2018年北京市中学生数学竞赛初二试题
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．在1～100这100个自然数中，质数所占的百分比是（）．
（A）25% （B）24% （C）23% （D）22%
2．一个三角形的三边长都是整数，它的周长等于10，则这个三角形是（）．（A）直角三角形（B）钝角三角形
（C）恰有两边相等的三角形
（D）恰有一个内角为60°的三角形
3．已知n为正整数，S=1+2+…+n．则S的个位数字不能取到的数字是（）．（A）0，1，2，3 （B）3，4，5，6
（C）3，5，6，8 （D）2，4，7，9
4．如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．S△AOB=4，S△COD=9．则S四边形的最小值是（）．
ABCD
（A）22 （B）25 （C）28 （D）32
（1）(2) (3)
5．如果│a-b│=1，│b+c│=1，│a+c│=2，则│a+b+2c│等于（）．（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
二、填空题（每小题7分，共35分）
1．如图2，大圆的两条直线AC、BC垂直相交于点O，分别以边AB、BC、CD、DA为直径向大圆外侧作四个半圆，图中四个“月形”阴影的总面积是2cm2．?则大圆的半径等于_______cm．
2．2 005被两位的自然数去除，可能得到的最大余数是_______．
3．已知a2+bc=14，b2-2bc=-6．则3a2+4b2-5bc=_________．
4．如图3，在凸六边形ABCDEF中，AD、BE、CF三线共点于O，?每相邻三个顶点所组成的三角形的面积都等于1，则S六边形ABCDEF=_______．
5．有6个被12除所得余数都相同的自然数，它们的连乘积为971 425．则这6?个自然数之和的最小值是________．
三、（15分）已知非零实数a、b、c满足a+b+c=0.求证：
（1）a3+b3+c3=3abc；
（2）（a b
c
-
+
b c
a
-
+
c a
b
-
）（
c
a b
-
+
a
b c
-
+
b
c a
-
）=9.
四、（15分）如图，在△ABC中，∠BAC=∠BCA=44°，M为△ABC形内一点，?使得
∠MCA=30°，∠MAC=16°，求∠BMC的度数．
五、（10分）某学生在黑板上写出了17个自然数，?每个自然数的个位数码只能是0，1，2，3，4这5个数字中的一个．证明：从这17个数中可以选出5个数，?它们的和能被5整除．
参考答案
一、1．A
在1～100这100个自然数中，有质数2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97共25个，所以，其中质数所占的百分比是25%．
2．C
将10分拆成三个正整数之和，有
10=1+1+8=1+2+7=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4
共八种情况．由“三角形两边之和大于第三边”可知，只有（2，4，4），（3，3，4）两组可构成三角形．由于等腰三角形两个底角都是锐角，于是，以2、4、4为边的等边三角形中，最小边2对的顶角也是锐角．以3、3、4为边的等腰三角形中，由32+32>42，?知顶角也是锐角．所以，以2、4、4为边的等腰三角形以及以3、3、4为边的等腰三角形都是锐角三角形，排除选项（A）、（B）?．?又由于等腰三角形中恰有一个内角为60°时变为等边三角形，与边为（2，4，4）、（3，3，4）的条件矛盾，排除选项（D）．由（2，4，4）、（3，3，4）为边的三角形是恰有两边相等的三角形．
3．D．
由S=
(1)
2
n n+
，又n、n+1是两个连续的自然数，知n（n+1）的个位数字只能取0，
2，6．?所以，S的个位数字只能是0，1，3，5，6，8这六个数字．因此，S的个位数字不能取到的是2，4，7，9．
4．B
如图1，设S△AOD=x，S△BOC=y，则S四边形ABCD=4+9+x+y≥13+2xy．
由
4
9
x
y
=，有xy=36．所以，
S四边形ABCD≥13+2xy=13+12=25．
故S四边形ABCD的最小值是25．
此时，AB∥DC，即四边形ABCD是梯形．
5．A．
由│a-b│=1，知a-b=1或a-b=-1；
由│b+c│=1，知b+c=1或b+c=-1；
由│a+c│=2，知a+c=2或a+c=-2．
这样，可以得到23=8个三元一次方程组：
（1）a-b=1，b+c=1，a+c=2；
（2）a-b=1，b+c=1，a+c=-2；
（3）a-b=1，b+c=-1，a+c=2；
（4）a-b=1，b+c=-1，a+c=-2；
（5）a-b=-1，b+c=1，a+c=2；
（6）a-b=-1，b+c=1，a+c=-2；
（7）a-b=-1，b+c=-1，a+c=2；
（8）a-b=-1，b+c=-1，a+c=-2．
对于（2）～（7），将前两个方程相加得到的a+c的值与后一个方程不同，所以，不会出现这六种情况．
对于（1），有a=2-c，b=1-c，所以，
a+b+2c=3．
对于（8），有a=-2-c，b=-1-c，所以，
a+b+2c=-3．
故│a+b+2c│=3．
二、1．1．
由勾股定理知AD2+CD2=AC2．所以，上面半个大圆的面积等于以AD、CD为直径的两个半圆的面积．同理，下面半个大圆的面积等于以AB、BC为直径的两个半圆的面积．?因此，正方形ABCD的面积等于四个“月形”的总面积．容易计算，大圆的半径OD是1cm．
2．85．
由2 005依次被99，98，97，…去除，观察所得余数的值变化得
2 005=99×20+25=98×20+45
=97×20+65=96×20+85=95×21+10
=94×21+31=93×21+52=92×21+73
=91×22+3=90×22+25=89×22+47
=88×22+69=87×23+4=86×23+27
=85×23+50．
以下的余数不会大于84，故可能得到的最大余数是85．
3．18．
3a2+4b2-5bc=3（a2+bc）+4（b2-2bc）
=3×14+4×（-6）=18．
4．6．
如图5，连结BD、CE．因为S△BCD=S△ECD=1，
所以，BE∥CD．
因为S△BAF=S△EAF，所以，BE∥AF．
因此，BE∥AF∥CD．
同理，CF∥DE∥BA，AD∥FE∥BC．
由AD、BE、CF三线共点于O，可知四边形OCDE、四边形OEFA、四边形OABC 都是平行四边形，易知，每个平行四边形的面积都等于2．
5．150．
因为971 425被12除余1，而
971 425=5×5×7×7×13×61，
其中被12除余5、余7、余1的质因数各都是两个，由于两个被12除余5（余7）的数的乘积被12除余1，而971 425与若干个1的积仍为971 425，被12除余1，所以，?只能是6个被12除余1的数的乘积为971 425．计算得知：
971 425=1×1×1×1×1×971 425，
这6个因数之和为
1+1+1+1+1+971 425=971 430；
971 425=1×1×1×1×13×74 725，
这6个因数之和为
1+1+1+1+13+74 725=74 742；
971 425=1×1×1×13×25×2 989，
这6个因数之和为
1+1+1+13+25+2 989=3 030．
事实上，设a、b都是被12除余1的大于1的自然数，且a≥b，则a≥b>2，易知ab>a×2=a+a>a+b．①
根据式①得
971 425=13×74 725>13+74 725
=13+25×2 989>13+25+2 989
=13+25+49×61>13+25+49+61．
因为971 425=52×72×13×61=1×1×13×25×49×61，所以，971 425表为6?个被12除余1的自然数，它们和的最小值等于1+1+13+25+49+61=150．
三、（1）由a+b+c=0，得a+b=-c，因此，（a+b）3=-c3．
于是，有a3+3a2b+3ab2+b3=-c3．
故a3+b3+c3=-3ab（a+b）=-3ab（-c）=3abc．
（2）．（a b
c
-
+
b c
a
-
+
c a
b
-
）·
c
a b
-
=1+（b c
a
-
+
c a
b
-
）·
c
a b
-
=1+
2
2c
ab
．
同理，（a b
c
-
+
b c
a
-
+
c a
b
-
）·
a
b c
-
=1+
2
2a
bc
．
（a b
c
-
+
b c
a
-
+
c a
b
-
）·
b
c a
-
=1+
2
2b
ac
故（a b
c
-
+
b c
a
-
+
c a
b
-
）（
c
a b
-
+
a
b c
-
+
b
c a
-
）
=1+
2
2c
ab
+1+
2
2a
bc
+1+
2
2b
ac
=3+
333
2()
a b c
abc
++
=3+
23abc
abc
?
=9．
四、在△ABC中，由∠BAC=∠BCA=44°，得AB=BC，∠ABC=92°．
如图6，作BD⊥AC于点D，延长CM交BD于点O，连结OA，则有∠OAC=∠MCA=30°，
∠BAO=∠BAC-∠OAC=44°-30°=14°．
∠OAM=∠OAC-∠MAC=30°-16°=14°．
所以，∠BAO=∠MAO．
又∠AOD=90°-∠OAD=90°-30°=60°=∠COD，
所以，∠AOM=120°=∠AOB．
又AO=AO，因此，△ABO≌△AMO．
故OB=OM．
由于∠BOM=120°，从而，
∠OMB=∠OBM=180
2
BOM
?-∠
=30°．
所以，∠BMC=180°-∠OMB=150°．
五、如果17个数的末位数字0，1，2，3，4每个都有，可选出5?个数的末位数字恰分别为0，1，2，3，4，则这5个数之和的末位数字为0，其和被5整除．
如果17个数的末位数字不是0，1，2，3，4每个都有，则最多只有4?种不同的末位数字．这时，根据轴屉原理，这17个数中至少有5个数的末位数字一样．于是，这5?个数之和被5整除．