江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试
高二理科数学试卷
(满分160分,考试时间120分钟)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上......... 1.函数()sin f x x x =的导数是 ▲ .
2.若56
n n C C =,则9
n C = ▲ .(用数字作答)
3.设曲线3
y ax x =+在(1,)a 处的切线与直线260x y --=平行,则实数a 的值为 ▲ .
4.人民路华石路口一红绿灯东西方向的红灯时间为37 s ,黄灯时间为3 s ,绿灯时间为60 s .从西向东行驶的一辆公交车通过该路口,遇到绿灯的概率为 ▲ . 5.函数()ln f x x x =的单调减区间是 ▲ . 6.函数311
()433
f x x x =
-+的极大值是 ▲ . 7.将黑白2个小球随机放入编号为1,2,3的三个盒子中,则黑白两球均不在1号盒子的概率为 ▲ . 8.设函数()f x 的导函数为'
()f x ,若3
'
()52(1)f x x xf =+,则'
(3)f = ▲ .
9.用数字1到9组成没有重复数字的三位数,且至多有一个数字是偶数,这样的四位数一共有 ▲ 个.(用数字作答)
10.已知函数3
()27f x x x =-在区间[,1]a a +上不是单调函数,则实数a 的取值范围是 ▲ . 11.已知两曲线()sin f x a x =,()2cos ,(,)2
g x x x π
π=∈相交于点P ,若两曲线在点P 处的切线互相垂
直,则实数a 的值是 ▲ .
12.某种圆柱形的饮料罐的容积为V ,为了使得它的制作用料最省(即表面积最小),则饮料罐的底面半
径为(用含V 的代数式表示) ▲ .
13. 已知直线y m =,分别与直线55y x =-和曲线2x
y e x =+交于点M,N 两点,则线段MN 长度的最小值是 ▲ .
14. 已知a 为常数,函数2
(0)()1ln (0)x x f x x x x +?≤?
=+??>?
,若关于x 的方程()2f x ax =+有且只有四个不同的解,
则实数a 的取值所构成的集合为 ▲ .
二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域.......内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)在班级活动中,4 名男生和3名女生站成一排表演节目:(写出必要的数学式,结果用数字作答)
(1)三名女生不能相邻,有多少种不同的站法?(2)四名男生相邻有多少种不同的排法?
(3)女生甲不能站在左端,女生乙不能站在右端,有多少种不同的排法?(4)甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法?(甲乙丙三位同学身高互不相等)
16.(本小题满分14分)
设关于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0,其中a,b是某范围内的随机数,分别在下列条件下,求上述方程有实根的概率.
(1)若随机数a,b∈{1,2,3,4,5};
(2)若a是从区间[0,5]中任取的一个数,b是从区间[0,4]中任取的一个数.
17.(本小题满分14分)
已知曲线()ln(2)f x x ax =-+在点(0,(0)f )处的切线斜率为
32
. (1) 求()f x 的极值;
(2) 设()()g x f x kx =+,若()g x 在(-∞,1]上是增函数,求实数k 的取值范围.
18.(本小题满分16分)
已知函数()f x =1
3x 3-2x 2+3x (x ∈R)的图象为曲线C .
(1)求过曲线C 上任意一点的切线倾斜角的取值范围; (2)求()f x 在区间[]
1,4-上的最值;
(3)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线,求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围.
19.(本小题满分16分)为庆祝江苏省启东中学九十周年校庆,展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采,学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区,如图,是一个半径为2百米,圆心角为
3
π的扇形展示区的平面示意图.点C 是半径OB 上一点,点D 是圆弧AB 上一点,且//CD OA .为了实现“以展养展”,现决定:在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位,经测算广告位出租收入是:线段OC 处每百米为2a 元,线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元.设AOD x ∠=弧度,广告位出租的总收入为y 元.
(1)求y 关于x 的函数解析式,并指出该函数的定义域 ;
(2)试问x 为何值时,广告位出租的总收入最大,并求出其最大值.
20.(本小题满分16分)已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.
(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间;
(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ,,且]10(1,∈x ,求证:2ln 22
3
)()(21-≥-x f x f ; (3)设ax x f x g ln )()(-=,对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ,使2)2()(-->a k x g 成立,求实数k 的取值范
围.
第19题图
B
D
C
O
A
x
江苏省启东中学2017-2018学年度第二学期期中考试
高二理科数学试卷参考答案
一、填空题:
1.sin cos x x x +
2.55
3.
13 4.35. 5. 1(0,)e 6.17
3 7. 49
8.105 9.300 10.(4,3)(2,3)-- 11.233-
12.32V π 13.96ln 2
5
- 14.31(,1)
e e ??
--????
二、解答题:
15.解:(1)4345A A =1440;(2)4444A A =576;(3)61156555A A A A +=3720;(4)73
73A A ÷=840 。
其中(1)、(2)每题3分;(3)、(4)每题4分 16.解:设事件A 为“方程x 2+2ax +b 2=0有实根”,
当a ≥0,b ≥0时,方程x 2+2ax +b 2=0有实根的充要条件为a ≥b .…………2分
(1)基本事件共有25个:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),其中第一个数表示a 的取值,第二个数表示b 的取值.事件A 中包含15个基本事件,故事件A 发生的概率为P (A )=3
5
………9分 (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ,b )|0≤a ≤5,0≤b ≤4}.
构成事件A 的区域为{(a ,b )|0≤a ≤5,0≤b ≤4,a ≥b },概率为两者的面积之比, 所以所求的概率为P (A )=
2
5
…………14分 17.解:(1) f(x)的定义域是(-∞,2),f ′(x)=1
x -2
+a. …2分
由题知f′(0)=-12+a =32,所以a =2,所以f′(x)=1
x -2+2=232x x -- 令f′(x)=0,得x =32. ……4分
当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表所示:
x (-∞,
32) 32
(
3
2
,2) f′(x) +
0 -
f(x)
1
所以f(x)在x =
3
2
处取得极大值3ln 2-,无极小值. …………………………7分 (2) g(x)=ln(2-x)+(k +2)x ,g ′(x)=1
x -2
+(k +2), ………9分
由题知g′(x)≥0在(-∞,1]上恒成立,即k ≥1
2-x
-2在(-∞,1]上恒成立,
因为x ≤1,所以2-x ≥1,所以0<1
2-x
≤1,所以k ≥-1.
故实数k 的取值范围是[-1,+∞). ……14分
18.解:(1)由题意得f ′(x )=x 2-4x +3,则f ′(x )=(x -2)2-1≥-1,…………2分
即过曲线C 上任意一点切线倾斜角的取值范围是3,0,42πππ??
??
??????
??
…………4分 (2)()f x 的最大值为4(1)(4)3f f ==
;()f x 的最小值为16
(1)3
f -=-………9分 (3)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ,则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,????
?
k ≥-1,-1k ≥-1,……12分
解得-1≤k <0或k ≥1,故由-1≤x 2-4x +3<0或x 2-4x +3≥1, 得x ∈(-∞,2- 2 ]∪(1,3)∪[2+2,+∞). …………16分 19.解(1)因为CD ∥OA ,所以rad ODC AOD x ∠=∠=, 在△OCD 中,23OCD π∠=
,3
COD x π
∠=-,2OD =百米, 由正弦定理得
243
2sin 3
sin()sin 33
OC CD x x ===
ππ-, ……4分 得43sin 3OC x =
km ,43sin()33
CD x π
=-百米.…………5分 又圆弧DB 长为2(
)3
x π
- 百米. 所以43432sin [sin()2()]3333y a x a x x ππ=?+?-+- 2(3sin cos )3a x x x π
=?+-+,(0)3
x π∈,.………7分
(2)记()2(3sin cos )3
f x a x x x π=?+-+,
则()2(3cos sin 1)2[2cos()1]6
f x a x x a x π'=?--=?+-,………………8分 令()0f x '=,得6
x π
=
. ……………10分 当x 变化时,()f x ',()f x 的变化如下表:
所以()f x 在6x π=
处取得极大值,这个极大值就是最大值. 即()2(3)66
f a ππ
=?+. …14分 答:(1)y 关于x 的函数解析式2(3sin cos )3y a x x x π=?+-+,定义域为 : (0)3
π
,;
(2)广告位出租的总收入的最大值为2(3)6
a π
+元.………………………16分
x
(0)6
π, 6
π ()63
ππ, ()f x ' + 0 - ()f x
递增
极大值
递减
第19题图
B
D
C
O
A
x
20.解:)0(2
2)(2>+-=-+='x x
ax x a x x x f
(1)当3=a 时,x
x x x x x x f )
1)(2(23)(2--=
+-=', …………………………2分 令100)(<>'x x f 或2>x ,令210)(<<'x x f ,
所以)(x f 的递增区间为)1,0(和),2(+∞,递减区间为)2,1(.…………………………4分
(2)由于)(x f 有两个极值点21,x x ,则022=+-ax x 在),0(+∞∈x 上有两个不等的实根21,x x ,
???????=+=>?≤????????>==+>-=?∴122
112
1212222)10(02208x x x x a a x a x x a x x a
…………………………7分 )2
1ln 2()21ln 2()()(22
22121121ax x x ax x x x f x f -+--+
=- ))((2
121)ln (ln 221212
22121x x x x x x x x -+--+
-=21
211121)2(21)2ln (ln 2x x x x -+-= )10(2ln 222ln 412
1211≤<--+=x x x x
设)10(2ln 222ln 4)(2
2≤<--+=x x x x x F ,
所以0)2(4444)(3
2
23423<--=--=--='x x x x x x x x x F
所以)(x F 在]1,0(上递减,所以2ln 22
3
)1()(-=≥F x F 即2ln 223)()(21-≥-x f x f .……10分
(3)由题意知:只需2)2()(max -->a k x g 成立即可.因为a ax x x x g ln 2
1ln )(2
--+=, 所以a x
x x g -+
='1
)(,因为]2,1[∈x ,所以??????∈+25,21x x ,而)2,0(∈a ,
所以0)(>'x g ,所以)(x g 在]2,1[∈x 递增,
当2=x 时,a a g x g ln 222ln )2()(max +-+==.所以2)2(ln 222ln -->--+a k a a 在上)2,0(∈a 恒成立,…12分
令42ln )2(2ln )(++----=a k a a a h ,则0)(>a h 在上)2,0(∈a 恒成立, a
a k k a a h 1
)2(21)(---=
---
=',又0)2(=h 当02≤--k 时,0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减,当0→a 时,+∞→)(a h , 所以0)2()(=>h a h ,所以2-≥k ; 当02>--k 即2- a a h --=?='21 0)( ①2210<-- k --上递增,存在k a --=21 ,使得0)2()(= 221 ≥--k 即22 5-<≤-k 时,0)(<'a h ,)(a h 在)2,0(∈a 递减, 当0→a 时,+∞→)(a h ,所以0)2()(=>h a h ,所以225-<≤- k 综上, 实数k 的取值范围为),2 5 [+∞-.16分