习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有
页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是
页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21<
=p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤
p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛；
目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14)
反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛；
2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6.
含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
(,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21<
题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期
摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法
Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis
目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11)
内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分
目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10.
含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
§2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=-
第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议：
讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为
目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14)
判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science
§2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。
学年论文（本科） 学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2011级 姓名蒋丽 论文题目含参量反常积分的一致收敛性的判别方法指导教师胡旺职称教授 成绩 2014年 3月14日
目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.定义 (3) 2.含参量反常积分一致收敛性的判别法 (3) 结束语 (7) 参考文献 (7)
含参量反常积分的一致收敛性的判别方法 学生姓名:蒋丽 学号：20115031005 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：胡旺 职称： 教授 摘 要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述 了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子. 关键词: 区域;收敛;一致收敛 The judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer Abstract :This article summarizs four kinds of judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer according to the definitions of improper integrals with aramer and uniform convergence on improper integrals,and give some examples. Key Words : region; convergence; uniform convergence 前言 含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点. 1.定义 定义1 设函数()y x f ,定义在无界区域{}(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (),c f x y d y +∞ ? (1) 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(),c I x f x y dy +∞ = ? ，[],x a b ∈, (2)
3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的； （b ） 存在()x ?，使得 ()a x dx ?+∞ ?收敛，且 (,)(), [,)f x t x x a ?≤∈+∞； 则反常积分(,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致 收敛. 我们称定理中的()x ?为(,)f x t 的优函数. Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 若反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛； （b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得 (,)g x t L ≤； 则反常积分 (,)(,)a f x t g x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛. Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分 (,)A a f x t dx ?关于t T ∈ 一致有界，亦即，0M ?>（与A 、t 无关），使得
反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级 2012级 学号 2 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩 75分
目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言 --------------------------------------------------------------------- -------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别
法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10)
参考文献 (11)
摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性
1 引言 无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分. 广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要. 1. 含参量的广义积分 和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。 1.1无穷限广义积分的定义 定义1：设),(y x f 为定义在[)I a D ?+∞=,（I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如dx y x f a ? +∞),(的积分称为含参变量y 的广义积分。 从定义形式决定研究内容： 广义积分是否存在-----收敛性问题 与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。 1.1.2 含参量广义积分的收敛和一致收敛。 定义2：设),(y x f 定义在[)I a D ?+∞=,，若对某个I y ∈0，广义积分dx y x f a ?+∞),(0在0y 点收敛，则称含参量广义积分dx y x f c ?+∞),(在0y 点收敛；若dx y x f c ? +∞ ),(在I 中每 一点都收敛，称含参量广义积分dx y x f a ?+∞),(在I 上收敛. “δε-”定义： dx y x f a ? +∞ ),(在I 上收敛是指：对每个I y ∈，a y A >?>?),(,00εε，使当 0,A A A >'时， ε
1 / 1 考研数学（二）真题解析：反常积分敛散性的判定 来源：文都教育 研究生入学考试大纲数学二对反常积分这个知识点的要求是：了解反常积分的概念，会计算反常积分。从大纲要求看出，大纲对反常积分敛散性的判定要求比较低，但是近些年数二经常考敛散性的判定，所以考研的同学对此知识点不可小觑。下面文都老师把数二近三年考到的这个知识点的两道真题帮大家分析一下。 【数二】下列反常积分中收敛的是（ ） （）21d x x +∞? （）2ln d x x x +∞? （）21d ln x x x +∞? （）2d x x x e +∞? 解析： 221d 2x x x +∞+∞==∞?，所以21d x x +∞?发散 ()222ln 1d ln 2 x x x x +∞+∞==∞?，所以2ln d x x x +∞?发散 221d ln ln ln x x x x +∞+∞==∞?，所以21d ln x x x +∞?发散 22222|3,x x x x x dx xde xe e dx e e +∞ +∞+∞--+∞--=-=-+=???收敛. 应选（） 本题主要是应用牛顿—莱布尼兹公式的推广来判定反常积分的敛散性，题目比较简单。 【数二】设函数()111,1,(1)1,.ln x e x x e x x αα-+?< () 20α-<< () 02α<< 解析： 1111()(1)ln e e dx dx f x dx x x x αα+∞+∞-+=+-??? 1111lim(1)1(1)x x x αα--→-=-，因为11(1)e dx x α--?收敛，所以11α-<，即2α< 又因为1111(ln )(ln )|ln ln e e e dx d x x x x x αααα+∞ +∞-+∞++==-?? 因为1ln e dx x x α+∞+?收敛，所以0α>，因此02α<<。 应选（） 本题是用反常积分敛散性的判定定理和牛顿—莱布尼兹公式的推广来判断反常积分的敛散性，属中等难度。
习题82反常积分的收敛判别法
习题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈⑴证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵举例说明，当比较判别法的极限形式中?Skip Record If...?或?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解（1）定理8.2.2（比较判别法）设在?Skip Record If...?上恒有?Skip Record If...?，其中?Skip Record If...?是正常数。则 当?Skip Record If...?收敛时?Skip Record If...?也收敛； 当?Skip Record If...?发散时?Skip Record If...?也发散。 证当?Skip Record If...?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?： 。 ?Skip Record If...? 于是 ， ?Skip Record If...??Skip Record If...? 所以?Skip Record If...?也收敛； 当?Skip Record If...?发散时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?： 。 ?Skip Record If...? 于是 ， ?Skip Record If...??Skip Record If...? 所以?Skip Record If...?也发散。