2014高考数学知识点题型测试10
高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．
圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质
考点一 圆锥曲线的定义与标准方程
例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23
－x 2
＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一
个交点，则|PF 1|2|PF 2|的值等于________．
(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2
＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|FA |＝2|FB |，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)22
3
解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝26，||PF 1|－|PF 2||＝23，两式平方相减得4|PF 1||PF 2|＝433，所以|PF 1|2|PF 2|＝3.
(2)方法一 抛物线C ：y 2
＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点
P (－2,0)．
如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ，
BN ⊥l 于点N .
由|FA |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点． 连接OB ，则|OB |＝1
2|AF |，
∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1， 故点B 的坐标为(1,22)． ∴k ＝22－01－－2＝22
3
.
方法二 如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ，
又|AF |＝2|BF |， ∴
|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝12
， 即B 是AC 的中点．
∴?????
2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与
?????
y 2
A ＝8x A ，y 2
B ＝8x B ，
联立可得A (4,42)，B (1,22)．
(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．
(1)(20122山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32
.双曲线x 2－y 2
＝1的渐近
线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
( )
A.x 28＋y 22＝1
B.x 212＋y 26＝1
C.
x 2
16＋y 2
4
＝1
D.
x 2
20＋y 2
5
＝1
(2)如图，过抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为
( )
A ．y 2
＝9x B ．y 2
＝6x C ．y 2＝3x
D ．y 2
＝3x
答案 (1)D (2)C
解析 (1)∵椭圆的离心率为32，∴c a ＝a 2
－b 2
a ＝32，
∴a ＝2b .∴椭圆方程为x 2
＋4y 2
＝4b 2
.
∵双曲线x 2
－y 2
＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，
∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2
＋4y 2
＝4b 2
在第一象限的交点为?
????
255
b ，255b ，
∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b 3255b ＝4，∴b 2＝5，∴a
2
＝4b 2
＝20.
∴椭圆C 的方程为x 220＋y 2
5
＝1.
(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|， ∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，
∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°. 连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，
设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2
＝3x ，故
选C.
考点二 圆锥曲线的几何性质
例2 (1)(20132辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相
交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos∠ABF ＝4
5，则C 的离心率为( )
A.3
5
B.5
7
C.4
5
D.67
(2)已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，
且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 (1)B (2)5
3
解析 (1)在△ABF 中，由余弦定理得 |AF |2
＝|AB |2
＋|BF |2
－2|AB |2|BF |cos∠ABF ， ∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6， 从而|AB |2
＝|AF |2
＋|BF |2
，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝1
2
|AB |＝5，
利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点， 则|BF ′|＝|AF |＝6，
∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7.
因此椭圆的离心率e ＝c a ＝5
7
.
(2)设∠F 1PF 2＝θ，
由?
??
??
|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得?????
|PF 1|＝8
3a ，|PF 2
|＝2
3
a ，
由余弦定理得cos θ＝17a 2
－9c 2
8a 2
＝178－98
e 2
.
∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤178－98e 2
<1，
又e >1，∴1 3 . 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等． (1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且 B F →＝2 F D → ，则C 的离心率为________． (2)过双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2 ＝a 24 的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1) 33 (2)102 解析 (1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )， F (c,0)，D (x D ，y D )， 则B F → ＝(c ，－b )， F D → ＝(x D －c ，y D )， ∵B F →＝2F D → ， ∴? ?? ?? c ＝2x D －c ， －b ＝2y D ， ∴????? x D ＝3c 2，y D ＝－b 2 . 又∵点D 在椭圆C 上， ∴ ? ????3c 22a 2 ＋ ? ?? ??－b 22b 2 ＝1，即e 2 ＝13.∴e ＝33 . (2)设c ＝a 2 ＋b 2 ，双曲线的右焦点为F ′. 则|PF |－|PF ′|＝2a ，|FF ′|＝2c . ∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点， ∴OE ∥PF ′，且|PF ′|＝2|OE |. ∵OE ⊥PF ，|OE |＝a 2， ∴PF ⊥PF ′，|PF ′|＝a ， ∴|PF |＝|PF ′|＋2a ＝3a . ∵|PF |2 ＋|PF ′|2 ＝|FF ′|2 ， ∴9a 2 ＋a 2 ＝4c 2 ，∴c a ＝102 . ∴双曲线的离心率为 102 . 考点三 直线与圆锥曲线的位置关系 例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝2 2 ，点F 为椭 圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →2FB → ＝2－1. (1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )， ∴MF →＝(c ，－b )，FB → ＝(a －c,0)， ∴MF →2FB →＝ac －c 2 ＝2－1. 又e ＝c a ＝ 22 ，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2 ＝2－1， ∴c 2 ＝1，a 2 ＝2，b 2 ＝1， ∴椭圆C 的方程为x 2 2＋y 2 ＝1. (2)假设存在满足条件的直线l . ∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1. 设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 由????? y ＝x ＋m ，x 22 ＋y 2 ＝1 消去y 得3x 2 ＋4mx ＋2m 2 －2＝0， 则有Δ＝16m 2 －12(2m 2 －2)>0，即m 2 <3， 又x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2 －2 3 ， ∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2 ＝2m 2 －23－4m 2 3＋m 2 ＝m 2 －23 . 又F 为△MPQ 的垂心，连接PF ，则PF ⊥MQ ， ∴PF →2MQ → ＝0， 又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ → ＝(x 2，y 2－1)， ∴PF →2MQ → ＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2 ＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2 ＝－43m ＋m －2m 2 －23－m 2 －23 ＝－m 2－m 3＋43＝－13 (3m 2 ＋m －4) ＝－1 3(3m ＋4)(m －1)＝0， ∴m ＝－4 3或m ＝1(舍去)， 经检验m ＝－4 3 符合条件， ∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0. (1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． (2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． (20132北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 2 4＋y 2 ＝1上的三个点，O 是坐标原点． (1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由． 解 (1)由椭圆W ：x 2 4＋y 2 ＝1，知B (2,0) ∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ， ∴|AC |＝|y 2－y 1|＝ 3. 因此菱形的面积S ＝12|OB |2|AC |＝1 23233＝ 3. (2)假设四边形OABC 为菱形． 因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)． 由? ?? ?? x 2 ＋4y 2 ＝4， y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2 )x 2 ＋8kmx ＋4m 2 －4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 2 2＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k 2x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ? ?? ? ?－ 4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， ∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－1 4k . 又k 2? ????－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直． 故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形． 1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义 中的定值是标准方程的基础． 2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2 ＋By 2 ＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时， 表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线． 3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝c a ；方法二：根据已 知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a . 4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通 径长为2b 2 a ，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径 最短． 椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质： 已知AB 是抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点弦， F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 2 4 ； (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2α(α为弦AB 的倾斜角)； (3)S △AOB ＝p 2 2sin α； (4)1|FA |＋1|FB |为定值2p ； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且 垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,2) C ．(1,1＋2) D ．(2,1＋2) 答案 B 解析 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐 角，即∠AEF <45°，于是|AF |<|EF |，b 2a