②求数列{}n
a 的通项公式
5.（2015安徽文）设数列{}n
a 的前n 项和2
n
S
n =，则8
a 的值为（ ）
（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）64
等比数列
等比数列定义
一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．
，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1
n a +：(0)n
a q q =≠。
一、递推关系与通项公式
m
n m n n n n n q a a q a a a a --+?=?==推广：通项公式：递推关系：111q
1． 在等比数列{}n
a 中,2,41
==q a ，则=n
a 2． 在等比数列{}n
a 中
,712,a q ==则19
_____.a = 3.（2014重庆文）在等比数列{a n }中，a 2＝8，a 1＝64，，
则公比q 为（ ）
（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）8 4.在等比数列{}n
a 中，2
2
-=a
，54
5
=a
，则8
a =
5.在各项都为正数的等比数列{}n
a 中，首项1
3
a
=，前三项
和为21，则3
45a a a ++=
（ ）
A 33
B 72
C 84
D 189
二、等比中项：若三个数c b a ,,成等比数列，则称b 为c a 与的等比中项，且为ac
b a
c b =±=2，注：是成等比数列的必要而不充分
条件.
例：1.
2+2-( )
()1A ()1B -
()1
C ±
()2
D
2.（2013重庆卷文）设{}n
a 是公差不为0的等差数
列，1
2
a
=且1
3
6
,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n
S =（ ）
A ．
2744
n n + B ．
2533
n n
+ C ．
2324
n n
+ D ．2
n
n
+
三、等比数列的基本性质， 1.（1）q p n m
a a a a q p n m ?=?+=+，则若)
,,,(*∈N q p n m 其中
（2）
)(2
*+--∈?==
N n a a a a a q m n m n n m
n m n ，
（3）{}n
a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.
（4）{}n
a 既是等差数列又是等比数列?{}n
a 是各项不为零的
常数列.
例：1．在等比数列{}n
a 中,1
a 和10
a 是方程2
2510
x
x ++=的两个
根,则4
7a
a ?=
( )
5()2
A -
()
2
B
1()2
C -
1()
2
D
2. 在等比数列{}n
a ，已知5
1
=a
，100
10
9=a
a ，则18
a =
3.在等比数列{}n
a 中，1
4361
3233+>==+n n a a a a a a
，，
①求n
a
②若n
n n
T a a a T
求,lg lg lg 21+++=
4.等比数列
{}
n a 的各项为正数，且
5647313231018,log log log a a a a a a a +=++
+=
则（ ）
A ．12
B ．10
C ．8
D ．2+3
log 5 5.（2014广东卷理）已知等比数列{}n
a 满足0,1,2,
n
a n >=，
且
25252(3)
n n a a n -?=≥，则当1n ≥时，2
123221log
log log n a a a -+++= （ ）
A. (21)
n n - B. 2
(1)n + C.
2
n D.
2
(1)n -
2.前n 项和公式
)
1(11)1()1(111
≠???
??--=
--==q q q
a a q
q a q na S n n n
例：1.已知等比数列}{n
a 的首相5
1
=a
，公比2=q ，则其前n 项和=n
S
2.已知等比数列}{n
a 的首相5
1
=a
，公比2
1=q ，当项数n 趋近与无穷大时，其前n 项
和=n
S
3.设等比数列}{n
a 的前n 项和为n
S ，已,62=a 3063
1=+a a ，
求n a 和n
S
4．（2015年北京卷）设4710310
()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于（ ）
A ．2(81)
7
n
- B ．1
2
(81)
7
n +- C ．3
2
(81)
7
n +-
D ．4
2
(81)
7
n +-
5．（2014全国文，21）设等比数列｛a n
｝的前n 项和
为S n
，若S 3
＋S 6
＝2S 9
，求数列的公比q ；
6．设等比数列}{n
a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S-
n
，S n+2成等差数列，则q
的值为 .
3.若数列{}n
a 是等比数列，n
S 是其前n 项的和，*
N k ∈，那么k
S ，k
k
S S -2，k
k S S 23-成等比数列.
例：1.（2014辽宁卷理）设等比数列{ n
a }的前n 项和为
n
S ，若 63
S S =3 ，则 6
9S S =
A. 2
B. 7
3
C. 83
D.3 2.一个等比数列前n 项的和为48，前2n 项的和为60，
则前3n 项的和为（ ）
A ．83
B ．108
C ．75
D ．63 3.已知数列{}n
a 是等比数列，且=
==m m m
S S S
323010，则，
4.等比数列的判定法 （1）定义法：?=+（常数）q a a n
n 1{}
n a 为等比数列；
（2）中项法：?≠?=++)0(2
21
n n n n a a a a
{}
n a 为等比数列；
（3）通项公式法：??=为常数）q k q k a n n
,({}
n a 为等比数列； （4）前n 项和法：?-=为常数）（q k q k S
n n
,)1({}
n a 为等比数列。
?-=为常数）（q k kq k S n n ,{}
n a 为等比数列。
例：1.已知数列}{n
a 的通项为n
n
a
2=，则数列}{n
a 为 （ ）