1．集合的含义与表示方法
(1)集合的含义：把研究对象叫作________，把一些元素组成的总体叫作________．集合元素的性质：________、________、________．
(2)元素与集合的关系：①属于，记为________；②不属于，记为________．
(3)集合的表示方法：________、________和________．
(4)常用数集的记号：自然数集______，正整数集______，整数集______，有理数集______，实数集______，复数集______．
2.集合的表示方法
集合的表示法：、、
.
3．集合的基本关系
4．集合的基本运算
第1讲集合及其运算
[最新考纲]
1．了解集合的含义、元素与集合的属于关系．
2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
3．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
4．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
5．能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算.
知识梳理
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或?表示．
2．集合间的基本关系
3.
辨析感悟
1．元素与集合的辨别
(1)若{,2x1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)
(2)含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.(√)
(3)若A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝{x|x∈R}．(×)
2．对集合基本运算的辨别
(4)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)总成立．(√)
(5)(2013·浙江卷改编)设集合S＝{x|x＞－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?R S)∪T＝{x|－4≤x≤1}．(×)
(6)(2013·陕西卷改编)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则?R M＝{x|x＞1，或x＜－1}．(√)
[感悟·提升]
1．一点提醒求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件．如第(3)题就是混淆了数集与点集．
2．两个防范一是忽视元素的互异性，如(1)；
二是运算不准确，尤其是运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心，如(6)．
3．集合的运算性质：①A∪B＝B?A?B；②A∩B＝A?A?B；③A∪(?U A)＝U；④A∩(?U A)＝?.
数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
创新突破1——与集合有关的新概念问题
【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为()．
A．3 B．6 C．8 D．10
解析法一(列表法)因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示：
由题意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知实数对(x，y)的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10，故选D.
法二(直接法)因为A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，x＞y.
当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；
当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；
当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；
当y＝4时，x只能取5，共有1个数；
当y＝5时，x不能取任何值．
综上，满足条件的实数对(x，y)的个数为
4＋3＋2＋1＝10.
答案 D
[反思感悟] (1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
(2)以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
【自主体验】
1．(2013·广东卷)设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是()．
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)?S
B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S
C．(y，z，w)?S，(x，y，w)∈S
D．(y，z，w)?S，(x，y，w)?S
解析题目中x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4满足题意，且(2,3,4)∈S，(1,2,4)∈S，从而(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S成立．
答案 B
2．(2013·浙江部分重点中学调研)设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1?A，且k＋1?A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()．A．6个B．12个C．9个D．5个
解析依题意，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数．故这样的集合共有6个．
答案 A
对应学生用书P219
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－5＜x＜5}，则()．
A．A∩B＝?B．A∪B＝R
C．B?A D．A?B
解析集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2，或x＜0}∪{x|－5＜x＜5}＝R.
答案 B
2．(2013·广东卷)设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝()．A．{0} B．{0,2} C．{－2,0} D．{－2,0,2}
解析S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．
答案 A
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有()．
A．2个B．4个
C．6个D．8个
解析P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．
答案 B
4．(2013·辽宁卷)已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝()．
A．(0,1) B．(0,2]
C．(1,2) D．(1,2]
解析0＜log4x＜1，即log41＜log4x＜log44，∴1＜x＜4，∴集合A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．答案 D
5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为()．
A．{x|x≥1} B．{x|－4＜x＜2}
C．{x|－8＜x＜1} D．{x|1≤x＜2}
解析阴影部分是A∩?R B.集合A＝{x|－4＜x＜2}，?R B＝{x|x≥1}，所以A∩?R B＝{x|1≤x＜2}．答案 D
二、填空题
6．(2013·江苏卷)集合{－1,0,1}共有________个子集．
解析所给集合的子集个数为23＝8个．
答案8
7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
答案 4
8．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．
解析由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.
答案－3
三、解答题
9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.
解由A∩B＝{－3}知，－3∈B.
又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2，1}，A∩B＝{1，－3}．
故a＝0舍去．
②当a－2＝－3时，a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．
10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，
(1)若B?A，求a的值；
(2)若A?B，求a的值．
解(1)A＝{0，－4}，
①当B＝?时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝8(a＋1)＜0，解得a＜－1；
②当B为单元素集时，a＝－1，此时B＝{0}符合题意；
③当B＝A时，由根与系数的关系得：
???
－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，
解得a ＝1. 综上可知：a ≤－1或a ＝1.
(2)若A ?B ，必有A ＝B ，由(1)知a ＝1.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
一、选择题
1．若集合A ＝{－1,1}，B ＝{0,2}，则集合{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )． A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
解析 当x ＝－1，y ＝0时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝2时，z ＝1；
当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素． 答案 C
2．(2013·江西七校联考)设全集U ＝R ，集合M ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}，N ＝{x |0＜x ＜2}，则N ∩(?U M )＝( )． A ．{x |－2≤x ＜1} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |－1≤x ≤1} D ．{x |x ＜1}
解析 M ＝{x |y ＝lg(x 2－1)}＝{x |x 2－1＞0}＝{x |x ＞1，或x ＜－1}，所以?U M ＝{x |－1≤x ≤1}，结合数轴易得N ∩(?U M )＝{x |0＜x ≤1}． 答案 B 二、填空题
3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 解析 A ＝{x |－5 4．已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠?. 解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)． (1)A ∩B ＝A ?A ?B ?? ?? a ≤－1，a ＋3＞1， 即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]． (2)当A∩B＝?时，结合数轴知，a≥1或a＋3≤－1，即a≥1或a≤－4. 故当A∩B≠?时，a的取值范围是(－4,1). 课时作业(一)A[第1讲集合及其运算] (时间：30分钟分值：80分) 1．[2013·成都一诊] 已知集合P＝{1，2}，Q＝{z|z＝x＋y，x，y∈P}，则集合Q为() A．{1，2，3} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3} 2．[2013·广东中山模拟] 设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，2，3，5}，B＝{2，4，6}，则图K1-1中的阴影部分表示的集合为() 图K1-1 A．{2} B．{4，6} C．{1，3，5} D．{4，6，7，8} 3．若{1，2，a2}?{－5，1，2，3}，则a＝() A. 3 B．－ 3 C.3或－ 3 D.3，－3或－ 5 4．[2013·福建南平质检] 已知集合M＝{x||x＋1|≤1}，N ＝{－1，0，1}，那么M∩N＝________． 5．[2013·安徽合肥一模] 设全集为R，集合M＝{x|log2(x －1)<1}，则＝() A．[3，＋∞) B．(－∞，1]∪[2，＋∞) C．(－∞，1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞) 6．[2013·吉林实验中学一模] 设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B?U，则满足A∩B＝{1，2}的集合B有() A．1个B．3个 C．4个D．8个 7．[2013·安徽淮北一检] 若集合A＝{x||x|≤1}，B＝{y|y ＝2x，x∈R}，则A∩B＝() A．?B．{x|0≤x≤1} C．{x|－1≤x≤1} D．{x|0 8．[2013·广东惠州三调] 已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax ＋1＝0}，若B?A，则实数a的所有可能取值的集合为() A．{－1} B．{1} C．{－1，1} D．{－1，0，1} 9．[2013·湖北武汉调研] 设集合A＝{1，－1，a}，B ＝{1，a}，A∩B＝B，则a＝________． 10．已知集合A＝{(0，1)，(1，1)，(－1，2)}，B＝{(x，y)|x＋y－1＝0，x，y∈Z}，则A∩B＝________． 11．已知集合A＝{x|a－3 12．(13分)已知集合，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1 13．(1)(6分)已知集合A＝{a1，a2，…，a20}，其中a k>0(k ＝1，2，…，20)，集合B＝{(a，b)|a∈A，b∈A，a－b∈A}，则集合B中的元素至多有() A．210个B．200个 C．190个D．180个 (2)(6分)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4}，集合B＝{(x，y)|y≥m|x|，m为正常数}．若O为坐标原点，M，N为集合A 所表示的平面区域与集合B所表示的平面区域的边界的交点，则△MON的面积S与m的关系式为________． 课时作业(一)B [第1讲 集合及其运算] (时间：30分钟 分值：80分) 1．[2013·湖南十二校二联] 已知集合M ＝{x ∈Z |－1≤x ≤1}，N ＝{x ∈Z |x (x －2)≤0}，则如图K1-2所示的韦恩图中 的阴影部分所表示的集合为( ) 图K1-2 A ．{0，1} B ．{－1，2} C ．{－1，0，1} D ．{－1，0，1，2} 2．[2013·江西重点中学一联] 已知集合M ＝?????? y ? ??y ＝1＋1x ，N ＝{y |y ＝ln(x 2＋1)}，则M ∩N ＝( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞) 3．[2013·山东济宁一模] 设集合A ＝{－1，0，a }，B ＝{x |0 A ．{1} B ．(－∞，0) C ．(1，＋∞) D ．(0，1) 4．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B ＝{(x，y)|x，y为实数，且y＝x}，则A∩B的元素个数为________． 5．[2013·福州质检] 设全集U为整数集，集合A＝{x∈N|1≤x≤8}，B＝{0，1，2}，则A∩B的真子集的个数为() A．3 B．4 C．7 D．8 6．[2013·东北三省四市模拟] 已知集合A＝{x|x2－x－2≤0}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则A∩B＝() A．(0，2] B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．[－1，1) D．(－1，0)∪(0，2) 7．[2013·安徽合肥二检] 已知集合A＝{x∈R||x|≥2}，B ＝{x∈R|x2－x－2<0}，且R为实数集，则下列结论正确的是() A．A∪B＝R B．A∩B≠? C．D．A? 8．[2013·保定一模] 已知集合A＝{x|x>2或x<－1}，B ＝{x|a≤x≤b}，若A∪B＝R，A∩B＝{x|2 a＝() A．－4 B．－3 C．4 D．3 9．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，3，5}，则?U(A∩B)＝________． 10．设A，B是非空集合，定义A⊕B＝{x|x∈A∪B且x? A ∩ B }，已知A ＝{x |0≤x ≤3}，B ＝{y |y ≥1}，则A ⊕B ＝________． 11．[2013·重庆卷改编] 对于正整数n ，记I n ＝{1，2，3，…， n }，P n ＝??? ??? ??? ? ???m k m ∈I n ，k ∈I n ，则集合P 5中元素的个数是________． 12．(13分)设集合A ＝{x 2 ，2x －1，－4}，B ＝{x －5，1－x ，9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B . 13．(12分)已知集合A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)<0}，函数y ＝lg 2a －x x －a 2 －1 的定义域为集合B . (1)若a ＝2，求集合B ； (2)若A＝B，求实数a的值． 课时作业(一)A 1．B2．B3．C4．{－1，0} 5．C6．D7. D8. D9. 0 10．{(0，1)，(－1，2)}11. －1 12．实数m的值为813. (1)C(2)4m 1＋m2 课时作业(一)B 1．B 2. C 3. D 4. 2 5. A 6. C7. C8. A 9．{2，4，6}10. [0，1)∪(3，＋∞)11. 23 12．A∪B＝{－7，－4，－8，4，9} 13．(1)B＝{x|4 1.集合 （1）集合的定义 （2）集合元素的特征 2.集合的分类 3.特殊数集的表示方法 4.集合的表示方法 5. ________ A 空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集．在解题时，若未明确说明集合非空时，要考虑到集合为空集的可能性．例如：A?B，则需考虑A＝?和A≠?两种可能的情况． 6. 【【例1】】 【例1】(1)(2013·江西卷)若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝()． A．4 B．2 C．0 D．0或4 (2)(2013·山东卷)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()． A．1 B．3 C．5 D．9 解析(1)由ax2＋ax＋1＝0只有一个实数解，可得当a＝0时，方程无实数解； 当a≠0时，则Δ＝a2－4a＝0，解得a＝4(a＝0不合题意舍去)． (2)x－y∈{－2，－1,0,1,2}． 答案(1)A(2)C 规律方法 集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性． 【训练1】已知a ∈R ，b ∈R ，若? ??? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 014＋ b 2 014＝________. 解析 由已知得b a ＝0及a ≠0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 014＋b 2 014＝1. 答案 1 考点二 集合间的基本关系 【例2】 (1)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1 审题路线 (1)分B ＝?和B ≠?两种情况求解，当B ≠?时，应注意端点的取值．(2)先求A ，再利用(?U A )∩B ＝??B ?A ，应对B 分三种情况讨论． 解 (1)当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图． 则??? m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1， 解得2 综上，m 的取值范围是(－∞，4]． (2)A ＝{－2，－1}，由(?U A )∩B ＝?，得B ?A ， ∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0，∴B ≠?. ∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1，－2}． ①若B ＝{－1}，则m ＝1； ②若B ＝{－2}，则应有－(m ＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m ＝(－2)·(－2)＝4，这两式不能同时成立， ∴B ≠{－2}； ③若B ＝{－1，－2}，则应有－(m ＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m ＝(－1)·(－2)＝2，由这两式得m ＝2. 经检验知m ＝1和m ＝2符合条件．∴m ＝1或2. 规律方法 (1)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (2)在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式(或方程)时，要对参数进行讨论． 【训练2】(1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0 (2)(2014·郑州模拟)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |ax ＋1＝0}，若B ?A ，则实数a 的所有可能取值的集合为( )． A ．{－1} B ．{1} C ．{－1,1} D ．{－1,0,1} 解析 (1)由题意知：A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3,4}．又A ?C ?B ，则集合C 可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)a ＝0时，B ＝{x |1≠0}＝??A ；a ≠0时，B ＝? ????? ????x ??? x ＝－1 a ?A ，则－1 a ＝－1 或－1 a ＝1，故a ＝0或a ＝1或－1. 答案 (1)D (2)D 考点三 集合的基本运算 【例3】(1)(2013·湖北卷)已知全集为R ，集合A ＝?????? ??? ?x ??? ? ?? ?? 12x ≤1 ，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩?R B ＝( )． A ．{x |x ≤0} B ．{x |2≤x ≤4} C ．{x |0≤x ＜2，或x ＞4} D ．{x |0＜x ≤2，或x ≥4} (2)(2014·唐山模拟)若集合M ＝{y |y ＝3x }，集合S ＝{x |y ＝lg(x －1)}，则下列各式正确的是( )． A ．M ∪S ＝M B ．M ∪S ＝S C ．M ＝S D ．M ∩S ＝? 解析 (1)A ＝???? ?? x |? ????12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，所以?R B ＝{x |x ＜2，或x ＞4}，此时A ∩?R B ＝{x |0≤x ＜2，或x ＞4}． (2)M ＝{y |y ＞0}，S ＝{x |x ＞1}，故选A. 答案 (1)C (2)A 规律方法 一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn 图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况． 【训练3】(1)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则(?U A )∪B 为( )． A ．{1,2,4} B ．{2,3,4} C ．{0,2,4} D ．{0,2,3,4} (2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)＜1}，则A ∩(?U B )＝________. 解析 (1)?U A ＝{0,4}，∴(?U A )∪B ＝{0,2,4}． (2)由log 2(x －2)＜1，得0＜x －2＜2,2＜x ＜4，所以B ＝{x |2＜x ＜4}．故?U B ＝{x |x ≤2，或x ≥4}，从而A ∩(?U B )＝{x |－1≤x ≤2}． 答案 (1)C (2){x |－1≤x ≤2} {}9B =,;B A =B B = )()(); U U B A B =? )()()U U B A B =? ()()card A B card A =+ ()()card B card A B - ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有两相)(,2121x x x x <有两相等a b x x 221- ==无实根 有意义的 ①一个命题的否命题为真，它的逆 命题一定为真. （否命题?逆命 题.）②一个命题为真，则它的逆 否命题一定为真.（原命题?逆 否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。 会用反证法证明一些代数命题。 充分条件与必要条件 答案见下一页 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=,则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3a =±①当3 a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集 合中元素用字母表示，检验必不可少。 例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④ 例7填2 例8C 例9? 例10解：∵M={y|y =x 2+1，x ∈R}={y |y ≥1}，N={y|y =x +1，x ∈R}={y|y ∈R}∴ M∩N=M={y|y ≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M 、N 均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M ，N 分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y |y =f (x )，x ∈A}应看成是函数y =f (x )的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x ，y ）|y=x 2+1，x ∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y =x 2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y ≥1}={x |x ≥1}。 例11填?注：点集与数集的交集是φ. 例12埴?,R 例13解：∵C U A = {1，2，6，7，8} ,C U B = {1，2，3，5，6}, ∴(C U A)∩(C U B) = {1，2，6} ,(C U A)∪(C U B) = {1，2，3，5，6，7，8}, A ∪ B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ C U (A ∪B) = {1,2,6} ,C U (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例145,6a b ==-; 例15原不等式的解集是{}37|<<-x x 例16 53|332 2x R x x ??∈-<-+-->+?? ≥或,即3344123x x x x ? 2或x <31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <31}.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x < 31，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1- 一. 本周教学内容： 集合与简易逻辑 知识结构： 【典型例题】 例1. 已知集合A{2，3，7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有 A. 2个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 解：集合A可有三类：第一类是空集；第二类是A中不含奇数；第三类是A中只含一小结：应充分理解“至多”两字，然后进行分类计数。 例2. 设全集I=R，集合A={x|(x－1)(x－3)≤0}，B={x|(x－1)(x－a)<0}且 解：解不等式(x－1)(x－3)≤0，得1≤x≤3，故A={x|1≤x≤3}，当a<1时， 是[1，3] 小结：这类问题一般可采用画数轴进行分析解决。 例3. 解： 小结：此题将解方程与集合运算有机地结合起来，对解题能力的要求略高一些，当然 例4. 解不等式|x+2|+|x|>4 解法一： 综上可知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>1} 解法二：不等式|x+2|+|x|>4表示数轴上与A(－2)，O(0)的距离之和大于4的点，如图所示。 小结：①我们常用脱去绝对值的方法来解含有绝对值的不等式，即零点分区间法，其实质是转化为分段求解，如解法一。 ②解法二是充分考虑绝对值的几何意义，从形的方面来考虑的，解决任何一个数学问题都要养成从数、形两个方面去思考的习惯，数形结合是数学中的一种基本的思维方法。 例5. 若关于x的不等式x2－ax－6a<0的解集为一开区间，且此区间的长度不超过5，试求a的取值范围。 解： 小结： 解a的范围。但韦达定理不能保证有实根，故应注意Δ>0这一条件。 例6. 解： 依题意有： 小结：关于方程根的讨论一般用函数的观点和方法去解决会使问题简洁。 例7. 等差数列{a+bn|n=1，2，…}中包含一个无穷的等比数列，求a，b（b≠0）所需满足的充分必要条件 解：设有自然数n1 高中数学复习讲义 第一章 集合与简易逻辑 第1课时 集合的概念及运算 【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想． 【基础练习】 1.集合用列举法表 2.设集合，，则 3.已知集合，，则集合_ 4.设全集，集合，，则实数a 的值为_____． 【范例解析】 例.已知为实数集，集合.若，或，求集合B . 【反馈演练】 1．设集合，，，则=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =，则P +Q 中元素的个数是______个． 3．设集合，. （1）若，求实数a 的取值范围； {(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈{21,}A x x k k Z ==-∈{2,}B x x k k Z ==∈A B ?={0,1,2}M ={2,}N x x a a M ==∈M N ?={1,3,5,7,9}I ={1,5,9}A a =-{5,7}I C A =R 2{320}A x x x =-+≤R B C A R ?={01R B C A x x ?=<<23}x <<{ }2,1=A {}3,2,1=B {}4,3,2=C ()C B A U ?},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q 2{60}P x x x =--<{23}Q x a x a =≤≤+P Q P ?= 第一章 集合与简易逻辑 一、集合的定义小测 姓名 ： 座号： 1、下列对象中不能组成集合的是（ B ） A.所有小于10的自然数； B.某班个子高的同学 C.方程012=-x 的所有解 D.不等式02>-x 的所有解。 2、指出下列各集合中，（ C ）集合是空集。 A.方程60x +=的解集； B.方程012=-x 的解集 C.大于-4且小于-2的所有偶数组成的集合 D.方程226>0x x -+的解集 3、指出下列各集合中，(B )是空集,( A)是有限集,(C D )是无限集. A.{|10}x x += B.2{|10}x x += C.{(,)|}x y x y = D.{|50}x x -≤< 4、用符号“∈”或“?”填空 1）3- ? N 5.0 ? N 3 ∈ N 2)5.1 ? Z 5- ∈Z 3 ∈ Z 3)2.0- ∈ Q π ?Q 21.7∈ Q 4) 5.1∈ R 2.1- ∈ R π ∈ R 5、用列举法表示下列各集合； 1）大于-4且小于12的所有偶数组成的集合{2,0,2,4,6,8,10}- ； 2）方程2560x x -+=的解集 {2,3} ； 6、描述法表示下列各集合 1）小于5的所有整数组成的集合 {|5,}x x x Z <∈ ； 2）不等式210x +≤的解集 1{|}2 x x ≤- ； 3）所有的奇数组成的集合 {|21,}x x k k Z =+∈ ； 4）在直角坐标系中，由x 轴上所有的点组成的集合 {(,)|0}x y y = ； 5）在直角坐标系中，由第一象限的所有点组成的集合 {(,)|0,0}x y x y >> 。 7、用列举法表示下列各集合； 1）方程2340x x --=的解集；2）方程430x +=的解集； {1,4}- 3{}4- 3）由数1，4，9，16，25组成的集合；4）所有的正奇数组成的集合 {1，4，9，16，25} {|21,}x x k k N =+∈ 7、描述法表示下列各集合 1）大于3的所有实数组成的集合 {|3}x x > ； 2）小于20的所有自然数组成的集合 {|20,}x x x N <∈ ； 3）大于5的所有偶数组成的集合 {|2,,2}x x k k N k =∈> ； 4）不等式450x -<的解集 5{|}4x x < ； 5）由第四象限所有点组成的集合 {(,)|0,0}x y x y >< ； 8、用列举法表示下列各集合； 1）小于5的所有正整数组成的集合； {1，2，3，4} 集合、简易逻辑 知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ?B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； [课题]第一章集合与简易逻辑测试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.集合A={x|x≤}，a=3，则( ) A.a A B.a A C.{a}∈A D.{a} A 2.集合M={x|x=3k-2，k∈Z}，Q={y|y=3l+1，l∈Z}，S={z|z=6m+1，m∈Z}之间的关系是( ) A.S Q M B.S=Q M C.S Q=M D.S Q=M 3.若A={1，3，x}，B={x2，1}，且A∪B=A，则这样x的不同取值有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.符合条件{a}P{a，b，c}的集合P的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 5.若A={x|x2-4x+3＜0}，B={x|x2-6x+8＜0}，C={x|2x2-9x+a＜0}，(A∩B)C，则a的取值范围是( ) A.a≤10 B.a≥9 C.a≤9 D.9≤a≤10 6.若a＞0，使不等式|x-4|+|3-x|＜a在R上的解非空，则a的值必为( ) A.0＜a＜1 B.0＜a≤1 C.a＞1 D.a≥1 7.集合A={x|x2-5x+4≤0}，B={x|x2-5x+6≥0}，则A∩B= ( ) A.{x|1≤x≤2，或3≤x≤4} B.{x|1≤x≤2，且3≤x≤4} C.{1，2，3，4} D.{x|1≤x≤4或2≤x≤3} 8.如果方程x2+(m-3)x+m的两根都是正数，则m的取值范围是( ) A.0＜m≤3 B.m≥9或m≤1 C.0＜m≤1 D.m＞9 9.由下列各组命题构成“P或Q”，“P且Q”，“非P”形式的复合命题中，“P或Q”为真命题，“P且Q”为假命题，“非P”为真命题的是( ) 2013高考数学基础检测：01专题一-集合与简易逻辑 专题一 集合与简易逻辑 一、选择题 1．若A={x ∈Z|2≤22-x <8}, B={x ∈R||log 2x|>1}， 则A ∩(C R B)的元素个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．命题“若x 2<1，则-1 {x|x>0}=ф，则实数m 的取值范围是_________． 10．（2008年高考·全国卷Ⅱ）平面内的一个四边形为平行四边形的充分条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件： 充要条件①_____________________； 充要条件②_____________________．（写出你认为正确的两个充要条件） 11．下列结论中是真命题的有__________（填上序号即可） ①f(x)=ax 2+bx+c 在[0, +∞)上单调递增的一 个充分条件是-2a b <0； ②已知甲：x+y ≠3；乙：x ≠1或y ≠2．则甲是乙的充分不必要条件； ③数列{a n }, n ∈N * 是等差数列的充要条件是 P n (n, n S n )共线． 三、解答题 12．设全集U=R ，集合A={x|y=log 2 1 (x+3)(2-x)}, B={x|e x-1 ≥1}． （1）求A ∪B ； （2）求(C U A)∩B ． 课 题：1.1集合－集合的概念（1） 教学过程： 一、复习引入： 1．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）（见附录）； 2．“物以类聚”，“人以群分”； 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： （1）有那些概念？是如何定义的？ （2）有那些符号？是如何表示的？ （3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有关概念 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素. 定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合． 1、集合的概念 （1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。 （2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。 2、常用数集及记法 （1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合。记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合。记作R {} 数轴上的点所对应的数 =R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括 数0 （2）非负整数集内排除0的集，记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示， 例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 3、元素对于集合的隶属关系 （1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 4、集合中元素的特性 高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一） 集合与简易逻辑 基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。 1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如（1）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若 {0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。 （答：8）（2）设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；（3）非空集合 }5,4,3,2,1{?S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6” ，这样的S 共有_____个（答：7） 2.遇到A B =?时，你是否注意到“极端”情况：A =?或B =?；同样当A B ?时，你是否忘记?=A 的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______.（答：10,1,2 a =） 3.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数 依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n 如满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有______个。 （答：7） 4.集合的运算性质： ⑴A B A B A =??； ⑵A B B B A =??；⑶A B ?? u u A B ?痧； ⑷u u A B A B =???痧； ⑸u A B U A B =??e； ⑹()U C A B U U C A C B =；⑺()U U U C A B C A C B =.如设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =） 5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函数图象上的点集，如 （1）设集合{|M x y ==，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则M N =___（答： [4,)+∞） ；（2）设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，{|(2,3)(4,5)N a a λ==+， }R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--） 6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函 数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使 0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：3(3,)2 -） 7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：⑴“p 且q ”为真是“p 或q ”为真的充分不必要条件；⑵“p 且q ”为假是“p 或 集合与简易逻辑专题训练 一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分） 1、下列表示方法正确的是 A 、1?{0,1,2} B 、{1}∈{0,1,2} C 、{0,1,2}?{0,1,3} D 、φ {0} 2、已知A={1，2，a 2－3a －1},B={1,3},=B A {3,1}则a 等于 A 、-4或1 B 、-1或4 C 、-1 D 、4 3、设集合},3{a M =，},03|{2 Z x x x x N ∈<-=，}1{=N M ，则N M 为 A 、 {1,3,a} B 、 {1,2,3,a} C 、 {1,2,3} D 、 {1,3} 4、集合P=},2|),{(R x y x y x ∈=-，Q=},2|),{(R x y x y x ∈=+，则P Q A 、（2，0） B 、{（2，0 ）} C 、{0，2} D 、{}|2y y ≤ 5、下列结论中正确的是 A 、命题p 是真命题时，命题“P 且q ”一定是真命题。 B 、命题“P 且q ”是真命题时，命题P 一定是真命题 C 、命题“P 且q ”是假命题时，命题P 一定是假命题 D 、命题P 是假命题时，命题“P 且q ”不一定是假命题 6、“0232=+-x x ”是“x=1”的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件 7、一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中 A 、真命题的个数一定是奇数 B 、真命题的个数一定是偶数 C 、真命题的个数可能是奇数也可能是偶数 D 、上述判断都不正确 8、设集合},2|{Z n n x x A ∈==，},2 1 |{Z n n x x B ∈+==，则下列能较准确表示A 、B 关系的图是 9、命题“对顶角相等”的否命题是 A 、对顶角不相等 B 、不是对顶角的角相等 专题一集合与简易逻辑 一、考点回顾 1、集合的含义及其表示法，子集，全集与补集，子集与并集的定义； 2、集合与其它知识的联系，如一元二次不等式、函数的定义域、值域等； 3、逻辑联结词的含义，四种命题之间的转化，了解反证法； 4、含全称量词与存在量词的命题的转化，并会判断真假，能写出一个命题的否定； 5、充分条件，必要条件及充要条件的意义，能判断两个命题的充要关系； 6、学会用定义解题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 二、经典例题剖析 考点1、集合的概念 1、集合的概念： （1）集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2）集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集； ②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x2}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2} 表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； （3）集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描 述法。 2、两类关系： （1）元素与集合的关系，用∈或?表示； （2）集合与集合的关系，用?，≠?，=表示，当A?B时，称A是B的子集；当A≠?B时，称A是B的真子集。 3、解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题 4、注意空集?的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如A?B,则有A=?或A≠?两种可能，此时应分类讨论 例1、下面四个命题正确的是 （A）10以内的质数集合是{1，3，5，7} （B）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} （C）0与{0}表示同一个集合（D）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1} m}．若B?A，则实数m＝．例2、已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，2 {}9B =,;B A = )()();U U B A B =? ()()A B card A =+ ()U A =e()U A =e13设全集，2，3，4A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（C U A ）∩ B), (C U A)(A ∪B), C U B). 有意义的q 同为假时为假，其他情况时为真即当当为真；③“非 数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻 辑)答案 例1选A; 例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集. 例3解:∵{}9A B =,∴9A ∈.⑴若219a -=, 则5a =,此时{}{}4,9,25,9,0,4A B =-=-, {}9,4A B =-,与已知矛盾,舍去.⑵若29a =,则3 a =±①当3a =时,{}{}4,5,9,2,2,9A B =-=--.B 中有两个元素均为2-,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当3a =-时,{}{}4,7,9,9,8,4A B =--=-,符合题意.综上所述,3a =-. [点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。 例 例y |y ≥1}，≥，N 分别是二集合{y |y =f (x )，|y=x 2+1，x ∈R} y =x 2+1 x |x ≥1}。 φ. 8} ,C U B = {1， A)∪(C U B) = ,∴ C U (A ∪B) }3< 3x ?+,即123x x ??>2或x < 3 1 }.方法2：(整体换元转化法)分析：把右边看成常数c ，就同)0(>>+c c b ax 一样∵|4x -3|>2x +1?4x -3>2x +1或4x -3<-(2x +1) ? x >2 或x <3 1 ，∴原不等式的解集为{x | x >2或x <3 1}. 例18分析：关键是去掉绝对值. 方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1 - 集合、简易逻辑 集合知识梳理： 1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ? 集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R 2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ?B 3、真子集：如果A ?B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为 A ? B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,?。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集 结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ?S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ?∈且,|。 5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。 6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈且,|。 7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ?即：B A ?=}{B x A x x ∈∈或,|。 记住两个常见的结论：B A A B A ??=?；A B A B A ??=?； 命题知识梳理： 1、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题 特称命题） ⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“?”表示； 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 第一章集合与简易逻辑小结 Summary of the first chapter set and simple l ogic 第一章集合与简易逻辑小结 前言：小泰温馨提醒，数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科，从某种角度看属于形式科学的一种，在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。本教案根据数学课程标准的要求和针对教学对象是高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 教学目的：⒈理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合；掌握带绝对值的不等式与一元二次不等式的解法．⒉理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相互关系；进一步了解反证法，会用反证法证明简单的问题；掌握充要条件的意义．教学重点： 1.有关集合的基本概念; 2.逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件教学难点： 1.有关集合的各个概念的含义以及这些概念相互之间的区别与联系; 2.对一些代数命题真假的判断. 授课类型：复习授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：这一章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容．集合 部分主要包括集合的有关概念、集合的表示及集合同集合之间的关系．简易逻辑知识部分主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”、四种命题及其相互关系、充要条件等有关知识．教学过程：一、知识结构:本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分：【知识点与学习目标】：【高考评析】集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法．【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆．【数学思想】 1、等价转化的数学思想； 2、求补集的思想； 3、分类思想； 4、数形结合思想．【解题规律】 1、如何解决与集合的运算有关的问题: 1）对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素． 2．如何解决与简易逻辑有关的问题： 1）力求寻找构成此复合命题的简单命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题二、基本知识点：集合： 1、集合中的元素属性： 1 高中数学第一册（上） 第一章集合与简易逻辑 ◇教材分析 【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（可看做集合的化简）、简易逻辑三部分： 【知识点与学习目标】 【高考评析】 集合知识作为整个数学知识的基础，在高考中重点考察的是集合的化简，以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维，寻求解决其他问题的方法． ◇学习指导 【学法指导】本章的基本概念较多，要力求在理解的基础上进行记忆． 【数学思想】1．等价转化的数学思想；2．求补集的思想； 3．分类思想；4．数形结合思想． 2 【解题规律】 1．如何解决与集合的运算有关的问题？ 1）对所给的集合进行尽可能的化简； 2）有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系； 3）有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素． 2．如何解决与简易逻辑有关的问题？ 1）力求寻找构成此复合命题的简单命题； 2）利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题． 引言 通过一个实际问题，目的是为了引出本章的内容。 1、分析这个问题，要用数学语言描述它，就是把它数学化，这就需要集合与逻辑的知识； 2、要解决问题，也需要集合与逻辑的知识． 在教学时，主要是把这个问题本身讲清楚，点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对．而要进一步认识、讨论这个问题，就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了． §1.1集合 〖教学目的〗通过本小节的学习，使学生达到以下要求： (1)初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法；(2)初步了解“属于”关系的意义； (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义． 〖教学重点与难点〗本小节的重点是集合的基本概念与表示方法；难点是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合． 〖教学过程〗 ☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 1、集合的概念： 在初中代数里学习数的分类时，就用到“正数的集合”，“负数的集合”等此外，对于一元一次不等式2x一1＞3，所有大于2的实数都是它的解．我们也可以说，这些数组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． 在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合． 一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．这句话，只是对集合概念的描述性说明．集合则是集合论中原始的、不定义的概念．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．例如，“我校篮球队的队员”组成一个集合；“太平洋、大西洋、印度 第一章 集合与简易逻辑 （考试时间：60分钟；满分：80分） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．在下列四个结论中，正确的有( ) (1）843 2-<>x x 是的必要非充分条件； (2）ABC ?中，A>B 是sinA>sinB 的充要条件； (3）213≠≠≠+y x y x 或是的充分非必要条件； (4）0cot tan sin <>x x x 是的充要条件. A .(1)(2)(4) B ．(1)(3)(4) C ．(2)(3)(4) D ．(1)(2)(3)(4) 2．设集合A ＝{1,2,3,4}， B ＝{3,4,5}，全集U ＝A ∪B ，则集合?U (A ∩B )的元素个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．设a ∈R ，则a ＞1是1a <1的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题中的假命题．．． 是( ) A ．,lg 0x R x ?∈= B ．,tan 1x R x ?∈= C ．3,0x R x ?∈> D ．,20x x R ?∈> 5．集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =,则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．已知p ：存在x ∈R ，mx 2＋1≤0；q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0，若p 或q 为假，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≤－2 B ．m ≥2 C ．m ≥2或m ≤－2 D ．－2≤m ≤2 7．对于集合A ，B ，“A ∩B=A ∪B ”是“A=B ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 第一章 集合与简易逻辑 一、基础知识 定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x 在集合A 中，称x 属于A ，记 为A x ∈，否则称x 不属于A ，记作A x ?。例如，通常用N ，Z ，Q ，B ，Q +分别表示自然数集、 整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用?来表示。集合分有限集和无限集两种。 集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数}，}0{>x x 分别表示有理数集和正实数集。 定义2 子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素，则A 叫做B 的子集，记为B A ?，例如Z N ?。规定空集是任何集合的子集，如果A 是B 的子集，B 也是A 的子集，则称A 与B 相等。如果A 是B 的子集，而且B 中存在元素不属于A ，则A 叫B 的真子集。 定义3 交集，}.{B x A x x B A ∈∈=且I 定义4 并集，}.{B x A x x B A ∈∈=或Y 定义5 补集，若},{,1A x I x x A C I A ?∈=?且则称为A 在I 中的补集。 定义6 差集，},{\B x A x x B A ?∈=且。 定义7 集合},,{b a R x b x a x <∈<<记作开区间),(b a ，集合 },,{b a R x b x a x <∈≤≤记作闭区间],[b a ，R 记作).,(+∞-∞ 定理1 集合的性质：对任意集合A ，B ，C ，有： （1）);()()(C A B A C B A I Y I Y I = （2）)()()(C A B A C B A Y I Y I Y =； （3）);(111B A C B C A C I Y = （4）).(111B A C B C A C Y I = 【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。 （1）若)(C B A x Y I ∈，则A x ∈，且B x ∈或C x ∈，所以)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即)()(C A B A x I Y I ∈；反之，)()(C A B A x I Y I ∈，则)(B A x I ∈或)(C A x I ∈，即A x ∈且B x ∈或C x ∈，即A x ∈且)(C B x Y ∈，即).(C B A x Y I ∈ （3）若B C A C x 11Y ∈，则A C x 1∈或B C x 1∈，所以A x ?或B x ?，所以)(B A x I ?，又I x ∈，所以)(1B A C x I ∈，即)(111B A C B C A C I Y ?，反之也有 .)(111B C A C B A C Y I ? 定理2 加法原理：做一件事有n 类办法，第一类办法中有1m 种不同的方法，第二类办法中有2m 种不同的方法，…，第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N +++=Λ21种不同的方法。 定理3 乘法原理：做一件事分n 个步骤，第一步有1m 种不同的方法，第二步有2m 种不同的方法，…，第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事一共有n m m m N ???=Λ21种不同的方法。 二、方法与例题 1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。 例1 设},,{2 2Z y x y x a a M ∈-==，求证： （1）)(,12Z k M k ∈∈-；集合与简易逻辑知识点归纳(1)
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