公式号 6.1 图6-1
第六章 单元形函数的讨论
在有限单元法的基本理论中，形函数是一个十分重要的概念，它不仅可以用作单元的内插函数，把单元内任一点的位移用结点位移表示，而且可作为加权余量法中的加权函数，可以处理外载荷，将分布力等效为结点上的集中力和力矩，此外，它可用于后续的等参数单元的坐标变换等。
根据形函数的思想，首先将单元的位移场函数表示为多项式的形式，然后利用结点条件将多项式中的待定参数表示成场函数的结点值和单元几何参数的函数，从而将场函数表示成结点值插值形式的表达式。在本节中，重点讨论几种典型单元的形函数插值函数的构造方式，它们具有一定的规律。然后以平面三角形单元为例，讨论了形函数的性质，在此基础上分析了有限元的收敛准则。
6.1形函数构造的一般原理
单元的类型和形状决定于结构总体求解域的几何特点、问题类型和求解精度。根据单元形状,可分为一维、二维、三维单元。单元插值形函数主要取决于单元的形状、结点类型和单元的结点数目。结点的类型可以是只包含场函数的结点值，也可能还包含场函数导数的结点值。是否需要场函数导数的结点值作为结点变量一般取决于单元边界上的连续性要求，如果边界上只要求函数值保持连续，称为C0型单元，若要求函数值及其一阶导数值都保持连续，则是C1型单元。
在有限元中，单元插值形函数均采用不同阶次的幂函数多项式形式。对于C0型单元，单元内的未知场函数的线性变化仅用角（端）结点的参数来表示。结点参数只包含场函数的结点值。而对于C1型单元，结点参数中包含场函数及其一阶导数的结点值。与此相对应，形函数可分为Lagrange 型（不需要函数在结点上的斜率或曲率）和Hermite 型（需要形函数在结点上的斜率或曲率）两大类，而形函数的幂次则是指所采用的多项式的幂次，可能具有一次、二次、三次、或更高次等。
另外，有限元形函数[N ]是坐标x 、y 、z 的函数，而结点位移不是x 、y 、z 的函数，因此静力学中的位移对坐标微分时，只对形函数[N ]作用，而在动力学中位移对时间t 微分时，只对结点位移向量作用。
（1）一维一次两结点单元
图6.8 一维一次两结点单元模型
设位移函数u (x )沿x 轴呈线性变化,即x a a x u 21)(+=
(6.90)
写成向量形式为
[]?
??
???=211)(a a x x u (6.91)
设两个结点的坐标为j i x x ,；两结点的位移分别为j i u u ,，可以代入上式并解出21,a a ，得
???????????
?=??????-j i j i u u x x a a 1
2111
(6.92)
i x
j x
位移函数u (x )记作形函数与结点参数乘积的形式
[]???
????????
?=-j i j i u u x x x x u 1
111)( (6.93)
得到形函数为
[][][]
???
?
????----==--=??????=-i
j i i j j j i i j j
i j i x x x x x x x x N N x x x x x x x x x N 111
111][1
(6.94) 在自然坐标系内进行定义，则可得到形函数的标准化形式
[]
???
???+-==212
1][ξξj i N N N (6.95) 其中，自然坐标的变换公式为ξξ-=+==1,1,221L L L 。
图6.9一维一次两结点单元的局部坐标表达
（2）二维一次三结点单元（平面三角形单元） 在总体坐标系统下，任一点的某一方向的位移是
123(,)u x y a a x a y =++ (6.96)
设三个结点的坐标是()()
()k k j j i i y x y x y x ,,,,,，k j i u u u ,,为三个结点在某方向上的位移，具有如下关系
[]??
???
?????????????
??=?????????????????????=-k j i k k j j i i u u u y x y x y x a a a a a a y x u 1
3213211111 (6.97)
得到形函数矩阵如下式
[]1
1111-???
?
?
?????=k k j j i i y x y x y x y x N (6.98)
上述推导可用如下MATLAB 程序实现： clear
v=sym('[1, x,y]')
m=sym('[1,x1,y1;1,x2,y2;1,x3,y3]') mm=inv(m) N=v*mm
simplify(factor(N))
（3）三维一次四结点单元（三维四面体单元） 在总体坐标系统下，任一点的某一方向的位移是
z a y a x a a x u 4321)(+++= (6.99) 按相似的方法可以得到
-=i x j
[][]???
?
???
??????????
?
??
?????
???=??????????????=?????
??
???????=-e k j i e e e k k k j j j i i i e k j i u u u u z y x z y x z y x z y x z y x u u u u N a a a a z y x u 1
432111111][1 (6.100) 形函数矩阵如下式
[]1
1111-???
?
??????=k k j j i i y x y x y x y x N (6.101)
（4）一维二次三结点单元（高次单元）
图6.10一维二次三结点单元模型
设位移函数为
[]
??
?
???????=++=321223211a a a x x x a x a a u (6.102)
用结点位移k j i u u u ,,代入并求解{}T a a a 321,??
???
?????????????????=??????????321222
111a a a x x x x x x u u u k i k j j i k j i
(6.103)
得到[]
()()()()()()()()()()()()????
?
?????????????------------=??
????????????????????=-k j i j k i k j i k j i j k i k i j i k j k j i k j j i u u u x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x u u u x x x x x x x x u k i 1
22
221111 (6.104)
上式等号右端第一项矩阵即为形函数。
（5
i
j k l
图6.11 一维三次四结点单元模型
位移函数为三次方程
[]
???
?
??????????=4321321a a a a x x x u (6.105)
需要四个结点参数才能唯一地确定其中的常系数。这四个结点可以分别取两个端点和两个三分点。
类似地，可以得到如下形函数方程
i
j
k
[]
{}{}Φ=Φ=?
??
?
???
???????????????????
????=-],,,[][1
11111
323232323
2l k j i l k j i l l k k j j j i N N N N N u u u u x x x x x x x x x x x x x x x u l k i i (6.106) 其中形函数中的各元素为()()()()()()l i k i j i l k j i x x x x x x x x x x x x N ------=
，()()()()()()
l j k j i j l k i j x x x x x x x x x x x x N ------=，
()()()()()()l k j k i k l j i k x x x x x x x x x x x x N ------=
，()()()
()()()
k l j l i l k j i l x x x x x x x x x x x x N ------=. (6.107)
（6
这类单元的位移函数为
[]
???
?
????????=4321321a a a x x x u (6.108)
对应的转角方程为
[]
??
?
??
??
???????==432123210a a a a x x dx du θ (6.109) 用结点参数{}{}
T j i j i u u θθφ=代入求解{}4321a a a a ，即
????
???????????????????????
?=?????????????????????????????????????
??
????=??????????????-j i j i j j i i j j j i j j i i j j j i j i j i u u x x x x x x x x x x a a a a a a a a x x x x x x x x x x u u i i i i θθθθ1
22
3
2324321
43212232
3
2
32103210113210321011 (6.110) 得到
[]???
?
???
??????????
???
?
???????=-j i j i j j i i j j j i u u x x x x x x x x x x x x x u i
i
θθ1
2
23232
32321
321011
1{}{}Φ=Φ===][][j i uj ui N N N N N θθ (6.111) 其中形函数矩阵中各元素为
()()
()
3
2
32j
i
j i j ui x x x x x x x N -+---=
，()()
()
3
232j
i
i j i uj x x x x x x x N -+--=
()()()
2
j
i
j i i x x x x x x N ---=
θ，()()
()
2j
i
j i j x x x x x x N ---=
θ (6.112)
上述结果可用MATLAB 程序进行验证： clear
x=sym('x'); j=0:3;
v=x.^j % v=[1 x x^2 x^3];
m=sym('[1,x1,x1^2,x1^3;1,x2,x2^2,x2^3;0,1,2*x1,3*x1^2;0,1,2*x2,3*x2^2]') mm=inv(m) N=v*mm;
simplify(factor(N))
（7）二维一次四结点单元（平面四边形单元或矩形单元） 用形函数表达的位移方程如下
[][][]{}
Φ=???
???
?
????????
??
????????
??
?=?????
??
???????=-l k j i l k j i l l l l k k k
k j j j
j i i i i N N N N u u u u y x y x y x y x y x y x y x y x xy y x a a a a xy y x u 1
4321111111 (6.113) 其中形函数矩阵的元素为
)
)(()
)((212122y y x x y y x x N i ----=
，i =1,2,3,4 (6.114)
对于平面四边形单元和矩形单元,可用局部坐标系统很好地加以解释。局部坐标的范围定义为-1~+1,四个结点的值固定。局部坐标系下的形函数为
4
)
1)(1(ηξ--=
i N
(6.115)
-1,-1
1,-1
图6.13 二维一次四结点单元
（8）三维一次八结点单元（Brick 单元）
在三维一次单元形函数中，函数值沿三坐标轴（x 、y 、z 轴）呈线性变化。假设位移函数沿各坐标轴的线性变化),,(z y x u u =可写成
xyz a yz a xz a xy a z a y a x a a u 87654321+++++++= (6.116)
假设在i 结点的位移值为u i ，并将数值代入上式，其他各结点(j,k,l,m,n,p,q )亦类推，共有8个式子，其中第1式如下
i i i i i i i i i i i i z y x a z y a z x a y x a z a y a x a a u 87654321+++++++= (6.117) 可是以求得系数解
??????
?
??????
????????????????
?
?
?
??
?
???
?
????????????
?=??????????????????????????-q p n m l k j i q q q q q q q q q q q
q p p p p p p p p p p p p n n n n n n n n n n n n m m m m m m m m m m m m l l l l l l l l l l l l k k k k k k k k k k k k j j j j j j j j j j j j i
i i i i i i i i i i i u u u u u u u u z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x a a a a a a a a 1
8765432111111111 (6.118) 则有
[]??????
?
??????
????????????????
?
?
?
??
?
???
?
??????
??????
?=-q p n m l k j i q q q q q q q q q q q
q p p p p p p p p p p p p n n n n n n n n n n n n m m m m m m m m m m m m l l l l l l l l l l l l k k k k k k k k k k k k j j j j j j j j j j j j i
i i i
i i i i i i i i u u u u u u u u z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x xyz yz xz xy z y x u 1
11111
1111 (6.119) 最后得到形函数的表达式为
[]1
11111
1111][-???
?
?
?
?
?
?
???
?
??????
??????
?=q q q q q q q q q q q
q p p p p p p p p p p p p n n n n n n n n n n n n m m m m m m m m m m m m l l l l l l l l l l l l k k k k k k k k k k k k j j j j j j j j j j j j i
i i i i i i i i i i i z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x z y x z y z x y x z y x xyz yz xz xy z y x N (6.120)
（9）帕斯卡三角形
上述各种位移函数的构造有一定的规律，可以根据所谓的帕斯卡三角形加以确定，同时，这样制定的位移模式，还能够满足有限元的收敛性要求。以下是几种典型情况。
一维两结点单元的情况：
一维三结点单元的情况：
图6.15 一维三结点单元的变量组成
二维高阶单元的情况：
12
2
3
2
23
4
3
2
2
3
4
5
432234
5
x y x xy
y x x y
xy
y x x y x y xy
y x x y x y x y xy y
图6.17 三维四结点单元的变量组成
6.2形函数的性质
下面以平面三角形单元为例讨论形函数的一些性质。平面三角形单元的形函数为
()N a b x c y i i i i =
++1
2?
， （i =1, 2 , 3） (a) 其中，3
3
22
1
1
11
12y x y x y x =?，?为三角形单元的面积，i i i c b a ,,为与结点坐标有关的系数，它们分别等于?2公式中的行列式的有关代数余子式，即a 1 、b 1 、c 1 ，a 2 、b 2 、c 2 和a 3 、b 3 、c 3 分别是行列式?2中的第一行、第二行和第三行各元素的代数余子式。
对于任意一个行列式, 其任一行（或列）的元素与其相应的代数余子式的乘积之和等于行列式的值，而任一行（或列）的元素与其他行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。因此有：
常数项 线性项 二次项
三次项 四次项 五次项
第一，形函数在各单元结点上的值，具有“本点是1、它点为零”的性质，即在单元结点1上，满足
()()121
, 11111111=++?
=
y c x b a y x N (b) 在结点2、3上，有
()()021
, 21211221=++?=
y c x b a y x N (c) ()()021
, 31311331=++?
=y c x b a y x N (d) 类似地有
()()()()()()1
, , 0 , , 0 , 0 , , 1 , , 0 ,333223113332222112======y x N y x N y x N y x N y x N y x N (e)
第二，在单元的任一结点上，三个形函数之和等于1，即
()()()
()()()()[]121
21
, , , 33321321333222111321=++++++++?=++++++++?=
++y c c c x b b b a a a y c x b a y c x b a y c x b a y x N y x N y x N i (f) 简记为
1321=++N N N (g)
这说明，三个形函数中只有二个是独立的。
第三，三角形单元任意一条边上的形函数，仅与该边的两端结点坐标有关、而与其它结点坐标无关。例如，在23 边上有
()()()0, ,, ,1,31
21
21211=--=---
=y x N x x x x y x N x x x x y x N (h)
这一点利用单元坐标几何关系很容易证明。
根据形函数的这一性质可以证明，相邻单元的位移分别进行线性插值之后，在其公共边上将是连续的。例如，单元123和124具有公共边12。由上式可知，在12边上两个单元的第三个形函数都等于0，即
()()0,,43==y x N y x N (i) 不论按哪个单元来计算，公共边12上的位移均由下式表示
4
22113221100u v N v N v u u N u N u ?++=?++= (j)
可见，在公共边上的位移u 、v 将完全由公共边上的两个结点1、2的位移所确定，因而相邻单元的位移是保持连续的。
6.3用面积坐标表达的形函数
为了能够更好地理解形函数的概念，这里引入面积坐标。在如图6.18所示的三角形单元ijm 中，任意一点P (x , y )的位置可以用以下三个比值来确定
y x
图6.18 平面三角形单元的面积坐标
L L L i i
j j m m
===
??
??
??
(6.121) 式中，?——三角形单元ijm 的面积，?i 、?j 、?m ——三角形Pjm 、Pmi 、Pij 的面积。L i ，L j ，L m 叫做P 点的面积坐标。显然，这三个面积坐标不是完全独立的，这是由于
?i +?j +?m =? (6.122)
所以有
L i +L j +L m =1 (6.123)
对于三角形Pjm ，其面积为
()y c x b a y x y x y
x
i i i m
m
j j i ++==
?21
112
1
(6.124)
故有
()L a b x c y i i i i i =
=++???
12 (6.125) 类似地有
()
L a b x c y j j
j j j =
=
++???1
2 (6.126)
()L a b x c y m m m m m ==++???12 (6.127)
可见，前面讲述的平面三角形单元的形函数N i 、N j 、N m 等于面积坐标L i 、L j 、L m 。
容易看出，单元三个结点的面积坐标分别为
结点 i ： L i =1 L j =0 L m =0 结点 j ： L i =0 L j =1 L m =0 结点m ： L i =0 L j =0 L m =1
根据面积坐标的定义，平行于jm 边的某一直线上的所有各点都有相同的坐标L i ，并且等于该直线至jm 边的距离与结点i 至jm 边的距离之比，图6.18中给出了L i 的一些等值线。平行于其它边的直线也有类似的情况。
不难验证，面积坐标与直角坐标之间还存在以下变换关系：
x x L x L x L y y L y L y L L L L i i j j m m
i i j j m m i j m =++=++++=1
(6.128)
当面积坐标的函数对直角坐标求导时，有下列公式：
m
m
j j i i m m j j i i m m
j j i i m m j j i i L c L c L c L y L L y L L y L y L b L b L b L x L L x L L x L x ??
????????????????????
???????????????????+?+?=++=?+?+?=++=222222 (6.129)
求面积坐标的幂函数在三角形单元上的积分时，有
L L L dxdy i j m αβγαβγαβγ?
???
=
+++!!!
()!
22 (6.130)
式中, α、β、γ 为整常数。求面积坐标的幂函数在三角形某一边上的积分值时，有
L L ds l i j l
αβαβαβ?
=
++!!
()!
1 (6.131)
式中, l 为该边的长度。
6.4有限元的收敛准则
对于一个数值计算方法，一般总希望随着网格的逐步细分所得到的解答能够收敛于问题的精确解。根据前面的分析，在有限元中，一旦确定了单元的形状，位移模式的选择将是非常关键的。由于载荷的移置、应力矩阵和刚度矩阵的建立都依赖于单元的位移模式，所以，如果所选择的位移模式与真实的位移分布有很大的差别，会将很难获得良好的数值解。
可以证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确值要大。所以，在给定的载荷之下，有限元计算模型的变形将比实际结构的变形小。因此细分单元网格，位移近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。
为了保证解答的收敛性，位移模式要满足以下三个条件，即
⑴ 位移模式必须包含单元的刚体位移。也就是，当结点位移由某个刚体位移引起时，弹性体内将不会产生应变。所以，位移模式不但要具有描述单元本身形变的能力，而且还要具有描述由于其它单元形变而通过结点位移引起单元刚体位移的能力。例如，平面三角形单元位移模式的常数项α1、α4 就是用于提供刚体位移的。
⑵ 位移模式必须能包含单元的常应变。每个单元的应变一般包含两个部分：一部分是与该单元中各点的坐标位置有关的应变，另一部分是与位置坐标无关的应变（即所谓的常应变）。从物理意义上看，当单元尺寸无限缩小时，每个单元中的应变应趋于常量。因此，在位移模式中必须包含有这些常应变，否则就不可能使数值解收敛于正确解。很显然，在平面三角形单元的位移模式中，与α2、α3、α5、α6 有关的线性项就是提供单元中的常应变的。
⑶ 位移模式在单元内要连续、且在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元内的连续性要求总是得到满足的，单元间的位移协调性，就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。通常，当单元交界面上的位移取决于该交界面上结点的位移时，就可以保证位移的协调性。
在有限单元法中，把能够满足条件1和2的单元，称为完备单元；满足条件3的单元，叫做协调单元或保续单元。前面讨论过的三角形单元和矩形单元，均能同时满足上述三个条件，因此都属于完备的协调单元。在某些梁、板及壳体分析中，要使单元满足条件3会比较困难，实践中有时也出现一些只满足条件1和2的单元，其收敛性往往也能够令人满意。放松条件3的单元，即完备而不协调的单元，已获得了很多成功的应用。不协调单元的缺点主要是不能事先确定其刚度与真实刚度之间的大小关系。但不协调单元一般不象协调单元那样刚硬（即比较柔软），因此有可能会比协调单元收敛得快。
在选择多项式作为单元的位移模式时，其阶次的确定要考虑解答的收敛性，即单元的完备性和协调性要求。实践证明，虽然这两项确实是所要考虑的重要因素，但并不是唯一的因素。选择多项式位移模式阶次时，需要考虑的另一个因素是，所选的模式应该与局部坐标系的方位无关，这一性质称为几何各向同性。对于线性多项式，各向同性的要求通常就等价于位移模式必须包含常应变状态。对于高次位移模式，就是不应该有一个偏移的坐标方向，也就是位移形式不应该随局部坐标的更换而改变。经验证明，实现几何各向同性的一种有效方法是，可以根据巴斯卡三角形来选择二维多项式的各项。在二维多项式中，如果包含有对称轴一边的某一项，就必须同时包含有另一边的对
称项。
选择多项式位移模式时，还应考虑多项式中的项数必须等于或稍大于单元边界上的外结点的自由度数。通常取项数与单元的外结点的自由度数相等，取过多的项数是不恰当的。
6.5 等效结点载荷列阵
在结构有限元整体分析时，结构的载荷列阵{R }是由结构的全部单元的等效结点力集合而成，而
其中单元的等效结点力{R }e
则是由作用在单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到结点上，再逐点加以合成求得。本节以平面三角形单元为例，讨论集中力、表面力和体积力的等效移置方法以及如何形成结构等效载荷列阵，并与静力等效进行了对比。
6.5.1 单元载荷的移置
根据虚位移原理，等效结点力所做的功与作用在单元上的集中力、表面力和体积力在任何虚位移上所做的功相等，由此确定等效结点力的大小。对于平面三角形单元，有
{}{}???****++=tdxdy p d tds q d G d R T T T e
T e }{}{}{}{}{)}({δ (6.132)
式中，e }{*δ——单元结点虚位移列阵，}{*d ——单元内任一点的虚位移列阵；等号左边表示单元的等效结点力{R }e
所做的虚功；等号右边第一项是集中力{G }所做的虚功，等号右边第二项是面力{q }所做的虚功，积分沿着单元的边界进行；等号右边第三项表示体积力p 所做的虚功，积分遍及整个单元；t 为单元的厚度，假定为常量。
用形函数矩阵表示的单元位移模式方程为
e N d }]{[}{*δ=* (6.133)
代入式(6.132)，注意到结点虚位移列阵{δ*}e
可以提到积分号的外面，于是有
{}[]{}[][]({})({})({}{})δδ**=++???e T e
e T T
T
T
R N G N q tds N p tdxdy (6.134)
注意到({δ * }e ) T
的任意性，上式化简为
{R } e = {F } e +{Q } e +{P } e
(6.135)
其中
{F } e = N T
{G } (6.136)
{}[]{}Q N q tds e T =? (6.137) {}[]{}P N p tdxdy e T =?? (6.138)
式(6.134)右端括号中的第一项与结点虚位移相乘等于集中力所做的虚功，它是单元上的集中力移置
到结点上所得到的等效结点力，它是一个6×1阶的列阵，记为{F }e
。同理，式(6.134)右端括号中的第二项是单元上的表面力移置到结点上所得到的等效结点力，记为{Q }e
；第三项是单元上的体积力
移置到结点上所得到的等效结点力，记为{P }e
。
6.5.2 结构整体载荷列阵的形成
结构载荷列阵由所有单元的等效结点载荷列阵叠加得到。注意到叠加过程中相互联接的单元之间存在大小相等方向相反的作用力和反作用力，它们之间相互抵消，因此，结构载荷列阵中只有与外载荷有关的结点有值。下面逐项进行讨论。
（1）集中力的等效载荷列阵
逐点合成各单元的等效结点力，并按结点号码的顺序进行排列，组成结构的集中力等效载荷列阵，即
{}{}T T n T T
N
e e F F F F F }{211
==∑= (6.139)
上式中，单元e 的集中力的等效结点力为(记单元结点局部编号为i ,j ,m )
{}T T e m T e j T
e i e F F F F })()()({= (6.140)
式中
{}(){}F N G i e
i c = （i , j , m ） (6.141)
式中，(N i )c 、(N j )c 、(N m )c 为形函数在集中力作用点处的值。
（2）表面力的等效载荷列阵
把作用在单元边界上的表面力移置到结点上，得到各单元的表面力的等效结点力。按照结点号码的顺序进行排列，逐个结点叠加合成后，组成结构表面力的等效载荷列阵，即
{}{}T
T n T T
N
e e Q Q Q Q Q }{211
==∑= (6.142)
式中，
{}{}{}{}??
?
???????????=??????????=???tds q N tds q N tds q N Q Q Q Q m j i e m e j e i e
(6.143)
由于作用在单元边界上的内力在合成过程中已相互抵消，上式中的结点力只由作用在结构边界上的
表面力所引起。
（3）体积力的等效载荷列阵
与表面力类似，体积力的等效载荷列阵也是由单元体积力的等效结点力按结点号码顺序排列，在各结点处合成得到
{}{}T T n T T
N
e e P P P P P }{211
==∑= (6.144)
式中，单元e 的体积力的等效结点力为
{}{}{}{}??
?
????
???????=??????????=??????tdxdy p N tdxdy p N tdxdy p N P P P P m j i e m e j e i e
(6.145)
6.5.3载荷移置与静力等效关系
上述基于形函数的载荷等效所得到的结果与按照静力学的平行力分解原理得到的结果完全一致。
例如，如图6.19所示的单元e ，在ij 边上作用有表面力。假设ij 边的长度为l ，其上任一点P 距结点i 的距离为s 。根据面积坐标的概念，有
N L l s l s l i i ==
-=-1， N L s
l
j j ==， N L m m ==0 (a)
代入式(5.137)，求得单元表面力的等效结点力
{}{}{}{}{}{}????
?
????
?????
??????????? ??-=??????????????=??????????=?????0100l l m j i e m e j e i e
tds q l s tds q l s tds q N tds q N tds q N Q Q Q Q (b)
可见，求得的结果与按照静力等效原理将表面力{q }向结点i 及j 分解所得到的分力完全相同。
}m
e
图6.19 表面力等效示意
再如，从图6.20所示的单元e 的A 点处取体积微元tdxdy ，作用在其上的体积力为{p }tdxdy ，为便于分析，认为力的作用方向与单元平面垂直。根据平行力分解原理，对jm 边取力矩，求得结点i 处的分力为
{}{}{}{}tdxdy p N tdxdy p L tdxdy p ii AA P d i i e
i ===
1
1
(c) 整个单元e 的体积力在结点i 处的分力为
{}{}P N p tdxdy i e i =?? (d)
类似地，分别对im 及ij 边取力矩，可得到结点j 和结点m 处的分力
{}{}P N p tdxdy j
e
j
=?? (e)
{}{}P N p tdxdy m e m =?? (f)
i j
图6.20 体积力等效示意
因此，对于平面三角形单元，按照静力学中平行力的分解原理所得到的结点力与按照虚功原理求得的结点力完全一致，在实际计算等效结点力时，可以直接应用静力学中有关平行力分解的结果。例如，对均质等厚度的三角形单元所受的重力，只要把1/3的重量直接加到每个结点上，对于作用在长度为l 的ij 边上强度为q 的均布表面力，可以直接把 (qtl ) /2 移置到结点i 和j 上。
习题
6.1 解释基本概念：位移插值函数、位移模式、有限元解的收敛准则、位移解的下限性质。
6.2 简答下列问题：
什么是有限元解的收敛性？什么是解的收敛准则？
什么是形函数？它有什么性质？如何建立有限元的形函数？
6.7 推导基于形状函数和结点的一维线性插值格式，将结果表示成矩阵形式。
6.8 横截面面积为常数的弹性杆两端固定，杆长为L 3，弹性杆各处受相同的体积力作用，试采用3个长为L 的线性单元，用形函数（不用插值多项式）给出Rayleigh-Ritz 解的表达式。
6.12 求题6.12图所示三角形单元的插值函数矩阵和应变矩阵。设0.21=u mm ，2.11=v mm ，
4.22=u mm ，2.12=v mm ，1.23=u mm ，mm 4.13=v ，求单元内的应变和应力，并求出主应
力及其方向。若单元在jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），求结点载荷向量。
题6.12图
6.13 二维单元在x ，y 坐标内平面平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗？在平面旋转时怎样？单元旋转0
180后怎样？单元作上述变化时，应力矩阵S 如何变化？
6.17 验证三角形单元的位移插值函数满足()
ij j j i y x N δ=,及1=++m j i N N N 。
正比例函数 一、选择题(每小题4分,共12分) 1.(2012·南充中考)下列函数中,是正比例函数的是( ) A.y=-8x B.y=错误！未找到引用源。 C.y=5x2+6 D.y=-0.5x-1 2.下列函数解析式中,不是正比例函数的是( ) A.xy=-2 B.y+8x=0 C.3x=4y D.y=-错误！未找到引用源。x 3.若函数y=(2m+1)x2+(1-2m)x(m为常数)是正比例函数,则m的值为( ) A.m>错误！未找到引用源。 B.m=错误！未找到引用源。 C.m<错误！未找到引用源。 D.m=-错误！未找到引用源。 二、填空题(每小题4分,共12分) 4.函数y=(2-k)x是正比例函数,则k的取值范围是. 5.我国是一个严重缺水的国家,大家应倍加珍惜水资源,节约用水.据测试,拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水,每滴水约0.05mL.小明同学在洗手后,没有把水龙头拧紧,当小明离开xh后水龙头滴了ymL水.则y关于x的函数解析式为. 6.某商店进一批货,每件50元,售出时每件加价8元,如果售出x件应得货款为y 元,那么y与x的函数解析式是,售出10件时,所得货款为元. 三、解答题(共26分) 7.(8分)已知函数y=(2m-1)x+1-3m,m为何值时,这个函数是正比例函数?
8.(8分)已知y与(x-1)成正比例,当x=4时,y=-12. (1)写出y与x之间的函数解析式. (2)当x=-2时,求函数值y. (3)当y=20时,求自变量x的值. 【拓展延伸】 9.(10分)已知:y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成正比例,当x=1时,y=6,当x=3时,y=8,求y关于x的解析式. 答案解析 1.【解析】选A.A,y=-8x是正比例函数,故本选项正确;B,y=错误！未找到引用源。,自变量x在分母上,不是正比例函数,故本选项错误;C,y=5x2+6,自变量x 的指数是2,不是1,不是正比例函数,故本选项错误;D,y=-0.5x-1不符合正比例函数的定义,故本选项错误. 2.【解析】选A.根据正比例函数的定义:一般地,两个变量x,y之间的解析式可以表示成形如y=kx(k为常数,且k≠0)的函数,那么y就叫做x的正比例函数.不是正比例函数的是A. 3.【解析】选D.根据正比例函数的定义,2m+1=0,1-2m≠0.从而求解.解得m=-错误！未找到引用源。. 4.【解析】由正比例函数的定义可得2-k≠0, 解得k≠2. 答案:k≠2
19.2.1正比例函数（第1课时）教学设计 学习目标： 1.理解正比例函数的概念； 2.能够利用正比例函数解决简单的数学问题 学习要点： 重点：理解正比例函数的概念 难点：利用正比例函数解决简单的数学问题 学习过程： 活动一：情境创设 2011年开始运营的京沪高速铁路全长1 318km.设列车平均速度为300km/h.考虑以下问题： （1）乘京沪高速列车，从始发站北京南站到终点站海虹桥站，约需要多少小时（结果保留小数点后一位）？（2）京沪高铁列车的行程y（单位：km）与运行时间t（单位：h）之间有何数量关系？ （3）京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后，是否已经过了距始发站1 100 km的南京站？ 思考下列问题： 1、y=300t中，变量和常量分别是什么？其对应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是 函数？ 2、自变量与常量按什么运算符号连接起来的？ 3、（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3）呢？ 活动二：问题再现
下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式： （1） 圆的周长l 随半径r 的变化而变化． （2）铁的密度为7.8g/cm 3,铁块的质量m （单位：g ）随它的体积V （单位：cm 3）的变化而变化． （ 3）每个练习本的厚度为0.5cm ，一些练习本摞在一起的总厚度h （单位：cm ）随练习本的本数n 的变化而变化． （4）冷冻一个0°C 的物体，使它每分钟下降2°C ，物体问题T （单位：°C ）随冷冻时间t （单位：min ）的变化而变化． 问题探究：在 、 、 和 中 : （1） 以上对应关系都是函数关系吗？其变量和常量分别是什么？进一步指出谁是自变量，谁是函数？ （2） 认真观察自变量和常量运用什么运算符号连接起来的？这些常量可以取哪些值？ （3） 这4个函数表达式与问题1的函数表达式 y =300t 有何共同特征？请你用语言加以描述． 活动三：形成概念 ? 1.如果我们把这个常数记为k ，你能用数学式子表达吗？ ? 2.对这个常数k 有何要求呢？为什么？ ? 3.请你尝试给这类特殊函数下个定义： ? 4.这个函数表达式在形式上一个单项式还是多项式？你能指出它的系数是什么？次数为多少？ ? 5.正比例函数y=kx (常数k ≠0)的自变量x 的取值范围是什么？这与P86的问题1和P86~87的思考 ? （1）~（4）的函数自变量的取值范围有何不同？ ? 6.如何理解y 与x 成正比例函数？反之，y=kx (k 为常数， k ≠0)表示什么意义？ 2πl r =V m 8.7=n h 5.0=t T 2-=
八年级数学：正比例函数专题练习 知识点: 1．形如___________（k 是常数，k ≠0）的函数是正比例函数，其中k 叫 ，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式 2．正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx ． 当k>0时，图像位于第 象限，从左向右 ，y 随x 的增大而 ，也可以说成函数值随自变量的增大而_________； 当k<0时，图像位于第 象限，从左向右 ，y 随x 的增大而 ，也可以说成函数值随自变量的增大而_________． 3．正比例函数的图像是经过坐标 点和定点__ __两点的一条 。根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象． 例1：已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k 的值． 例2：根据下列条件求函数的解析式 ①y 与x 2成正比例，且x=-2时y=12． ②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小． 选择题 1．下列关系中的两个量成正比例的是（ ） A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度； B ．正方形的面积与边长 C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量； D ．人的体重与身高 2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=4x+1 B ．y=2x 2 C ． ． 3．下列说法中不成立的是（ ） A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例； B ．在y=- 2 x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 一 根据正比例函数解析式的特点求值 若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x k2是正比例函数，则k 的值为？ 如果y=x-2a+1是正比例函数，则a 的值为？ 若y =（n-2）x ︳n ︳-1 ，是正比例函数，则n 的值为？ 已知y=（k+1）x+k-5是正比例函数求k 的值． 若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ） 已知函数y=(2m+1)x+m －3 若函数图象经过原点,求m 的值？ 二 求正比例函数的解析式 点A （2,4）在正比例函数图象上，则这个正比例函数的解析式？ 正比例函数图象过（-2，3），则这个正比例函数的解析式？ 已知y 与x 成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x 的值是多少？． 三 正比例函数图象的性质 函数y=－7x 的图象在第 象限内,经过点(0, )与点(1, ),y 随x 的增大而 . 函数y=4x 的图象在第 象限内,经过点(0, )与点(1, ),y 随x 的增大而 . 正比例函数y=（m －1）x 的图象经过一、三象限，则m 的取值范围是 若正比例函数图像又y=(3k-6)x 的图像经过点A （x1,x2）和B （y1，y2），当x1
八年级数学上学期正比例函数同步练习题 ☆我能选 1．下列关系中的两个量成正比例的是（） A．从甲地到乙地，所用的时间和速度； B．正方形的面积与边长 C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量；D．人的体重与身高 2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（） A．y=4x+1 B．y=2x2 C．y=-x D．y= 3．下列说法中不成立的是（） A．在y=3x-1中y+1与x成正比例； B．在y=-中y与x成正比例 C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例； D．在y=x+3中y与x 成正比例 4．若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是（） A．m=-3 B．m=1 C．m=3 D．m>-3
5．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且 x1>x2，则y1与y2?的大小关系是（） A．y1>y2 B．y1 2 C ． y 1 =y 2 D ．以上都有可能 ☆我能填 6．形如___________的函数是正比例函数． 7．若x、y是变量，且函数y=（k+1）xk2是正比例函数，则 k=_________． 8．正比例函数y=kx（k为常数，k<0）的图象依次经过第 ________象限，函数值随自变量的增大而_________． 9．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时 x=________． ☆我能答 10．写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？ （1）电报收费标准是每个字0.1元，电报费y（元）与字数x （个）之间的函数关系； （2）地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温x（?℃）?与高度y（km）的关系； （3）圆面积y（cm2）与半径x（cm）的关系． 探究园
19.2一次函数 19.2.1正比例函数 知能演练提升 能力提升 1.设点A(a,b)是正比例函数y=-x的图象上任意一点,则下列等式一定成立的是() A.2a+3b=0 B.2a-3b=0 C.3a-2b=0 D.3a+2b=0 2.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过第二、第四象限,则() A.y随x的增大而增大 B.y随x的增大而减小 C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小 D.不论x如何变化,y不变 3.对于函数y=k2x(k是常数,k≠0)的图象,下列说法不正确的是() A.是一条直线 B.过点 C.经过第一、第三象限或第二、第四象限 D.y随着x增大而增大 4.已知正比例函数y=(2m-1)x的图象上两点A(a1,b1),B(a2,b2),当a1
A.m< B.m> C.m<2 D.m>0 5.如图,三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y=ax,②y=bx,③y=cx,则a,b,c的大小关系是() A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.b>c>a 6.已知y与x-4成正比例,且当x=2时,y=-6,则当y=9时,x=. 7.若函数y=(m-1)x|m|是正比例函数,则该函数的图象经过象限. ★8. 若直线y=kx与四条直线x=1,x=2,y=1,y=2围成的正方形有公共点,则k的取值范围是. 9.当k为何值时,函数y=(k-1)·是正比例函数? 2
10.数学课上,老师要求同学们画函数y=|x|的图象,小红联想绝对值的性质得y=x(x≥0)或y=-x(x≤0),于是她很快作出了该函数的图象(如图).和你的同桌交流一下,小红的作法对吗?如果不对,试画出该函数的图象. 创新应用 ★11.如图,马戏团演出场地的外围围墙是用若干块长为5 m,宽为2.5 m的长方形帆布缝制而成的,两块帆布缝合的公共部分是0.1 m,围成的围墙高2.5 m. (1)若先用6块帆布缝成宽为2.5 m的条形,求其长度. (2)若用x块帆布缝制成密封的圆形围墙,求圆形场地的周长y与所用帆布的块数x之间的函数解析式. (3)要围成的圆形场地的半径为10 m,至少需要买几块这样的帆布缝制围墙? 3
人教版八年级数学14.2.1 正比例函数教学设计 商南县鹿城中学杨慧荣 一、教材分析 1、教材的地位和作用 《正比例函数》是九年制义务教育新课程标准八年级第一学期第十四章的内容。从比例中的两个量的比值是一个定值，得出两个量成正比例的概念。学生已经学习了比例的意义与性质，在这个基础上，学生能很容易接受正比例概念。再从正比例关系到正比例函数，从互相联系的两个变量在变化过程中有互相依从，互相制约的关系，初步引出函数的概念。因此，本节课具有承上启下的重要作用，函数思想是一种重要的数学思想，它体现了运动变化和对立统一的观点，体现了数学的建模思想和数形结合思想，对于初次接触到函数的学生而言，理解函数的意义是个难点。因此本节课在教学中力图向学生展示常见问题中的变量，和变量之间的关系，使学生对以后函数的定义有一定的了解。 2、教学目标 根据上述教材结构与分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下目标： 知识与技能：⑴理解正比例函数及正比例的意义； ⑵根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例 关系； ⑶识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解 析式或比例系数。
过程与方法：⑴通过现实生活中的具体事例引入正比例关系通过画图像的操作实践，体验“描点法”； ⑵经历利用正比例函数图像直观分析正比例函数基本 性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方 法 情感态度与价值观：积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知 欲．形成合作交流、独立思考的学习习惯． 3、教学重点： 理解正比例和正比例函数的意义 4、教学难点： 判定两个变量之间是否存在正比例的关系 二．学生情况分析 在这节课之前，学生已经掌握了比例的意义和性质，对正比例的定义的掌握没有什么问题。对根据给出的实际问题，列代数式或是列方程都有一定的训练。 三．教学方法 本节课的难点是理解现实问题中是否存在变量，并能判定两个变量之间是否存在正比例的关系，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多观察，多练习，主动参与到整个教学活动中来，通过观察能发现正比例函数的特点，教师的主导作用与学生主体地位达到了相互统一。 四．学法指导 通过本节课的教学，教师引导学生学会观察、归纳的学习方法，培养探究、自主学习能力。
正比例函数强化练习题 1．函数y=（k-3）x是正比例函数，则k_______． 2．某种苹果每千克5元，则买苹果付款数y（元）与所买苹果数量x（千克）之间的函数关系式是________，它是______函数． 3．函数y=2 3 x的图象是一条_______，经过第_____象限，y随x的增大而_____． 4．已知y=（m-2）?x?是正比例函数，?且y?随x?的增大而减小，?则m?的取值范围是_______． 5．画函数y=-2x的图象，比较简单的方法是过点________和_______?作一直线即到可得． 6．函数y=-5x的图象经过第______象限，y随x的增大而______． 7．已知函数y=（2m-9）x|m|-5是正比例函数，?且图象经过第二，?四象限，?则m?的值为． 8．已知y与x成正比例，且当x=-1时，y=-6，则y与x之间的函数关系式为______． 9．已知正比例函数的图象经过点（-2，10），则它的解析式是_______． 10．函数y=1 3 x的图象经过_____象限，经过点（0，___）与点（___，1），y随x的增大而____．11． 2013年，国际油价大幅飙升，突破每桶100美元大关．某型号汽油的数量与相应金额的关系如图所示，那么这种汽油的单价是每升______元． 12．下列问题中，成正比例关系的有（） A．人的身高与体重 B．正三角形的面积与它的边长 C．买同一种练习本所需的钱数和所买的本数 D．从甲地到乙地，所用的时间与行驶的速度 13．如图，射线L甲，L乙分别表示甲，乙两名运动员在自行车比赛中所走路程s与时间t的函数关系，则他们行进的速度关系是（） A．甲比乙快 B．乙比甲快 C．甲，乙同速 D．不能确定
正比例函数教案 正比例函数教案 教学目的： 1、理解正比例函数及正比例的意义； 2、根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系； 3、识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。 教学重点： 理解正比例和正比例函数的意义 教学难点：
判定两个变量之间是否存在正比例的关系 教学过程： 一、新课引入： 回答下列问题： （1）汽车在公路上以每小时100千米的速度行驶，怎样表示它走过的路程S（千米）随行驶时间t（小时）变化的关系？ （2）圆的周长C与半径r之间的关系是什么？ （3）某水厂以每分钟20升的速度向一个空水池放水，怎样表示水池的蓄水量Q（升）与时间t（小时）之间的关系？ 解：（1）S = 100t （2）C=2πr （3）Q=20t 二、新课讲解： 1、常量、变量，函数的描述性定义 我们研究其中第（1）个问题： 在计算汽车在不同时间内所行驶的路程时，t与S可以取不同的数值，而汽车的速值总是保 如（1）中的速度；（2）中的圆周率；（3）中放水的速度 变量：在某个问题的研究过程中可以取不同数值的量叫做变量 如（1）中的S，t；（2）中的C，r；（3）中的Q，t 函数：在某个问题中，几个变量之间满足一定的对应关系，我们称之为函数。 如：（1）中对于时间t的每一个确定的值，路程都有唯一确定的值与之对应，那么我们说S 是t的函数，其中变量t是自变量，变量S叫做应变量，S与t之间的对应关系可以用数学式子S = 100t来表示，这种表示S和t之间关系的式子称为函数关系式或函数解析式。 学生模仿练习说明（2）（3）中的函数，自变量，应变量，函数关系式分别是什么？ （2）中C是r的函数，r是自变量，C是应变量，函数关系式是C=2πr； （3）中Q是t的函数，t是自变量，Q是应变量，函数关系式是Q=20t； 2、正比例函数的定义 观察（1）中S与t的不同取值之间有什么共同之处？ （1）中S与t的对应值的比值（s/t）总是一个常数（100） 在速度不变的运动中，路程S与时间t的比值是一定的，我们说S与t成正比例。 学生模仿练习说明（2）（3）有没有成正比例的？ （2）中C与r的比值是2π是一个常量，所以C与r成正比例； （3）中Q与t的比值是20是一个常量，所以Q与t成正比例； 正比例函数：一般地，如果变量x，y有关系y =-kx（k是一个不等于0的常数），那么变量 k ）叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数，自变量x，y成正比例，函数y = kx（0 x的取值范围是一切实数，比例系数不能为零。 学生模仿练习说出（1），（2），（3）中的比例系数 （1）中的比例系数为100；（2）中的比例系数为2π；（3）中的比例系数为20； 三、习题讲解： 例1、判断下列各式中变量x与变量y是否存在正比例函数关系，是，请说出它的比例系数。
八年级数学《正比例函数》测试题 班级 姓名 一、填空题(每小题2分，共20分) 1、已知正比例函数y=2x,当x=3时，函数值y= 。 2、已知正比例函数，当y=-3时，自变量x 的值是 。 3、已知正比例函数y=kx ，当自变量x 的值为-4时，函数值y=20,则比例系数k= 。 4、大连市区与庄河两地之间的距离是160km ，若汽车以每小时80 km 的速度匀速从庄河开往大连，则汽车距庄河的路程s(km)与行驶的时间t(h)之间的函数关系式为 . 5、已知一个正比例函数的图像经过点(-2，4)，则这个正比例函数的表达式是 。 6、函数y = 中自变量x 的取值范围是 。 7如果函数23y mx m =+-是正比例函数，则m = 。 8、已知正比例函数(12)y a x =-如果y 的值随x 的值增大而减小，那么a 的取值范圆是 。 9、结合正比例函数4y x =的图像回答：当1x >时，y 的取值范围是 。 10、若x ，y 是变量，且函数2 (1)k y k x =+是正比例函数，则k = 。 二、选择题（每小题3 分，共18分） 11、下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=4x+1 B ．y=2x 2 C ．y=-x D ．y= 12、已知函数y=-9x, 则下列说法错误的是( ) A ．函数图像经过第二，四象限。 B ．y 的值随x 的增大而增大。 C ．原点在函数的图像上。 D ．y 的值随x 的增大而减小 13、下列说法不成立的是( ) A 、在31y x =-中1y +与x 成正比例 B 、在12 y =- x 中y 与x 成正比例； C 、在y=2（x+1）中y 与1x +成正比例； D 、在3y x =+中y 与x 成正比例； 14、若函数2(26)(1)y m x m x =++-是正比例函数，则m 的值是( ) A 、m =-3 B 、m =1 C 、m =3 D 、m >-3 15、已知11(,)x y 和22(,)x y 是直线3y x =-上的两点，且12x x >，则1y 与2y 的大小关系是( ) A 、1y >2y B 、1y <2y C 、1y =2y D 、以上都不可能 16．下列关系中的两个量成正比例的是（ ） A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度； B ．正方形的面积与边长 C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量； D ．人的体重与身高 三、解答题 （共62分） 17、(6分)写出下列各题中x 与y 的关系式，并判断y 是否是x 的正比例函数。 (1)广告设计收费标准是每个字0.1 元，广告费y （元）与字数x （个)之间的函数关系； （2）地面气温是28℃，如果每升高1km 气温下降5℃，气温x (℃)与高度y （km ）的关系； （3） 圆面积y （cm 2 ）与半径x (cm)的关系。 18、(6分)已知y 与x 成正比例，当x=2时，y=8. （1）写出y 与x 之间的函数关系式。（2）当x=-2时，求函数值y 。（3）当y=6，求自变量x 的值。
19．2 一次函数 19.2.1 正比例函数 1．理解正比例函数的概念，并掌握正比例函数图象和性质；(重点) 2．运用正比例函数解决简单的问题．(难点) 一、情境导入 鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥(候鸟)套上标志环；大约128天后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它． (1)这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？ (2)这只燕鸥飞行一个半月(一个月按30天计算)的行程大约是多少千米？ (3)这只燕鸥的行程y (单位：千米)与飞行时间x (单位：天)之间有什么关系？ 二、合作探究 探究点一：正比例函数 【类型一】 辨别正比例函数 下列式子中，表示y 是x 的正比例函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝x ＋2 C ．y ＝x 2 D ．y ＝2x 解析：选项A ，y ＝2 x ，自变量次数不为 1，错误；选项B ，y ＝x ＋2，是和的形式， 错误；选项C ，y ＝x 2 ，自变量次数不为1，错误；选项D ，y ＝2x ，符合正比例函数的含义，正确．故选D. 方法总结：正比例函数y ＝kx 成立的条件是：k 为常数且k ≠0，自变量次数为1. 【类型二】 确定正比例函数中字母的 值 若函数y ＝(m －3)x |m |－2 是正比例 函数，则m 的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．不 能确定 解析：由题意得|m |－2＝1，且m －3≠0， 解得m ＝－3.故选B. 方法总结：正比例函数自变量的指数为 1，系数不能为0. 探究点二：正比例函数的图象和性质 【类型一】 正比例函数的图象 在下列各图象中，表示函数y ＝－kx (k ＜0)的图象的是 ( ) 解析：∵k ＜0，∴－k ＞0，∴函数y ＝－kx (k ＜0)的值随自变量x 的增大而增大， 且函数为正比例函数．故选C. 方法总结：要知道正比例函数的图象是 过原点的直线，且当k ＞0时，图象过第一、三象限；当k ＜0时，图象过第二、四象限． 【类型二】 正比例函数的性质 关于函数y ＝1 3 x ，下列结论中，正 确的是( ) A ．函数图象经过点(1，3) B ．不论x 为何值，总有y ＞0 C ．y 随x 的增大而减小 D ．函数图象经过第一、三象限 解析：A.当x ＝1时，y ＝1 3 ，故A 选项
《正比例函数》人教版八年级数 学教案 [ 20 -20 学年度第学期 ] 任教学科： 任教年级： 授课教师： XXXX实验学校
《正比例函数》人教版八年级数学教案 温馨提示：该教案是教师为顺利而有效地开展教学活动,根据教学大纲的要求,以课时为单位,对教学内容,教学步骤,教学方法等进行具体的安排和设计的一种实用性教学文书.是经过周密考虑,精心设计而确定下来,体现着很强的计划性.本文可根据实际情况进行修改和使用。 正比例函数是本章的重点内容, 是学生在初中阶段第一次接触的函数, 这部分内容的学习是在学生已经学习了变量和函数的概念及图像的基础之上进行的。下面由我为大家整理了关于《正比例函数》人教版八年级数学教案, 供大家参考。 《正比例函数》人教版八年级数学教案1 教学目标： 1、认识目标 (1)通过对不同背景下函数模型的比较, 接受正比例函数的概念。 (2)在用描点法画正比例函数图象的过程中发现正比例函数的性质。 2、能力目标 (1)利用发现的性质简便地画出正比例函数的图象, 培养学生的动手能力。 (2)通过结合函数图象揭示性质的教学, 培养学生观察、比较、抽象、概括能力。 3、情感、态度与价值观 (1)通过正比例函数概念的形成过程, 培养学生的探索精神和创新意识。
(2)在画正比例函数图象的活动中获得成功的体验, 培养学生积极思考和动手学习的良好习惯, 激发学习数学的热情。 教学重点： 正确理解正比例函数的概念。 教学难点： 体验研究函数的一般思路与方法。 教学方法： 1、教法： 本节教材实例取自生活实际, 通过引导学生对身边事物的观察, 让学生认 识到大量活生生的正比例函数模型就在我们身边, 从而让他们感受到数学贴近 于现实生活, 通过创设问题情景, 精心设问, 适时适度运用激励性语言, 采用引导讨论法, 让学生主动、愉快的参与到学习的全过程中来。 2、学法： 倡导学生参与, 师生互动, 充分调动学生思考与探究的积极性, 使学生成为学习的主体, 让学生在学习过程中体验“观察、思考、探索、归纳”整个思维过程。 教学手段： 运用多媒体, 实现现代化教学手段, 重现生活中事物变化过程, 将教材中的静态画面转变为动态画面, 从视觉、听觉吸引学生观察、体验, 从而进一步思考、探究, 得出结论, 以提高课堂教学效率。
八年级数学-正比例函数练习（含解析） 1．下列函数中,是正比例函数的是( A ) ①y ＝－x 6；②y ＝3x ；③y ＝1＋5x ；④y ＝x 2－5x ；⑤y ＝2x . A ．①⑤ B ．①② C ．③⑤ D ．②④ 解析：②中y ＝3x 关于自变量x 的式子不是整式；③中y ＝1＋5x 不符合y ＝kx (k 是常数,k ≠0)的形式；④中y ＝x 2－5x 关于自变量x 的式子不是一次单项式,所以②③④都不是正比例函数,而①⑤符合正比例函数y ＝kx (k 是常数,k ≠0)的定义条件,是正比例函数．故选A. 2．下列问题中,两个变量成正比例的是( B ) A ．圆的面积S 与它的半径r B ．正方形的周长 C 与它的边长a C ．三角形面积S 一定时,它的底边a 和底边上的高h D ．路程s 不变时,匀速通过全程所需要的时间t 与运动的速度v 解析：A.圆的面积S ＝πr 2,S 与r 不成正比例．故本选项错误；B.正方形的周长C ＝4a ,C 与a 成正比例,故本选项正确；C.三角形面积S 一定时,它的底边a 和底边上的高h 的关系为S ＝12ah ,即a ＝2S h ,a 与h 不成正比例,故本选项错误；D.路程为s ,则依题意得s ＝vt ,则v 与t 的关系为v ＝s t ,t 与v 不成正比例,故本选项错误．故选B. 3．函数y ＝－32x 的比例系数是－32 ,当y ＝75时,x ＝－50. 解析：函数y ＝－32x 的比例系数是－32 , 当y ＝75时,75＝－32 x ,解得x ＝－50. 4．梯形的上底是3 cm,下底是5 cm,则梯形的面积y (cm 2)与高x (cm)之间的函数关系式是y ＝4x ,自变量x 的取值范围是x >0. 解析：y ＝12 ×(3＋5)x ＝4x .
正比例函数练习题 一、选择题 1、下列关系中的两个变量成正比例的是（ ） A 、从甲地到乙地，所用的时间与速度 B 、正方形的面积与边长 C 、买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量 D 、人的体重与身高 2、下列函数中，y 是x 正比例函数的是（ ） A y=4x+1 B y=2x 2 C y=-5x D y=x 3、下列说法中不成立的是（ ） A 在y=3x-1中,y+1与x 成正比例 B 在y=-2 x 中,y 与x 成正比例 C 在y=2(x+1)中,y 与x+1成正比例 D 在y=x+3中,y 与x 成正比例 4、若函数y=(2m+6)x 2 +(1+m)x 是正比例函数，则m 的值是（ ） A m=-3 B m=1 C m=3 D m>-3 5、已知（x 1,y 1）和(x 2, y 2 )是直线y=-3x 上的两点, 且x 1>x 2则y 1与y 2的大小关系是（ ） A y 1>y 2 B y 1 八年级数学：正比例函数专题练习2014-5-8 知识点: 1．形如___________（k 是常数，k ≠0）的函数是正比例函数，其中k 叫 ，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式 2．正比例函数y=kx （k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx ． 当k>0时，图像位于第 象限，从左向右 ，y 随x 的增大而 ，也可以说成函数值随自变量的增大而_________； 当k<0时，图像位于第 象限，从左向右 ，y 随x 的增大而 ，也可以说成函数值随自变量的增大而_________． 3．正比例函数的图像是经过坐标 点和定点__ __两点的一条 。根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象． 例1：已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k 的值． 例2：根据下列条件求函数的解析式 ①y 与x 2成正比例，且x=-2时y=12． ②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小． 选择题 1．下列关系中的两个量成正比例的是（ ） A ．从甲地到乙地，所用的时间和速度； B ．正方形的面积与边长 C ．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量； D ．人的体重与身高 2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y=4x+1 B ．y=2x 2 C ． A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例； B ．在y=- 2 x 中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 一 根据正比例函数解析式的特点求值 若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x k2是正比例函数，则k 的值为？ 如果y=x-2a+1是正比例函数，则a 的值为？ 若y =（n-2）x ︳n ︳-1 ，是正比例函数，则n 的值为？ 已知y=（k+1）x+k-5是正比例函数求k 的值． 若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ） 已知函数y=(2m+1)x+m －3 若函数图象经过原点,求m 的值？ 二 求正比例函数的解析式 点A （2,4）在正比例函数图象上，则这个正比例函数的解析式？ 正比例函数图象过（-2，3），则这个正比例函数的解析式？ 已知y 与x 成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x 的值是多少？． 三 正比例函数图象的性质 函数y=－7x 的图象在第 象限内,经过点(0, )与点(1, ),y 随x 的增大而 . 函数y=4x 的图象在第 象限内,经过点(0, )与点(1, ),y 随x 的增大而 . 正比例函数y=（m －1）x 的图象经过一、三象限，则m 的取值范围是 若正比例函数图像又y=(3k-6)x 的图像经过点A （x1,x2）和B （y1，y2），当x1八年级下册正比例函数和一次函数专项练习题
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