从教材到教学的三部曲
——从抛物线标准方程的教学案例谈起
孙福明（常州市教育教研室江苏常州213001）
摘要：课堂教学不是简单照的搬教材内容，而是要最大限度挖掘教材的价值，发挥教材的功能，通过深读教材、加工教材、设计教学三部曲让教材更好的走向学生。
关键词：教材；教学；抛物线
教材是教师教学的重要课程资源之一，教师对教材理解程度、处理方式和加工水平的高低既反映教师学科专业功底的厚薄，也直接关系到课堂教学质量的优劣．新课程将高中数学内容划分为不同模块或专题，但数学是一个不可分割的整体，教师应既“身在”模块又“胸怀”整个数学课程，既基于模块但同时又能“跳出”模块，从课程整体的视角实施教学．本文结合“抛物线的标准方程”（苏教版普通高中课程标准实验教科书选修2—1）一节的教学案例，提出优化模块教学、从教材处理到教学实施的三部曲，即教材的解读要“深化”，教材加工要“细化”，教学设计要“优化”．
1 教材解读要“深化”
教材解读要“深化”，有两层含义，一是指教师要把握教材的知识背景及体系，站在知识发生发展过程的角度，站在数学课程整体的高度，了解本节知识与其它知识之间的内在逻辑联系；二是认清教学内容的教育价值，应知晓通过本节教学，让学生在哪些方面得到发展或者为学生未来的发展提供什么程度的基础．教师只有从整体上把握了教材的逻辑体系，深入挖掘教材内容的学科思想、学科方法或文化底蕴，才能化繁为简，用最简单的方式表达最关键的内容．
1．1 要系统认识教材背景
教材背景通常包括两个方面的内容，一是教材编写者的意图，除了显性的知识外，还有蕴含在知识后面的隐性知识，如数学思想、理性精神、哲学思想等情感态度价值观的因素，二是教材知识之间的联系，尽管新课程实施模块编写的教材体系，但数学是逻辑性、关联性很强的一门学科，所以通过整体分析教材，才能更好的弄清每一模块在整体中的地位和作用，也才能更好的从整体的角度处理每一模块．教师熟悉教材的程度是设计教学方法、编写教案的基础，教师只有整体认识了教材背景，才能最大限度实现教材的教育功能，这也是直接关系到教学质量高低的重要因素．认识教材背景，首先要通读高中教材，其次把相关知识点按本节课题串连成线，把握知识之间的内在逻辑联系．
就本节内容而言，教师首先要知悉中学阶段曾经三次出现过“抛物线”概念，第一次是在义务教育阶段，二次函数的图像是抛物线，第二次是在高一年级物理学科中，重力作用下的平抛物体或斜抛物体的轨迹是抛物线的一部分，第三次就是此处，抛物线作为圆锥截面曲线的形状之一．在此基础上，教师要思考如何利用好学生已学的知识——根据认知心理学的观点，作为新授知识的抛物线哪些方面是可以同化的，与作为二次函数图象的抛物线顺利对接，纳入学生已有的认知结构；抛物线的哪些方面要需要学生认知结构发生变化，才能进入学生知识系统．认知结构变化的一个外在表现就是学生表现出的困惑，教师应在准确把握学生困惑的基础上设置恰当的问题，帮助学生自我思考、自主建构，引发学生元认知结构的重组或重造．
其次，本节所在模块属于《圆锥曲线与方程》，学生已经学过椭圆和双曲线，抛物线也属于圆锥曲线，那么它们的共性与个性是什么？这就涉及到圆锥曲线同构中的差异，从同构来说，抛物线作为平面截圆锥的截面形状之一，与椭圆和双曲线起源相同，用解析几何研究抛物线的思路相同，即建系，求标准方程，再通过研究方程认识抛物线的几何性质，教师首先要把握三种曲线的同构性，这就是对教材体系的整体认识．但抛物线具有自身特殊性，教师必须认识到抛物线与椭圆双曲线的差异性，思考在教学中如何帮助学生认识抛物线的特征．
1．2 要知晓本节内容与相关领域的联系
数学与其他学科的联系越来越多，新课程在教材编写中尤其注重数学应用，注重数学与物理、化学等其它学科和领域的联系，如重力作用下的平抛物体或斜抛物体的轨迹是抛物线的一部分，教材例题2汽车灯泡的安装位置问题等，但物理仅为数学提供创设问题的情境，解决这些问题还需要数学的知识和方法．教师在把学生置于一个比较广阔的知识背景下，让学生对数学有多维度、多层面的认识的基础上，帮助学生学会用数学的知识、方法、思想解决其它领域的问题，帮助学生在一个综合知识背景下形成良好的数学素质．
2 教材加工要“细化”
由于教材是静态的、形式化的，所以教师要从便于学生学习的视角出发，丰富文字背后的内容，把“固化”的教学内容变为鲜活的、富有生机的教学资源，“加工”成学生学习的“饕餮大餐”．正奥苏贝尔(D.P.Ausubel)在其提出的意义学习理论(theory of meaningful leaning)中指出，意义学习所必需的两个内部条件:一是学习者具有同化新材料的认知结构；二是学习者具有学习新材料的学习心向.前者涉及教学的认知维度，即教材内容为学生可接受；后者则涉及教学的情感维度:教材内容为学生乐接受性.前者是教材编写者的主要任务，
后者则是教师工作的艺术性体现——即怎么从学习形式上使得教材内容与学生更匹配．
2．1 细化之一：情境生活化
情境生活化是指把数学问题与学生日常生活有机的结合，让学生感受到数学来源于生活，生活离不开数学．正如前面已经分析，学生曾经三次接触过三个抛物线，但没有深入思考这三者之间的联系，没有建构关于抛物线的网络，所以如何使三个概念归一，特别是把函数图象的抛物线与圆锥曲线截面的抛物线有逻辑的关联起来，是教师在处理教材时首先遇到的难题．
【教案片断】
问题1：（播放投篮球的视频）说说你在生活中、数学中遇到的抛物线．
预设学生答案：平抛物体或斜抛物体的运动的轨迹；初中学过的二次函数的图象是抛物线；平面截圆锥面可以得到抛物线．
学生如果不能回忆相关知识，教师可以展示炮弹飞行轨迹、喷泉水流轨迹以及探照灯的横截面等图片，让学生感受生活中的抛物线实例．
问题2：请同学们回忆二次函数如2y x =、2y ax =等的图象，这些曲线一定是抛物线吗？满足什么条件的曲线称为抛物线？这些曲线是否有可能是双曲线的一支呢？
引导学生回忆抛物线的定义．
问题3：如果2y x =，2y ax =的图象是抛物线，那么请你找出它的定点与定直线． 预设：学生一般会感到困难，教师启发学生联想前面椭圆及双曲线的研究方法，用几何方法解决困难时，可以考虑用类似于前面研究椭圆和双曲线的方法，首先求出抛物线的标准方程．
问题4：哪位同学能回忆起求曲线方程的一般步骤？
该教师处理教材时，增加了生活情境，生活情境的功能是提升教学内容的“亲和力”，但同时该教师又能及时的从非数学情境平顺过渡到数学内部的问题情境——抛物线的模型从日常生活及物理学科的直观感受，到二次函数的学习，再到圆锥曲面，怎么统一？这样的设计是在熟悉的地方创造新的“探究”风景，诱发了学生深入探讨的欲望和兴趣，也表现了教师对教材体系的认识高度，值得赞赏．
这里提出值得商榷的是，问题“为什么2y x =，2
y ax =的图象是抛物线”的价值是什么？怎么充分发挥这个问题在本节课承上启下的重要功能？教师的意图是希望引导学生从几何的角度，用抛物线的定义找定点（焦点）及定直线（准线）．实际上，从本节课的最后
结果看，函数解析式2y x =，2
y ax =其实就是抛物线的标准方程，所以这样的函数式（方程）特征决定了对应的图像必然是抛物线．它们的差异在于顺序的不同，函数是由数到形，曲线的方程是由形到数，但归根到底是统一的，是抛物线的两个侧面．
当无法从抛物线图象直接求出其几何特征（定点与定直线等）时，只能回归到起点——在几何定义的基础上，通过建立坐标系求出抛物线的方程，教师还应该进一步帮助学生预见到这种联系就是：求出的抛物线方程应该与二次函数的解析式有高度的一致性．现在之所以无法直接从函数解析式求出定点与定直线，是因为缺少建立方程的过程，本节课主要的任务就是寻找这个过程——这个过程其实是搭建几何中的抛物线与图象为抛物线的函数解析式2y x =，2y ax =等之间的桥梁．于是建立坐标系求抛物线的方程就顺理成章． 新课程强化了情境的功能，但很多教师对情境的深度开发不够，特别是在从情境过渡到数学学科问题的环节上，逻辑性较弱．此处就是没有对情境进行深度挖掘，求抛物线方程的必要性和合理性没有交代得很透彻，给人牵强附会的感觉．
2．2 细化之二：过程活动化
新课程强调学生在课堂中的主体地位，那么如何才能最大限度发挥学生的主体能动性呢？通过精心设计的活动，让学生在活动中自我感悟、自主建构．事实证明，只有学生亲身感受过的知识才能深入理解．本节内容，关于如何建立坐标系，教材只有一句话“下面，我们来建立抛物线的方程”．但是如何建立适当的坐标系，如何合理地利用坐标系这个从形转化为数的工具，是有教育价值的，教师要展开过程，通过设计学生活动，培养学生利用坐标系的能力，看下面的教学片断：
【教案片断】
问题1：假定抛物线定义中的定点为F ，定直线为l ，定点F 到定直线l 的距离为p （0p >）．如何确定x 轴和y 轴？
预设学生答案：（1）过点F 作直线l 的垂线，
以垂线为x 轴，以直线l 为y 轴；（2）x 轴与（1）
相同，以抛物线的顶点O 为原点建立坐标系；（3）
x 轴与（1）相同，以定点F 为原点建立坐标系．
问题2：分别请同学们选择一种坐标系，求出
抛物线的方程．
预设学生出现的答案：22
2
y px p
=，22
=+．
2
y px
y px p
=-，22
问题3：比较一下，哪种方程最简单？
结论：把最简单形式的方程称为抛物线的标准方程．
这个过程充分体现了新课程中体现过程与方法的要求，通过活动让学生自主探索、自我建构，让学生对抛物线标准方程的特征有充裕的体验，学生只有亲身体验知识的形成过程，才能对知识有深刻的认识，也才能对蕴含在知识中的方法有深刻的体会．
如何定义抛物线的标准方程？除了这位教师在方程的形式上强调外，还可以结合曲线在坐标系中的位置，让学生评估．显然，在相同的x轴下，以抛物线的顶点为原点建立坐标系，求出的方程肯定简单，因为原点在曲线上，所求出的曲线方程中不含有常数项，曲线方程应该是最简单的．让学生在感性认识的基础上，深入进行理性思考，进行比较、判断、选择．在倡导有效课堂教学的理念下，既要培养学生的思维发散能力，也要优化学生的思维品质，在发散中深入理性地思考．
2．3 细化之三：讲解精炼化
教师处理教材的成果之一就是教师教学语言的运用，数学课程由于抽象、形式、逻辑性强的特点，更需要教师通过生动形象但又准确具体的语言帮助学生进行理解．新课程强调学生在学习中的主体性，但对于抽象、有较深背景的知识，仍然需要教师切中肯綮的讲解，帮助学生突破难点，构建高层次的知识结构．
例如在完成对抛物线方程的新知教学任务后，教师必须及时帮助学生建构关于圆锥曲线的知识网络，特别是围绕抛物线与椭圆双曲线的同构性与差异性．
【教案片断】
问题1：学完抛物线了，同学们能说说抛物线与椭圆及双曲线之间的联系和区别吗？
预设学生答案1：椭圆和双曲线有两个标准方程，抛物线有四个．
教师引导学生从曲线整体对称性的角度考虑．
预设学生答案：在坐标系中，椭圆、双曲线关于关于x轴、y轴都对称，有两条对称轴，但抛物线只有一条对称轴．
结论：正因为对称的差异，对抛物线而言，要同时考虑焦点在正半轴上及负半轴上的情形，这样得到的四种形式的标准方程才是抛物线标准方程的整体．
教师对抛物线与椭圆及双曲线的差异的解释，还可以从数形结合的角度进一步分析，椭圆与双曲线都有对称中心，关于x轴、y轴都对称，反映在方程的特点上，就是它们对应的
方程都是关于,x y二次，且没有关于,x y的一次项．抛物线没有对称中心，只有一条轴对称，所以它的方程中只有单项二次（2x或2y）等等．
3 教学设计要优化
设计优化，要基于学生学习的视角，抓住贯穿本节内容的主线，有层次、有条理的展开教学．只有把学生的认知特点和学习的自然过程琢磨透了，才能有好的设计．3．1 优化之一：用数学思想方法统领教学
数学思想是数学的灵魂，渗透在数学知识建构、运用的每一个环节，教师在教学中必须以数学思想为主线统领课堂教学．
在得到抛物线的标准方程22(0)
=>后，如何得到其它三种形式的抛物线的标准方
y px p
程，该教师这样设计：
【教案片断】
问题1：刚才探求了开口向右的抛物线的标准方程，请大家用相同的方法探索开口向左、向上、向下的抛物线的标准方程．
在求出开口向右的抛物线的标准方程之后，采取何种教学手段得到其它三种形式的标准方程，这种选择体现了教师的教学理念，显然该教师的设计只是反复强化了求曲线方程的五步骤，突出了技能训练，而下面两种设计思路比该教师的处理方法更技高一筹：优化之一：从运动的角度设计，椭圆、双曲线有焦点分别在x轴、y轴上的情形，那么在已知的平面直角坐标系内，抛物线有几种放置方式呢？除了开口向右，还有其它情形吗？这是从曲线运动变化（其本质是旋转变化）的角度培养学生思维的发散性．优化之二：椭圆及双曲线各有两种形式的标准方程，那么抛物线有几种呢？能否采用类比的方法直接写出其它抛物线的标准方程？这就是以数形结合思想为指导，在具体操作中让学生体会从形的位置变化到数（方程）的结构特点，即当抛物线开口方向变化时，抛物线标准方程在结构、符号、数量等方面的相应改变．只有把这样的数形结合的思想渗透在学生知识结构中，学生对四种形式的方程理解才比较深刻，知识结构才具有系统性，学生对数学思想的体会才比较深刻．数学的方法及思想正是来自于对知识的深刻理解，也只有建立在深刻理解知识的基础上的方法，才更具有系统性．
在例题讲解环节，该教师集中围绕抛物线标准方程的运用，反复强调抛物线标准方程的特征，这固然无可非议，但是这仅是形式上的，例题的示范性仍然在于以图形为中介的数量转换，“定位”与“定量”的相互转化，数与形的正确、灵活、熟练的转化．学生只有在大
脑中有“形”——抛物线的位置，手中才能正确写出“数”——抛物线的标准方程．教师乙在新概念习得之后，再回到课初引入的问题，用新概念解决情境中的问题，既巩固了新概念，又使得整节课有始有终，教学任务得到圆满完成．
3．2 优化之二：设计有始有终
作为一堂优秀的课，应始终围绕主题展开教学，特别是完成新知识的传授之后，仍然要回归到课初的问题解决，通过问题解决既使得整节课有始有终，教学任务得到彻底的完成，也提升学生知识网络建构的水平．
【教案片断】
问题1：我们刚才一起探究完成了抛物线标准方程的推导，并作了初步运用．现在我们回到课初提出的问题，为什么二次函数2
y x =的图像是抛物线．
预设学生答案：因为改写二次函数2y x =的解析式为2x y =后，2x y =就是抛物线的标准方程．
问题2：那么它的焦点坐标与准线方程分别是多少？ 预设学生答案：焦点坐标为1(0,)4F ，准线方程为14y =-． 问题3：你能用抛物线的定义检验吗？
教师展示答案：任给图像上点P (,)x y ，则2y x =．因为
PF ===14
y =+，这就说明图像上任意一点P 到定点1(0,)4与到定直线14
y =的距离相等． 问题4：请同学们课后探求2
(0)y ax a =≠的焦点坐标和准线方程．
该教师在得到抛物线的标准方程，回到课初提到的情境问题，通过师生共同努力，得到圆满解决，使得整个一节课圆润又圆满．
3．3 优化之三：整体结构网络化
中国数学教育的优良传统之一就是帮助学生形成良好的认知结构，尽管心理学强调学生元认知在建构知识网络中的重要作用，但学生毕竟思维水平有限，教师仍然需要搭建“扶手架”，帮助学生建构结构良好的知识体系，这就要求教师把教材内容组织成有层次的网络教学内容，使学生形成脉络分明、条理清晰的整体观念．整体结构网络化首先指本节课设计抓住关键问题，重点突出，其次以关键问题带动其它问题，层次分明，逻辑关系清晰．如本
节课以为什么要求抛物线的标准方程、怎么求抛物线的标准方程、如何使用抛物线的标准方程为问题串，带动学生思维层层深入．
总之，教师应在充分理解教材编写意图的基础上，结合学生的认知特点，有目的、有意图的取舍、剪接、组合、加工，让教材语言寥寥数语中所蕴含着的数学思想、数学文化得到淋漓尽致的展示．只有教师站在教材系统的角度，认清知识本源的深度，同时艺术化的加工教材，才能让教师的教成为学生发展的“推进器”．
参考文献
1 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[M]．北京：人民教育出
版社，2003，4
2 数学课程标准研制组．普通高中数学课程标准（实验）解读[M]．南京：江苏教育
出版社，2004，4
3 单墫．普通高中课程标准实验教科书．数学（选修2—1）[M]．南京：江苏教育出版社，2008，6
4韩立福主编．当代国际教育理论基础导读[M]．北京．首都师范大学出版社，2006，
【作者简介】孙福明（1969—），男，中学高级教师，硕士。
【工作单位】常州市教育教研室，江苏省常州市劳动西路19号，213001
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