求数列通项公式的常规解法
1、由数列前几项写出其通项公式
例1、写出下面各数列的一个通项公式
① １，２，３，４，５， 的通项公式为n a n =， ② ２，４，６，８，10， 的通项公式为2n a n =， ③ １，３，５，７，９， 的通项公式为21n a n =-, ④ １，２，４，８，16, 的通项公式为12n n a -=, ⑤ 1,
1111,,,,24816 的通项公式为11
()2
n n a -=, ⑥ 1,4,9,16,25, 的通项公式为2n a n =,
⑦ １，－１，１，－１，１，－１， 的通项公式为1(1)n n a +=-，
⑧１，０，１，０，１，０， 的通项公式为1
1(1)2n n a ++-=
⑨12341,2,3,4,2345 的通项公式为2211
n n n n
a n n n +=+=++
⑩313131,,,,,,23456--- 的通项公式为2(1)
(1)
n
n n a n
+-=-或
1
,3n n n a n n
?-??=????为正整数，为正偶数
2、定义法
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项.
例1、等差数列}{n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931 , ,a a a 成等比数列，2
5
5a S =.求数列}{n a 的通项公式
解：设数列}a {n 公差为)0d (d >
∵931a ,a ,a 成等比数列，∴912
3a a a =，
即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12
= ∵0d ≠，∴d a 1=……①
∵255S a =
∴211)d 4a (d 2
4
5a 5+=??+
……②
由①②得：53a 1=，5
3d = ∴n 5
3
53)1n (53a n =?-+=
例2、已知}{n a 满足n n a a 2
1
1=+，而21=a ，求n a .
解 ∵
2
1
1=+n n a a 是常数， ∴}{n a 是以2为首项，公式为
2
1
的等比数列 ∴2
1
2
1212--=
?
?
?
???=n n n a .
3、累加法
对形如)(1n f a a n n =--（f(n)为等差或等比数列）的数列通项，可用累加法求出. 例1、已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11
(1)
n n a a n n -=++，求n a .
解：由已知得11
(1)
n n a a n n --=
+，
121
(1)n n a a n n ---=
-，……，
32134a a -=?，211
23
a a -=?，
以上式子累加，得n a -1a =
1111
...23(2)(1)(1)(1)
n n n n n n ++++?---+=1121n -+，
31
21
n a n ∴=
-+ 例2、已知}{n a 中211=a ，1
4121-+=+n a a n n ，求n a . 解 由已知可得
??
?
??+--=
-=
-+121121211
4121n n n a a n n
令)1(,,2,1-=n n ，代入得)1(-n 个等式累加，即
)()()(12312--++-+-n n a a a a a a
??
??????? ??---++??? ??-+??? ??-=
121321513131121n n ∴)1
21
1(211--=
-n a a n
∴12121211-?-+
=n a a n 即2
43
42411--=--=n n n a n .
评注：只要和)1()2()1(-+++n f f f 是可求的，就可以由)(1n f a a n n +=+以
)1(,,2,1-=n n 代入，可得1-n 个等式累加而求n a ，称为累加法.
例3、已知数列11{}721n n n a a a a +==+，，，求数列{}n a 的通项公式.
分析：由题目可知1n a +与n a 的系数不相等，直接累加不能达到前后相消的目的，故可构造新的数列，使相邻项的系数相等，然后再考虑使用这种方法. 解：121n n a a +=+ ，
∴
111121222n n n n n a a ++++=+. 111
1
222n n n n n a a +++∴=+ 令2n n n a b =，则111
11
7222
n n n a b b b ++=+==，. ∴112211121117
()()()2222
n n n n n n n b b b b b b b b ----=-+-++-+=
++++ 12
1
112271171412222212
n n
n -????-?? ?????????=
+=-+=- ???-. ∴221n n a +=-. 4、累乘法
对形如
1
()n n
a f n a +=的数列的通项，可用累乘求出. 例1、已知1131
3,(1)32
n n n a a a n n +-==
≥+，求n a 。 解：13(1)13(2)132131
3(1)23(2)232232n n n a a n n ----?--=??-+-+?++
3437526
331348531
n n n n n --=????=--- 。
例2．设数列{}n a 是首项为1的正项数列，且满足0)1(12
2
1=+-+++n n n n a a na a n 求通项公式n a
解：由n a ≠0 ∴在等式两边同除以2
n a 整理得0))(
1(121=-++++n a a a a n n n n n 解得1
1+=
+n n
a a n n ∴
n
n a a a a a a a a n n 1
43,32,211342312-=
===- 相乘得 n
n n a a a a a a a a n n 1
14332211342312=-??=-
n
n a a n a a n n 1,111===即 点评：形如
)(1
n f a a n
n =+类型的题，可用累乘法 例3、已知数列{}n a 中，3
1
1=
a ，前n 项和n S 与n a 的关系是n n a n n S )12(-=，求通项公式n a . 解：由n n a n n S )12(-=得11(1)(23)n n S n n a --=--
两式相减得：1(21)(23),n n n a n a -+=-，
12321n n a n a n --∴
=+，122125
1,,215
n n a a n a n a ---∴==-
将上面n —1个等式相乘得：
1(23)(25)(27)31
(21)(21)(23)75
n a n n n a n n n ---?=
+--? 3
(21)(21)
n n =+- 1
.(21(21)
n a n n ∴=+-
例3：在数列{ a n }中，a 1=2，a 1+n =n
n 1
+a n ，求数列{ a n }的通项公式。
分析：由题意可得：
n
n a a 1+=n n 1
+，
所以，
12a a =12，23a a =23，34a a =34，…，1-n n a a =1
-n n
， 把以上各式叠乘，得1
a a n
=n ，又a 1=2， 所以，a n =2 n
5、公式法
若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式
???≥-==-211n S S n S a n n
n n 求解.
例1．已知下面数列的前n 项和为n S ，求其通项公式n a ．
（１）21n S n n =-+；
（２）21n n S =-．
分析：数列｛n a ｝中，n a 与n S 有关系：11 , (n =1)
, (n 2)
n n n S a S S -?=?-≥?．利用这一关系，
在知n S 时可求n a ．
解：（１）∵21n S n n =-+
∴n ≥２时，221(1)[(1)(1)1]n n n a S S n n n n -=-=-+----+22n =- 又n ＝１时， 111a S ==，不满足上式 ∴1, (n =1)
22,(n 2)n a n ?=?
-≥?
．
（２）∵21n n S =-
∴n ≥２时，
111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=
又n ＝１时， 111121a S -===，满足上式 ∴1*2,n n a n N -=∈．
说明：解这类题时一定要检验1a 是否适合1n n n a S S -=-，只有适合时才能合并为一个表达
式，如（２）题；不适合时则应用分段函数表示，如（１）题． 例2：已知数列{}n a 前n 项和53-=n n S ，求n a 。
解：由题意，易知25311-=-==S a ，
当2≥n 时，111325353---?=+--=-=n n n n n n S S a
∴???≥?=-=-2
3
212
1
n n a n n
例3、已知各项为正数的数列}a {n 的前n 项和为n S ,且满足0S 2a a n n 2
n =-+.求数列}a {n 的通
项公式.
解：由0S 2a a n n 2n =-+,知)a a (2
1S n 2
n n +=, 当2n ≥时,)a a (2
1S 1n 2
1n 1n ---+=, 两式相减得),a a a a (21a 1n 21n n 2
n n ----+=
∴,0a a a a 1n 2
1n n 2n =-----
∴,0)1a a )(a a (1n n 1n n =--+--
∵}a {n 各项为正，∴.1a a 1n n =--又1a 1=, ∴)N n (n a n *∈= .
例4、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n .求数列{}n a 的通项公式； 解：由.1,121111=-==a a S a 得
当2≥n 时，有,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=--
1122(1),n n n a a --∴=+?-
,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+?-+?-++?-
].)1(2[3
2
3
]
)2(1[2)
1(2
)]2()2()2[()1(21211
211--------+=----=-++-+--+=n n n n
n n n n n
经验证1a 1=也满足上式，所以2
12[2(1)]3
n n n a --=+- 6、迭代法
例1、已知2
113,,,n n n a a a n N a *+==∈求.
解：条件21n n a a +=理解为2
(1)()f n f n +=，而2
()(1)f n f n =-， 2
(2)(1)f f =，
利用函数的迭代得22()((((1))))f n f = =31
2n -，
即1
23n n a -=
例2、已知数列{a n }满足a 1=1，且a n+1 =3n a +1，求n a .
解：a n =3a n-1+1=3(3a n-2+1)+1=32
a n-2+3?1+1=…=3n-1
a 1+3n-2
?1+3n-3
?1+…+3?1+1=31
2
n -
7、分类讨论法
例1、已知数列{a n }中，a 1=1且a n a n+1=21()4
n
，求通项公式.
解：由a n a n+1=21
()4
n
及a n+1a n+2=21
1()
4
n +，两式相除，得
2n n
a a +=1
4，则a 1,a 3,a 5,…a 2n-1，…和a 2,a 4,a 6,…a 2n ，…都是公比为14的等比数列，又a 1=1,a 2=1
2
，则：（1）当n 为奇数时，
112211()44n n n a --=?=；（2）当n 为偶数时，212211
()424
n n n a --=?=.综合得124n n a -=
8、化归法
例1、已知数列}{n a 满足11
,5a =
1121
1,*,.12n n n n
a a n n a a --+>∈=-N 且当时有求a n
解：当1121
2,12n n n n
a a n a a --+≥=
-时由
1140n n n n a a a a ----=得
两边同除以411,11=---n n n n a a a a 得， 即*14111
N ∈>=--n n a a n n
且对成立，
∴1{}n a 是以首项为5，公差为4的等差数列.
.1
41,,14)1(111+=+=-+=n a n d n a a n n 所以 例2 已知数列11{}523(2)n n n a a a a n -==-，，，≥，求{}n a 的通项公式. 分析：递推公式n a 项与1n a -项的系数不相等，不是等差数列，需构造转化. 解：∵123(1)n n a a n -=->， ① 令12()n n a m a m --=-.
与①式相比较对应系数相等得m =3. ∴132(3)n n a a --=-.
令3n n b a =-，则11125532n n b b b a -==-=-= ，. ∴{}n b 是以2为首项，以2为公比的等比数列. ∴1
22
2.23n n n n n b a -==∴=+ .
评注：一般的形如11(1)(1)n n a a n pa qa r n -==??
=+>? ，
，
，（其中a p q r ，，，都是常数且p q ≠，p 、q ≠0）
都可利用这种方法转化成等比数列来解.同学们可以把例1按这种方法转化一番.
例3、已知正项数列11{}1
2
n
n n n a a a a a +==+，，，求数列｛an ｝的通项公式. 分析：递推公式中一边是整式，一边是分式，可通过分别取倒数，统一成分式.
解：∵12
n
n n a a a +=
+， ∴11121
11121n n n n a a a a ++??=++=+ ???
，，令11n n b a =+，
则111
1
212n n b b b a +==
+=，， ∴1
1
22
212n n n n n
b a -==+= ，，故可得121n n
a =-. 评注：一般的形如11n n n a a
pq a qa r
+=??
?=?+?
.其中a p q r ，，，为常数，且r ≠p ，p 、r ≠0，都可运用此种方
法；若r p =，则取倒数可转化成等差数列.
例8．设｛n a ｝是首项为１的正项数列，且22
11(1)0(1
,2,3,)n n n n n a na a a n +++-+?== ，求数列的通项公式n a ．
解：∵｛n a ｝是首项为１的正项数列
∴10n n a a +?≠
在已知式两边同除以1n n a a +?得
11
(1)10n n
n n n a na a a +++-+= 令
1
n n
a t a +=，得 2(1)0n t t n ++-=
分解因式得 [(1)](1)0n t n t +-+= ∴,11n t t n =
=-+（舍去），即11
n n a n a n +=+，到此可采用： 法一：累乘法
35241234112341
2345n n a a a a a n a a a a a n
--?????=?????
即
11
n a a n
=，又11a =，∴1n a n =．
法二：迭代法
∵11n n n
a a n +=
+ ∴123112123
112n n n n n n n n n n a a a a n n n n n n ---------==??=??---＝
11231122n n n a n n n ---=?????--
1n
= 法三：特殊数列法
∵
11
n n a n
a n +=
+ ∴
1
(1)1n n
n a na ++=
∴数列1{(1)}n n a ++是一个以1a 为首项，１为公比的等比数列 ∴111111n n n na a q --=?=?=
∴1n a n
=
9、待定系数法（构造法）
（1）构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例 1 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为S n ，对于任意正整数n
，都有等式：
成立，求{}n a 的通项n a .
解：， ∴
，∵
，∴
.
即是以2为公差的等差数列，且
.
∴
例2 数列
中前n 项的和
，求数列的通项公式.
解：∵
当n≥2时，
令
，则
，且
是以为公比的等比数列，
∴
.
例3、已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n ++=+∈N ．求数列{}n a 的通项公式． 解：因为121n n a a +=+，所以112(1)n n a a ++=+，
所以数列{}1n a +是以112a +=为首项，以2为公比的等比数列．
所以12n n a +=，即2 1.()n n a n +=-∈N
例4、已知数列{}n a ，11a =，22a =，11320n n n a a a +--+=(2)n N n +∈≥且，求n a . 解 ∵11320n n n a a a +--+=，
∴112()n n n n a a a a +--=-.
∴{}1n n a a +-是以2为公比，21a a -为首项的等比数列. ∴112n n n a a -+-=.
∴ 112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2
310
2
2221
n n --=+++++ 1
1121212
n n ---=
+=-. 思路：设n n n qa pa a +=++12可以变形为：)(112n n n n a a a a αβα-=-+++，就是
n n n a a a αββα-+=++12)(，则可从??
?-=?=+q
p
βαβα解得α，β，于是}{1n n a a α-+是公比为β的等比数列，就转化为前面的类型.
.
（2）构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例1、设是首项为1的正项数列，且，（n ∈N*），求数
列的通项公式a n .
解：由题设得.
∵
，
，∴
. ∴
.
例2、数列中，
，且
，（n ∈N*），求通项公
式a n .
解：∵
∴（n ∈N*） （ 3）、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法. 例5 数列{}n a 中，2
1
=
n a ，前n 项的和n n a n S 2=，求1+n a . 解：
，
∴
∴ （4）、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决. 例1：数列{}n a 满足,11=a )2(1
211
≥+=
--n a a a n n n ，求n a 。
解：将)2(1211≥+=
--n a a a n n n 的两边取倒数，转化为
)2(21
11≥=--n a a n n ，则?
?????n a 1为首项为
1
1a ，公差为2的等差数列，∴122)1(1
11-=?-+=n n a a n ，121-=
n a n 。 例2：数列{}n a 满足31=a ，)2(2
1≥=-n a a n n ,求n a .
解：将)2(2
1≥=-n a a n n 的两边取常用对数，可得)2(lg 2lg 1≥=-n a a n n ，则{}n a lg 为首
项为1lg a ，公比为2的等比数列，则3lg 2
lg 1
-=n n a ，∴1
23
-=n n
a 。
例3、已知数列{}a
n
中a 1
=1且)(1
1N n a a a n n
n ∈+=
+，求数列的通项公式。
解： a 1+n =
)(1N n a a n n ∈+∴1111
1+=+=+n
n n n a a a a
{}()设则∴是以为首项，为公差的等差数列
则∴b a b b b b a b n n
a b n
n n
n n n n n n =
=+===+-==
=+1
11
111111111
例4：数列{}n a 满足,11=a )2(121≥+=-n a a n n ，求n a 。
解：可将)2(121≥+=-n a a n n 的两边同加1，转化为)2(),1(211≥+=+-n a a n n ，
可知{}1+n a 为首项为11+a ，公比为2的等比数列， ∴n n n a a 22)1(111=?+=+-，∴12-=n n a 。
（5）、构造函数型：对()n f pa a n n +=+1 型的递推关系，只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．
例1、设数列{}n a ：)2(,123,411≥-+==-n n a a a n n ，求n a .
解：设B An b a B ，An a b n n n n --=++=则，将1,-n n a a 代入递推式，得
[]12)1(31-+---=---n B n A b B An b n n
)133()23(31+----=-A B n A b n
??
?+-=-=∴13323A B B A A ?
??==11
B A 1++=∴n a b n n 取…（１）则13-=n n b b ,又61=b ，
故n n n b 32361?=?=-代入（１）得132--?=n a n
n
说明：（1）若)(n f 为n 的二次式，则可设C Bn An a b n n +++=2;（2）本题也可由
1231-+=-n a a n n ,1)1(2321--+=--n a a n n （3≥n ）两式相减得2)(3211+-=----n n n n a a a a 转化为q pb b n n +=-1求之.
（5）、归纳、猜想、证明 有的数列很难用以上各法，求出通项公式时，常先由递推公式算出前几项，发现规律、归纳、猜想出通项公式再加以证明。 例1、已知数列{}n a 中, 135a =，121
n n n a a a +=+. (1)计算2a ,3a ,4a ;
(2)猜想通项公式n a ,并用数学归纳法加以证明. 解 (1)根据121
n
n n a a a +=
+,易得2311a =,3317a =,4323a =.
(2)由于每项分子为3,分母依次组成一个首项为5,公差为6的等差数列.
所以,猜想3
61n a n =
-.用数学归纳法证明如下: ①当1n =时,13
5
a =显然成立.
②假设n k =时, 3
61
k a k =-成立,那么当1n k =+时,
121k k k a a a +=
+33
656(1)1
k k ==++-.
即当1n k =+时,结论成立. 综上,由①②知,对一切n N +∈,3
61
n a n =
-都成立.
求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函
数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之 二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.
数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。 解：n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。 二、累乘法 形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
求数列通项公式的常用方法 类型1、()n n S f a = 解法：利用???≥???????-=????????????????=-)2() 1(11n S S n S a n n n 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去 n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例 1 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 1n n S a =-，∴ 111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴ 112n n a a +=，又112a =，12n n a ??= ??? . 变式 1. 已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，求n a 变式2. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式 变式3. 已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列. 求数列{}a n 的通项公式； 变式4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N ．求数列{}n a 的通项n a 变式5. 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足322-=+n a S n n )(*N n ∈． 求数列}{n a 的通项公式； 变式6. 已知在正整数数列}{n a 中，前n 项和n S 满足2 )2(81+=n n a S （1）求证：}{n a 是等差数列 （2）若n b 3021 -=n a ，求}{n b 的前n 项 和的最小值
求数列通项公式的方法 教案例题习题 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
求数列的通项公式的方法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 255a S =．求数列{}n a 的通项公式. 解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123 a a a =， 即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=? ∵0≠d ， ∴d a =1………………………………① ∵255a S = ∴211)4(2 455d a d a +=??+…………② 由①②得：531=a ，5 3=d ∴n n a n 5 353)1(53=?-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。 练一练：已知数列 ,32 19,1617,815,413试写出其一个通项公式：__________； 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2) n n n S n a S S n -==-≥。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。 解：由1121111=?-==a a S a 当2≥n 时，有 ,)1(2)(211n n n n n n a a S S a -?+-=-=-- ,)1(22221----?+=n n n a a ……，.2212-=a a 经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3 212---+=n n n a 点评：利用公式???≥???????-=????????????????=-2 11n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能 合写时一定要合并． 练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ； ②数列{}n a 满足11154,3 n n n a S S a ++=+=，求n a ； 3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =??=?≥?-?。 如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______ ； 4.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3. 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。
创作编号：GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或1 1-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则?? ?-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =1 2 -n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 341=+n n a a ()2≥n 又1123 1 31a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥?? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11 n n n a a n -= - ∴11n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈
几种常见的数列的通项公式的求法 一、观察法 1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1） ,5 4,43,32,21-- （2） ,5 2,21,32,1 （3）9，99，999，9999，… 二、叠加法：对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 三、叠乘法：对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中，3 11= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。 四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。 六、倒数法 8、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 1． 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ．
2．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a 1433n -?-． 3．已知数列{}n a 的11a =，22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥，则1lim n x n a a →∞+=
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－ 1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通 项公式．
（二）.累加、累乘 型如1()n n a a f n --=, 1 ()n n a f n a -= 1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比 数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥， 1 2 12 1 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---??? =?-??
递推数列通项求解方法 类型一：1n n a pa q += +（1p ≠） 思路1（递推法）：()123()n n n n a pa q p pa q q p p pa q q q ---??=+=++=+++=?? ......121(1n p a q p p -=++++ (2) 1 1)11n n q q p a p p p --??+=+?+ ? --?? 。 思路2（构造法）：设()1n n a p a μμ++=+，即()1p q μ-=得1 q p μ= -，数列 {}n a μ+是以1a μ+为首项、p 为公比的等比数列，则1 111n n q q a a p p p -??+ =+ ?--??，即1111n n q q a a p p p -??=++ ? --?? 。 例1 已知数列{}n a 满足123n n a a -=+且11a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：方法1（递推法）： ()123232(23)3222333n n n n a a a a ---??=+=++=+++=?? (1) 22 3(122n -=++++ (2) 11 332 )12232112n n n --+??+=+?+=- ? --? ?。 方法2（构造法）：设()12n n a a μμ++=+，即3μ=，∴数列{}3n a +是以134 a +=为首项、2为公比的等比数列，则113422n n n a -++=?=，即1 23n n a +=-。
1n n +思路1（递推法）： 123(1)(2)(1)(3)(2)(1)n n n n a a f n a f n f n a f n f n f n ---=+-=+-+-=+-+-+-= …1 11 ()n i a f n -==+∑。 思路2（叠加法）：1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、 23(3)n n a a f n ---=-、…、21(1)a a f -=，将各式叠加并整理得1 11 ()n n i a a f n -=-= ∑ ，即 1 11 ()n n i a a f n -==+ ∑ 。 例2 已知11a =，1n n a a n -=+，求n a 。 解：方法1（递推法）：123(1)(2)(1)n n n n a a n a n n a n n n ---=+=+-+=+-+-+= ......1[23a =+++ (1) (1)(2)(1)]2 n i n n n n n n =++-+-+= = ∑ 。 方法2（叠加法）：1n n a a n --=，依次类推有：121n n a a n ---=-、232n n a a n ---=-、…、 212a a -=，将各式叠加并整理得12 n n i a a n =-= ∑ ，12 1 (1)2 n n n i i n n a a n n ==+=+ = = ∑ ∑ 。
求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法： 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步） 三、n s 与n a 的关系式法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步） 四、累加法： 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 就可以用这种方法. 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的 方法:------＋常数P
㈡、取倒数法：这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠） ，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。
常见数列通项公式的求 法(超好) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
常见数列通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。 解：（1）当n=1时，011 ==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。 答案：a n =34 （－14 ）n-1 3.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。 （2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1 2n （n ≥2），求a n 。 解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1 2n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12 n －2 +…+122 +1=12 －12n 练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。答案：n a n 1-23= 4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ，
递推式求数列通项公式常见类型及解法 对于由递推式所确定的数列通项公式问题，通常可通过对递推式的变形转化成等差数列或等比数列，也可以通过构8造把问题转化。下面分类说明。 一、型 例1. 在数列{a n}中，已知，求通项公式。 解：已知递推式化为，即， 所以 。 将以上个式子相加，得 ，
所以。 二、型 例2. 求数列的通项公式。解：当， 即 当，所以。
三、型 例3. 在数列中，，求。解法1：设，对比 ，得。于是，得 ，以3为公比的等比数列。 所以有。 解法2：又已知递推式，得 上述两式相减，得，因此，数列是以 为首项，以3为公比的等比数列。 所以，所以 。
四、型 例4. 设数列，求通项公式。 解：设，则， ， 所以， 即。 设这时，所以。 由于{b n}是以3为首项，以为公比的等比数列，所以有。 由此得：。 说明：通过引入一些尚待确定的系数转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）。
五、型 例5. 已知b≠0，b≠±1，，写出用n和b表示a n的通项公式。 解：将已知递推式两边乘以，得 ，又设， 于是，原递推式化为，仿类型三，可解得，故。 说明：对于递推式，可两边除以，得 ，引入辅助数列 ，然后可归结为类型三。
六、型 例6. 已知数列，求。 解：在两边减去。 所以为首项，以 。 所以令上式，再把这个等式累加，得 。所以。 说明：可以变形为，就是 ，则可从，解得，于是是公比为的等比数列，这样就转化为前面的类型五。 等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上。 转化的目的是化陌生为熟悉，当然首先是等差、等比数列，根据不同的递推公式，采用相应的变形手段，达到转化的目的。
常见数列通项公式的求法-中学数学论文 常见数列通项公式的求法 邹后林 （会昌中学，江西赣州342600） 摘要：数列的通项求法灵活多样，需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。 关键词：数列；通项公式；求法 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0031-01 例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列。 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。 解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)， ∴an＝2Sn－1＋1 (n∈N*，n1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， 即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an (n∈N*，n1)。 而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1。 ∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1 (n∈N*)。∴a1＝1，a2＝3，a3＝9，
在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15， ∴b2＝5。 又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2。 ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn0 (n∈N*)，∴舍去d ＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1 (n∈N*)。 (2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)3n，② ∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n-1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n＋1)3n
求数列通项公式的十种方法 一、公式法 例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 解：1232n n n a a +=+?两边除以1 2 n +，得 113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2 n n a 是以1222a 11==为首项，以23 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22 n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222 n n a n =-。 评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+?转化为 113 222 n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22 n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。 二、利用 { 1(2)1(1) n n S S n S n n a --≥== 例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数 2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式； 解： 22(1)4 2 31a n a d S n n n n =-+∴=-=-=-- 23435T S n n n n n ∴=+=--……2分 当1,35811n T b ===--=-时 当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分 练习：1. 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n 解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2) 当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1， a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3; 当a 1=2时， a 3=12， a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3 三、累加法
1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n
(2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4]
求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式？ 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +?? =+ ??? *()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.
4.构造新数列: 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足2 11=a ，n n a a n n ++ =+211 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足3 21=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的 通项1___n a ?=?? 12 n n =≥ 2!n a n =)2(≥n 解