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(习题解答)习题9-2 常数项级数收敛性的判定

习题 9-2

1.判断下列级数的敛散性.

（1）1121n n ∞

=-∑；（2）2111n n ∞=+∑；（3）11

ln(1)n n ∞

=+∑；

（4

）1n ∞= （5）2111n n n ∞

=++∑；（6）11

n p

∞

=+∑（0p >）．解：（1）1

21n n ∞

=-∑

；方法一：（利用正项级数的比较判别法）

因为

111

1111212

222

n n n n =>=--，而调和级数11n n ∞

=∑发散，从而1111122n n n n ∞∞===∑∑也发散；由正项级数的比较判别法，得级数1

21n n ∞

=-∑

发散。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

因为1

121lim lim 1212n n n n n n →∞→∞-==-，而调和级数11n n

∞

=∑发散，

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数1

21n n ∞

=-∑发散。（2）2

n n ∞

=+∑

；方法一：（利用正项级数的比较判别法）

因为22111n n <+，而级数21

n n ∞

=∑收敛（p -级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数2

n n ∞

=+∑

收敛。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

因为22221

1lim lim 111n n n n n n

→∞→∞+==+，而级数21

1n n ∞=∑收敛（p -级数的结论）

，

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数2

n n ∞

=+∑收敛。（3）1

ln(1)n n ∞

=+∑

；

方法一：（利用正项级数的比较判别法）

因为11ln(1)n n >+（1n ≥）

，且调和级数11

n n

∞

=∑发散；则由正项级数的比较判别法，得级数1

ln(1)n n ∞

=+∑

发散。

方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

因为

ln(1)

lim lim 1

ln(1)n n n n n n

→∞→∞+=+，而

lim

lim (1)1

ln(1)1

x x x x

x x x →+∞→+∞→+∞=+=+∞++洛必达法则，所以lim ln(1)n n n →∞=+∞+，即1

ln(1)

lim 1n n n →∞+=+∞，又调和级数11n n

∞

=∑发散，

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数11

ln(1)

n n ∞

=+∑发散。

（4

）1n ∞

=；

方法一：（利用正项级数的比较判别法）

=，而级数31

1n n

∞

=∑

收敛（p -级数的结论），

由正项级数的比较判别法，得级数1

n ∞

=收敛。

方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

因为

n n n

→∞

===，而级数

n n

∞

∑收敛（p-级数的结论），

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数

∞

收敛。

（5）

∞

∑；

因为2

(1)

lim lim1

n n

→∞→∞

+==

，而调和级数

∞

∑发散，

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数

∞

∑发散。

注：本题中，级数的一般项要进行适当的缩小不易，所以采用正项级数的比较判别法做起来相对比较困难一些，而采用正项级数的比较判别法的极限形式相对容易一些。

（6）

∞

∑（0

p>）．

当01

<<时，

lim10

110

n p

→∞

==≠

，则由级数收敛的必要条件，得级数1

∞

∑（01

<<）发散；

当1

p=时，

111

lim lim0

1112

n n

→∞→∞

==≠

，则由级数收敛的必要条件，得级数1

∞

∑（1

p=）发散；

当1

p>时，

lim1

→∞

=，且级数

∞

∑是公比为1

（

<）的等比级数，

是收敛的，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数

∞

∑收敛。

综上，当01p <≤时，级数111n n p ∞

=+∑发散；当1p >时，级数11

n p

∞

=+∑收敛。

2. 判断下列级数的敛散性.

（1）11(1)(4)n n n ∞

=++∑；（2）1sin 2n n π

∞

=∑；（3

）2

n ∞=a R ∈）；（4）2(1cos )n n π

∞

=-∑；（5）132n n

n n ∞

=∑；（6）2

n n n ∞=∑；（7）1!2n n n n n

∞

=∑；（8）11tan 2n n n π

∞

+=∑；（9）[]11ln(1)n n n ∞=+∑；

（10）21

131n n n n -∞

=??

-??∑；（11）1n

n n b a ∞

=??

? ???

∑（其中lim n n a a →∞=，,,n a b a 均为正数）. 解：（1）1

(1)(4)n n n ∞

=++∑

；

方法一：（利用正项级数的比较判别法）

因为211(1)(4)n n n <++，且211

n n

∞=∑收敛，

由正项级数的比较判别法，得级数1

(1)(4)n n n ∞

=++∑

收敛。

方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

因为221

(1)(4)

lim lim 11(1)(4)n n n n n n n n →∞→∞++==++，且级数211n n

∞

=∑收敛，

由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数11

(1)(4)

n n n ∞

=++∑收敛。

（2）1sin

n π

∞

=∑；

方法一：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

因为sin

22lim lim 122

n n n n n n ππ

ππ→∞→∞=等价无穷小代换，且等比级数12

n n π∞=∑收敛，

由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数1

sin

n π

∞

=∑收敛。

方法二：（利用正项级数的比值判别法）

因为sin

122lim lim 12

sin 22n n n

ππ

ππ→∞→∞=<等价无穷小代换，

由正项级数的比值判别法，得级数1

sin

n π

∞

=∑收敛。

（3

）2

n n

∞

=∑

（a R ∈）；因

为

n n n ∞

∞∞

====（a R ∈），

而1

lim

n n a n

→∞

??==

，利用p -级数1

p n n ∞

=∑

收敛性的结论，得当112α+≤即12α≤时级数1

a n n ∞

=∑是发散的；当112α+>即12α>时级数1+2

1a n n

∞

=∑

是收敛的；

由正项级数的比较判别法的极限形式，得当12α≤

时级数2a

n n ∞

=∑发散；当12α>

时级数2

n ∞

= （4）2

(1cos )n n π∞

=-∑；

因为2

22211cos 2lim lim =112n n n n n n

ππ

π→∞→∞??

- ???等价无穷小代换，且级数211n n

∞

=∑收敛，

由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数2

(1cos )n n π

∞

=-∑收敛。

注：本题不能用正项级数的比值判别法。

（5）132

n n ∞

=∑；因为+1

333(1)2lim

lim =132(1)2

2n n n n n n

n n n n +→∞→∞+=>+，则由正项级数的比值判别法，得级数132

n n ∞

=∑发散。（6）2

n n n ∞

=∑；

因为2

2122(1)(1)13lim lim =1333n n n n

n n n n +→∞→∞++=<，则由正项级数的比值判别法，得级数132

n n ∞

=∑收敛。（7）1!2n

n n n n

∞

=∑；

因为1

1(1)!22(1)22(1)lim lim lim 1!2(1)11n n n n n n n n n n n n n n n n e n n +++→∞→∞→∞+++===<+?

?+ ???

，则由正项级数的比值判别法，得级数1!2n

n n n n

∞

=∑收敛。

（8）1

tan

n n n π

∞

+=∑；

因为221

(1)tan

(1)

1122lim

lim lim 122

tan 2

n n n n n n n n n n n n n π

ππ++→∞

→∞

→∞+++++==

<等价无穷小代换，

则由正项级数的比值判别法，得级数1

tan

2n n n π

∞

+=∑收敛。

（9）[]

ln(1)n

n n ∞

=+∑

；

因为1

lim

01ln(1)

n n n →∞==<+，

则由正项级数的根值判别法，得级数[]

ln(1)n

n n ∞

=+∑

收敛。

（10）21

131n n n n -∞

=??

-??

∑；

因为1

11lim 13139n

n n n n -→∞????

===< ? ?-??

，

则由正项级数的根值判别法，得级数

131n n n n -∞

=??

-??

∑收敛。

（11）1n

n n b a ∞

=??

? ???

∑；因为lim lim n n n b b a a →∞→∞==，由正项级数的根值判别法，当1b a <即b a <时级数1n

n n b a ∞

=?? ? ???

∑收敛；当1b

a >即

b a >时级数1n

n n b a ∞

=?? ? ???∑发散；当1b a =即b a =时，级数1n

n n b a ∞=??

? ???∑可能收敛也可能发散。

3. 判断下列级数的敛散性.

（1）1212n

n n ∞

=-∑；（2）11

!n n ∞

=∑；（3）21(!)(2)!n n n ∞=∑；（4）11

21357...(21)n n n -∞=-∑；

（5）41

!n n n ∞

=∑；（6）12sin 3n

n n π∞=∑；（7）11(,0)n a b na b ∞

=>+∑；（8）211n n e n ∞-=??- ???∑；

（9）1!

n n n e n n

∞

=∑．

解：（1）1

n n ∞

=-∑

；因为212112lim lim 1212(21)2

2n n n n n n n →∞→∞++==<--，则由正项级数的比值判别法，得级数1

n n ∞

=-∑收敛。 (2）1

1!n n ∞

=∑

；因为1

1(1)!

lim lim 011

1!n n n n n →∞→∞+==<+，

则由正项级数的比值判别法，得级数1

!n n ∞

=∑

收敛。（3）2

(!)(2)!n n n ∞

=∑；

因为2

22[(1)!](1)1[2(1)]!

lim

lim 1(!)(22)(21)4

(2)!

n n n n n n n n n →∞→∞+++==<++，则由正项级数的比值判别法，得级数2

1(!)(2)!

n n n ∞

=∑收敛。

（4）1

21357...(21)n n n -∞

=-∑；

因为1221357...(21)(21)

lim lim 01221

1357 (21)

n n n n n n n -→∞→∞-+==<+-，则由正项级数的比值判别法，得级数1

21357...(21)n n n -∞

=-∑收敛。

（5）4

n n n ∞

=∑；

因为4

344(1)(1)(1)!

lim lim 01!

n n n n n n n n →∞→∞+++==<，则由正项级数的比值判别法，得级数4

n n n ∞

=∑收敛。

（6）12sin

n n

n π

∞

=∑ ；

因为11

112sin

2233lim lim 13

2sin 233

n n n n n n n n n n

ππ++++→∞→∞=<等价无穷小代换，

则由正项级数的比值判别法，得级数1

2sin

n n

n π

∞

=∑收敛。

（7）1

(,0)n a b na b ∞

=>+∑

；因为1

1lim lim 1n n n na b na b a n →∞→∞+==+，而调和级数11n n

∞

=∑发散，

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数1

(,0)n a b na b ∞

=>+∑

发散。（8）211n n e n

∞

-=??

- ???∑；

因为22221

1lim lim 11lim 1lim 112x

x x x x x x x e x x x e e xe x -→+∞→+∞→+∞→+∞-?

?=-=--= ??

?洛必达法则，所以2

1lim 11n n e n n

-→∞-=，而调和级数11n n

∞

=∑发散，

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数211

n n e n

∞

-=??- ???∑发散。

（9）1!

n n n e n n

∞

=∑；

因为11

(1)!

(1)lim lim lim 1!(1)11n n n n n n n n n n e n e n e n e n n n n ++→∞→∞→∞++===+?

?+ ???

，此时由正项级数的比值判别法不能得到级数1!

n n n e n n

∞

=∑的敛散性。

但是由于数列11n n ??????+?? ??????

?是单调递增的，且1lim 1n n e n →∞??+= ???，所以11n

e n ?

?+< ???，

从而11

(1)!

(1)1!11n n n n n

e n e n e n n n ++++=>?

?+ ???

，即11(1)!!(1)n n n n e n e n n n +++>+，从而!lim 0n n n e n n →∞≠，此时，利用收敛级数的必要条件，可知级数1!

n n n e n n

∞

=∑是发散的。

4.判断下列级数是否收敛？若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？（1

）1(1)n

n ∞

=-∑；（2）21(1)ln n n n ∞

=-∑；（3）21sin()n nx n ∞=∑；（4）1

11(1)12n

n n n n ∞

=??-+ ???∑；（5）1ln(1)(1)1n n n n ∞=+-+∑；（6）11

1(1)3n n n n ∞--=-∑；（7）2

2(1)!n n n n ∞

+=-∑. 解：（1

）1

(1)n

n ∞

=-∑；

因为1

(1)

n n ∞

∞

==-=∑发散（p -级数的结论），

所以级数1

(1)n

n ∞

=-∑不绝对

收敛；

对交错级数1(1)n

n ∞

=-∑，

且0n →∞

=，

则由莱布尼兹定理，

得交错级数1

(1)

n ∞=-∑

收敛；从而级数1

(1)n

n ∞

=-∑条件收敛。

（2）2

(1)ln n

n n

∞

=-∑；因为2

211(1)ln ln n

n n n n ∞

∞==-=∑∑，而11(2)ln n n n >≥，且调和级数11

n n ∞

=∑发散，则由正项级数的比较判别法，得级数2

211(1)ln ln n

n n n n ∞

∞==-=∑∑

发散，即级数21

(1)ln n n n ∞

=-∑不绝对收敛；对交错级数2

1(1)ln n

n n ∞

=-∑，由于11

ln(1)ln n n

+，且1lim 0ln n n →∞=，则由莱布尼兹定理，得交错级数21(1)ln n

n n ∞

=-∑收敛；从而级数2

(1)ln n n n ∞

=-∑条件收敛。

（3）2

sin()

n nx n ∞

=∑

；对级数21

sin()n nx n ∞

=∑

，因为22sin()1nx n n ≤，且级数2

n n

∞=∑收敛（p -级数的结论），则由正项级数的比较判别法，得级数21

sin()n nx n ∞

=∑

收敛，即级数2

sin()

n nx n ∞

=∑绝对收敛。

（4）111(1)12n

n n n n ∞

=??

-+ ???∑；

因

为

111111(1)1122n

n n n n n n n ∞

∞

==????-+=+ ? ?????∑∑，而

111

lim 1122n n n →∞??=+=< ??

?，则由正项级数的根值判别法，得级数11

1111(1)1122n

n n n n n n n ∞

∞

==????-+=+ ? ?????∑∑收敛，

即级数111(1)12n

n n n n ∞

=??

-+ ???∑绝对收敛。

（5）1ln(1)

(1)1

n n n ∞

=+-+∑；因为11

ln(1)ln(1)(1)11n

n n n n n n ∞

∞==++-=++∑∑，而ln(1)111n n n +>++，且11

1n n ∞

=+∑发散（p -级数的结论），

则由正项级数的比较判别法，得级数11

ln(1)ln(1)

(1)11n

n n n n n n ∞

∞==++-=++∑∑

发散，所以级数1

ln(1)

(1)1

n n n ∞

=+-+∑不绝对收敛；对交错级数

ln(1)(1)1

n n n ∞

=+-+∑，令ln ()(2)x

f x x x

≥，则

ln 1

1ln ()x x x

x f x x x --'==，从而当x e >时()0f x '<，即当x e >时ln ()x f x x =

单调递减；故

ln(2)ln(1)(2)21n n n n n ++<≥++，又ln(1)

lim 01

n n n →∞+=+（因为

则由莱布尼兹定理，得交错级数2ln(1)(1)1n

n n n ∞

=+-+∑收敛，从而1

ln(1)

(1)1n n n n ∞=+-+∑也

收敛。故级数1

ln(1)

(1)1

n n n ∞

=+-+∑条件收敛。（6）1

(1)3

n n n n ∞

--=-∑；

因为11111(1)=33

n n n n n n n ∞∞

---==-∑∑，而1+1

113lim =lim 1333n n n n n n n n →∞→∞-+=<，则由正项级数的比值判别法，得级数1

(1)

n n n n n n n ∞

∞

---==-∑∑

收敛，即级数1

(1)3

n n n n ∞

--=-∑绝对收敛。

（7）2

2(1)!n

n n n ∞

+=-∑；因为

11122(1)!!n n n n n n n ∞

∞

+==-=∑∑，而

(1)

22(1)!lim

lim

n n n n n n n n ++→∞

→∞+=+ ，又

2121222ln 2lim lim 11

x x x x x ++→+∞→+∞==∞+，所以21

2lim

1n n n +→∞=∞+，即2

(1)

22(1)!lim lim 1

n n n n n n n n ++→∞

→∞+==∞+，则由正项级数的比值判别法，得级数2

2(1)!n

n n n ∞

+=-∑发散，此时2

12lim (1)0!n n n n +→∞-≠，也即212lim(1)0!n n n n +→∞-≠，故级数2

2(1)!n n n n ∞

+=-∑发散。

5.利用级数收敛的必要条件求极限：2lim (!)n

n n n →∞.

解

：

对

级

数

21(!)

n n n ∞

=∑，由于

(1)(1)11[(1)!]lim lim lim 1001(1)1(!)n n

n n n n n n n n n e n n n n n n +→∞→∞→∞+++??==+==< ?++??

，则由正项级数的比值判别法，得级数2

(!)n

n n n ∞

=∑收敛。

由级数收敛的必要条件，得2lim 0(!)n

n n n →∞=。

数项级数敛散性判别法。(总结)

华北水利水电学院数项级数敛散性判别法。（总结）课程名称：高等数学（下）专业班级：成员组成联系方式： 2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

(整理)常数项级数的审敛法

§11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：∑∞ =1n n u 0≥n u (1) 显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21ΛΛ≤≤≤≤n s s s {}↑n s 1.收敛准则定理1 正项级数∑∞ =1n n u 收敛?部分数列{}n s 有界. 例1判别正项级数∑ ∞ =1 2 2sin n n n π 的收敛性解 n n n s 22sin 2 2sin 2 12 2π π +++= Λn 2121212+++<Λ 12 1121121<-??? ??-=n 有上界级数收敛 2.比较审敛法定理2 设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数，且.),2,1(Λ=≤n v u n n 若∑∞ =1 n n v 收敛, 则∑∞=1 n n u 收敛；反之，若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散．分析：σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =1 n n u 的部分和 ,),2,1(2121ΛΛΛ=≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ 即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1 n n u 收敛。反之，设∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 必发散.因为若 ∑∞ =1 n n v 收敛,由上面已证结论知∑∞ =1 n n u 也收敛，与假设矛盾.

推论设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数,如果级数∑∞ =1 n n v 收敛，且存在自然数N ，使当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1 n n u 收敛；如果级数∑∞ =1 n n v 发散，且当N n ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞ =1 n n u 发散. 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性. 例2 讨论p —级数 )2(1 1∑∞ =n p n 的收敛性，其中常数p >0．解设1≤p ，则 ,1 1n n p ≥但调和级数发散，故级数(2)发散．设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,1 1p p x n ≤所以 ?? ? ???---=≤=----??11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ，Λ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞ =--?? ? ???--n p p n n 级数(3)的部分和 ??????+-++??????-+?????? -=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s Λ=.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛. 总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，p —级数（调级数）例3 判别下列级数的敛散性. 211(1).52 n n n n ∞ =+++∑ n n n n n u n 81 252 22=++> ∑∞ =11n n 发散, 原级数发散 1 11(2).sin 11n n n ∞ =++∑ 21n u n < ∑∞=121 n n 收敛, 原级数收敛练习 ()∑∞ =-+13 1sin 212.n n n n ()n n n 3131sin 112≤≥-+

正项级数敛散性地判别方法

正项级数敛散性的判别方法摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法定理一（比较判别法的极限形式）：设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是（1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。（2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。

(整理)常数项级数的审敛法

n 1 n 1 § 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0 ⑴ n 1 显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2 Sn . s n 1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界. n 1 n 例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和 V n 都是正项级数，且U n V . (n n 1 n 1 则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散. n 1 n 1 分析: V n n 1 ，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2, ), 即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。反之，设 n 1 U n 发散，则 n 1 V n n 1 必发散.因为若 V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾 n 1 1 解「 sin 2 22 22 1 1 I 2n 1 1 2 2 Sin 2n 1 1 1 2n 2 22 2n 1有上界级数收敛 1,2,).若 V n 收敛, n 1 2.比较审敛法

推论设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使 n 1 n 1 kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n N n 1 n 1 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性. 注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数， p —级数(调级数) 例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散. n 1 例2讨论p —级数 ⑵的收敛性，其中常数p>0. 1，当n 则書 n 时, 1 丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n 有 1 n p I n 1 n p 2dx x (n n p 1 n 2,3, 考虑级数 (n 1) 级数(3)的部分和 s n 1 2卩 1 1 3p 1 1 =1 1 (n 1)p1 = (n 1)p 1 因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛. 总之：p —级数(2)当 p 1时发散，当p>1时收敛. (1). n n 1 2 1 n 5n 2 U n n 1 2 2^2 n 5n 2n 8n 丄发散，原级数发散 n 1 n (2). 1 . 1 sin — n 〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛

考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结

2016考研数学数项级数敛散性判定解题思路总结数项级数敛散性判定是考研数学一数三考试的重点题型，而且是考试的难点，为了便于同学们解题，文都考研高端数学老师帮大家总结了此种题型的解题思路和常用结论，希望对大家的学习有帮助。 1.解题思路若有两个收敛，则第三个收敛; 若其中一个收敛，另一个发散，则第三个发散;

若有两个发散，则第三个敛散性不确定; 若有两个绝对收敛，则第三个绝对收敛; 若其中一个绝对收敛，另一个条件收敛，则第三个条件收敛; 若有两个条件收敛，则第三个收敛，但不能判断它是绝对收敛还是条件收敛。

1.林黛玉：三生石畔，灵河岸边，甘露延未绝，得汝日日倾泽。离恨天外，芙蓉潇湘，稿焚情不断，报汝夜夜苦泪。 2.薛宝钗：原以为金玉良缘已成，只待良辰，奈何君只念木石前盟，纵然艳冠群芳牡丹姿，一心只怜芙蓉雪。 3.贾元春：贤孝才德，雍容大度，一朝宫墙春不再，一夕省亲泪婆娑。昙花瞬息，红颜无罪，到底无常。 4.贾探春：虽为女流，大将之风，文采诗华，见之荡俗。诗社杏花蕉下客，末世悲剧挽狂澜，抱负未展已远嫁。 5.史湘云：醉酒卧石，坦荡若英豪，私情若风絮，嫁与夫婿博长安，终是烟销和云散，海棠花眠乐中悲。 6.妙玉：剔透玲珑心，奈何落泥淖，青灯古佛苦修行，高洁厌俗袅亭亭。可惜不测之风云，玉碎冰裂，不瓦全。 7.贾迎春：沉默良善，见之可亲，深宅冷暖，累遭人欺，腹中无诗情风骚，膺内缺气概魄力。空得金黄迎春名，可怜一载赴黄泉。 8.贾惜春：高墙白曼陀，冷水伴空门。孤寒寂立一如霜，如何能得自全法？狠心舍弃近身人。侯门金簪冰雪埋，海灯僻冷长弃世。 9.王熙凤：毒酒甘醇，罂粟灿艳，锦绣华衣桃花眼，眼明刀锋吊梢眉。何幸七窍玲珑心，只惜冷硬霜凝集。千机算尽，反误性命。

常数项级数的敛散性判别

常数项级数的敛散性判别的一些方法摘要常数项级数的敛散性的判别是数学分析中无穷级数的内容,基于审敛准则,其判别方法多样,且具有技巧性.本文参考了已有的相关文献,归纳总结后结合实例,由不等式的利用、Taylor 展开式、等价量法、对数判别法、拆项法等方法来判别级数敛散性. 关键词级数;收敛;发散. Abstract:This paper presents several methods and techniques,including inequalities, Taylor expansions, equivalent variables, and logarithmic criterion ,for testing the convergence of a constant-term series. Key words:series of constant-term series; convergence; divergence. 正文常数项级数的敛散性判别也算得上是数学分析中的一个小难点,这是由于级数的敛散性是直接与数列的极限联系在一起.未学级数之前,我们先学习了数列,也学习了如何求数列的极限.我们可以体会到在求数列的极限时,会遇到一定的障碍,更不用说是级数.但同学们不必担心,如同求数列极限一样,判别级数收不收敛的方法多样.基于它的审敛准则,结合一些方法与技巧,对级数收敛的判别就不会有太大问题.在解决了常数项级数收敛与否的问题之后,我们才能更深入探究其它级数的其它性质. 首先,将正项级数的审敛准则的内容列出: 定理1.1 正项级数 ∑∞ =1 n n a 收敛的充要条件是它的部分和数列有上界. 定理1.2 （比较准则I ）设 ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 是两个正项级数,并且.,n n b a N n ≤∈?+ (1)若 ∑∞ =1 n n b 收敛,则 ∑∞ =1n n a 收敛; (2)若 ∑∞ =1 n n a 发散,则 ∑∞ =1 n n b 发散. 定理1.3 (比较准则II) 设 ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n a 是两个正项级数,并且,0,>∈?+n b N n ).(lim ∞+=∞→有限或λn n n b a (1)若0>λ,则两个数列同时收敛或同时发散; (2)若0=λ,且 ∑∞ =1 n n b 收敛，则 ∑∞ =1n n a 收敛; (3)若+∞=λ,且 ∑∞ =1 n n b 发散,则 ∑∞ =1 n n a 发散.

常数项级数敛散性判别法总结

常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。例2：判别级数的敛散性。解：因为由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法

任意项级数敛散性判断练习及答案

任意项级数敛散性判断下列级数是否收敛，说明是绝对收敛还是条件收敛 1、 () ∑ ∞ =--1 1 11n n n 2、 ()∑∞=--1131n n n n 3、 () ∑∞=+121sin n n na 4、 ()()011>-∑∞=a na n n n 5、 ∑∞=??? ?? +2ln 1sin n n n π 6、 Λ+-+-+- 332210 3 211032110321 7、 ()()()∑∞=+-+-+11 2 212 12121n n n n n 8、 ()() [] ()01111 >-+-∑∞=-p n n p n n

答解：1、() ∑ ∞ =--1 1 11n n n 取绝对值 ()∑ ∑∞=∞ =-=-1 11 1 1n n n n n >∞ （ 2 1 =p 的p 级数）而原级数是交错级数且： 01lim 1 111==<+=∞ →+n u n n u n n n 由莱布尼兹定理，原级数收敛。所以是条件收敛。 2、()∑∞ =--113 1n n n n 13111lim 313 31lim lim 11<=??? ??+=+=∞→-∞→+∞→n n n u u n n n n n n n

绝对值级数 ()∞<-∑∞ =-113 1n n n n 所以原级数绝对收敛 3、() ∑∞ =+12 1sin n n na ()() 22111sin +≤+n n na () ∑∞ =+1211n n 是p=2 的p 级数。收敛！所以由比较判别法，原级数绝对收敛 4、() ()011>-∑ ∞ =a na n n n ()111lim lim 11<=+=+∞ →+∞→a a n na u u n n n n n a>1 时原级数绝对收敛 0

常数项级数

常数项级数所谓无穷级数即表示无穷项相加，他是一种研究函数以及数值计算的工具。一、常数项级数的概念和性质 ① 引例y ǐn l ì ：求圆的周长，可以内接正多边形，当正多边形边数无穷增加时的极限值近似可以得到圆的周长： 123n A a a a a =++?????++???????? 一般地，如果给定一个数列： 123,,,,n u u u u ,?????????? 则由这个数列所构成的和的表达式： 123,n u u u u +++?????+????? 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数）级数，记为： 1231,n n n u u u u u ∞==+++?????+?????∑ 其中第n 项称为级数的一般项。 n u 下面从有限项的和出发，观察它的变化趋势，来理解无穷多个数量相加的意义：作（常数项）级数的前n 项的和，记作： 123n n S u u u u =+++?????+ n S 称为级数的部分和，当n 依次取得1，2，3，……时，他们构成了一个新的数列： 11S u =，21S u u 2=+，312S u u u 3=++ 123n n S u u u u =+++?????+

② 常数项级数的和函数定义：如果级数 1231 ,n n n u u u u u ∞ ==+++?????+?????∑的部分和数列 {}n S 有极限s ，即：lim n n S s →∞ = 称无穷级数收敛，这时极限s 叫做这个级数的和，并写成： 1n n u ∞=∑123n s u u u u =+++?????++????? 如果极限不存在，则称无穷级数 1n n u ∞=∑发散。

级数审敛法小结

级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢. 首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法. 第一节:正项级数 (当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了) (注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。) A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.): 首先,了解一个充要条件:∑∞ Un收敛?部分和数列{Sn}有界，针对 n =1 这个东西，用的地方不多后面会有介绍。 B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要

找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性）例1：设k ，m 为正整数，.0,000 >>b a （这里主要是保证以下的多项式恒为正）是推导出级数 ∑ ∞ =--++++++1 1 10110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。解：设k k k m m m n b n b n b a n a n a u (1) 101 10+++++= --。取m k n n v -= 1，因为0 0lim b a v u n n n = ∞ →，所以 ∑∑∞ =∞ =1 1 ,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1. （这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数 ∑ ∞ =---+1 3 2 3 5 5 23) ()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母的是15,15-13=2>1 ,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。设0→n u ，我们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题：（1）);1tan( )3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13 2 2 2112-+??? ? ??-??? ??∑∑∑∞ =∞=∞ =n N n n a n n a n a n

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质（1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

数项级数的敛散性的练习题及解析

数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1n n U ∞=∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n ∞=∑收敛选D 2．设 1n n U ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ． 1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞ =+∑ D ．11n u U ∞=∑ 解： ()12008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞=∑ 1 n n U ∞=∑收敛∴由性质()12008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．21014n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞=-∑ C ．101n n n n ∞=?? ?+?? ∑ D +… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞=+∑n （－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．1n n ∞=- D ．()1312n n n ∞=??- ???∑ 解：（ 1 ）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（ 2）1 1n n ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数() 1 11cos n n k n ∞=??-- ???∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞-=??--=- ???∑∑

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。关键词：级数；收敛；判别；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

关于正项级数敛散性的判别法

关于正项级数敛散性的判别法作者: 学号：单位：指导老师摘要：级数是数学分析中的主要内容之一，我们学习过的数项级数敛散性判别法有许多种，柯西（Cauchy ）判别法、达朗贝尔（D'Alembert ）判别法、高斯（Gause ）判别法、莱布尼兹（Leibniz ）判别法、阿贝尔（Abel ）判别法等，对数项级数敛散性判别法进行归纳，使之系统化. 关键词：正项级数；敛散性；判别法 1引言设数项级数 121...++... n n n a a a a ∞ +==+∑的n 项部分和为： 121 ......n n n i i S a a a a ==++++= ∑.若n 项部分和数列为{n S }收敛，即存在一个实数 S ，使lim n x S S →∞ =.则称这个级数是收敛的，否则我们就说它是发散的.在收敛的情况下，我们称S 为级数的和，可见无穷级数是否收敛，取决于lim n x S →∞ 是否存在，从而由数列的柯西（Cauchy ）收敛准则，可得到级数的柯西（Cauchy ）收敛准则[1]: 数项级数 1 n n a ∞ =∑收敛? 0,, , N N n N p N ε+ + ?>?∈ ?>?∈对，有 +1+2+ +...+

设数项级数 1 n n a ∞ =∑为正项级数( ) 0n a ≥，则级数的n 项部分和数列{}n S 单调递增，由数列的单调有界定理，有定理2.1：正项级数n 1u n ∞ =∑收敛?它部分和数列{}n S 有上界. 证明：由于,...), 2,1(0u i =>i 所以{n S }是递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理），从而本定理得证 . 由定理2.1可推得定理2.2（比较判别法）：设两个正项级数n 1 u n ∞ =∑和n 1 n v ∞ =∑，且 , n ,N N N ≥?∈?+ 有n n cv u ≤，c 是正常数，则 1）若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，则级数n 1 u n ∞ =∑也收敛; 2）若级数n 1 u n ∞ =∑发散，则级数n 1 n v ∞ =∑也发散. 证明：由定理知，去掉，增添或改变级数n 1 u n ∞ =∑的有限项，，则不改变级数n 1 u n ∞ =∑的敛散性.因此，不妨设 , + ∈?N n 有 n n cv u ≤，c 是正常.设级数n 1 n v ∞=∑与n 1 u n ∞ =∑的n 项部分和分部是n B A 和n ，有上述不等式有， n n n n cB v v v c cv cv cv u A =+++=++≤+++=)...(......u u 212121n . 1)若级数n 1 n v ∞ =∑收敛，根据定理1，数列{n B }有上届，从而数列{n A }也有上届，再根据定理1，级数n 1 u n ∞ =∑收敛; 2)若级数n 1 u n ∞ =∑发散，根据定理1，数列{n A }无上届，从而数列{n B }也无上届，

常数项级数判别方法

常数项级数的审敛法定义形如：级数其中即：正、负项相间的级数称为交错级数。列如莱布尼茨判别法莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件则级数收敛，其其和其余项的绝对值注意：只有当级数是交错级数时，才能用此判别法，否则将导致错误注意：莱布尼兹判别法只是充分条件，非必要条件. 使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小 1 1 1() n n n u ∞ -=-∑n u >0 111,2,3,); n n u u n +≥=L （）（lim 0, n x u →∞ =（2）1, s u ≤n r 1. n n r u +≤0n u ≥（） n u 1n u +n n u u +≥>10.（）1 11111111(1) =1(1)234n n n n n ∞ --=--+-++-+∑L L （）.1 1 12(1) 1234(1) n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L （）.

这是一个交错级数又因为n n u u n n +=>=+1111，且显然收敛速度较慢. 收敛。使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小比较与大小的方法有: 比值法差值法 1 1 1 11111 (1) =1(1) 234 n n n n n ∞ --=--+-++-+∑1 n u n =1lim lim 0n n n u n →∞→∞==n r n ≤+1 ||.10n u ≥（） n u 1n u +n n u u +≥>10.（）n u 1n u +1 1n n u u +<10 n n u u +->1 1n n u u +≥（）lim 0 n x u →∞=(2)则交错级数 1 1 1() n n n u ∞ -=-∑

1常数项级数的概念和性质

§1 常数项级数的概念和性质【目的要求】 1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别； 2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义； 3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性．【重点难点】数项级数的概念与性质．【教学内容】一、常数项级数的概念定义1.1 给定一个无穷实数列{}n u ： 12,, ,, n u u u 则由这数列构成的表达式 12n u u u ++ ++ 叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 1231 n n n u u u u u ∞ ==+++++ ∑, 其中第n 项n u 叫做级数的一般项(或通项). 级数∑∞ =1n n u 的前n 项和 1231 n n i n i s u u u u u ===+++ +∑ 称为级数∑∞ =1 n n u 的前n 项部分和. 部分和构成的数列 12{}:,,, n n s s s s 称为部分和数列.

定义 1.2 如果级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n s 收敛, 即 s s n n =∞ →lim , (s 为一实数) 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收敛, 并称s 为级数∑∞ =1 n n u 的和, 并写成 1231 n n n s u u u u u ∞ ===+++ ++∑; 如果}{n s 发散, 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 发散. 级数的收敛和发散统称为敛散性. 当级数∑∞ =1 n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞ =1 n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差 n n r s s =- 称为级数∑∞ =1 n n u 的余项. n s 和s 之间的误差可由||n r 去衡量, 由于s s n n =∞ →lim , 所以lim ||0n n r →∞ = 例1 讨论等比级数(几何级数) 20 n n n aq a aq aq aq ∞ ==+++++ ∑, (0a ≠) 的敛散性. 解如果1q ≠, 则部分和 2 1 111n n n n a aq a aq s a aq aq aq q q q --=+++ +==----. 当||1q <时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 收敛, 其和为q a -1. 当||1q >时, 因为lim n n s →∞ 不存在, 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 发散. 如果||1q =, 则当1q =时, 因为lim n n s →∞ 不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞ =0 发散;

第十一章无穷级数(习题及解答)

第十一章无穷级数 § 级数的概念、性质一、单项选择题 1. 若级数1n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C) 1q <； (D)1q >．答(D)． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞=，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D)若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞=∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B) 11n n ku kS ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞==∑； (D) 1 12 n n n u S v S ∞ ==∑．答(D). 4. 若级数1 n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 11 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D) n ∞ =收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B). 6. 若级数 ∑∞ =1n n a 发散， ∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D) ∑∞ =+1 22)(n n n b a 发散. 答(A).

(整理)幂级数的部分练习题及答案

题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择(10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] 函数项级数的收敛域是 (A) (B) (C) (D) 答( ) (2分)[3] 设级数在处收敛，则此级数在处 (A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。答：( ) (3分)[4]设级数在处是收敛的，则此级数在处 (A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。答：( ) (2分)[5]设级数的收敛半径是1，则级数在点

(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。答：( ) (2分)[6]如果,则幂级数 (A)当时,收敛； (B) 当时,收敛； (C) 当时,发散； (D) 当时,发散；答( ) (2分)[7]若幂级数的收敛半径为R,那么 (A), (B) , (C), (D)不一定存在 . 答( ) (3分)[8] 若幂级数在处收敛，在处发散，则该级数 (A)在处发散； (B)在处收敛； (C)收敛区间为;

(D)当时发散。答( ) (2分)[9] 如果在点的某个邻域内任意阶可导，那么幂级数的和函数 (A) 必是，(B)不一定是， (C)不是，(D)可能处处不存在。答( )。 (2分)[10]如果能展开成的幂级数，那么该幂级数 (A) 是的麦克劳林级数； (B)不一定是的麦克劳林级数； (C)不是的麦克劳林级数； (D) 是在点处的泰勒级数。答( )。二、填空(54小题,共166.0分) (2分)[1]函数项级数的收敛域是。 (2分)[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时收敛当_____________时发散 (3分)[3] 设级数的部分和函数，级数的通项。

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