数学分析练习题
函数
函数概念
1． 证明下列不等式： (1) x y x y - ≥ - ；
(2) 1212n n x x x x x x ++ ≤ +++ ；
(3) 1212(||||||n n x x x x x x x x |+++| ≥ ||- + ++ ）.
2．求证 ||||||
1||1||1||a b a b a b a b + ≤ +
++ + +
. 3．求证
||max(,)22
a b a b a b + -
=
+ ； ||min(,)22
a b a b a b + -
=
- . 4．已知三角形的两条边分别为a 和b ，它们之间的夹角为θ ，试求此三角形的面()s θ ，并求其定义域.
5．在半径为r 的球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表为其高的函数，并求此函数的定义域.
6．某公共汽车路线全长为 20km ，票价规定如下：乘坐 5km 以下（包括5km ）者收费 1 元；超过 5km 但在15km 以下（包括 15km ）者收费 2 元；其余收费 2 元 5 角. 试将票价表为路程的函数，并作出函数的图形.
7．一脉冲发生器产生一个三角波. 若记它随时间t 的变化规律为()f t ，且三个角分别有对应关系(0)0f = ，(10)20f = ，(20)0f = ，求()20f t t (0≤≤) ，并作出函数的图形.
8．判别下列函数的奇偶性：
(1) 4
2()12
x f x x = + - ；
(2) ()sin f x x x = + ；
(3) 2
2()x f x x e - = ；
(4) ()lg(f x x = .
9．判别下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： (1) 2()cos f x x = ；
(2) ()cos sin 23
x x
f x = +2 ；
(3) ()cos f x x π
= 4；
(4)
()f x . 10．证明 2()1x f x x
=
+
在 (,) -∞ +∞ 有界. 11．用肯定语气叙述函数无界，并证明2
1
()f x x =
在(0,1) 无界. 12．试证两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，一个奇函数和一个偶函数的乘积是奇函数.
13．设()f x 为定义在(,) -∞ +∞ 内的任何函数，证明()f x 可分解成奇函数和偶函数之和.
14．用肯定语气叙述：在(,) -∞ +∞ 上 (1) ()f x 不是奇函数；
(2) ()f x 不是单调上升函数； (3) ()f x 无零点； (4) ()f x 无上界.
复合函数与反函数
1． 设()1x f x x 1-
=
+
，求证 (())f f x x = . 2． 求下列函数的反函数及其定义域：
(1) 11
2y x x x
= (+) , 1 < < +∞ ；
(2) 12x x y e e x -
= ( - ) , -∞ < < +∞ ；
(3) 2,1,,4,2,4.x x x y x x x -∞ < < ??
= 1≤ ≤?? < <+∞?
3．设()f x ，()g x 为实轴上单调函数，求证(())f g x 也是实轴上的单调函数. 4．设
2,0,1,
0,()(),0.,0.x x x x f x g x x x x x ≤ - - ≤ ?? = = ?? > - > ??
求复合函数(())f g x ，()g f x ( ). 5．设
()f x ，求n f f f x () ()
次
. 6．设 ()|1|||f x x x + - 1 - ＝，试求n f f f x () ()
次
.
7．设 1
()f x x =
1-
，求(())f f x ，((()))f f f x ，1(
)()f f x .
初等函数
1．对下列函数分别讨论函数的定义域和值域，奇偶性，周期性，有界性，并作出函数的图形：
(1) ||y x = ； (2) []y x x = - ；
(3) tan ||y x = ； (4)
y (5) 2sin y x = ；
(6) sin cos y x x = | | + | |.
2．若已知函数()y f x = 的图形，作函数
1()y f x = ，2()y f x = - ，3()y f x = --
的图形，并说明123y y y , , 的图形与y 的图形的关系. 3．若已知函数(),()f x g x 的图形，试作函数
[()()()()y f x g x f x g x 1
=
+ ±- ] 2
的图形，并说明y 的图形与()f x 、()g x 图形的关系.
4． 作出下列函数的图形： (1) sin y x x = ；
(2) 1sin y x =
. 5．符号函数
0,0,0,1,0,x y sgn x x x 1 , > ??
= = = ??- < ?
试分别作出sgn x ，sgn )x (2 ，sgn(2)x - 的图形.
6．作出下列函数的图形： (1) cos y sgn x = ；
(2) ]22x y x ??
= [ - ?? ??
.
数列的极限
1． 用定义证明下列数列的极限为零： (1) 1
lim 1n n n →∞+ +
；
(2) sin lim n n n →∞
；
(3) lim n n π→∞
；
(4) 2
(1)lim n
n n n →∞ + - - 1
； (5)
n →∞
；
(6) 10lim !n
n n →∞
；
(7) lim 1n n n
a a →∞ ( > )
；
(8) !lim n n n n →∞
； (9) 2123lim n n
n →∞ + + + +
；
(10) 1
lim 1n n a a n -→∞
(
+ ) , >
. 2．用定义证明：
(1) 223lim 21n n n n →∞+3
= 2 - ；
(2)
n →∞ 1 ； (3) lim n n x →∞ = 1 ，其中 1,1,n n n n
x n n n
-
? ?? = ? + ? ??为偶数，为奇数；
(4) lim n n x →∞ = 3 ，其中
31,1(1,2,)22n n k n x n k k n n k ?
? 3 = ?
3 + ?
= = 3 + = ??
? = 3 + ?
?
，，.
3．用定义证明：
(1) 若lim n n a a →∞
= ，则对任一正整数k ，有lim n k n a a +→∞
= ；
(2) 若lim n n a a →∞
= ，则lim |n n a a →∞
|| = | .反之是否成立？
(3) 若lim n n a a →∞
= ，且a b > ，则存在N ，当n N > 时，有n a b > ；
(4) 若lim n n a a →∞
= ，且0n a >
，则n .
4．极限的定义改成下面形式是否可以？（其中“ ? ”是逻辑符号，表示“存在”.） (1) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N ≥ 时,有n x a ε |-|<； (2) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N > 时,有n x a ε ≤ |-|；
(2) ε ? > 0 ，0N ? > ，当n N > 时,有n x a M ε < |-|（M 为常数）.
5．若 {}n n x y 收敛，能否断定{}n x 、{}n y 也收敛？ 6．设 (1,)n n x a y n ≤ ≤ = 2, ，且lim()0n n n y x →∞
- = ，求证：
lim n n x a →∞
= ，lim n n y a →∞
= .
7．利用极限的四则运算法则求极限：
(1) 3232321lim 32
n n n n n n →∞ + - + 2 - +；
(2) (2)3lim (2)3n n
n →∞- +
- + ； (3) 112
lim 1144
n
n n
→∞1 + + + 2 1 + + + ； (4)
n →∞
.
8．求下列极限： (1) 111lim (
)12(1)n n n →∞ + + + 2 3 + ； (2) 222
111
lim (
)(1)(2)n n n n →∞
+ + + + ； (3)
lim n →∞
； (4) 21321
lim()222
n n n →∞- + + + ；
(5)
lim(1cos n n →∞
； (6)
n ；
(7)
lim n →∞
；
(8) lim[(
1)]n n n n n →∞
+ - ，01a < < ； (9) lim 2n n n
→∞132-1
24 ；
(10) n ；
(11) n ；
(12) n .
9．证明：若{}n a ，{}n b 中一个是收敛数列，另一个是发散数列，则{}n n a b ± 是发
散数列；又问{}n n a b 和(0)n n n a b b ??
≠ ????
是否也是发散数列？为什么？
10．设(1)n n x = - ，证明{}n x 发散. 11．若12,,,m a a a 为m 个正数，证明：
12max(,,,)m n a a a .
12．设lim n n a a →∞
= ，证明：
(1) []
lim n n n a a n
→∞ = ；
(2) 若0,0n a a > >
，则1n .
13．利用单调有界原理，证明lim n n x →∞
存在，并求出它：
(1)
122,x x n = 3, ； (2)
1,2,n x x n = 3, ；
(3) n
n c x n = （c>0）！
；
(4) 101
,1,1,1n n n x
x x n x -- = 1
= + = 2, + . 14．若11,0(),x a y b a b = > 0 = > <
11,2
n n
n n x y x y ++ + =
证明：lim lim n n n n x y →∞
→∞
= .
15．证明：若0n a > ，且1
lim 1n
n n a l a →∞+ = > ，lim n n a →∞
= 0.
16．设lim n n a a →∞
= ，证明：
(1) 12lim n
n a a a a n
→∞ + + +
= ；
（又问，它的逆命题成立否？） (2) 若0n a >
，则n a . 17．应用上题的结果证明下列各题：
(1) 113
lim n n n
→∞11 + ++ +
2 = 0 ； (2)
1(0)n a > ；
(3)
1n ；
n (5)
n →∞ 1 ；
(6) 若1lim ()n n n n
b
a b b +→∞ = >0
，则n a .
18．用定义证明下列数列为无穷大量： (1)
{ ；
(2) {}n ！； (3) {}ln n ；
(4) 113n
11
+ ++ + 2 .
19．利用1lim 1n
n e n →∞
??
+ = ???，求下列极限：
(1) 1lim 1n
n n →∞
??
- ???
；
(2) 1lim 11n n n →∞
?
? + ?+??
； (3) 1lim 12n n n →∞
?
? + ???
；
(4) 21lim 1n n n →∞
?
? + ???
.
函数的极限
1．用极限定义证明下列极限：
(1) 2131
lim 2
9x x x →- - = - ；
(2) 3
31
lim 69x x x → -
= - ； (3)
1
2x → ； (4) 1(2)(1)
lim 03
x x x x →--
= - ；
(5)
2
3x → ；
(6) 21
(1)1
lim 21x x x x →-
= - ； (7) 3
lim 9
x x
x →
= ∞ - ；
2
x x →∞ + (9) 2lim 1x x x
x →∞ + = ∞ + ；
(10) 225lim 11
x x x →∞ - = - .
2．用极限的四则运算法则求下列极限：
(1) 2201lim 21x x x x → - - - ；
(2) 2211lim 21x x x x → - - - ；
(3) 3230(1)(13)lim 2x x x x x → - + - + ；
(4)
1x → ； (5)
3
x → ； (6) 22356
lim x x x x x → - + - 8 + 15
；
(7) 11
lim 1
n m x x x → - - （,n m 为正整数）
； (8)
4
x → . 3．设()0f x > ，证明：若0
lim ()x x f x A → =
，则0
x x → n ≥ 2. 4．证明：若0
lim ()x x f x A → = ，则0
lim |()|||x x f x A → = ，但反之不真.
5．求下列函数字所示点的左右极限：
(1) 21,()1,2,1,x f x x x x ? 0 , > ?
= 1 , = ?? + < ? 在=1
x ； (2) 21sin ,
(),x x f x x
x x ?
, > 0? = ?? 1+ , < 0?
在=0x ； (3) 2
||1
(),1x f x x x =
+ 在=0x ； (4) 11()[],f x x x = - 在1
=x n
，n 是正整数；
(5) 2,()0,,0,x x f x x x x ? 2 , > 0?
= 0 , = ?? 1+ < ?
在=x 0 .
6．求下列极限：
221
x x x →∞ - - (2) lim
x ；
(3) lim x x →+∞
) ；
(4) lim x x →-∞
) ；
(5) 23lim x x x
x
→∞ + ；
(6) 2sin lim 4x x x
x →+∞
- ；
(7) cos lim x x x
x
→-∞-
；
(8) lim x →+∞
.
7．用变量替换求下列极限：
(1) 01
lim []x x x
+→ ；
(2) 0
lim ln (0)a x x x a +
→ > ； (3) ln lim 0x x
a x →+∞
( > ) ；
(4) 1lim x x →+∞
.
8．设()f x 在(,)a +∞ 上单调上升，lim n n x →∞
= +∞，若l i m ()n n f x A →∞ = ，
求证：lim ()x f x A →+∞
= （A 可以为无穷）.
9．设()f x 在集合X 上定义，则()f x 在X 上无界的充要条件是：存在,n x X ∈
1,2,n = ，使lim ()|n f x →∞
| = +∞ .
10．利用重要极限求极限： (1) 0sin 2lim x x
x
→
；
(2) 2
2
0sin lim (sin )x x x →
； (3) 0tan 3lim sin 5x x
x
→ ；
(4) 302sin sin lim x x x
x → - 2 ；
(5) 2
0cos 5cos 3lim x x x
x → -
；
0x x →(7) 0arctan lim x x
x
→ ；
(8)
x → ；
(9)
0x → ； (10) 0cos(arccos )
lim x n x n x
→ ( )为奇数；
(11) 4
tan 1
lim 4
x x x π
π→
- - ； (12) sin lim ,sin x mx
m n nx
π→
（为整数）
； (13) 2
cos lim 2
x x x π
π→
-
；
(14) 1
lim sin x x x
→+∞ ；
(15)
lim x →+∞
；
(16)
lim sin (x n π→+∞
( )为整数；
(17) lim x
x x -→∞
2?
? 1 ? ??
－；
(18) 1
lim(1
)x
x nx n → + ( )为整数； (19) cot 0
lim(1
tan )x x x → + ； (20) 1
01lim()1x x x x
→+ -；
(21) 21
32lim ()31
x x x x -→+∞+ -；
(22) tan 2
lim (sin )x x x π
→
； (23) 2
2
21lim 1x x x x →∞??
- ? - ??；
(24) lim 1n
x n x n →+∞+??
?-??
. 11．证明01
limcos x x
→不存在 .
12．证明0
lim ()x x D x → 不存在，其中
1,
(),.x D x x ? = ? 0 ?
为有理数，为无理数
13．求极限
lim cos cos cos 242
n n x x x
→+∞ . 14．用定义证明：
(1) 若lim ()x a
f x → = +∞ ，lim ()x a
g x A → = ，则lim ()()]x a
f x
g x → [+ = +∞ ；
(2) 若lim ()x a
f x → = +∞ ，lim ()x a
g x A → = ( >0) ，则lim ()()]x a
f x
g x → [ = +∞ .
15．若lim ()x f x A →+∞
= ，lim ()x g x B →+∞
= ，证明：lim ()()]x f x g x AB →+∞
[ = .
16．证明lim ()x f x A →+∞
= 的充要条件是：对任何数列()n x n → +∞ →∞ ，有
(()n f x A n ) → →∞ .
17．证明0
lim ()x x f x +
→ = +∞ 的充要条件是：对任何数列0()n x x n → →∞ ，有 (()n f x A n ) → →∞ .
18．设函数()f x 在(0,) +∞ 上满足方程(2)()f x f x = ，且lim ()x f x A →+∞
= ，证明：
(),(0,)f x A x ≡ ∈ +∞ .
无穷小量与无穷大量的比较
1． 当0x → 时，以x 为标准求下列无穷小量的阶： (1) sin sin x x 2 - 2 ； (2) 1
(1)1x x
- - +；
(3)
(4) (5) ln (1)x + ；
(6)
(7) 1; (8) 1x e - .
2．当x →±∞ 时，以x 为标准求下列无穷大量的阶： (1) 26x x + ；
(2) 2454x x x + 6 - ；
(3)
(4)
223
x x + - (6) 21
arctan x x
.
3．当0x → 时，下列等式成立吗？ (1) 2()()o x o x = ； (2) 2()()O x x = ο ； (3) 23()()x o x o x = ；
(4) 2()()o x o x x = ；
(5) 2()
()()
o x o x o x
= ； (6) 2()()o x O x = . 4．试证下列各题：
(1)
3()(0)x O x x + →； (2) 32322()()x x O x x + = →∞； (3) 0(())(())(())o g x o g x o g x x x ± = (→)； (4) ()()()00m n n o x o x o x x m n + = (→) , > > ； (5) ()()()00m n m n o x o x o x x m n + = (→) , > > . 5．证明下列各式：
(1) tan (0)x x x → ； (2) arcsin (0)x x x → ； (3) arctan (0)x x x → ；
(4) 21cos (0)x x x 1
- → 2
；
(5) (0)x e x x - 1 → ；
(6) (1)(0),a x x x α+- 1 → α ≠ 0 其中. 6．运用等价无穷小量求极限：
(1) 2arctan lim cos x x x x
→∞1
- ； (2)
0x →；
sin x x → (4) 2
01
lim sin x x e x x
→ - .
7．设0()()()f x g x x x → ，证明：
()()(())f x g x o f x - = 或()()(())f x g x o g x - = .
8．设x a → 时，1()f x 与2()f x 维等价无穷小，1()g x 与2()g x 是等价无穷大，且
22lim ()()x a
f x
g x → 存在，求证
1122lim ()()lim ()()x a
x a
f x
g x f x g x →→ = .
函数的连续性
1． 用定义证明下列函数在定义域内连续： (1)
y
(2) 1y x =
； (3) ||y x = ；
(4) 1
sin y x
= .
2．指出下列函数的间断点并说明其类型： (1) 1()f x x x = +
； (2) 2
()(1)x
f x x =
+；
(3) 21
()cos f x x
= ；
(4) ()[][]f x x x = + -；
(5) sin ()||
x
f x x =
； (6) ()sgn |f x x = |； (7) ()sgn(cos )f x x = ；
(8) ()ln f x x
1 =
； (9) ,||1,
()1,|1x x f x x ≤ ? = ?
|>?
； (10) cos ,||1,()2
1,|1x x f x x x π?
≤ ? = ?? | -| |
>?； (11) sin ,,
()0,x x f x x π ? = ?
?
为有理数为无理数；
(12) ,,
(),x x f x x x ? = ?
- ?
为有理数为无理数. 3．当0x = 时下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使()f x 在0x = 连续：
(1)
()f x ；
(2) tan 2()x
f x x
= ；
(3) 1
()sin sin f x x x
= ；
(4) ()x
f x x 1 = (1+).
4．设()f x 是连续函数，证明对任何0c > ，函数
,(),()(),(),,()c f x c g x f x f x c c f x c - < -??
= || ≤ ?? > ?
是连续的.
5．若()f x 在0x 点连续，那么()f x | | 和2()f x 是否也在0x 点连续？反之如何？ 6．若函数()f x 字0x = 点连续，而()g x 在0x = 点不连续，问此二函数的和、积在0x 点是否连续？又若()f x 和()g x 在0x 点都不连续，问此二函数的和、积在0x 点是否必不连续？
7．证明若连续函数在有理点的函数值为0，则此函数恒为0.
8．若()f x 在[,]a b 连续，恒正，按定义证明1
()
f x 在,a b [ ] 连续. 9．若()f x 和()
g x 都在[,]a b 连续，试证明max(()())f x g x , 和min(()())f x g x , 都在[,]a b 连续.
10．证明：设()f x 为区间(,)a b 上单调函数，若0,x a b ∈ ( ) 为()f x 的间断点，则必是()f x 的第一类间断点.
11．若()f x 在[,]a b ,12n a x x x b < < < < < ，则在12[,]x x 中必有ξ ，使得
12()[()()()]n f f x f x f x n
ξ1
= + ++ .
12．研究复合函数f g 和g f 的连续性. 设
(1) 2()sgn ,()1f x x g x x = = +； (2) 2()sgn ,()1)f x x g x x x = = (-.
13．证明：若()f x 在[,]a b 连续，且不存在,]x a b ∈ [ ，使()f x = 0 ，则()f x 在[,]a b 恒正或恒负.
14．设()f x 为[,]a b 上的递增函数，值域为[(),()]f a f b ，证明()f x 在[,]a b 上连续. 15．设()f x 在[,)a +∞ 上连续，且0()(0)f x x x ≤ ≤ ≥ ，若10a ≥ ，1()(1,2,)n n a f a n + = = .求证：
(1) lim n n a →∞
存在；
(2) 设lim n n a l →∞
= ，则()f l l = ；
(3) 如果将条件改为0()(0)f x x x ≤ < > ，则0l = . 16．求下列极限：
(1)
11lim 2x x x →+?
?+??
；
(2) 1lim arctan cos x x x
→+∞ ( ) ；
(3) 2
1
lim(cos )x x x → ；
(4) 20cos 5lim 1ln(1)
x x e x x x → +
+ + -.
17．证明方程30(0)x px q p + + = > 有且只有一个实根.
实数的完备性
1．求数列的上、下确界： (1) 11;n x n
=-
(2) [2(2)];n n x n =+-
(3)
2211
,1(1,2,3,);k k x k x k k += =+ =
(4) 1[1(1)];n n n x n
+=+- (5)
;
n x (6)
12cos .13
n n n x n π-=
+ 2．设()f x 在D 上定义，求证：
(1) sup{()}inf ();x D
x D
f x f x ∈∈-=-
(2)
inf{()}sup ().x D
x D
f x f x ∈∈-=-
3．设s u p E β
=，
且E β?，试证自E 中可选取数列{}n x 且n x 互不相同，使lim n x x β→∞
=；又若E β∈，则情形如何?
4．试证收敛数列必有上确界和下确界，趋于+∞的数列必有下确界，趋于-∞的数列
必有上确界．
5．试分别举出满足下列条件的数列： (1)有上确界无下确界的数列；
(2)含有上确界但不含有下确界的数列； (3)既含有上确界又含有下确界的数列；
(4)既不含有上确界又不含有下确界的数列，其中上、下确界都有限．
实数完备性基本定理
1．利用有限覆盖定理9．2证明紧致性定理9．4． 2．利用紧致性定理证明单调有界数列必有极限． 3．用区间套定理证明单调有界数列必有极限．
4．试分析区间套定理的条件：若将闭区间列改为开区间列，结果怎样?若将条件
1122[,][,]a b a b ?? 去掉或将条件0n n b a -→去掉，结果怎样?试举例说明．
5．若{}n x 无界，且非无穷大量，则必存在两个子列,k k n m x x a →∞→ (a 为有限数)．
6．有界数列{}n x 若不收敛，则必存在两个子列,)k
k n m x a x b b →→ (α≠．
7．求证：数列{}n a 有界的充要条件是，{}n a 的任何子数列{}k n a 都有收敛的子数列．
8．设()f x 在[,]a b 上定义，且在每一点处函数的极限存在，求证：()f x 在[,]a b 上有界． 9．设
()f x 在[,]a b 无界，求证：存在[,]c a b ∈，对任给0δ>，函数()f x 在
(,)[,]c c a b δδ-+?上无界．
10．设
()f x 是(,)a b 上的凸函数，且有上界，求证：lim (),lim ()x a
x b
f x f x +-
→→ 存在． 11．设
()f x 在[,]a b 上只有第一类间断点，定义
()|(0)(0)|.x f x f x ω=+--
求证：任意0,()x εωε> ≥的点x 只有有限多个．
12．设
()f x 在[0,)+∞上连续且有界，对任意(,)a ∈-∞+∞，
()f x a =在[0,)+∞上只有有限个根或无根，求证：lim ()x f x →+∞
存在．
实数完备性续
1，设
()f x 在(,)a b 连续，求证：()f x 在(,)a b 一致连续的充要条件是
lim ()x a f x +
→与lim ()x b
f x -
→都存在，
2．求证数列1
n
x =+ n →∞时的极限不存在． 3．利用柯西收敛定理讨论下列数列的收敛性： (1) 012(||1,||);n n n k x a a q a q a q q a M =++++<≤
(2)
2sin1sin 2sin 1;222n n n x =+
+++ (3) 11111(1).23n n x n
+=-+++- 4．证明0
l i m ()x x f x →存在的充要条件是：对任意给定0ε>，存在0δ>，当
000|'|,0|''|x x x x δδ<-< <-<时，恒有
|(')('')|.f x f x ε-<
5．证明
()f x 在0x 点连续的充要条件是：任给0ε>，存在0δ>，当
000|'|,0|''|x x x x δδ<-< <-<时，恒有
|(')('')|.f x f x ε-<
6．证明下列极限不存在： (1) 12cos ;13
n n n x n π
-=
+
(2) n x
(3) sin(n x =
(4) cos ;n x n = (5)
t a n .
n x n = 7．设
()f x 在(,)a +∞上可导，|'()|f x 单调下降，且lim ()x f x →+∞
存在，求证
lim '()0x xf x →+∞
=．
8．设
()f x 在(,)-∞+∞可导，且|'()|1f x k ≤<，任给0x ，令
1()(0,1,2,),n n x f x n += =
求证， (1)
lim n x x →∞
存在；
(2) 上述极限为()x f x =的根，且是唯一的．
9．设()f x 在[,]a b 满足条件：
(1) |()()|||,,[,],1;f x f y k x y x y a b k -≤- ?∈ 0<< (2)
()f x 的值域包含在[,]a b 内．
则对任意0[,]x a b ∈，令1()(0,1,2,)n n x f x n +== ，有
(1)
lim n x x →∞
存在；
(2)方程()x f x =的解在[,]a b 上是唯一的，这个解就是上述极限值．
闭区间上连续函数的性质
1．设
()f x 在[,]a b 上连续，并且最大值点0x 是唯一的，又设0[,]x a b ∈，使
0lim ()()n x f x f x →∞
=，求证
0lim n x x x →∞
=
2．设()f x 在[,]a b 上连续，可微，又设
(1)
min ()max ();a x b
a x b
f x p f x ≤≤≤≤<<
(2) 如果()f x p =，则有'()0f x ≠，
求证：
()f x p =的根只有有限多个．
3．设()f x 在[,]a b 连续，()0f a <，()0f b >，求证：存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=，
且
()0()f x x b ξ><≤．
4．设
()f x 是[,]a b 上的连续函数，其最大值和最小值分别为M 和()m m M <，求证：
必存在区间[,]αβ，满足条件： (1)(),()f M f m αβ= =或(),()f m f M αβ= =； (2)
()m f x M <<，当(,)x αβ∈．
5．()f x 在[0,2]a 连续，且(0)(2)f f a =，求证：存在[0,]x a ∈，使()()f x f x a =+．
6．设()f x 在[,]a b 上连续，且取值为整数，求证：()f x ≡常数． 7．设
()f x 在(,)a b 上一致连续，,a b ≠±∞，证明()f x 在(,)a b 上有界；
8．若函数
()f x 在(,)a b 上满足利普希茨(Lipschitz)条件，即存在常数K ，使得
|(')('')||'''|,',''(,).f x f x K x x x x a b -≤- ∈
证明：
()f x 在(,)a b 上一致连续．
9．试用一致连续的定义证明：若函数
()f x 在[,]a c 和[,]c b 上都一致连续，则()f x 在
[,]a b 上也一致连续．
10．设
()f x 在(,)-∞+∞上连续，且lim ()x f x →-∞
与lim ()x f x →+∞
存在．证明；()f x 在
(,)-∞+∞上一致连续．
11．若
()f x 在区间X (有穷或无穷)中具有有界的导数，即|'()|,f x M x X ≤ ∈，则
()f x 在X 中一致连续．
12．求证：()f x x =在(0,)+∞上一致连续．
13．设()f x 在(,)a +∞上可导，且lim '()x f x →+∞
=+∞，求证：()f x 在(,)a +∞上不一致
连续．
14．求证：
()ln f x x x =在(0,)+∞上不一致连续．
微分中值定理及应用
微分中值定理
1．证明：（1）方程3
30x x c -+=（c 是常数）在区间[0,1]内不可能有两个不同的实
根；
（2）方程n
x
0px q ++=（n 为正整数，,p q 为实数）当n 为偶数时至多有两个实
根；当n 为奇数时至多有三个实根。
2．设
()(1),,m n f x x x m n =-为正整数，[0,1]x ∈，则存在(0,1)ξ∈，使
1m n ξξ
=- 3．应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： （1）sin sin ,,(,);x y x y x y -≤-∈-∞+∞
（2）
tan ,(,),22
x x x ππ
≤∈-等号成立当且仅当0x =；
（3）1,0;x e x x >+≠
（4）
ln ,0;y x y y x
x y y x x
--<<<< （5）2
arctan ,0.1x
x x x x <<>+
4．设函数在点a 具有连续的二阶导数，证明
''20()()2()lim ().h f a h f a h f a f a h
→++--= 5．设
'lim ()x f x a →+∞
=，求证：任意0T >，有
lim[()()].x f x T f x Ta →+∞
+-=
6． 函数
()f x 在[,]a b 可导，其中0a ≥，证明：存在(,)a b ξ∈，使得
22'2[()()]()().f b f a b a f ξξ-=-
7．设()f x 在(,)a +∞上可导，且lim ()lim ()x x a
f x f x A +
→∞
→==。求证：存在(,)a ξ∈+∞，使
'()0f ξ=。
8．设
()f x 可导，求证：()f x 在两零点之间一定有'()()f x f x +的零点.
9．设函数()f x 在0x 附近连续，除0x 点外可导，且0
'lim ()x x f x A →=，求证：'0()f x 存
在，且
'0()f x A =.
10．若
()f x 在[,]a b 可导，且''()()f a f b ≠，k 为介于'()f a 和'()f b 之间的任一实
数，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使
'()f k ξ=.
11．设函数()f x 在(,)a b 内可导，且'()f x 单调，证明'()f x 在(,)a b 连续. 12．若函数
()f x ，()g x 和()h x 在[,]a b 连续，在(,)a b 可导，证明存在(,)a b ξ∈，
数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n n n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使2 lim (1)0x x x ax b →+∞ -+-=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15[,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --. 数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a a =, 1()n n a a a n N +=+ ∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.
五年级数学下册第一单元测试试卷分析 张祠小学周玉平 这份试卷难易适中，从题量和时间安排上来说题量不是很大. 所考内容深入浅出地将教材中的全部内容展现在学生的试卷中，并注重考查学生活学活用的数学能力。本试卷基本上能够测出学生对所学知识的掌握情况，教师也能够通过此次测试从中找到自己教学中的不足，以改进教学方法。 本次考试的成绩：全班41人全部参加，最高分96分；90分以上6人；80—89分13人；70—79分11人；60—69分7人；60分以下4人；最低分27分；总分3100分；平均分75.6分。成绩不太理想。 本试卷共七道大题。 第一大题；填空题以基础知识为主，主要考查学生对基础知识的掌握。学生对这道题掌握得还不错，只有一小部分学生不会做这道题。 第二大题：判断题 此题中4小题，考查学生对对称轴和轴对称概念的理解。有个别的学生弄不明白了，混淆了。 第三大题：选择题。考查了学生对轴对称图形、对称轴、和旋转图形的掌握情况.学生大体上掌握的比较好。 第四大题：数图形的对称轴。考查了学生对画图中对称轴的判断能力。绝大多数学生都能正确答题。 第五大题：计算题。主要考查学生简便方法的运用。只有几个学生最后一小题没用简便方法，错误不多。 第六大题：看图回答问题。 此题以课本基础为主，主要考查学生对图形的变换掌握情况，涉及到旋转和平移。这道题错误相对较多，主要是理解能力不强。 第七大题：动手操作题。第1小题画出一个图形的轴对称图形。此题错误较多，主要是没有找好对称点，因此不能正确地画出轴对称图形。第2小题是画出三角形绕点顺时针旋转90度后的图形，这题错误更多主要是现在的方向和读数不对，以后
数学分析专题研究试题及参考答案 一、填空题（每小题3分，共18分） 1．集合X 中的关系R 同时为反身的，对称的，传递的，则该关系R 为 . 2．设E 是非空数集，若存在实数β，满足1）E x ∈?，有β≥x ；2） ，则称β是数集E 的下确界。 3．函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，若 存在，则称函数)(x f 在点 0x 可导。 4．若)(x f y =是对数函数，则)(x f 满足函数方程=)(xy f 。 5．若非零连续函数)(x f 满足方程)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f 是 函数。 6．设函数)(x f 定义在区间),(b a 上，对于任意的),(,21b a x x ∈，)1,0(∈?α，有 成 立，则称)(x f 在),(b a 上为下凸函数。 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1．设f ：Y X →，X A ??，则A （ ）))((1 A f f - A. = B. ≠ C. ? D. ? 2．已知函数)(x f y =在区间),(b a 上可导，),(b a x ∈?，有1)(0<
四年级上册数学第一单元测试卷试卷分析本次测试是在学生认识万以内数的基础上，进一步认识更大的数在实际生活中的运用，掌握大数的读写，并能在数据的收集过程中，认识近似数。学习的内容主要有四个部分：亿以内数的认识、亿以内数的读写、大数的改写以及近似数的认识。主要做法是：让学生经历收集日常生活中常见大数的过程，感受学习更大数的必要性，并能体验大数的实际意义。通过实践操作活动，认识亿以内数的计数单位，了解各单位之间的关系。并会正确读、写以及比较数的大小。在收集数据的过程中，认识数据改写单位的必要性，掌握万、亿为单位表示大数的改写方法。理解近似数在实际生活中运用的意义，能自主探索、掌握近似数的方法，能对更大的数进行估计。 （一）学生卷面反馈。 1.基础知识部分学生做得的十分理想，特别是大数的读写，可见我们在平时的教学中对基础知识抓的稳、准、实，对学生应掌握的知识训练的到位。学生的进步特别快,这与平时练的多要求高有关。大多数学生对本册容易知识点掌握得很牢固，仅有少数学生出现问题。学生在三年级的计算能力比较差，乘法列竖式不会写，除法当作乘法列竖式，也不会试商，我们要要求学生计算做到“一步一回头”，不要到头来算总账。
2.填空这部分基础知识，学生大部分发挥正常水平，都有明显的提高，这与平时的课堂训练是分不开的。 （二）今后的教学方向。 从试卷的方向来看，我认为今后在教学中可以从以下几个方面来改进： 1.培养学生良好的学习习惯，有个别学生在一些比较简单的填空题、判断中出现问题，并不是他们都是真的不会，而是有的学生不够细心，比较浮躁，这是各班中普遍存在的问题，所以我认为最重要的还是要培养学生认真、细心、书写工整、独立检查等一些好的学习习惯。 2.通过测试我们发现看似简单的问题，不少学生做错，特别是计算题，我们有时也埋怨学生，但静下心来想一想，其实问题不是出在学生身上，而是我们对学上把握度上出了偏差，过高的估计了学上的能力，这是我们教学上的弱点，今后我们一定想办法克服这一毛病。 3.立足于教材，扎根于生活。教材是我们的教学之本，在教学中，我们既要以教材为本，扎扎实实地渗透教材的重点、难点，不忽视有些自己以为无关紧要的知识；又要在教材的基础上，紧密联系生活，让学生多了解生活中的数学，用数学解决生活的问题。 4.平时练习时要有针对性，不要让学生泛泛做题，力争做到优生吃好，一般学生吃饱，学困生吃了，既不浪费时间，又收到良好效果。
小学一年级数学第一单元试卷分析 一、试题分析 在本次测试中，试卷内容丰富，题目形式多样。主要以基础知识为重要内容，难易相结合，试卷都是图文并茂、生动活泼，给学生以亲切感，使一年级的小朋友对本单元所学的知识进行了比较全面的复习和巩固。 二、试卷分析 一年级共有39人参加考试，其等级如下： 第一题：连一连。此大题共有个小题，由于平时训练较好，大部分学生做得较好，但是个别学困生做的仍不好。例如；王云、杨杰、雷应山仍出错。 第二题：圈一圈，部分学生由于忙乱没有查清个数错填，还有个别学生速度太慢跟不上，不去理解、分析马马虎虎，不认真造成的造成错题。 第三题：比一比。共有4个小题。都是比多少，学生普遍对谁比谁多，谁比谁少分得清楚，失分不多。 第四题：把同样多的连起来。除了个别的同学出错以外，大部分同学全做对。
第五题：涂一涂：第一题看数涂色。个别学生写的欠规范，速度慢，如杨杰。第二题看数接着画，少数出错。 第六题；看图画一画。本题失分较少，因为平时训练较多，学生对这部分知识确实理解了，做起来很顺手。 第七题：选一选。共2个小题，由于平时训练较多，学生做得很好。 第八题：数一数、涂一涂由于平时训练较多，学生做得很好。 三、今后要采取的方法与措施 1、多进行强化训练，练习形式多样化、灵活性、实用性，检查批改及时，重点抓课堂效果检测。 2、努力做好学困生的转化工作。 3、培养学生养成良好的学习习惯，要求学生把字写工整、清晰，做题时认真细致、静下心做题，不东张西望，学会理解题意，学会检查。 4、逐步引导学生自己读题，独立完成作业。
小学一年级数学第二单元试卷分析 一、试题分析 在本次测试中，主要以基础知识为重要内容，试卷内容丰富，题目形式多样简单，图型较多，都是生活中常见的实物图，生动活泼，给学生以亲切感。 二、试卷分析 一年级共有28参加考试，其等级如下： 第一、二题是在规定的要求下画“√、×、△或○”，第三题是把在水里生活的动物圈出来，第四题是把不同类的圈出来，第五题是根据物体个数画○，以上几个题中除杨淑娴一人忘圈外，其他做的都很好。 第六题是在长的、短的、重的、轻的、多的、少的、高的、矮的后面画“√、×、△或○，共六个小题，出错多的是6题，主要是学生对最高的、最矮的不理解，误把两个矮的都画上○，应在最矮的动物小兔子后面画。 三、今后要采取的方法与措施 1、多进行强化训练，重点抓课堂效果检测。 2、教学中多结合生活实际，调动学生积极性，培养学习兴趣。
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院班级学号（后两位）姓名 一. 1.若f 2.. . . 二. 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B.连续 C.可微 D.不能确定 2.若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（） A.()x f 在[]b a ,上一定不可积；
B.()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C.()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D.()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.不确定 4. A.B.C.D.5.A.B.C.D.三.1.()()()n n n n n n n +++∞→ 211lim 2.()?dx x x 2cos sin ln 四.判断敛散性（每小题5分，共15分） 1.dx x x x ? ∞ +++-0 2 113
2.∑ ∞ =1 !n n n n 3.()n n n n n 21211 +-∑ ∞ = 五.判别在数集D 上的一致收敛性（每小题5分，共10分） 1.()()+∞∞-=== ,,2,1,sin D n n nx x f n 2. 求七.八.
2014---2015学年度第二学期 《数学分析2》B 卷?答案 学院班级学号（后两位）姓名 一、 二.三. 而n 分 2.解：令t x 2sin =得 ()dx x f x x ? -1=()() t d t f t t 222 2sin sin sin 1sin ? -----------------2分 =tdt t t t t t cos sin 2sin cos sin ? =?tdt t sin 2-----------------------------------4分
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为 ()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()? +∞ a dx x f 绝对收敛，()?+∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必 然条件收敛（ ）. 4. 若()? +∞ 1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于 正无穷大（ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）.
二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑ ∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛；
六年级数学百分数的应用单元测试试卷分析 一、命题立意 开学十二周，六年级数学学习了百分数的应用，本次测试是为了检测学生这部分知识的学习情况，也为了掌握教学动态，及时查漏补缺，激励学生学习的积极性。更是考察教师对基础教育课程改革总体目标的理解，针对六年级数学教师教学观念、教学方式方面的实际情况，注重考察这方面目标的理解，有利于促进教师的教学观念和教学方式的转变。促进提高毕业班教师业务素质和教学质量。 二、试题分析 本次考试的命题范围只考本单元的知识。 试卷分填空、判断、分析解答、应用解答四大类。 选择题：主要考察在成数、折扣、利息、保险费计算等方面的知识。 判断题：内容主要是百分数知识，与生活中的问题相联系。 应用解答：有4小题，全部是生活中的一些常用的百分数的地方，更为解答百分数问题奠定基础。 应用题：占了试卷的大部分，这也是本单元的学习重点，有4道题，内容变化、多样。 三、答卷情况分析 试卷抽样情况分析 班级总分平均分优秀率及格率 6.1班2776 79.31 3 7.14% 94.29% 6.2班2602.5 78.86 36.36% 96.97%
6.3班2363 78.77 40% 90% 6.4班2796 79.88 42.86 % 9 7.14% 各个班的均分相差不大,优秀率和及格率也非常接近。年级最高分是98，最底42分。不及格人数每班都有1至3个。 第一题学生失分比较多的是：4、5、6小题。第4题：八月份的用电量比七月份多25%，学生对25%的意义不理解，多数学生填成八月份的用电量占七月份的25%。第5、6题利息、保险费的求法未掌握，公式记不住，导致失分比较多。 第二题学生失分比较多的是：成数的意义、浓度问题、税收的作用不能正确理解。 第三题应该是本次考核最为理想的，不管是从抽样检查还是从全年级该题平均分来看，同学们对方程的知识达到掌握的程度，比开学初的摸底考试有了很大的进步。 后面的应用题部分答题情况很不理想，同样的类型题，学生后面的会，前面的却做错，说明学生的理解也只是一知半解，并未真正掌握此类应用题的特征和解题方法，这也是新课改中失误的地方。也说明教师对“教学设计”的基本功还不扎实，更不能灵活新课改理念、体现“三维目标”这个程度，在新老教材融合方面也做得不够衔接。 从第四题的第３题从抽样来看，是解答错误最严重的一题。得分率和低。可以看得出学生对题目的理解程度，同样题目本身也存在着一定的问题，影响了学生的分析和解答。 解决问题第１题的第２个问题，很多学生把喜欢科技书的人数和喜欢科幻书的人数弄混淆，一个科技，一个是科幻，说明学生在做题
2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y ,v=x-y ,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感谢小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证：因f(x)在[a,b]可导，则由拉格朗日中值定理，存在
小学数学三年级上册第三单元试卷分析 老店完小李霞 2016/10/11
小学数学三年级上册第三单元试卷分析 老店镇老店完小李霞 一、试卷背景 这套试卷很眼熟吧！不错，这是我们人教版三年级上册数学学习巩固中的第三单元评价卷。在现在的素质教育下，我们手中的学习资源有限，在学习完第三单元后，我们班利用这套试卷对孩子进行了一次测试。 二、试卷总体特点 1、紧扣课本、内容全面、重点突出 从内容上看，所检测的都是课本上所教的，都是要求学生掌握的没有一项内容偏离课本，从形式上来看，每个大项的试题都是课本中出现过的，都是学生熟悉的。整个卷面，有最基本的基础题，也有锻炼学生解决问题的及综合能力的应用题，所考内容基本上覆盖了所教内容。 2、贴近生活实际，体现应用价值。
“人人学有价值的数学，”这是新课标的一个基本理念。本次试题依据新课标的要求，从学生熟悉的生活索取题材，把枯燥的知识生活化、情景化，通过填空、选择、解决问题等形式让学生从中体验、感受学习数学知识的必要性、实用性和应用价值。 三、试卷分析 这套试卷共五大题：填一填、选择、比较大小、解决问题和实际应用。 1.填一填：这道题主要考察单位之间的换算问题，这也是本单元的重点，孩子们很容易混淆，弄不清进率。出现的错题如下： （1）（2） （3）（4）
由图（1）可以看出孩子对进率的概念还模糊，遇到题不知道应该填写什么；从图（2）可以看出这个孩子还不会 将一个复名数换算成一个单名数；由图（3）可以发现孩子 做题不认真，懒于去思考，不看题就大约摸着往上填，导致失分；从图（4）我们不难发现，这个孩子对吨和千克之间 的进率还不熟悉，导致做题失败。 2.选择题：这道题包含6道小题，主要考察孩子们对长度单位和质量单位的感知。出错比较多的是（3）和（6）两小题。导致孩子们失分的原因是：孩子不能将所学知识与生活实际结合在一起，对单位的感知仅仅保留在认知阶段。 3.比较大小：这道题除了考察孩子们的单位换算能力外，还考察孩子们的计算能力，很多孩子在此落马。原因无它——都是粗心惹的祸！
（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
（十四） 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设=∈-=E R x x x E sup ,|][{则 1 , =E inf 0 ; 2 设 =--='→5 ) 5()(lim ,2)5(5 x f x f f x 则54； 3 设?? ?>++≤=0 , )1ln(,0, sin )(x b x x ax x f 在==a x 处可导，则0 1 ， =b 0 。 二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 n n n 1 )1 31211(lim ++++ ∞→ ; 解: 由于，n n n n 1 1)131211(1≤++++≤ 又，1lim =∞→n n n 故 。1)131211(lim 1 =++++∞→n n n 2 3 )(21lim n n n ++∞→； 解: 由stolz 定理, 3 )(21lim n n n ++∞→33)1()(lim --=∞→n n n n ) 1)1()(1(lim -+-+ -- =∞ →n n n n n n n n ) 1)1(2))(1(() 1(lim --+---+=∞→n n n n n n n n n .3 2)1)11(21 11lim 2=-- +- + =∞ →n n n n 3 a x a x a x --→sin sin lim ；
解: a x a x a x --→sin sin lim a x a x a x a x --+=→2sin 2cos 2lim .cos 2 2sin 2 cos lim a a x a x a x a x =--+=→ 4 x x x 10 ) 21(lim + →。 解: x x x 10 )21(lim +→.)21(lim 2 2 210e x x x =?? ??? ?+=→ 三 计算导数（共15分，每题5分）： 1 );(),1ln(1)(22x f x x x x f '++-+= 求 解: 。 1 11 11 1 1221122)(2 2 2 22 2+-= +- +=++++ - +='x x x x x x x x x x x x f 2 解: 3 设。 求)100(2 ,2sin )23(y x x y -= 解: 由Leibniz 公式 )23()2(sin )23()2(sin )23()2(sin 2)98(2 1002)99(11002)100(0100)100(' '-+'-+-=x x C x x C x x C y 6)2sin(26)2sin(2100)23)(2sin(22 98982991002999922100100?+++?+-+=?πππx x x x x x x x x x 2sin 2297002cos 26002sin )23(298992100?-?--= 。 ]2cos 12002sin )22970812[(2298x x x x --= 四 （12分）设0>a ，}{n x 满足： ,00>x ,2,1,0),(211 =+= +n x a x x n n n ;sin cos 33 表示的函数的二阶导数求由方程???==t a y t a x , tan sin cos 3cos sin 3)cos ()sin (22 33t t t a t t a t a t a dx dy -=-=''=。t t a t t a t dx y d sin cos 3sec )cos (sec 223222='-=
数学单元测试试卷分析 数学单元测试试卷分析 单元测试试卷分析篇一：单元考试试卷讲评教案 讲评目标 2、通过学生自己订正试卷中的错误，明确各自的缺失 3、通过教师的讲评，及时对学生盲点、易错点进行补漏。 4、通过试卷讲评，让学生掌握解题的方法与技巧，提高解决实际问题能力。 5、激发学生的学习兴趣，使学生树立学习物理的信心。 重点难点 1、归纳、整理学生试卷中较为普遍的问题，引导学生分析存在的问题，提出克服问题的建议和方法； 2、易错题的突破、审题思维的培养 2、简答题的解题方法 3、强调有关电学题的解题 课前准备 1、讲评课前的准备工作。 讲评试卷时需要有针对性地讲解，否则从头到尾逐题讲解，既浪费时间，又功效甚微。而要针对性地讲解，就必须广泛收集信息，仔细分析试卷。因此，在讲评课前我完成了以下三项工作： （1）准确统计
一是统计每题得分率（对得分率较低的试题应认真分析错误原因）。二是统计每题出现的典型错误（若是无解题过程的选择题， 填空题，以小组为单位了解错误的结果是怎么做出来的）。 （2）归类分析 事实表明，造成学生考试错误的主要原因有：心理，审题，书写，语言表达，知识积累等因素。因此，根据试卷的内容、特点和考试 结果，对试卷进行归类分析是必要的。 2、讲评时以“三要”为指导思想 由于此次要提醒学生做好期末考试提前复习的准备，但有一部分人由于某种原因而失手，情绪一度低落，在讲评时我还注意帮考得 不好的学生恢复信心。 1 在讲解时，可以展现对某题的各种解法，着重分析各种解法的思路，让学生分析比较各种解法的优缺点，从中寻找出最佳的方法和 一般的规律。 “错在哪儿了？”讲评课中要引导学生搞清自己出错的原因，是基础不扎实还是审题不不细心？是解题表述不规范还是隐含条件的 意义不清？是思想不重视还是心理紧张过度？要找准病根以对症下药，以求收到实效。 讲评过程 提前发下试卷（100分值的试卷题目太多，要选择性的讲解）， 公布答案，让同组学生纠正自己因不细致而能够做出的试题。同时 也让学生自己了解自己错误在什么地方，为什么错了，应该怎么做。 1、试卷分析 考试范围：第1章。 考试内容：物态变化 2、成绩分析
数学分析试题与答案 It was last revised on January 2, 2021
2014 ---2015学年度第二学期 《数学分析2》A 试卷 学院 班级 学号（后两位） 姓名 一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（ ）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????=dx x g dx x f dx x g x f （ ）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()? +∞ a dx x g 条件收敛，则()()?+∞-a dx x g x f ][必然条件收 敛（ ）. 4. 若()? +∞1 dx x f 收敛，则必有级数()∑∞ =1 n n f 收敛（ ） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（ ）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大 （ ）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（ ）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（ ）
A.不连续 B. 连续 C.可.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（ ） A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞ =--+1 21 11n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（ ） A.若0lim =∞ →n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（ ） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的； 三.计算与求值（每小题5分，共10分）
四年级数学第一单元测试试卷分析 儋州思源学校王宁 一、基本情况分析 本次数学试卷符合教学大纲，命题涵盖的知识面广，分值安排合理，注重考查学生的基础知识及运用计算解决生活的数学问题的能力，绝大部分学生应该达到且能达到的水平。考查的知识点为人教版四年级下册第一单元所学的内容，试卷采用闭卷笔试的形式。 二、试卷分析 本张试卷分为填空题、判断题、选择题、计算题、列式计算、解决问题共六道大题。我们四年级（一）班（四）班各有40名学生参加考试，平均分71分，及格率为74．4%，从整体上看，学生的基础知识掌握的一般。主要存在以下的问题：（一）、计算错误而失分的问题较为严重。1、主要是学生粗心导致失分例如：第4大题中的第一小题；64÷64×7学生把它算成结果等于0。2、有些学生不能较好地掌握四则运算的算法，导致计算错误而失分的较多，比如第四大题中第二小题（脱式计算）620 + （401-438÷73），学生知道先算括号里的，但是不是算括号里的除法而是减法。3、简便计算的算理弄不清楚。对于乘法分配律的运用，有些学生特别是学困生还不能较好地掌握，比如怎样简便就怎样计算这一题中，学生就把25×59+41×25算成25×59+41,125×88算成125×80+8。（二）、有些学生的运用所学知识分析问题与解决问题的能力急需提高。主要表现在文字题和解决问题的解决这一块，学生没有认真审题和分析题意，导致列式错误。例如文字题中的第一题，315减去135与9的商，差是多少？有些学生就先算出315减去135，再把所得的结果除于9。(三)、个别学生的空间观念及动手操作能力不强。如：第六大题的第五小题在平面图上标出个场所的位置，有些学生就不能较好的画出该位置图。 三、今后教学工作的想法： 针对学生在试卷中存在的问题，我认为我们今后的教学工作可以从以下的几个方面着手：（一）、培养学生养成良好的学习习惯，有些学生在一些比较简单的填空题、选择中出错，并不是都是不会，而
（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x 5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原 点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[) 1(11 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2 R D ?内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足 Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,(' ''∈为常数证 明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。
新北师大版一年级数学第二学期第一单元试卷分析 一、考试情况概述： 试卷是新北师大版小学数学一年级（下册）第一单元试卷，考核对象是本校一年级全体学生，考试时间为60分钟，我所任教的班级共104位学生参加考试，平均分都在80分左右。 二、试卷内容分析： 试卷有基础知识、综合与探究、生活与实践、附加题，主要考察学生20以内退位的减法。 三、考试情况分析： 1.审题不认真上失分较多。一年级学生在考试时心急浮躁，没有审题的习惯或者审题不认真，失了很多分。如综合与探究中的第二第三题，我会圈我会算，题目中是圈出得数的数，但好多同学少圈或多圈，粗心没数清楚，画一画，填一填。15-9=？？应该从15开始，画9格，但很多学生直接画到9那，所以就出错。 2.粗心漏题而失分。由于学生做题的习惯，有些学生经常漏做了几道题目，失分很厉害。 3.在基础知识上失分。如基础知识第二小题第6小题，要求学生接着写，考察的就是数数的知识，属于基础知识，失分太多。 4.问题解决也是失分的关键。读题不完整，不理解数量间关系，识字量不够，抄错数字，计算出错等都是学生在解决问题上失分的原因。如“树上的小鸟飞走了7只，还有5只，树上原来有多少只？学生看到“飞走了”就不假思索，马上用减法来解题，导致失分。 四、自我反思及努力方向： 1、必须夯实数学基础。 扎实的数学基础是成功解决数学问题的关键。数学基础训练讲究一个“严”字，教师及学生的态度都要严肃，教师的教风要严谨，对学生的要求要严格。一定要重视知识的获得过程。任何一类新知的学习都要力争在第一遍教学中让学生通过操作、实践、探索等活动中充分地感知，使他们在经历和体验知识的产生和形成过程中，获取知识，形成能力。只有这样，他们才真正获得属于自己的“活用”知识，当碰到基础知识的变形题时，就能灵活运用、举一反三了。否则，学生只会照葫芦画瓢，试题如果转弯，学生就不知道如何解决了。 2、加强学生的学习习惯、学习态度和学习策略的培养。 教师要精选精编灵活多变的针对性练习、发展性练习、综合性练习，有意识
五年级下册数学期末检测试卷分析 马鞍小学刘兴学 一、试卷题型分析： 1、基础知识题第一题填空、第二题判断、第三题选择，第四题计算题，第五题分析题，第六题应用题考查的是学生对基础概念的理解。题目难易适度，适合大部分学生的能力水平，同时也有灵活运用基础概念的题目。 2、计算题为看图计算。计算长方形和正方形的体积和表面积。是小学生应该掌握和形成的基础知识和基本技能。考查学生是否能灵活运用所学的知识。 3、作图题，此题是对空间思维能力和平面作图能力的综合考查，体现了现代数学是有价值的，必须的，培养了学生的空间观念和审美能力； 4、应用题，全面综合地考查了运用长方体和正方体的特点解决实际问题，体现了数学与实际生活的联系，激发了学生学习的兴趣。 二、试卷卷面分析： 本次期中数学科文化检测五（1）班31人参考，最高分99.5分；86—100分的有8人，占全班人数的46.1%；70—86分的11人，占全班人数的25.58%；60—69分8人，占全班人数的16.6%；不及格的4人，占全班人数的9.3%；人平70.27分。比较全面、准确地反映了学生的学习情况及日常教学情况。成绩不太理想，同时从卷面上也反映了一些问题： （1）基础概念的理解不透彻，造成对基础概念不能灵活运用。比如什么是质数、合数、奇数、偶数、因数、倍数等以及表面积和体积公式运用不熟练、易混淆单位换算不熟练等。 （2）计算作为一个基础知识和基本技能，还需加强练习。 试卷第四题集中考查本册有关计算内容，共2个小题，即长方体和正方体体积和表面积的计算，不少学生多体积和表面积的概念有点混淆，出错较多。象这样丢分很可惜。 （3）解决问题时，对条件问题的分析综合能力不够，解决问题的策略训练有待提高 应用题是日常生活在数学中的反映，从卷面看：学生解决问题的分析、综合能力有待提高；学生的实践能力太弱，要密切数学与生活的关系，在生活中学数学，用数学，让学生感觉到数学就在我们身边，提高学习数学的兴趣。 三、存在的问题： 成绩不太理想，同时从卷面上也反映了一些问题： （1）基础概念的理解不透彻，造成对基础概念不能灵活运用。比如什么是质数、合数、奇数、偶数、因数、倍数等以及表面积和体积公式运用不熟练、易混淆单位换算不熟练等。 （2）计算作为一个基础知识和基本技能，还需加强练习。 试卷第四题集中考查本册有关计算内容，共2个小题，即长方体和正方体体积和表面积的计算，不少学生多体积和表面积的概念有点混淆，出错较多。有的学生通分与约分都没有搞清楚。象这样丢分很可惜。因此，在今后计算教学中对计算知识还需
四年级数学第一单元测试试卷分析 一、基本情况分析 本次数学试卷符合教学大纲,命题涵盖的知识面广,分值安排合理,注重考查学生的基础知识及运用计算解决生活的数学问题的能力,绝大部分学生应该达到且能达到的水平.考查的知识点为人教版四年级下册第一单元所学的内容,试卷采用闭卷笔试的形式. 二、试卷分析 本张试卷分为填空题、判断题、选择题、计算题、列式计算、解决问题共六道大题.我们四年级（一）班（四）班各有40名学生参加考试,平均分71分,及格率为74．4%,从整体上看,学生的基础知识掌握的一般.主要存在以下的问题：（一）、计算错误而失分的问题较为严重.1、主要是学生粗心导致失分例如：第4大题中的第一小题；64÷64×7学生把它算成结果等于0.2、有些学生不能较好地掌握四则运算的算法,导致计算错误而失分的较多,比如第四大题中第二小 题（脱式计算）620 + （401-438÷73）,学生知道先算括号里的,但是不是算括号里的除法而是减法.3、简便计算的算理弄不清楚.对于乘法分配律的运用,有些学生特别是学困生还不能较好地掌握,比如 怎样简便就怎样计算这一题中,学生就把25×59+41×25算成 25×59+41,125×88算成125×80+8.（二）、有些学生的运用所学知识分析问题与解决问题的能力急需提高.主要表现在文字题和解决问题的解决这一块,学生没有认真审题和分析题意,导致列式错误.例如文字题中的第一题,315减去135与9的商,差是多少？有些学生就先算出315减去135,再把所得的结果除于9.(三)、个别学生的空间观念及动手操作能力不强.如：第六大题的第五小题在平面图上标出个场所的位置,有些学生就不能较好的画出该位置图. 三、今后教学工作的想法： 针对学生在试卷中存在的问题,我认为我们今后的教学工作可以从以下的几个方面着手：（一）、培养学生养成良好的学习习惯,有些学生在一些比较简单的填空题、选择中出错,并不是都是不会,而是