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两点间的距离公式与线段中点的坐标
同步训练A 一、 选择题
1、已知A （－2，5），B （0，7），则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）
A 、（－2，12）
B 、（－1，6）
C 、（－1，－1）
D 、（0，2
7
）
2、已知A （2，－1），B （3，4），则︱AB ︱＝ （ ） A 、5 B 、5 C 、34 D 、26
3、已知A （－2，5），B 为坐标原点，则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）
A 、（－1，25）
B 、（1，2
5
） C 、（0，0） D 、（2，－5）
4、已知A （－2，5）B 为坐标原点，则︱AB ︱＝ （ ） A 、2 B 、5 C 、29 D 、29
5，已知△ABC 中，A （2，－1），B （3，4），C （－3，6），点D 为BC 的中点，则点D 的坐标为（ ）
A 、（0，5）
B 、（25，23）
C 、（－21，2
5
） D 、（0，－5）
二、填空题
6、已知A （2，0），B （0，－1），则线段AB 的中点M 的坐标为 ，︱AB ︱＝
7、已知点P 的坐标为（1，－2），线段PQ 的中点的坐标为（－4，－5），则点Q 的坐标为 。 三、解答题
8、已知M （1，－5），N （1，4），求线段MN 的中点O 的坐标和︱MN ︱。
9、已知△ABC 三个顶点坐标分别为A （3，1），B （－3，4），C （1，－6），求各个边上的中点坐标用AB 边上的中线的长度。
同步训练B 一、选择题
1、已知A （－2，5），B （－2，7），则线段AB 的中点M 的坐标为（ ）
A 、（－2，2
5） B 、（－2，27
） C 、（－2，－1） D 、（－2，6）
2、已知A （2，－1），B （3，－1），则︱AB ︱＝ （ ） A 、5 B 、1 C 、－1 D 、29
3、已知点A （－2，5），点A 关于点O 的对称点B 为（2，－5），则点O 的坐标为（ ）
A 、（－2，5）
B 、（－1，2
5
） C 、（0，0） D 、（2，－5）
4、已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （－2，5），B （3，4），C （－3，6），则
︱BD ︱＝ （ ）
A 、130
B 、2
C 、210
D 、26
5、已知菱形ABCD 中，︱AB ︱＝︱AD ︱＝2，∠A ＝60°，则︱BD ︱＝ （ ）
A 、1
B 、2
C 、2
D 、3
二、填空题
6、已知A （2，0），B （－1，y ），且︱AB ︱＝5，则y ＝ 。
7、已知点A （3，－4），点B 为x 轴上一点，且︱AB ︱＝5，则点B 的坐标为 。
8、已知四个点A （3，1），B （－3， 4），C （1，－6），D （0，0），点E 、F 分别为AC ，BD 的中点，则︱EF ︱＝ 。
三、解答题
9、已知点O （－3， 4）是点M （m ，－5）和点N （1，n ）连线的中点，求m ，n 。
10、已知平行四边形ABCD 的顶点坐标分别为A （－2，5），B （3，4），点O （1，1）是两条对角线的交点，求顶点C ，D 的坐标。
11、已知A （3，0），点B 是y 轴上的点，且︱AB ︱＝5，求点B 的坐标。
直线方程
同步训练A 一、 选择题
1、已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，则直线l 的斜率k 和在y 轴上的截距b 分别为 （ ）
A 、k ＝－43，b ＝－41
B 、k ＝－43
，b ＝－1
C 、k ＝43，b ＝41
D 、k ＝4
3
，b ＝1
2、直线l 的斜率为
3
3
，则直线l 的倾斜角为（ ） A 、30° B 、60° C 、120° D 、150° 3、直线3x －2y ＝6在x 轴上的截距为（ ） A 、2 B 、－2 C 、3 D 、－3
4、直线方程为A x ＋B y ＋C ＝0，当A ＞0，B ＞0，C ＞0时，此直线必经过（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、三、四象限 D 、第一、二、四象限
5、已知直线l 经过两个点A （1，2），B （4，5），则直线的斜率为（ ） A 、
3
3
B 、1
C 、3
D 、－1 6、若直线过（3，3）且倾斜角为30°，则该直线方程是（ ） A 、y ＝3x B 、y ＝3 x ＋2 C 、y ＝
33 x ＋2 D 、y ＝3
3 x －
4 7、直线l ：y －1＝3（ x ＋2 ）在y 轴上的截距为（ ） A 、23 B 、23＋1 C 、23－1 D 、3＋1
二、填空题
8、已知直线l 经过一点M （－2，0），且斜率为k ＝2，则它的点斜式方程为 。
9、已知直线l 在y 轴上和在x 轴上的截距分别是b ＝－2，a ＝5，则该直线方程为 。
10、直线l ：x －y ＋1＝0的倾斜角为 。 11、直线l 经过点A （2，3），B （1，－1）两点，则直线l 的方程为 三、解答题
12、求满足下列条件的直线方程，并化为一般式： （1）在x 轴上的截距是－1，在y 轴上的截距是2； （2）过点（－2，4），在x 轴上的截距是－1； （3）在x 轴上的截距是2，且与y 轴平行。
13、求直线l ：x －y ＋1＝0与坐标轴所围成的三角形的面积。
14、已知P （3，m ）在过点M （2，－1）和N （－3，4）的直线上，求m 的值。
15、已知过点A （－2，m ），B （m ，4）的直线的斜率是1，求m 的值。
16、已知直线的倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－2，求该直线方程。
同步训练B 一、 选择题
1、直线l 的倾斜角α的取值范围是 （ ）
A 、0°≤α≤180°
B 、0°≤α＜180°（α≠90°）
C 、0°≤α＜360°
D 、0°≤α＜180° 2、没有斜率的直线一定是（ ）
A 、过原点的直线
B 、垂直于x 轴的直线
C 、垂直于y 轴的直线
D 、垂直于坐标轴的直线 3、直线l 的斜率为
3
3
，则直线l 的倾角为（ ） A 、30° B 、60° C 、120° D 、150°
4、已知过两点A （－m ，6）和B （1，3m ）的直线的斜率为－3
2
，则m ＝（ ） A 、、
1116 B 、1611 C 、720 D 、20
7
5、直线y －2＝－3（x ＋1）的倾斜角和所过定点分别是（ ）
A 、－
3
π
，（－1，2） B 、32π，（－1，2）
C 、65π，（－1，2）
D 、3
2π，（1，2）
6、直线A x ＋B y ＋C ＝0的倾斜角为120°，则A ＝（ ）
A 、3
B B 、－3B
C 、
3
B D 、－
3
B
7、如图所示，l 1、l 2、l 3的斜率分别是 k 1、k 2、k 3则（ ） A 、k 1＜k 2＜k 3 B 、k 3＜k 1＜k 2 C 、k 3＜k 2＜k 1 D 、k 1＜k 3＜k 2
8、在直角坐标系中，任何一条直线都可以表示为（ ） A 、直线的点斜式 B 、直线的截距式 C 、直线的两点式 D 、直线的一般式 9、经过点A （－3，4），并且在两坐标轴上的截距之各等于12的直线方程只能是（ ）
A 、x －3y －9＝0
B 、x ＋3y －9＝0
C 、9 x －3 y －36＝0
D 、4 x －y ＋16＝0
10、在等腰三角形ABC 中，︱AC ︱＝︱AB ︱，点C （0，0），A （2，6），点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为（ ）
A 、y －2＝3（x －6）
B 、y －2＝－3（x －6）
C 、y －6＝3（x －2）
D 、y －6＝－3（x －2） 11、已知A （3，0），B （0，4），动点P （x ，y ）在线段AB 上运动，则xy 的最大值为（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5 二、填空题
12、经过点A （6，－3），B （2，5）的直线的倾斜角是 。
13、已知直线l 经过一点，l 的斜率k ＝－2，则直线的点斜式方程为
14、已知直线l 的一个方向向量υ（－2，5），则l 的斜率为 。
15、直线（2m ＋m －3）x ＋（m 2－m ）y －（4m －1）＝0，当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距是1. 16、过点（1，3），且平行于x 轴的直线方程为 ，平行于y 轴的直线方程为 。 17、若直线l 经过点A （cos50°，sin50°），B （0，0），则直线l 的倾斜角为 三、解答题 18、直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为10
10
，求这条直线的方程。
19、已知直线l 的倾角为6
π，在x 轴上的截距为1，求直线l 的方程。
20、求满足下列条件的直线方程，并化成一般式
（1）在x 轴上的截距是2，在y 轴上的截距是－3；
（2）在y 轴上的截距是3，且与x 轴平行。
21、已知直线l 在x 轴上的截距是4，它与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l 的方程。
22、已知两点A （―1，―5），B （3，－2），直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线的斜率k 。
23、已知直线l 的倾角是直线y ＝－3 x ＋1的倾角的4
1，且经过点（3，－1），求直线l 的点斜式方程。
两条直线的位置关系 同步训练A 一、 选择题 1、直线2 x －y ＋2＝0和x ＋3 y ＋1＝0的位置关系是（ ） A 、相交 B 、平行 C 、重合 D 、以上都不对
2、直线2 x ＋y ＋2＝0和y ＝－2 x ＋21的位置关系是（ ）
A 、相交
B 、平行
C 、重合
D 、以上都不对 3、两条直线x ＋y －2＝0和x ＋1＝0的夹角为（ ） A 、0° B 、45° C 、90° D 、135° 4、点P （－3，1）到直线x －y ＋2＝0的距离是（ ） A 、0 B 、2 C 、2 D 、22
5、直线2 x－y＋2＝0和x＋3 y＋1＝0的交点坐标为（）
A、（－1，0）
B、（1，4）
C、（－2，－2）
D、（0，2）
6、过点（－1，3）且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程是（）
A、2 x＋y－1＝0
B、2 x＋y＋1＝0
C、x－2y＋7＝0
D、x－2y－1＝0
7、过原点和直线x－3y＋4＝0与直线2 x＋y＋5＝0的交点的直线方程为（）
A、3 x＋19y＝0
B、9 x＋19y＝0
C、19x－3y＝0
D、19x－9y＝0
8、已知点A（3，5），B（1，－1），则线段AB的垂直平分线方程为（）
A、x＋3y－8＝0
B、x＋3y＋8＝0
C、x－3y－8＝0
D、x－3y＋8＝0
二、填空题
9、直线x＋ay＋3＝0与直线2 x＋y＋1＝0相互垂直，则a的值为。
10、过点（－1，3）且与直线x－2y＋1＝0平行的直线方程为。
11、直线2x－6y＋4＝0与直线x－3y＋2＝0的位置关系是。
12、点P（3，－2）到直线x－4＝0的距离是。
13、平行直线x－3y＋2＝0与x－3y－8＝0的距离是。
14、平面上两条直线的夹角的取值范围是。
三、解答题
15、求满足下列条件的直线方程：
（1）过点（1，2）且与直线2 x－1＝0平行的直线；
（2）过点（1，2）且与直线2 x－1＝0垂直的直线。
16、△ABC三条边所在的直线方程分别为：直线AB：3x－2y－5＝0，直线BC：x＋1＝0，直线CA：x＋4y－11＝0。
（1）求出△ABC三个顶点的坐标；
（2）画出△ABC；
（3）求△ABC的面积。17、已知三点A（1，5），B（―3，3），C（4，―1），求证：A B⊥AC。
18、△ABC三个顶点坐标分别为A（2，5），B（―1，―1），C（3，1），求
（1）直线AB的方程；
（2）AB边上高的长度；
（3）△ABC的面积。
19、求点A（1，2）关于直线l：2x－y＋4＝0的对称点的坐标。
20、已知平行四边形ABCD三个顶点A（3，2），B（―1，―1），C（5，―4），求这个平行四边形的面积。
同步训练B 一、 选择题
1、直线x ＋2＝0和y ＋1＝0的位置关系是（ ）
A 、相交
B 、平行
C 、重合
D 、以上都不对 2、两条直线x ＋1＝0和y ＋2＝0的夹角为（ ） A 、30° B 、60° C 、90° D 、120°
3、直线x ＋y ＋2＝0上的点到原点的距离的最小值为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、22
4、当三条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0和x －ky ＝0相交于一点时，则k ＝（ ）
A 、21
B 、－2
1
C 、2
D 、－2
5、若直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么a ＝（ ）
A 、－3
B 、－6
C 、－23
D 、3
2
6、下列三个命题：
（1）若直线l 1、l 2都存在斜率且斜率相等，则l 1∥l 2； （2）若直线l 1⊥l 2，则它们的斜率互为负倒数；
（3）两条直线的倾角的正弦值相等，则这两条直线平行。 这三个命题中正确的个数是（ ）
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个
7、已知直线l 1和l 2的斜率是方程6x 2＋x －1＝0的两个根，则l 1与l 2所成的角为（ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90°
8、由直线l 1：x ＋2y －6＝0，l 2：2x ＋4y ＋5＝0，l 3：2x －y ＝0，l 4：7x －y ＋6＝0所围成的四边形是（ ）
A 、平行四边形
B 、矩形
C 、梯形
D 、直角梯形 9、下列各组中的两个方程表示两条直线
（1）y ＝2
1
x ，y ＝2 x ； （2）3x ＋2y ＝0，2x ＋3y ＝0；
（4）2x ＋3y ＝0，6x －4y ＝0； （4）3x ＝1，3y ＝－1 其中互相垂直的组数是（ ）
A 、1组
B 、2组
C 、3组
D 、4组
10、两条平行线2x ＋y －6＝0与4x ＋2y ＋7＝0间的距离为（ ）
A 、1017
B 、1019
C 、
10
175 D 、10195 11、经过点A （－2，3），且平行于直线x ＝3的直线方程是（ ）
A 、4x ＋7y ＋17＝0
B 、x －2＝0
C 、4x ＋7y ＋10＝0
D 、x ＋2＝0 二、填空题
12、直线2 x －6 y ＋4＝0与直线y ＝3x ＋3
2
的位置关系是 。
13、过直线2 x －3 y －3＝0与2 x －7 y －8＝0的交点且与直线4x ＋y －3＝0平行的直线方程为 。
14、已知直线l 1：3 x ＋y ＝0，l 2：kx －y ＋1＝0，若与夹角为60°，则k ＝ 15、直线A x ＋4y －2＝0与2x －5y ＋C ＝0垂直相交于点（1，m ），则A ＝ ，m ＝ ，C ＝ 。 16、已知平行线3x ＋2y －6＝0和6x ＋4y －3＝0，则与这两条平行线距离相等的点的轨迹是 。
17、点P （0，m ）到直线4x ＋3y －6＝0的距离大于4，则的取值范围是 18、已知直线m x ＋4y －2＝0与2x －5y ＋n ＝0垂直，垂足为（1，k ），则m ＋n ＋k 等于 三、解答题
19、求经过点P （1，2）且与直线x ＋y ＋6＝0的夹角为45°的直线方程
20、在直线2x －y －3＝0上找一点，使得该点到直线3x ＋y －2＝0的距离等于10
21、在△ABC 中，BC 边上的高线所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0，若点B 的坐标为（1，2），求点A 和点C 的坐标。
22、过点P （1，2）的直线，使A （2，3），B （4，－5）到它的距离相等，求此直线方程。
23、已知平行四边形所在的直线为x－2y＋6＝0和2x＋3y＋3＝0，一个顶点为（－1，5），求平行四边形另两条边所在的直线方程。
24、求直线x＋7y－2＝0和直线x－y＋1＝0交角的平分线所在直线方程。
25、等腰三角形一条腰所在的直线方程为x－2y－2＝0，底边所在的直线方程为x ＋y－1＝0，点（－2，0）在另一腰上，求另一腰所在的直线方程。
圆直线与圆的位置关系
同步训练A
一、选择题
1、圆（x－2）2＋（y＋5）2＝9的圆心和半径分别为（）
A、（2，－5） 3
B、（2，－5） 9
C、（－2， 5） 3
D、（－2， 5） 9 2、圆心为点O（1，－3），半径为13的圆的方程为（）
A、（x＋1）2＋（y－3）2＝13
B、（x＋1）2＋（y－3）2＝13
C、（x－1）2＋（y＋3）2＝13
D、（x－1）2＋（y＋3）2＝13
3、圆x2＋y2＋4x－2y＋2＝0的圆心坐标是（）
A、（4，－2）
B、（－4， 2）
C、（2，－1）
D、（－2， 1）
4、直线2x－y＋5＝0与圆x2＋y2－4x＋3＝0的位置关系是（）
A、相交且直线过圆心
B、相切
C、相交但直线不过圆心
D、相离
5、过圆x2＋y2＋6x－2y－15＝0的圆心的直线是（）
A、x－2y＋1＝0
B、x－2y－1＝0
C、x＋2y＋1＝0
D、x＋2y－1＝0
6、若点P（1，2）在圆（x＋1）2＋（y－1）2＝r2上，则圆的半径r＝（）
A、5
B、5
C、25
D、1
7、圆（x－1）2＋（y＋1）2＝4的圆心到直线x＋y＋2＝0的距离是（）
A、2
B、
2
2
C、22
D、2
8、坐标原点在圆（x＋3）2＋（y－2）2＝14的（）
A、圆心
B、内部但不在圆心上
C、圆上
D、外部
9、圆（x－2）2＋（y＋2）2＝2截直线x－y－5＝0 所得弦长为（）
A、6
B、6
C、22
D、8
二、填空题
10、圆心在原点，半径为25的圆的标准方程为。
11、圆心在（4，－1），且与直线4 x－3y＋6＝0相切的圆的方程为。
12、圆C：x2＋y2＋a x＋by＋1＝0的圆心为（1，－2），则a＝，b＝。
13、过圆（x－1）2＋（y－1）2＝8上一点（－1， 3）的切线方程为。
14、若圆（x＋1）2＋（y－2）2＝m经过点（3，1），则m＝。
15、若方程x2＋y2＝6－k表示一个圆，则k的取值范围是。
16、与圆x2＋y2＋6x－2y－15＝0有相同的圆心，且过点（－2， 3）的圆的半径为。
三、解答题
17、求经过直线x－y＝0与2 x－3y＋1＝0的交点，圆心为点C（1，－2）的圆的方程。
18、求下列圆的圆心坐标和半径：
（1）（x＋1）2＋（y－3）2＝2；
（2）x2＋y2＋2x＋6y－1＝0 19、求符合下列条件的圆的方程：
（1）经过三个点（－1， 2），（3，6），（1，8）
（2）已知点A（1，2），B（3，0），以AB为直径；
（3）圆心在y轴上，且过点（0，5），（2，3）
20、下列方程表示的是不是圆？如果是圆，写出圆心坐标和半径。（1）x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
（2）x2＋y2＋6x－8y＋25＝0
（3）x2＋y2－x＋3y＋4＝0
21、已知圆x2＋y2－10x＋2y＋F＝0与直线y＝3 x＋4相切，求F的值。
22、试讨论当k为何值时，圆x2＋y2＝1与直线y＝kx－2，
（1）相交；（2）相切；（3）相离。
23、已知直线x＋y－3＝0与圆x2＋y2－2x＋4y－11＝0相交于A，B两点，求｜AB｜。
24、已知圆x2＋y2＋D x＋E y－10＝0的圆心为点（2，1），求圆的半径r、。
25、一条光线射过点P（6，5），射在直线l：2x－y－2＝0上，然后被直线l反射，反射线穿过点Q（2，－3），求光线的入射线和反射线所在的直线方程。同步训练B
一、选择题
1、过点A(－1,1),B(0,－2),且圆心在x轴上的圆的方程为( )
A、（x－1）2＋y2＝5
B、x2＋（y－1）2＝5
C、（x＋1）2＋y2＝5
D、x2＋（y＋1）2＝5
2、圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的一条切线是（）
A、x＝－1
B、y＝2
C、x轴
D、y轴
3、直线3 x－2y－1＝0与圆x2＋y2－4x＋3＝0的位置关系是（）
A、相交且直线过圆心
B、相切
C、相交但直线不过圆心
D、相离
4、坐标原点在圆x2＋y2＋6x－4y＋3＝0的（）
A、外部
B、内部但不在圆心上
C、圆心上
D、圆上
5、已知点P（1，－4），Q（3，2），那么以PQ为直径的圆的方程为（）
A、（x－2）2＋（y＋1）2＝20
B、（x＋2）2＋（y－1）2＝20
C、（x－2）2＋（y＋1）2＝10
D、（x＋2）2＋（y－1）2＝10
6、直线2 x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝9相切，则的值为（）
A、35
B、－35
C、±35
D、5
7、圆（x－2）2＋（y＋2）2＝2截直线x－y－5＝0所得弦长为（）
A、6
B、8
C、6
D、22
8、方程x 2＋y 2＋4kx －2y ＋5k ＝0表示的曲线是圆，则k 的取值范围为（ ） A 、k ＜
41 B 、k ＜4
1
或k ＞1 C 、k ＞1 D 、以上都不对 9、若圆（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2与两坐标轴相切，则，，满足（ ） A 、a = b B 、| a |=| b |= r ≠0 C 、b = r D 、a = b = r 10、若点M 在圆（x －5）2＋（y －3）2＝9上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短
距离为（ ）
A 、2
B 、5
C 、8
D 、9
11、圆（x －3）2＋（y －3）2
＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有（ ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 二、填空题
12、已知圆心为C （8，－3），A （5，1）为圆上一点，则该圆的标准方程是 13、以点（－1，2）为圆心的圆，如果有一条直径的两端分别在两坐标轴上，则该圆的标准方程是 。
14、直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2－4x －2y ＝0的位置关系是 。
15、与直线x ＋y －1＝0相切于点（2，－1），圆心在直线2x ＋y ＝0上的圆的标准方程是 。
16、直线xcosθ＋ysinθ＝r 与圆x 2＋y 2＝r 2的位置关系是 。 17、在圆x 2＋y 2＝4上与直线4 x ＋3y －12＝0距离最小的点的坐标是 。 18、若圆x 2＋y 2－10x ＋6y ＋k ＝0与x 轴相切，则k ＝ 。 三、解答题
19、已知圆（x －a ）2＋y 2＝4被直线x ＝3截得的弦长为23，求a 的值。
20、求过点（3，8），（0，1）且圆心在x 轴上的圆的方程。
21、求与圆（x ＋2）2＋y 2＝1关于点M （―1，―1）对称的圆的方程。
22、在直角坐标系中，已知点A （－2，3）和圆C ：（x －3）2＋（y －2）2＝1，一
条光线从点A 射到x 轴后被反射，反射后与圆C 相切，求反射光线所在直线的方程。
23、直线x ＋2y －3＝0与圆x 2＋y 2＋x －6y ＋k ＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点，
若OP ⊥OQ ，求k 的值。
24、以C（2，1）为圆心的圆，被直线x＋y－1＝0截得的弦长为22，求这个圆的方程。
25、已知圆x2＋y2＝2，直线l过定点（2，0），当直线的倾斜角分别取什么值时，直线l与已知圆：（1）相切；（2）相交；（3）相离。
26、求垂直于直线x＋2y－1＝0且与圆（x－2）2＋（y－3）2＝20相切的直线方程。
27、直线l与直线x＋y＝4平行，并且与圆x2＋y2＝8相切，求直线l的方程.
28、已知圆C经过P（k，0），Q（2，0），R（0，1），且圆C在点P处的切线的斜率为1，求圆C的方程。椭圆A
一、选择题
1、椭圆的中心在直角坐标系的原点，焦点在y轴上，长轴长和短轴长分别是16和12，这个椭圆的标准方程是（）
A、1
12
16
2
2
=
+
y
x
B、1
16
12
2
2
=
+
y
x
C、1
64
36
2
2
=
+
y
x
D、1
36
64
2
2
=
+
y
x
2、椭圆1
25
16
2
2
=
+
y
x
的焦距是（）
A、4
B、6
C、8
D、10
3、设F
1
，F
2
为椭圆1
9
25
2
2
=
+
y
x
的焦点，P为椭圆上的一点，若︱PF
1
︱＝2，则︱
PF
2
︱＝（）
A、3
B、4
C、6
D、8
4、对称中心在原点，焦点坐标为（－2，0），（2，0），长轴长为6的椭圆的标准方程为（）
A、1
5
9
2
2
=
+
y
x
B、1
9
5
2
2
=
+
y
x
C、1
32
36
2
2
=
+
y
x
D、1
36
32
2
2
=
+
y
x
6、已知椭圆方程是5x2＋4y2＝20，则它的离心率为（）
A、
2
1
B、2
C、
2
5
D、
5
5
7、以坐标轴为对称轴的椭圆过点P（
5
3
，4）和Q（
5
4
，－3），则椭圆的方程是（）
A 、12522=+y x
B 、12522=+y x
C 、12522=+y x 或125
22
=+y x D 、以上都不对 8、椭圆15
42
2=+y x 与x 轴的交点为（ ） A 、（2，0），（－2，0） B 、（0，2），（0，－2） C 、（5，0），（－5，0）） D 、（0，5），（0，－5）
二、填空题
9、一动点P 到两个定点A （－3，0），B （3，0）的距离之和为10，则点P 的轨迹
方程是 .
10、椭圆25x 2＋9y 2＝225的焦点坐标是 。
11、椭圆13
42
2=+y x 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 。 12、椭圆的顶点是 与 的交点，椭圆的顶点有 个。
13、椭圆112162
2=+y x 的顶点坐标为 ，离心率为 。 14、以椭圆1542
2=+y x 的左焦点为圆心，半径为2的圆的标准方程为 。 15、椭圆15
422=+y x 上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为 。 三、解答题
16、求符合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a ＝4，b ＝15，焦点在y 轴上； （2）a ＝4，c ＝1，焦点在x 轴上； （3）c ＝2， e ＝
2
1
； （4）一个焦点为F 2（4，0），长轴长与短轴长之和为16.
17、求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率、焦点坐标与顶点坐标，并画出图形。
（1）142
2=+y x ； （2）116
822=+y x
18、如图，椭圆上的点到焦点F 1距离最近的点是顶点A ，距离最远的点是顶点B ，已知︱AF 1︱＝2，︱BF 1︱＝10
19、求直线y ＝x －1被椭圆x 2＋4y 2＝8截得的弦长。
20、椭圆的中心在原点，两对称轴为坐标轴，焦距是16，离心率是3
2
，求这个椭圆的标准方程及两个焦点的坐标。
21、已知椭圆对称轴为坐标轴，离心率为2
1
，它的一个焦点是圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的圆心F ，求椭圆的标准方程。
同步训练B
一、选择题、
1、椭圆
136
272
2=+y x 的焦点坐标是（ ）
A、（3，0），（－3，0）
B、（0，3），（0，－3）
C、（5，0），（－5，0））
D、（0，5），（0，－5）
2、如果
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
§19.10 两点的距离公式 教学目标： 1、让学生经历探求直角坐标平面内任意两点之间距离的过程，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维方法，掌握两点之间距离公式。 2、学会应用数形结合、方程思想以及分类讨论等数学思想方法。 3、会利用两点的距离公式解决一些基本的简单问题。 教学重点、难点： 重点：直角坐标平面内两点之间距离公式的推导及其应用 难点：直角坐标平面内任意两点之间距离公式的推导 教学过程： 1、复习引入： 已知直角坐标平面内A(-3,2),B(4,1),C(-3,1) 求①B 、C 两点的距离 X 轴或平行于X 轴的直线上的两点 的距离AB= ②A 、C 两点的距离 Y 轴或平行于Y 轴的直线上的两点 的距离CD= ③A 、B 两点的距离 2、探求新知： 任意两点之间距离公式 y)B(),A 21，、（x y x | | 21x x - )y D(),C 21，、（x y x | | 21y y -
如果直角坐标平面内有两点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，那么A 、B 两点的距离 AB = 221221)()y y x x -+-（ 3、练一练： 求下列两点的距离 （1）A(1,2)和B(4,6) （2）C(-3,5)和D （7,-2） 4、例题讲解： 例1、已知坐标平面内的△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为A(-1,4)、B(-4,-2)、C(2,-5),判定这个三角形的形状？ 例2：已知直角坐标平面内的两点分别是A(3，3)、B(6，1) ① 点P 在x 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 变一变：②点P 在y 轴上，且PA = PB ，求点P 的坐标。 5、归纳总结： 6、布置作业：
点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)
[基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面
画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页
点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程
【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式 【教材阐明】 本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。 【教学目的】 知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式． 能力目的： 用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力． 情感目的： 通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度． 【教学重点】 两点间距离公式与线段中点坐标公式运用． 【教学难点】 两点间距离公式理解． 【教学备品】 三角板． 【教学办法】 讨论合伙法 【学时安排】 2学时．(90分钟)
【教学设计】 针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上． 【教学过程】 大海中有两个小岛，
点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x
空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________
C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间
课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A
坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。
第13课 两点间距离公式 一、新知探究： 试一试，求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)5,3(),5,3(B A - （3）)7,0(),3,0(-B A （4）)7,5(),3,5(---B A （5）)0,0(),8,6(B A （6）)3,4(),0,0(--B A 总结： 若平面上的有两点111222(,),(,)P x y P x y ， 1、如果1P 、2P 两点在x 轴上或在平行于x 轴的直线上，则两点距离12PP 是 2、如果1P 、2P 两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离12PP 是 3、点1P 到原点的距离是 ，点2P 到原点的距离是 探索二：已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP
例1 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B 。 （1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA 例2 已知△ABC 的三个顶点是13(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。 例3 已知△ABC 的顶点坐标为A （3，2），B （1，0），C （2+3，1－3）， 求AB 边上的中线CM 的长； 练习：
1.22(1)(2)a b ++-( ) ()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离 ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离 ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离 2.已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1）A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） （3）A （5，10），B （-3，0） （4）A （-3，-1），B （5，7） 3.已知点A （-1，-1），B （b ,5）,且AB =10，求b . 4.已知A 在y 轴上，B （4，-6），且两点间的距离AB =5，求点A 的坐标 5.已知A （a ,-5），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB=17，求a 。 6.已知A （2，1）,B （-1，2）,C （5,y ）,且为等腰三角形，求y 并求底上中线的长度 巩固提高：
2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.
《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分
我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。
两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y
平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标
（1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b.
教学设计：点到直线的距离公式 一、教材分析 点到直线的距离公式是高中解析几何课程中最重要的也是最精彩的公式之一，它是解决点与直线、直线与直线位置关系的基础，也是研究直线与圆、圆与圆的位置关系的重要工具，同时为后面学习圆锥曲线做准备。教材试图让学生通过学习、探究点到直线的距离公式的思维过程，深刻领会蕴涵于其中的数学思想和方法；逐步学会利用数形结合、算法、转化、函数等数学思想方法来解决数学问题；充分体验作为学习主体进行探究、发现和创造的乐趣。 二、学情分析 我上课的班级是淮北一中的实验班，从总体上看，本班学生的数学基础比较好，平时肯思考问题，钻研精神强，有较好的自主学习和探究学习能力，同时，学生已掌握直线的方程和平面上两点间的距离公式，具备了探讨新问题的一定的基础知识。但学生大容量的自主探究，对课堂教学过程的控制带来一定的难度。 三、教学目标 (1)经历点到直线的距离公式探索过程，抽象出求点到直线距离的步骤；理解用数形结合、算法、转化、函数等数学思想来研究数学问题的方法； (2)会利用点到直线的距离公式求点到直线的距离。 (3)通过自主探究、合作交流等方式，培养学生勇于探索、自主探究和发散思维能力和合作互助的团队精神。 （4）通过解题方法的多样性，展现数学思维的灵活性和开阔性，使学生体会解析几何的魅力。 四、教学重点 点到直线的距离公式的探究过程及公式的简单应用。 五、教学难点 点到直线的距离公式的探究。 六、教学方法 以“学生为主体，教师为主导，问题解决为主线，能力发展为目标”的教学思想为指导，采用“问题探究”的教学方法。通过创设问题情景，引导学生在自主探究与合作交流中构建新知识。 课堂实录： 师：同学们！我们知道，数学像文学作品一样，来源于生活，高于生活，并指导生活。那么，在你的生活中，听说过以下问题吗？它们又是怎样的数学问题？ （多媒体演示） 如图，在铁路的附近，有一座仓库，现要修建一条公路使之 连接起来，那么怎样设计能使公路最短? 最短路程又是多少? 生1：我们可以从仓库向铁路做垂线，沿垂线段铺设公路可使 其最短。 师：很好！将来你肯定是一个合格的工程师。再来看下一个： （多媒体演示） 报道：9月15号13号台风“珊珊”从太平洋出发以近 直线型路线运动，如图，台风波及区域约直径100海里，请 预测台北人民是否需要做台风来临前的相关工作？
中点坐标公式与两点间的距离公式练习题 1．在数轴上的两点A ，B 分别表示实数m,n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中， ①A(3,4),D(3,-2)，则=AD ； ②D （3，-2），B （-5，-2），则=BD 。 ③此时=AB 。 3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A(x,0)和 B(2,3)的距离为23,求x 的值。 5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，??? ? ??23, 21C ，试判断三角形的形状。 6：求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5， ①试问满足条件的A 点有多少？ ②这样的A 点有何特点？他们的全体将构成什么图形？ 8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A - ②()()71B 3,1A ---，， ③()()12B 31A --，，，
9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为：()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。 10.求中点坐标： ①已知()()5,4B ,3,2A ，求AB 的中点坐标。 ②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标。 11.试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。 12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(，)6-，试求B 点坐标。 13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ，)4，则平行四边形ABCD 中，试求D 点坐标。 14.ABC ?中，三边AB ，BC ，CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC ?三顶点的坐标。
§7向量应用举例 7．1点到直线的距离公式 7．2向量的应用举例 [学习目标] 1.了解直线法向量的概念.2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题.3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具． [知识链接] 1．向量可以解决哪些常见的几何问题？ 答(1)解决直线平行、垂直、线段相等、三点共线、三线共点等位置关系． (2)解决有关夹角、长度及参数的值等的计算或度量问题． 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”是怎样的？ 答(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，距离，夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． [预习导引] 1．直线的法向量 (1)直线y＝kx＋b的方向向量为(1，k)，法向量为(k，－1)． (2)直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量为(B，－A)，法向量为(A，B)． 2．点到直线的距离公式 设点M(x0，y0)为平面上任一定点，则点M到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离d＝|Ax0＋By0＋C| A2＋B2 . 3．向量方法在几何中的应用 (1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)?a＝λb ?x1y2－x2y1＝0. (2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量a，b，a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cosθ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21x22＋y22 .
学科教师辅导讲义
【答案】144 【例10】如图，在一块用边长为cm 20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A点处，，鸽子吃完小朋友洒在B、C处的鸟食，最少需要走多远？ 【答案】360厘米 【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ 【答案】13米 【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁 C B A
棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？ 【答案】3米 【例13】有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的下底面点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（ 的值取3） 【分析】圆柱的侧面展开图是一个长方形.最短路线为展开图中的线段AB. 【答案】15cm
【例14】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。你能根据这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？（图中4个直角三角形全等） 【答案】 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子： 【借题发挥】 1．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 【答案】540千米 2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形， C
点与直线 直线方程 一. 教学容： 点到直线的距离； 点关于点、关于直线的对称点； 直线关于点、关于直线的对称直线； 直线方程复习； 二. 知识点： 1. 点到直线距离公式及证明 d Ax By C A B = +++|| 0022 关于证明： 根据点斜式，直线PQ 的方程为（不妨设A ≠0） y y B A x x -= -00(), 即，Bx Ay Bx Ay -=-00 解方程组 Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=-=-?? ? 00， 得，x B x ABy AC A B =--+20022 这就是点Q 的横坐标，又可得 x x B x ABy AC A x B x A B -= ----+02002020 22 =- +++A Ax By C A B () 0022 ， y y B A x x B Ax By C A B -=-=-+++000022 ()()， 所以， d x x y y Ax By C A B =-+-= +++()()()0202 00222
= +++|| Ax By C A B 0022 。 这就推导得到点P （x 0，y 0）到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式。 如果A=0或B=0，上式的距离公式仍然成立。 下面再介绍一种直接用两点间距离公式的推导方法。 设点Q 的坐标为（x 1，y 1），则 Ax By C y y x x B A A 11101000++=--=??? ??, ()≠， 把方程组作变形， A x x B y y Ax By C B x x A y y ()()()()()10100010100-+-=-++---=?? ? ，①② 把①，②两边分别平方后相加，得 ()()()()A B x x B A y y 2210222102+-++- =++()Ax By C 002 ， 所以， ()()()x x y y Ax By C A B 102 102 00222 -+-=+++， 所以， d x x y y =-+-()()102102 = +++|| Ax By C A B 0022 此公式还可以用向量的有关知识推导，介绍如下： 设，、，是直线上的任意两点，则P x y P x y l 111222()() Ax By C Ax By C 112 200++=++=?? ?③④ 把③、④两式左右两边分别相减，得 A x x B y y ()()12120-+-=， 由向量的数量积的知识，知
§４．３．２ 空间两点间的距离公式 一、教材分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标 １．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 ２．过程与方法 ３．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 三、教学重点与难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排 １课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式
五、教学设计 （一）导入新课 思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容. 思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. （二）推进新课、新知探究、提出问题 １平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？ ⑥试根据２３推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.