注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析
3.1 引言
在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。
在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。
工业机器人作业时，在工业机器人与环境之间存在着相互作用力。外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。
关节的驱动力与手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。
工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。
研究工业机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。
工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。这些都必须以工业机器人动力学模型为基础。
工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
3.2 工业机器人速度雅可比与速度分析
3.2.1 工业机器人速度雅可比
数学上雅可比矩阵(Jacobian matrix)是一个多元函数的偏导矩阵。
假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：
???????===)
,,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666543212265432111x x x x x x f y x x x x x x f y x x x x x x f y M
(3-1) 可写成：
Y ＝F (X )
将其微分，得：
?????
????????++??+??=??++??+??=??++??+??=666226116666222211226612211111d d d d d d d d d d d d x x f x x f x x f y x x f x x f x x f y x x f x x f x x f y ΛM ΛΛ (3-2) 也可简写成：
X X F Y d d ??= (3-3)
式(3-3)中的(6×6)矩阵
X
F ??叫做雅可比矩阵。 在工业机器人速度分析和以后的静力学分析中都将遇到类似的矩阵，我们称之为工业机器人雅可比矩阵，或简称雅可比。一般用符号J 表示。
图3-1为二自由度平面关节型工业机器人（2R 工业机器人），其端点位置x ，y 与关节变量θ1、θ2的关系为：
???++=++=)in(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθs l l y l l x (3-4) 即：
???==),(),(2
121θθθθy y x x (3-5) 将其微分，得： ?????????+??=??+??=22112211d d d d d d θθθθθθθθy y y x x x 将其写成矩阵形式为：
(x ，y )T 图3-1 二自由度平面关节工业机器
人
???????????
???????????????=??????212121d d d d θθθθθθy y x x
y x (3-6) 令： ??????
??????????????=2121θθθθy y x x J (3-7)
式(3-6)可简写为：
d X ＝J d θ (3-8)
式中：??
????=y x X d d d ；??????=21d d d θθθ 我们将J 称为图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动d θ与手部作业空间微小位移d X 之间的关系。注意：d X 此时表示微小线位移。 若对式(3-7)进行运算，则2R 工业机器人的雅可比写为：
??????++++-+--=)cos()cos(
cos )sin()sin(sin 2122121121221211θθθθθθθθθθl l l l l l J (3-9) 从J 中元素的组成可见，J 阵的值是θ1及θ2的函数。
对于n 个自由度的工业机器人，其关节变量可以用广义关节变量q 表示，q ＝[q 1 q 2 … q n ]T ，当关节为转动关节时，q i ＝θi ，当关节为移动关节时，q i ＝d i d q ＝[d q 1 d q 2 … d q n ]T 反映了关节空间的微小运动。工业机器人手部在操作空间的运动参数用X 表示，它是关节变量的函数，即X ＝X (q )，并且是一个6维列矢量（因为表达空间刚体的运动需要6个参数，即三个沿坐标轴的独立移动和三个绕坐标轴的独立转动）。因此，d X ＝[d x d y d z δφx δφy δφz ]T 反映了操作空间的微小运动，它由工业机器人手部微小线位移和微小角位移(微小转动)组成，d 和δ没差别，因为在数学上，d x =δx 。于是，参照(3-8)式可写出类似的方程式，即：
d X ＝J (q )d q (3-10)
式中J (q )是6×n 的偏导数矩阵，称为n 自由度工业机器人速度雅可比矩阵。它反映了关节空间微小运动d q 与手部作业空间微小运动d X 之间的关系。它的第i 行第j 列元素为：
qj
q x q J i ij ??=)()(， i ＝1，2，…，6；j ＝1，2，…，n (3-11) 3.2.2 工业机器人速度分析
对式(3-10)左、右两边各除以d t ，得：
t
t d d )(d d q q J X = (3-12) 即
q q J V &)(= (3-13)
式中： V ——工业机器人手部在操作空间中的广义速度，V =X
&； q &——工业机器人关节在关节空间中的关节速度；
J (q )——确定关节空间速度q &与操作空间速度V 之间关系的雅可比矩阵。
对于图3-1所示2R 工业机器人来说，J (q )是式(3-9)所示的2×2矩阵。若令J 1、J 2分别
为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则式(3-13)可写成：
2211θθ&&J J V +=
式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。因此，工业机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。
图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人手部的速度为：
[][]??????+++++-++-=??????????????++++-+--=??????=2212121211
2212121211212122121121221211)cos()c(cos )sin()sin(sin )cos()c(cos )sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ&&&&&&l l l l l l l l l l l l v v y x V 假如θ1及θ2是时间的函数，θ1=f 1(t )，θ2=f 2(t )，则可求出该工业机器人手部在某一时刻的速度V ＝f (t )，即手部瞬时速度。
反之，假如给定工业机器人手部速度，可由式(3-13)解出相应的关节速度，即：
V J q 1-=& (3-14)
式中：J -1称为工业机器人逆速度雅可比。
式(3-14)是一个很重要的关系式。例如，我们希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，那么用式(3-14)可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。但是，一般来说，求逆速度雅可比J -1是比较困难的，有时还会出现奇异解，就无法解算关节速度。
通常我们可以看到工业机器人逆速度雅可比J -1出现奇异解的情况有下面两种：
(1) 工作域边界上奇异。当工业机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于工业机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时工业机器人相应的形位叫做奇异形位。
(2) 工作域内部奇异。奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。
当工业机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多自由度。这意味着在空间某个方向(或子域)上，不管工业机器人关节速度怎样选择手部也不可能实现移动。
[例3-1] 如图3-2所示二自由度平面关节型机械手。手部某瞬沿固定坐标系X 0轴正向以1.0m/s 速度移动，杆长为l 1＝l 2＝0.5m 。假设该瞬时θ1＝30?，θ1＝-60?。求相应瞬时的关节速度。
解 由式(3-9)知，二自由度机械手的速度雅可比为：
??????++++-+--=)cos()cos(cos )sin()sin(sin 21221211
21221211θθθθθθθθθθl l l l l l J 因此，逆速度雅可比为：
??????+--+--++=-)sin(sin )cos(cos )sin()cos(sin 121211212112122122211θθθθθθθθθθθl l l l l l l l J (3-15)
图3-2 二自由度机械手手爪沿X 0方向运动
??
????=??????=01y x v v V ，因此，由式(3-14)可得：
????????????+--+--++==???
?????=-01)sin(sin )cos(cos )sin()cos(sin 12121121211212212221121θθθθθθθθθθθθθθl l l l l l l l V J &&& 因此
rad/s)(22
35.023)(-60 sin 5.0)60-03( cos sin )( cos 21211-=?-=????=+=θθθθl & rad/s 42
35.0232)(-60 sin 5.0)60-03( cos )(-60 sin 5.003 cos sin )( cos sin cos 21212212=?=????-???-=+--
=θθθθθθl l & 从以上可知，在该瞬时两关节的位置和速度分别为θ1＝30?，θ2＝-60?，1θ&＝-2rad/s ，2θ&＝
4rad/s ，手部瞬时速度为1m/s 。
奇异讨论：从式(3-15)知，当l 1l 2sin θ2＝0时，式(3-15)无解。因为l 1≠0，l 2≠0，所以，在θ2＝0或θ2＝180?时，二自由度工业机器人逆速度雅可比J -1奇异。这时，该工业机器人二臂完全伸直，或完全折回，即两杆重合，工业机器人处于奇异形位。在这种奇异形位下，手部正好处在工作域的边界上，该瞬时手部只能沿着一个方向(即与臂垂直的方向)运动，不能沿其它方向运动，退化了一个自由度。
对于在三维空间中作业的一般六自由度工业机器人，其速度雅可比J 是一个6×6矩阵，q &和V 分别是6×1列阵，即V (6?1)＝J (q )(6?6)q &(6?1)。手部速度矢量V 是由3×1线速度矢量和
3×1角速度矢量组合而成的6维列矢量。关节速度矢量q &是由6个关节速度组合而成的6维
列矢量。雅可比矩阵J 的前三行代表手部线速度与关节速度的传递比；后三行代表手部角速
度与关节速度的传递比。而雅可比矩阵J 的第i 列则代表第i 个关节速度i q &对手部线速度和角速度的传递比。
3.3 工业机器人力雅可比与静力学分析
工业机器人在作业过程中，当手部（或末端操作器）与环境接触时，会引起各个关节产生相应的作用力。工业机器人各关节的驱动装置提供关节力矩，通过连杆传递到手部，克服外界作用力。本节讨论操作臂在静止状态下力的平衡关系。我们假定各关节“锁住”，工业机器人成为一个结构体。关节的“锁定用”力与手部所支持的载荷或受到外界环境作用的力取得静力学平衡。求解这种“锁定用”的关节力矩，或求解在已知驱动力作用下手部的输出力就是对工业机器人操作臂进行静力学分析。
3.3.1 操作臂中的静力学
这里以操作臂中单个杆件为例分析受力情况，如图3-3所示，杆件i 通过关节i 和i +1分别与杆件i -1和杆件i +1相连接，两个坐标系{i -1}和{i }分别如图所示。
图中：
f i -1，i 及n i -1，i ——i -1杆通过关节i 作用在i 杆上的力和力矩；
f i ，i +1及n i ，i +1——i 杆通过关节i +1作用在i +1杆上的力和力矩；
-f i ，i +1及-n i ，i +1——i +1杆通过关节i +1作用在i 杆上的反作用力和反作用力矩；
f n ，n +1及n n ，n +1——工业机器人手部端点对外界环境的作用力和力矩；
-f n ，n +1及-n n ，n +1——外界环境对工业机器人手部端点的作用力和力矩；
f 0，1及n 0，1——工业机器人底座对杆1的作用力和力矩；
m i g ——连杆i 的重量，作用在质心C i 上。
连杆i 的静力学平衡条件为其上所受的合力和合力矩为零，因此力和力矩平衡方程式为：
f i -1，i +(-f i ，i +1)+ m i
g ＝0 (3-16)
n i -1，i + (-n i ，i +1) + (r i -1，i + r i ，ci )×f i -1，i +(r i ，ci )×(-f i ，i +1)＝0 (3-17)
式中： r i -1，i ——坐标系{i }的原点相对于坐标系{i -1}的位置矢量；
r i ，ci ——质心相对于坐标系{i }的位置矢量。
假如已知外界环境对工业机器人最末杆的作用力和力矩，那么可以由最后一个连杆向第零号连杆(机座)依次递推，从而计算出每个连杆上的受力情况。
为了便于表示工业机器人手部端点对外界环境的作用力和力矩(简称为端点力F )，可将f n ，n +1和n n ，n +1合并写成一个6维矢量：
??????=++1,1,n n n n n f F (3-18)
n i ，i +1 图3-3 杆i 上的力和力矩
各关节驱动器的驱动力或力矩可写成一个n 维矢量的形式，即：
????
?
???????=n ττττM 21 (3-19) 式中： n ——关节的个数
τ——关节力矩(或关节力)矢量，简称广义关节力矩，对于转动关节，τi 表示关节驱动力矩；对于移动关节，τi 表示关节驱动力。
3.3.2 工业机器人力雅可比
假定关节无摩擦，并忽略各杆件的重力，则广义关节力矩τ与工业机器人手部端点力F 的关系可用下式描述：
τ＝J T F (3-20)
式中：J T 为n ×6阶工业机器人力雅可比矩阵或力雅可比。
上式可用下述虚功原理证明：
证明 考虑各个关节的虚位移为δq i ，手部的虚位移为δX ，如图3-4所示。
??
????=δδd X 及δq ＝[δq 1，δq 2…δq n ] T (3-21) 式中，d ＝[d x d y d z ] T 和δ＝[δφx δφy δφz ] T 分别对应于手部的线虚位移和角虚位移（作业空间）；δq 为由各关节虚位移δq i 组成的工业机器人关节虚位移矢量（关节空间）。
假设发生上述虚位移时，各关节力矩为τi (i ＝1，2，…，n )，环境作用在工业机器人手部端点上的力和力矩分别为-f n ，n +1和-n n ，n +1。由上述力
和力矩所做的虚功可以由下式求出： δW ＝τ1δq 1+τ2δq 2+…+τn δq n - f n ，n +1d - n n ，n +1δ 或写成： δW ＝τT δq - F T δX (3-22)
根据虚位移原理，工业机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意符合几何约束的虚位移，有： δW ＝0
注意到虚位移δq 和δX 并不是独立的，是符合杆件的几何约束条件的。利用式(3-10)，d X ＝J d q ，
将式(3-22)改写成：
δW ＝τT δq - F T J δq ＝(τ - J T F )T δq (3-23)
式中的δq 表示几何上允许位移的关节独立变量，对于任意的δq ，欲使δW ＝0，必有：
τ＝J T F
证毕。
式(3-23)表示在静力平衡状态下，手部端点力F 向广义关节力矩τ映射的线性关系。式中J T 与手部端点力F 和广义关节力矩τ之间的力传递有关，故叫作工业机器人力雅可比。很明显，力雅可比J T 正好是工业机器人速度雅可比J 的转置。 3.3.3 工业机器人静力学的两类问题
从操作臂手部端点力F 与广义关节力矩τ之间的关系式τ＝J T F 可知，操作臂静力学可分
图3-4 手部及各关节的虚位移
为两类问题：
(1) 已知外界环境对工业机器人手部作用力F '(即手部端点力F ＝-F ')，求相应的满足静力学平衡条件的关节驱动力矩τ。
(2) 已知关节驱动力矩τ，确定工业机器人手部对外界环境的作用力F 或负荷的质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。这时
F ＝(J T )-1τ
但是，由于工业机器人的自由度可能不是6，比如n ＞6，力雅可比矩阵就有可能不是一个方阵，则J T 就没有逆解。所以，对这类问题的求解就困难得多，在一般情况下不一定能得到唯一的解。如果F 的维数比τ的维数低，且J 是满秩的话，则可利用最小二乘法求得F 的估值。
[例3-2] 图3-5所示的一个二自由度平面关节型机械手，已知手部端点力F ＝[F x ，F y ] T ，求相应于端点力F 的关节力矩(不考虑摩擦)。
解 已知该机械手的速度雅可比为：
??????++++-+--=)c()c(c )s()s(s 21221
21121221211θθθθθθθθθθl l l l l l J 则该机械手的力雅可比为：
??
????++-+++--=)c()s()c(c )s(s 2122122121121211θθθθθθθθθθl l l l l l T J 根据τ＝J T F ，得：
???????????
?++-+++--=??????=y x F F l l l l l l )c()s()c(c )s(s 212212************θθθθθθθθθθτττ 所以
τ1 = -[l 1sin θ1+ l 2sin(θ1+θ2)]F x +[l 1cos θ1+ l 2cos(θ1+θ2)]F y
τ2 = -l 2sin(θ1+θ2)F x + l 2 cos(θ1+θ2)F y
若如图3-5(b)所示，在某瞬时θ1＝0，θ2＝90?，则在该瞬时与手部端点力相对应的关节力矩为：
τ1=-l 2F x + l 1F y
τ2=- l 2F x
(b) 图3-5 手部端点力F 与关节力矩τ (a)
3.4 工业机器人动力学分析
工业机器人动力学研究的是各杆件的运动和作用力之间的关系。工业机器人动力学分析是工业机器人设计、运动仿真和动态实时控制的基础。在本章开头说过，工业机器人动力学问题有两类：
1) 动力学正问题——已知关节的驱动力矩，求工业机器人系统相应的运动参数（包括关节位移、速度和加速度）。也就是说，给出关节力矩向量τ，求工业机器人所产生的运
动参数θ、θ&及θ&&。
2) 动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出所需要的关节
力矩。即给出θ、θ&及θ&&，求相应的关节力矩向量τ。
工业机器人是由多个连杆和多个关节组成的复杂的动力学系统，具有多个输入和多个输出。存在着错综复杂的耦合关系和严重的非线性。因此，对于工业机器人动力学的研究，引起了十分广泛的重视，所采用的方法很多，有拉格朗日(Lagrange)方法、牛顿—欧拉方法(Newton-Euler)方法、高斯(Gauss)方法、凯恩(Kane)方法；旋量对偶数方法、罗伯逊—魏登堡(Roberson-WitTenburg)方法等。拉格朗日方法不仅能以最简单的形式求得非常复杂的系统动力学方程，而且具有显式结构，物理意义比较明确，对理解工业机器人动力学比较方便。因此，本节只介绍拉格朗日方法，而且用简单实例进行分析。
工业机器人动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。
3.4.1 拉格朗日方程
1) 拉格朗日函数
拉格朗日函数L 的定义是一个机械系统的动能E k 和势能E q 之差，即：
L ＝E k - E q (3-24)
令q i (i ＝1，2，…，n )是使系统具有完全确定位置的广义关节变量，i q &是相应的广义关节
速度。由于系统动能E k 是q i 和i q &的函数，系统势能E q 是q i 的函数，因此拉格朗日函数也是
q i 和i q &的函数。
2) 拉格朗日方程
系统的拉格朗日方程为：
i i i q L q L t F ??-??=&d d ， i ＝1，2，…，n (3-25)
式中，F i 称为关节i 的广义驱动力。如果是移动关节，则F i 为驱动力；如果是转动关节，则F i 为驱动力矩。
3) 用拉格朗日法建立工业机器人动力学方程的步骤：
(1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量q i (i ＝1，2，…，n )
(2) 选定相应的关节上的广义力F i ：当q i 是位移变量时，则F i 为力；当q i 是角度变量时，则F i 为力矩。
(3) 求出工业机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
(4) 代入拉格朗日方程求得工业机器人系统的动力学方程。
3.4.2 二自由度平面关节型工业机器人动力学方程（动力学分析实例）
1) 广义关节变量及广义力的选定
选取笛卡尔坐标系如图3-6所示。连杆l 和连杆2的关节变量分别为转角θ1和θ2，相应的关节1和关节2的力矩是τ1和τ2。连杆1和连杆2的质量分别是m l 和m 2，杆长分别为l l 和l 2，质心分别在C l 和C 2处，离相应关节中心的距离分别为p l 和p 2。因此，杆1质心C l 的位置坐标为：
x 1＝p 1sin θ1 y 1＝-p 1cos θ1
杆1质心C l 的速度平方为： ()2112121θ&&&p y x =+ 杆2质心C 2的位置坐标为：
x 2＝l l sin θl + p 2sin(θl +θ2)
y 2＝-l l cos θl - p 2cos(θl +θ2)
杆2质心C 2的速度平方为：
()()
()()2212121221222121222
22121211122
12121112cos 2)sin(sin )cos(cos θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ&&&&&&&&&&&&&&&&++++=++++=+++=p l p l y x p l y p l x 2) 系统动能
()()()()()
221212122212222121221121
22121212221222212122212111cos 2121cos 2
1212
1θθθθθθθθθθθθθθθ&&&&&&&&&&&&&+++++==++++==∑=p l m p m l m p m E E p l m p m l m E p m E i ki k k k 3) 系统势能（以质心处于最低位置为势能零点）
()()()[]
()()()[]
21221121121212211221111cos 1cos 1cos 1cos 1cos 1θθθθθθθ+-+-+==+-+-=-=∑=gp m g l m p m E E gp m gl m E gp m E i pi p p p
4) 拉格朗日函数
()()()
()()()[]
2122112112212121222122221212211cos 1cos 1cos 2
121θθθθθθθθθθ+---+-+++++=-=gp m g l m p m p l m p m l m p m E E L p
k &&&&&& 5) 系统动力学方程
根据拉格朗日方程
i i i q L q L t F ??-??=&d d ， i ＝1，2，…，n 可计算各关节上的力矩，得到系统动力学方程。
计算关节1上的力矩τ1：
图3-6 二自由度工业机器人动力学方程的建立
注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析 3.1 引言 在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。 在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。 工业机器人作业时，在工业机器人与环境之间存在着相互作用力。外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。 关节的驱动力与手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。 工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。 研究工业机器人动力学的目的是多方面的。动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。 工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。这些都必须以工业机器人动力学模型为基础。 工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。
第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 章节题目：第3章 工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容] 3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2 工业机器人力雅可比与静力计算 3.3 工业机器人动力学分析 [教学安排] 第3章安排6学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30分钟，机器人力雅可比30分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60分钟，关节空间和操作空间动力学30分钟。 通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 [知识点及其基本要求] 1、工业机器人速度雅可比（掌握） 2、速度分析（掌握） 3、操作臂中的静力（掌握） 4、机器人力雅可比（掌握） 5、机器人静力计算的两类问题（了解） 6、拉格朗日方程（熟悉） 7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点] 重点：1、速度雅可比及速度分析 2、力雅可比 3、拉格朗日方程 4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点：1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计] 引入新课： 至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。 新课讲解： 第一次课 第三章 工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即： ??? ???? ===),,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666543212265432111x x x x x x f y x x x x x x f y x x x x x x f y ，可写成Y=F(X)，
二自由度机械臂动力 学分析
平面二自由度机械臂动力学分析 姓名：黄辉龙 专业年级：13级机电 单位：汕头大学 摘要：机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过分析，得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 关键字：平面二自由度 动力学方程 拉格朗日方程 相关介绍 机器人动力学的研究有牛顿-欧拉（Newton-Euler ）法、拉格朗日 (Langrange)法、高斯（Gauss ）法等，但一般在构建机器人动力学方程中，多采用牛顿-欧拉法及拉格朗日法。 欧拉方程又称牛顿-欧拉方程，应用欧拉方程建立机器人机构的动力学方程是指研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程，欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。 在机器人的动力学研究中，主要应用拉格朗日方程建立机器人的动力学方程，这类方程可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可以建立比较方便且有效的动力学方程。 在求解机器人动力学方程过程中，其问题有两类： 1)给出已知轨迹点上? ??θθθ、及、 ，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩矢量τ。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 2)已知关节驱动力矩，求机器人系统相应各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩矢量τ，求机器人所产生的运动? ??θθθ、及、 。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 平面二自由度机械臂动力学方程分析及推导过程 1、机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： 1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量n r ,,2,1,r ???=θ。 2) 选定相应关节上的广义力r F ：当r θ是位移变量时，r F 为力；当r θ是角度变量时，r F 为力矩。 3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 2、下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
机器人动力学研究的典型方法和应用 （燕山大学 机械工程学院） 摘 要：本文介绍了动力学分析的基础知识，总结了机器人动力学分析过程中比较常用的动力学分析的方法：牛顿—欧拉法、拉格朗日法、凯恩法、虚功原理法、微分几何原理法、旋量对偶数法、高斯方法等，并且介绍了各个方法的特点。并通过对PTl300型码垛机器人弹簧平衡机构动力学方法研究，详细分析了各个研究方法的优越性和方法的选择。 前 言：机器人动力学的目的是多方面的。机器人动力学主要是研究机器人机构的动力学。机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，也是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，同时也是机器人系统中被控制的对象。目前用计算机辅助方法建立和求解机器人机构的动力学模型是研究机器人动力学的主要方法。动力学研究的主要途径是建立和求解机器人的动力学模型。所谓动力学模指的是一组动力学方程（运动微分方程），把这样的模型作为研究力学和模拟运动的有效工具。 报告正文： （1）机器人动力学研究的方法 1）牛顿—欧拉法 应用牛顿—欧拉法来建立机器人机构的动力学方程，是指对质心的运动和转动分别用牛顿方程和欧拉方程。把机器人每个连杆（或称构件）看做一个刚体。如果已知连杆的表征质量分布和质心位置的惯量张量，那么，为了使连杆运动，必须使其加速或减速，这时所需的力和力矩是期望加速度和连杆质量及其分布的函数。牛顿—欧拉方程就表明力、力矩、惯性和加速度之间的相互关系。 若刚体的质量为m ，为使质心得到加速度a 所必须的作用在质心的力为F ，则按牛顿方程有：ma F = 为使刚体得到角速度ω、角加速度εω= 的转动，必须在刚体上作用一力矩M ， 则按欧拉方程有：εωI I M += 式中，F 、a 、M 、ω、ε都是三维矢量；I 为刚体相对于原点通过质心并与刚
总评成绩：《机器人应用技术》实验报告 专业：机电一体化 班级：机电141班 学号：140212107 姓名：刘宗成 河南工学院 机电工程系
实验一工业机器人机械结构 实验目的：1、认识机器人的基本结构和组成 2、熟悉工业机器人基本工作原理 3、了解工业机器人技术参数 实验原理： 六自由度机械手本体结构图 实验器材：1、FANUC M-6i六自由度机械手二台 2、FANUC M-6iB六自由度机械手一台 3、ABB IRB-2400六自由度机械手一台 4、实验设备使用说明书各一本 实验步骤：1、学习ABB和FANUC六自由度机械手基本构成控制柜与机械本体 2、学习六自由度机械手本体各关节的作用 3、学习六自由度机械手本体中定位关节与姿态关节 4、学习六自由度机械手本体各关节驱动机构与传动机构 5、学习典型工业机器人机械本体质量分布，以及各关节中质量平衡和力矩平衡 6、学习六自由度机械手各关节运动范围及运动速度控制 7、学习工业机器人重复定位精度的定义，并且了解相应机器人的重复定位精度 8、学习工业机器人最大负载 9、学习工业机器人最大运动范围 实验报告：课后每位同学按照要求完成实验报告。 思考题：1、画出六自由度机械手的结构简图 2、分析各关节机械手臂的运动范围 注意事项：1、实验开始之前认真学习工业机器人机械本体结构。 2、实验过程认真阅读实验设备说明书。
实验报告
实验二 机器人运动学实验 实验目的：1、了解四自由机械臂的开链结构 2、掌握机械臂运动关节之间的坐标变换原理 3、学会机器人运动方程的正反解方法 实验原理： 机器人运动学只涉及到物体的运动规律，不考虑产生运动的力和力矩。机器人正运动学所研究的内容是：给定机器人各关节的角度或位移，求解计算机器人末端执行器相对于参考坐标系的位置和姿态问题。 各连杆变换矩阵相乘，可得到机器人末端执行器的位姿方程（正运动学方程）为 ： 432140 A A A A T ==????? ???????10 00 z z z z y y y y x x x x p a o n p a o n p a o n 其中：z 向矢量处于手爪入物体的方向上，称之为接近矢量a ，y 向矢量的方向从一个 指尖指向另一个指尖，处于规定手爪方向上，称为方向矢量o ；最后一个矢量叫法线矢量n ， 它与矢量o 和矢量a 一起构成一个右手矢量集合，并由矢量的叉乘所规定：a o n ?=。 上式表示了机器人变换矩阵40T ，它描述了末端连杆坐标系{4}相对基坐标系{0}的位姿，是机械手运动分析和综合的基础。 实验器材： 1、RBT-4T03S 机器人一台； 2、RBT-4T03S 机器人控制柜一台； 3、装有运动控制卡和控制软件的计算机一台。 实验步骤： 1、 根据机器人坐标系的建立中得出的A 矩阵，相乘后得到T 矩阵，根据一一对应的关系，写出机器人正解的运算公式，并填入表6-1中； 表6-1机器人的正运动学的参数
平面二自由度机械臂动力学分析 [摘要] 机器臂是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，这里主要对平面二自由度机械臂进行动力学研究。本文采用拉格朗日方程在多刚体系统动力学的应用方法分析平面二自由度机械臂的正向动力学。经过研究得出平面二自由度机械臂的动力学方程，为后续更深入研究做铺垫。 [关键字] 平面二自由度 一、介绍 机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。 机器人动力学问题有两类： (1) 给出已知的轨迹点上的，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量Q r。这对实现机器人动态控制是相当有用的。 (2) 已知关节驱动力矩，求机器人系统相应的各瞬时的运动。也就是说，给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动。这对模拟机器人的运动是非常有用的。 二、二自由度机器臂动力学方程的推导过程 机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下： (1) 选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量θr ，r=1, 2,…, n。 (2) 选定相应关节上的广义力F r：当θr是位移变量时，F r为力；当θr是角度变量时， F r为力矩。 (3) 求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。 (4) 代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。 下面以图1所示说明机器人二自由度机械臂动力学方程的推导过程。
第3章工业机器人静力计算及动力学分析 章节题目：第3章工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容] 3.1 工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2 工业机器人力雅可比与静力计算 3.3 工业机器人动力学分析 [教学安排] 第3章安排6学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30分钟，机器人力雅可比30分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60分钟，关节空间和操作空间动力学30分钟。 通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 [知识点及其基本要求] 1、工业机器人速度雅可比（掌握） 2、速度分析（掌握） 3、操作臂中的静力（掌握） 4、机器人力雅可比（掌握） 5、机器人静力计算的两类问题（了解） 6、拉格朗日方程（熟悉） 7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点] 重点：1、速度雅可比及速度分析 2、力雅可比
3、拉格朗日方程 4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点：1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计] 引入新课： 至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。 新课讲解： 第一次课 第三章工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：，可写成 Y=F(X，将其微分，得：，也可简写成 。该式中（6×6）矩阵叫做雅可比矩阵。 在工业机器人速度分析和以后的静力分析中都将遇到类似的矩阵，称之为机器人雅可比矩阵，或简称雅可比矩阵。 二自由度平面关节机器人，端点位置x，y与关节θ1、θ2的关系为：
第 3 章工业机器人静力计算及动力学分析 章节题目：第 3 章工业机器人静力计算及动力学分析 [教学内容 ] 3.1工业机器人速度雅可比与速度分析 3.2工业机器人力雅可比与静力计算 3.3工业机器人动力学分析 [教学安排 ] 第 3 章安排 6 学时，其中介绍工业机器人速度雅可比45 分钟，工业机器人速度分析45分钟，操作臂中的静力30 分钟，机器人力雅可比30 分钟，机器人静力计算的两类问题10分钟，拉格朗日方程20 分钟，二自由度平面关节机器人动力学方程60 分钟，关节空间和操作空间动力学30 分钟。 通过多媒体课件结合板书的方式，采用课堂讲授和课堂讨论相结合的方法，首先讨论与机器人速度和静力有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。 [知识点及其基本要求] 1、工业机器人速度雅可比（掌握） 2、速度分析（掌握） 3、操作臂中的静力（掌握） 4、机器人力雅可比（掌握） 5、机器人静力计算的两类问题（了解） 6、拉格朗日方程（熟悉） 7、二自由度平面关节机器人动力学方程（理解） 8、关节空间和操作空间动力学（了解） [重点和难点 ] 重点： 1、速度雅可比及速度分析 2、力雅可比 3、拉格朗日方程 4、二自由度平面关节机器人动力学方程 难点： 1、关节空间和操作空间动力学 [教学法设计 ] 引入新课： 至今我们对工业机器人运动学方程还只局限于静态位置问题的讨论，还没有涉及力、速度、加速度等。机器人是一个多刚体系统，像刚体静力学平衡一样，整个机器人系统在外载 荷和关节驱动力矩（驱动力）作用下将取得静力平衡；也像刚体在外力作用下发生运动变化 一样，整个机器人系统在关节驱动力矩（驱动力）作用下将发生运动变化。 新课讲解： 第一次课 第三章工业机器人静力计算及动力学分析 3-1 工业机器人速度雅可比与速度分析 一、工业机器人速度雅可比 y1 f 1 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 ) 假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：y 2f2 ( x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )，可写成 Y=F(X) ， y6f6 (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 )