福建省南安市侨光中学2020届高中自主招生考试
数学试题
一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.下列实数中，无理数是（ ）
A ．0.010010001
B ．0)3(
C ．0
30cos D ．
3
1 2.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3.下面的几何图形是由四个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是( )
A. B. C. D.
4.下列成语中描述的事件是随机事件的是（ ）
A.守株待兔
B.瓮中捉鳖
C. 拔苗助长
D.水中捞月 5.若,05>+x 则（ ）
A. 03<+x
B. 03<-x
C.
15
- D. 162<-x 6.如图，直线y =ax +b 与x 轴交于A 点(4,0)，与直线y =mx 交于B 点(2,n)，则关于x 的一元一次方程 mx b ax =-的解为（ ） A. 2=x B. 2-=x C. 4=x D. 4-=x 第7题图 第6题图 7.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一,在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形,再把较小的两张正方形纸片按图②的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ） A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小两个正方形重叠部分的面积 D.最大正方形与直角三角形的面积和 8.在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y ＝（x +a ）（x +b ）的图象与x 轴有M 个交点，函数y ＝（ax +1）（bx +1）的图象与x 轴有N 个交点，则（ ） A.M ＝1-N 或M ＝1+N B.M ＝1-N 或M ＝2+N C.M ＝N 或M ＝1-N D.M ＝N 或M ＝1+N 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9.小明用])5()5()5()5[(10 1 2102322212 -+-+-+-= x x x x S 计算一组数据的方差，则 10321x x x x ++++ 的值是________． 10.如图是用杠杆撬石头的示意图，C 是支点，当用力压杠杆的A 端时， 杠杆绕C 点转动，另一端B 向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头， 要使其滚动，杠杆的B 端必须向上翘起10cm ，已知杠杆的动力臂AC 与阻力臂BC 之比为6：1，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的A 端向下压______cm ． 11.若2021)2019)(2020(=--a a ，则2 2 )2019()2020(-+-a a =_______． 12.如图，在□ABCD 中，已知B ∠＝70°，BC ＝6，以AD 为直径的⊙O 交CD 于点E ，则劣弧DE ︵ 的长 为_______． 13.如图所示，△ABC 中，已知AD 和BE 分别是边BC ，AC 上的中线，且AD ⊥BE ，垂足为G ，若GD =2， GE =3，则线段CG 为_______． 14.如图，在直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴和y 轴， 4 3 =OB OA ，∠AOB 的角平分线与OA 的垂直平分 线交于点C，与AB交于点D，反比例函数 x k y=的图象过点C，当以CD为边的正方形的面积为 7 4时，k的值为_______． 第12题图第13题图第14题图 二、解答题：（本题共7小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.（6分）先化简，再求值 2 34 (1) 11 x x x - -÷ ++ ，其中x是方程2560 x x -+=的根． 16.（6分）如图，已知AB//CF，D是AB上一点，DF交AC于点E，若AB=BD+CF， 求证：△ADE≌△CFE． 17.（8分）已知△ABC中，∠A=22.5°，∠B=45°． (1)求作：⊙O，使得圆心O落在AB边上，且⊙O经过A、C两点． (尺规作图，保留作图痕迹,不必写作法) (2)若⊙O的半径为2，⊙求证：BC是⊙O的切线；⊙求A ∠ tan的值． （3）仿照以上求A ∠ tan的过程，可得：0 15 tan=_______． A B C E D O 18.（8分）甲乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成3元；乙公 司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元. 假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并记录其100天的送餐单数，得到如下频数表. 甲公司送餐员送餐单数频数表 乙公司送餐员送餐单数频数表 （1）求甲公司送餐员的日平均工资； （2）某人拟到甲乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日平均工资的角度考虑，那么他 应该选择去哪家公司应聘？请说明理由. 19.（8分）为落实“精准扶贫”精神，我市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据市场调 查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m （元/公斤）与第x 天之间满足 ? ? ?≤<+-≤≤+=)3015(75) 151(153x x x x m （x 为正整数），销售量n （公斤）与第x 天之间的函数关系如图： 如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元． （1）求销售量n 与第x 天之间的函数关系式； （2）求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式； （日销售利润＝日销售额﹣日维护费） （3）求前十天日销售利润y 的最大值及相应的x ． 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 20 20 40 10 送餐单数 38 39 40 41 42 天数 10 40 30 10 10 20.（10分）模型规律 如图1，延长CO 交AB 于点D ，则⊙BOC ＝⊙1+⊙B ＝⊙A +⊙C +⊙B ． 因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“⊙BOC ＝⊙A +⊙B +⊙C ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用 （1）直接应用：⊙如图2，⊙A +⊙B +⊙C +⊙D +⊙E +⊙F ＝ ． ⊙如图3，⊙ABE 、⊙ACE 的2等分线（即角平分线）BF 、CF 交于点F ，已知⊙BEC ＝120°， ⊙BAC ＝50°，则⊙BFC ＝ ． ⊙如图4，BO i 、CO i 分别为⊙ABO 、⊙ACO 的2020等分线（i ＝1，2，3，…，2018，2019）．它们的交点从上到下依次为O 1、O 2、O 3、…、O 2019．已知⊙BOC ＝m °，⊙BAC ＝n °，则⊙BO 1000C ＝ 度． （2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC ＝CD ，⊙BCD ＝2⊙BAD ．O 是四边形ABCD 内一点， 且OA ＝OB ＝OD ．求证：四边形OBCD 是菱形． 21.（12分）已知抛物线C 1：和C 2：y ＝x 2 4)1(2--=x y （1）如何将抛物线C 1平移得到抛物线C 2？ （2）如图1，抛物线C 1与x 轴正半轴交于点A ，直线y ＝3 4 x +b 经过点A ，交抛物线C 1于另一点B ．请你在线段AB 上取点P ，过点P 作直线PQ ⊙y 轴交抛物线C 1于点Q ，连接AQ ．若AP ＝AQ ，求点P 的横坐标； （3）如图2，⊙MNE 的顶点M 、N 在抛物线C 2上，点M 在点N 右边，两条直线ME 、NE 与抛物线 C 2均有唯一公共点，ME 、NE 均与y 轴不平行．若⊙MNE 的面积为2，设M 、N 两点的横坐标分别为m 、n ，求m 与n 的数量关系． 九年级数学科试卷参考答案及评分标准 说明： （一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分． （二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分． （三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数． 一、选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. C 2. D 3. C 4.A 5. D 6.B 7.C 8.D 三、 填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9.50； 10. 60； 11.4043； 12.2 3 π； 13.2√13； 14. 14. 四、 解答题：（本题共7小题，共58分．） 15.解：原式) 2(21 12-++? +-= x x x x x ）（ 21 += x …………………2分 3(20 )3)(2(065212===--=+-x x x x x x 舍去）， ……………………4分 当3=x 时，原式5 1 = ………………………6分 16.证明：∵AB =BD +CF ， 又∵AB =BD +AD ，∴CF =AD ∵AB//CF ， ∴∠A =∠ACF ，∠ADF =∠F …………………2分 在△ADE 与△CFE 中 {∠A =∠ACF CF =AD ∠ADF =∠F ， ∴△ADE ≌△CFE(ASA)． ………………………6分 17.解：(1)作图：如图1即为所求作的图 …………………2分 (2)①证明：如图2，连接OC ， ∵OA =OC ，∠A =22.5° ∴∠BOC =45°， 又∵∠B =45°，∴∠BOC +∠B =90° ∴∠OCB =90° ∴OC ⊥BC ，且点C 在⊙O 上 ∴BC 是⊙O 的切线． …………………………………4分 ⊙过C 作CH ⊥AB 于H 点， 由①得：∠OCB =90°，∠OCB =90°，∠B =45°， ∴△OBC 是等腰直角三角形， ∵OA =OC =2，CH=BCsin ∠B=2， AH=22+=+OH AO …………………………………6分 ∴在ACH Rt ?中，A ∠tan =AH CH =12- …………………7分 （3）3215tan 0 -= …………………8分 18.解：（1）甲公司送餐员日平均送餐单数为： 7.391.0421.0413.0404.0391.038=?+?+?+?+? 所以甲公司送餐员日平均工资为： 1.1997.39380=?+（元） …………………3分 （2）乙公司送餐员日平均工资为： （元）2 .2021.0)72540(4.0)71540(2 .05402.05391.0538=??+?+??+?+??+??+?? …………………6分 2.2021.199< 所以这个人应该选择去乙公司应聘． …………………8分 19.解：（1）当1≤x ≤10时，设n ＝kx +b ，将点A ，B 代入，得 H ?? ?+=+=b k b k 103012，解得? ??==102 b k ⊙n ＝2x +10 同理得，当10＜x ≤30时，n ＝444.1+-x ⊙销售量n 与第x 天之间的函数关系式： ?? ?≤<+-≤≤+=) 3010(444.1) 101(102x x x x n ………………………………4分 （2）⊙y ＝mn ﹣80 整理得，?? ???≤≤+-<<++-≤≤++=)3015(32201494.1)1510(5801112.4)101(7060622 2x x x x x x x x x y ……………7分 （3）当1≤x ≤10时， ⊙y ＝6x 2+60x +70的对称轴x ＝56 2602-=?-=- a b ⊙x ＝10时，y 取最大值，且10y ＝1270 ………………………8分 所以，前十天中，在草莓销售第10天时，日销售利润y 最大，最大值是1270元． 20.解：（1）⊙2α； ………………………1分 ⊙85°； ………………………3分 ⊙)101 51 10150( n m +； ………………………6分 （2）如图5，连接OC ， ⊙OA ＝OB ＝OD ， ⊙⊙OAB ＝⊙OBA ，⊙OAD ＝⊙ODA ， ⊙⊙BOD ＝⊙BAD +⊙ABO +⊙ADO ＝2⊙BAD ， ⊙⊙BCD ＝2⊙BAD ， ⊙⊙BCD ＝⊙BOD ， ⊙BC ＝CD ，OA ＝OB ＝OD ，OC 是公共边， ⊙⊙OBC ⊙⊙ODC （SSS ）， ⊙⊙BOC ＝⊙DOC ，⊙BCO ＝⊙DCO ， ………………………8分 ⊙⊙BOD ＝⊙BOC +⊙DOC ，⊙BCD ＝⊙BCO +⊙DCO ， ⊙⊙BOC ＝ 21⊙BOD ，⊙BCO ＝2 1 ⊙BCD ， 又⊙BOD ＝⊙BCD ， ⊙⊙BOC ＝⊙BCO ， ⊙BO ＝BC ， ………………………9分 又OB ＝OD ，BC ＝CD ， ⊙OB ＝BC ＝CD ＝DO ， ⊙四边形OBCD 是菱形． ………………………10分 21.解：（1）将抛物线C 1向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到抛物线C 2； ………………………2分 （2）与x 轴正半轴的交点A （3，0）， ⊙直线y ＝3 4 - x +b 经过点A ，⊙b ＝4， ⊙y ＝3 4 - x +4， ????? --=+-=4 )1(4 342 x y x y 消去y ，得 4)1(2 --=x y x ＝3或x ＝3 7- ， ⊙B （34- ，964）， ………………………………4分 设P （t ，434+- t ），且33 7 <<-t ， ⊙PQ ⊙y 轴，⊙Q （t ，t 2﹣2t ﹣3）， ………………………………5分 当AP ＝AQ 时， =-P y Q y 即﹣4+ t 3 4 ＝t 2﹣2t ﹣3， ⊙t ＝ 3 1， ⊙P 点横坐标为 3 1 ； ………………………………7分 （3）设直线ME 的解析式为y ＝k （x ﹣m ）+m 2， ? ??=+-=2 2 )(x y m m x k y 消去y ，得 x 2﹣kx +km ﹣m 2＝0， ⊙＝k 2﹣4km +4m 2＝（k ﹣2m ）2＝0， ⊙k ＝2m ， ⊙直线ME 的解析式为y ＝2mx ﹣m 2， 同理， 直线NE 的解析式为y ＝2nx ﹣n 2， ⊙E （ 2 n m +，mn ）， ………………………………10分 ⊙MGE FNE MGFN MNE S S S S ???--=梯形 = 21[（n 2﹣mn ）+（m 2﹣mn ）]×（m ﹣n ）﹣21（n 2﹣mn ）×（2n m +﹣n ） ﹣ 21（m 2﹣mn ）×（m ﹣2 n m +）＝2， ⊙（m ﹣n ）3 ﹣2 )(3 n m -＝4， ⊙（m ﹣n ）3＝8， ⊙m ﹣n ＝2； ………………………………12分
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