一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.已知:如图,抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A(0,6),B(6,0),C(﹣2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P运动到什么位置时,△PAB的面积有最大值?
(3)过点P作x轴的垂线,交线段AB于点D,再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E,连结DE,请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣1
2
x2+2x+6;(2)当t=3时,△PAB的面积有最大值;
(3)点P(4,6).
【解析】
【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可得;
(2)作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM,先求出直线AB解析式为y=﹣x+6,
设P(t,﹣1
2
t2+2t+6),则N(t,﹣t+6),由
S△PAB=S△PAN+S△PBN=1
2
PN?AG+
1
2
PN?BM=
1
2
PN?OB列出关于t的函数表达式,利用二次函数
的性质求解可得;
(3)由PH⊥OB知DH∥AO,据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°,结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形,则∠EDP=45°,从而得出点E与点A重合,求出y=6时x的值即可得出答案.
【详解】(1)∵抛物线过点B(6,0)、C(﹣2,0),
∴设抛物线解析式为y=a(x﹣6)(x+2),
将点A(0,6)代入,得:﹣12a=6,
解得:a=﹣1
2
,
所以抛物线解析式为y=﹣1
2
(x﹣6)(x+2)=﹣
1
2
x2+2x+6;
(2)如图1,过点P作PM⊥OB与点M,交AB于点N,作AG⊥PM于点G,
设直线AB 解析式为y=kx+b ,
将点A (0,6)、B (6,0)代入,得:
6
60b k b =??
+=?
, 解得:16k b =-??=?
,
则直线AB 解析式为y=﹣x+6,
设P (t ,﹣
12
t 2
+2t+6)其中0<t <6, 则N (t ,﹣t+6),
∴PN=PM ﹣MN=﹣
12t 2+2t+6﹣(﹣t+6)=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣1
2
t 2+3t , ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN =12PN?AG+1
2PN?BM =1
2
PN?(AG+BM ) =
1
2PN?OB =12×(﹣1
2t 2+3t )×6 =﹣3
2t 2+9t
=﹣32(t ﹣3)2+272
,
∴当t=3时,△PAB 的面积有最大值; (3)如图2,
∵PH⊥OB于H,
∴∠DHB=∠AOB=90°,
∴DH∥AO,
∵OA=OB=6,
∴∠BDH=∠BAO=45°,
∵PE∥x轴、PD⊥x轴,
∴∠DPE=90°,
若△PDE为等腰直角三角形,
则∠EDP=45°,
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角,即点E与点A重合,
则当y=6时,﹣1
2
x2+2x+6=6,
解得:x=0(舍)或x=4,
即点P(4,6).
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题,涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等,熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2.如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧),与y轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=1,直线BC与抛物线的对称轴交于点D.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)求直线BC的函数表达式;
(3)点E为y轴上一动点,CE的垂直平分线交CE于点F,交抛物线于P、Q两点,且点P 在第三象限.
①当线段PQ=3
4
AB时,求tan∠CED的值;
②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P的坐标.
【答案】(1)抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3.(2)直线BC的函数表达式为y=x-
3.(3)①2
3
.①P1(122),P2(1
6
,
7
4
).
【解析】 【分析】
已知C 点的坐标,即知道OC 的长,可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长,即可得出B 点的坐标.已知了△AOC 和△BOC 的面积比,由于两三角形的高相等,因此面积比就是AO 与OB 的比.由此可求出OA 的长,也就求出了A 点的坐标,然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式. 【详解】
(1)∵抛物线的对称轴为直线x=1,
∴? 221
b b
a -
?==1 ∴b=-2
∵抛物线与y 轴交于点C (0,-3), ∴c=-3,
∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3; (2)∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点, 当y=0时,x 2-2x-3=0. ∴x 1=-1,x 2=3. ∵A 点在B 点左侧, ∴A (-1,0),B (3,0)
设过点B (3,0)、C (0,-3)的直线的函数表达式为y=kx+m ,
则033k m m ==+??-?,
∴13k m ??-?
==
∴直线BC 的函数表达式为y=x-3; (3)①∵AB=4,PQ=3
4
AB , ∴PQ=3 ∵PQ ⊥y 轴 ∴PQ ∥x 轴,
则由抛物线的对称性可得PM=32
, ∵对称轴是直线x=1, ∴P 到y 轴的距离是12, ∴点P 的横坐标为?12
, ∴P (?
1
2,?74
)
∴F(0,?7
4
),
∴FC=3-OF=3-7
4
=
5
4
∵PQ垂直平分CE于点F,
∴CE=2FC=5 2
∵点D在直线BC上,
∴当x=1时,y=-2,则D(1,-2),过点D作DG⊥CE于点G,
∴DG=1,CG=1,
∴GE=CE-CG=5
2
-1=
3
2
.
在Rt△EGD中,tan∠CED=
2
3 GD
EG
=.
②P1(2,-2),P2(1-
6
2
-
5
2
).
设OE=a,则GE=2-a,
当CE为斜边时,则DG2=CG?GE,即1=(OC-OG)?(2-a),
∴1=1×(2-a),
∴a=1,
∴CE=2,
∴OF=OE+EF=2
∴F、P的纵坐标为-2,
把y=-2,代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得:2或2∵点P在第三象限.
∴P1(2-2),
当CD为斜边时,DE⊥CE,
∴OE=2,CE=1,
∴OF=2.5,
∴P 和F 的纵坐标为:-52
,
把y=-
52,代入抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3得:x=1-21+2
∵点P 在第三象限.
∴P 2(-52).
综上所述:满足条件为P 1(-2),P 2(1-2
,-52). 【点睛】
本题是二次函数的综合题型,其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法.在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
3.抛物线2y x bx c =-++(b ,c 为常数)与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x ,与y 轴交于点A ,点E 为抛物线顶点。
(Ⅰ)当121,3x x =-=时,求点A ,点E 的坐标;
(Ⅱ)若顶点E 在直线y x =上,当点A 位置最高时,求抛物线的解析式; (Ⅲ)若11,
0x b =->,当(1,0)P 满足PA PE +值最小时,求b 的值。
【答案】(Ⅰ)()0,3A ,(1,4)E ;(Ⅱ)2
1
4
y x x =-++;(Ⅲ)3b = 【解析】 【分析】
(Ⅰ)将(-1,0),(3,0)代入抛物线的解析式求得b 、c 的值,确定解析式,从而求出抛物线与y 轴交于点A 的坐标,运用配方求出顶点E 的坐标即可;
(Ⅱ)先运用配方求出顶点E 的坐标,再根据顶点E 在直线y x =上得出吧b 与c 的关系,利用二次函数的性质得出当b=1时,点A 位置最高,从而确定抛物线的解析式; (Ⅲ)根据抛物线经过(-1,0)得出c=b+1,再根据(Ⅱ)中顶点E 的坐标得出E 点关于x 轴的对称点E '的坐标,然后根据A 、P 两点坐标求出直线AP 的解析式,再根据点在直线AP 上,此时PA PE +值最小,从而求出b 的值. 【详解】
解:(Ⅰ)把点(-1,0)和(3,0)代入函数2
y x bx c =-++,
有10930b c b c --+=??-++=?
。解得2,3b c ==
2223(1)4y x x x ∴=-++=--+ (0,3),(1,4)A E ∴
(Ⅱ)由2
22
424b c b y x bx c x +??=-++=--+ ???,得24,24b c b E ??+ ???
∵点E 在直线y x =上,2
424
b c b
+∴=
221111
(1)4244c b b b ∴=-+=--+
2110,(1)44A b ?
?∴--+ ??
?
当1b =时,点A 是最高点此时,2
1
4
y x x =-++
(Ⅲ):抛物线经过点(1,0)-,有10b c --+=
1c b ∴=+
24,,(0,)2
4b c b E A c ??+ ???
2(2),,(0,1)2
4b b E A b ??
+∴+ ???
∴E 关于x 轴的对称点E '为2
(2)
,24b b ??+- ???
设过点A ,P 的直线为y kx t =+.把(0,1),(1,0)A b P +代入y kx t =+,得
(1)(1)y b x =-+-
把点2(2),2
4b b E '
??
+- ???代入(1)(1)y b x =-+-.
得
2(2)(1)142b b b +??
=-+- ???
,即2680b b --=
解得,3b =
0,3b b >∴=.
3b ∴=+【点睛】
本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次的解析式、最短距离,数形结合思想及待定系数法的应用是解题的关键,属于中考压轴题.
4.若三个非零实数x ,y ,z 满足:只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和,则称这三个实数x ,y ,z 构成“和谐三组数”.
(1)实数1,2,3可以构成“和谐三组数”吗?请说明理由; (2)若M(t ,y 1),N(t+1,y 2),R(t+3,y 3)三点均在函数y =
k
x
(k 为常数,k≠0)的图象上,且这
三点的纵坐标y 1,y 2,y 3构成“和谐三组数”,求实数t 的值;
(3)若直线y =2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1,0),与抛物线y =ax 2+3bx+3c(a≠0)交于B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)两点.
①求证:A ,B ,C 三点的横坐标x 1,x 2,x 3构成“和谐三组数”; ②若a >2b >3c ,x 2=1,求点P(
c a ,b
a
)与原点O 的距离OP 的取值范围. 【答案】(1)不能,理由见解析;(2)t 的值为﹣4、﹣2或2;(3)①证明见解析;
②2
≤OP
OP≠1. 【解析】 【分析】
(1)由和谐三组数的定义进行验证即可;
(2)把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式,可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3,再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程,可求得t 的值; (3)①由直线解析式可求得x 1=﹣
c
b
,联立直线和抛物线解析式消去y ,利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3=﹣
b a ,x 2x 3=c
a
,再利用和谐三数组的定义证明即可;②由条件可得到a+b+c =0,可得c =﹣(a+b),由a >2b >3c 可求得
b
a
的取值范围,令m =b
a
,利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数,利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围,从而可求得OP 的取值范围. 【详解】
(1)不能,理由如下:
∵1、2、3的倒数分别为1、12、13
, ∴
12+13≠1,1+12≠13,1+13≠12
, ∴实数1,2,3不可以构成“和谐三组数”;
(2)∵M(t ,y 1),N(t+1,y 2),R(t+3,y 3)三点均在函数k
x
(k 为常数,k≠0)的图象上, ∴y 1、y 2、y 3均不为0,且y 1=k t ,y 2=1k t +,y 3=3
k t +, ∴
11y =t k ,21y =1t k +,31y =3
t k
+, ∵y 1,y 2,y 3构成“和谐三组数”, ∴有以下三种情况:
当
11y =21y +31y 时,则t k =1t k ++3
t k
+,即t =t+1+t+3,解得t =﹣4;
当
21y =11y +31y 时,则1t k +=t k +3t k
+,即t+1=t+t+3,解得t =﹣2; 当31y =11y +21y 时,则3t k +=t k +1
t k
+,即t+3=t+t+1,解得t =2;
∴t 的值为﹣4、﹣2或2; (3)①∵a 、b 、c 均不为0, ∴x 1,x 2,x 3都不为0,
∵直线y =2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1,0), ∴0=2bx 1+2c ,解得x 1=﹣
c
b
, 联立直线与抛物线解析式,消去y 可得2bx+2c =ax 2+3bx+3c ,即ax 2+bx+c =0, ∵直线与抛物线交与B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)两点, ∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c =0的两根, ∴x 2+x 3=﹣
b a ,x 2x 3=
c a
, ∴21x +31x =2323x x x x +=
b a
c a
-
=﹣b c =11x , ∴x 1,x 2,x 3构成“和谐三组数”; ②∵x 2=1, ∴a+b+c =0, ∴c =﹣a ﹣b , ∵a >2b >3c ,
∴a >2b >3(﹣a ﹣b),且a >0,整理可得253a b b a
>??>-?,解得﹣35<b a <1
2,
∵P(
c a ,b
a
), ∴OP 2=(c a )2+(b a )2=(a b a --)2+(b a )2=2(b a )2+2b a +1=2(b a +12)2+12
, 令m =
b a ,则﹣35<m <12且m≠0,且OP 2=2(m+12)2+12, ∵2>0,
∴当﹣
35<m <﹣12时,OP 2随m 的增大而减小,当m =﹣35时,OP 2有最大临界值1325,当m =﹣
12时,OP 2有最小临界值1
2
,
当﹣1
2
<m<
1
2
时,OP2随m的增大而增大,当m=﹣
1
2
时,OP2有最小临界值
1
2
,当m
=1
2
时,OP2有最大临界值
5
2
,
∴1
2≤OP2<
5
2
且OP2≠1,
∵P到原点的距离为非负数,
∴2≤OP<10
2
且OP≠1.
【点睛】
本题为二次函数的综合应用,涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识.在(1)中注意利用和谐三数组的定义,在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键,在(3)①中用a、b、c分别表示出x1,x2,x3是解题的关键,在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键.本题考查知识点较多,综合性较强,特别是最后一问,难度很大.
5.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数()的图象与x轴交于A(﹣2,0)、B(8,0)两点,与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,若点P(m,n)是该二次函数图象上的一个动点(其中m>0,n<0),连结PB,PD,BD,求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标.
【答案】(1);(2)E的坐标为(,)、(0,﹣4)、(,);(3),(,).
【解析】
试题分析:(1)采用待定系数法求得二次函数的解析式;
(2)先求得直线BC的解析式为,则可设E(m,),然后分三种情况讨
论即可求得;
(3)利用△PBD的面积即可求得.
试题解析:(1)∵二次函数()的图象与x轴交于A(﹣2,0)、C (8,0)两点,
∴,解得:,∴该二次函数的解析式为;
(2)由二次函数可知对称轴x=3,∴D(3,0),∵C(8,0),∴CD=5,由二次函数可知B(0,﹣4),设直线BC的解析式为,
∴,解得:,∴直线BC的解析式为,设E(m,),
当DC=CE时,,即,解得,(舍去),∴E(,);
当DC=DE时,,即,解得,(舍去),∴E(0,﹣4);
当EC=DE时,,解得=,∴E(,
).
综上,存在点E,使得△CDE为等腰三角形,所有符合条件的点E的坐标为(,
)、(0,﹣4)、(,);
(3)过点P作y轴的平行线交x轴于点F,∵P点的横坐标为m,∴P点的纵坐标为:,
∵△PBD的面积
==
=,
∴当m=时,△PBD的最大面积为,∴点P的坐标为(,).
考点:二次函数综合题.
6.如图,抛物线y =ax 2+bx+c 经过A (﹣3,0),B (1,0),C (0,3)三点. (1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,P 为抛物线上在第二象限内的一点,若△PAC 面积为3,求点P 的坐标; (3)如图2,D 为抛物线的顶点,在线段AD 上是否存在点M ,使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似?若存在,求点M 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y =﹣x 2﹣2x+3;(2)点P 的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3);(3)存
在,(32-
,32)或(34-,9
4
),见解析. 【解析】 【分析】
(1)利用待定系数法,然后将A 、B 、C 的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式; (2))过P 点作PQ 垂直x 轴,交AC 于Q ,把△APC 分成两个△APQ 与△CPQ ,把PQ 作为两个三角形的底,通过点A ,C 的横坐标表示出两个三角形的高即可求得三角形的面积.
(3)通过三角形函数计算可得∠DAO=∠ACB ,使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则有两种情况,∠AOM=∠CAB=45°,即OM 为y=-x ,若∠AOM=∠CBA ,则OM 为y=-3x+3,然后由直线解析式可求OM 与AD 的交点M . 【详解】
(1)把A (﹣3,0),B (1,0),C (0,3)代入抛物线解析式y =ax 2+bx+c 得
93003a b c a b c c -+=??
++=??=?
, 解得123a b c =-??
=-??=?
,
所以抛物线的函数表达式为y =﹣x 2﹣2x+3.
(2)如解(2)图1,过P 点作PQ 平行y 轴,交AC 于Q 点,
∵A (﹣3,0),C (0,3), ∴直线AC 解析式为y =x+3,
设P 点坐标为(x ,﹣x 2﹣2x+3.),则Q 点坐标为(x ,x+3), ∴PQ =﹣x 2﹣2x+3﹣(x+3)=﹣x 2﹣3x . ∴S △PAC =1
PQ A 2
O ?, ∴
()
21
3332
x x --?=, 解得:x 1=﹣1,x 2=﹣2.
当x =﹣1时,P 点坐标为(﹣1,4), 当x =﹣2时,P 点坐标为(﹣2,3),
综上所述:若△PAC 面积为3,点P 的坐标为(﹣1,4)或(﹣2,3),
(3)如解(3)图1,过D 点作DF 垂直x 轴于F 点,过A 点作AE 垂直BC 于E 点,
∵D 为抛物线y =﹣x 2﹣2x+3的顶点, ∴D 点坐标为(﹣1,4), 又∵A (﹣3,0),
∴直线AC 为y =2x+4,AF =2,DF =4,tan ∠PAB =2,
∵B (1,0),C (0,3)
∴tan ∠ABC =3,BC =10,sin ∠ABC
=310
,直线BC 解析式为y =﹣3x+3. ∵AC =4,
∴AE =AC?sin ∠ABC =310410?=6105
,BE =210
5, ∴CE =
310
, ∴tan ∠ACB =
2AE
CE
=, ∴tan ∠ACB =tan ∠PAB =2, ∴∠ACB =∠PAB ,
∴使得以M ,A ,O 为顶点的三角形与△ABC 相似,则有两种情况,如解(3)图2
Ⅰ.当∠AOM =∠CAB =45°时,△ABC ∽△OMA , 即OM 为y =﹣x ,
设OM 与AD 的交点M (x ,y )
依题意得:3y x
y x =-??=+?
,
解得3232x y ?=-????=??
,
即M 点为(32-
,3
2
). Ⅱ.若∠AOM =∠CBA ,即OM ∥BC , ∵直线BC 解析式为y =﹣3x+3.
∴直线OM 为y =﹣3x ,设直线OM 与AD 的交点M (x ,y ).则
依题意得:
3
3 y x
y x
=-
?
?
=+
?
,
解得
3
4
9
4 x
y
?
=-
??
?
?=
??
,
即M点为(
3
4
-,
9
4
),
综上所述:存在使得以M,A,O为顶点的三角形与△ABC相似的点M,其坐标为
(
3
2
-,
3
2
)或(
3
4
-,
9
4
).
【点睛】
本题结合三角形的性质考查二次函数的综合应用,函数和几何图形的综合题目,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系.
7.在平面直角坐标系中,抛物线223
y x x
=--+与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)请直接写出点A,C,D的坐标;
(2)如图(1),在x轴上找一点E,使得△CDE的周长最小,求点E的坐标;
(3)如图(2),F为直线AC上的动点,在抛物线上是否存在点P,使得△AFP为等腰直角三角形?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)A(﹣3,0),C(0,3),D(﹣1,4);(2)E(
3
7
-,0);(3)P (2,﹣5)或(1,0).
【解析】
试题分析:(1)令抛物线解析式中y=0,解关于x的一元二次方程即可得出点A、B的坐标,再令抛物线解析式中x=0求出y值即可得出点C坐标,利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点D的坐标;
(2)作点C 关于x 轴对称的点C′,连接C′D 交x 轴于点E ,此时△CDE 的周长最小,由点C 的坐标可找出点C′的坐标,根据点C′、D 的坐标利用待定系数法即可求出直线C′D 的解析式,令其y=0求出x 值,即可得出点E 的坐标;
(3)根据点A 、C 的坐标利用待定系数法求出直线AC 的解析式,假设存在,设点F (m ,m+3),分∠PAF=90°、∠AFP=90°和∠APF=90°三种情况考虑.根据等腰直角三角形的性质结合点A 、F 点的坐标找出点P 的坐标,将其代入抛物线解析式中即可得出关于m 的一元二次方程,解方程求出m 值,再代入点P 坐标中即可得出结论.
试题解析:(1)当2
23y x x =--+中y=0时,有2230x x --+=,解得:1x =﹣3,
2x =1,∵A 在B 的左侧,∴A (﹣3,0),B (1,0).
当2
23y x x =--+中x=0时,则y=3,∴C (0,3). ∵223y x x =--+=2(1)4x -++,∴顶点D (﹣1,4).
(2)作点C 关于x 轴对称的点C′,连接C′D 交x 轴于点E ,此时△CDE 的周长最小,如图1所示.
∵C (0,3),∴C′(0,﹣3).
设直线C′D 的解析式为y=kx+b ,则有:3{4b k b =--+=,解得:7{3
k b =-=-,∴直线C′D 的解析式为y=﹣7x ﹣3,当y=﹣7x ﹣3中y=0时,x=3
7
-,∴当△CDE 的周长最小,点E 的坐标为(3
7
-
,0). (3)设直线AC 的解析式为y=ax+c ,则有:3{30c a c =-+=,解得:1
{3
a c ==,∴直线AC 的解
析式为y=x+3.
假设存在,设点F (m ,m+3),△AFP 为等腰直角三角形分三种情况(如图2所示): ①当∠PAF=90°时,P (m ,﹣m ﹣3),∵点P 在抛物线223y x x =--+上,
∴2323m m m --=--+,解得:m 1=﹣3(舍去),m 2=2,此时点P 的坐标为(2,﹣5);
②当∠AFP=90°时,P (2m+3,0)
∵点P 在抛物线223y x x =--+上,∴20(23)2(23)3m m =-+-++,解得:m 3=﹣3(舍去),m 4=﹣1,此时点P 的坐标为(1,0);
③当∠APF=90°时,P (m ,0),∵点P 在抛物线223y x x =--+上,
∴2023m m =--+,解得:m 5=﹣3(舍去),m 6=1,此时点P 的坐标为(1,0). 综上可知:在抛物线上存在点P ,使得△AFP 为等腰直角三角形,点P 的坐标为(2,﹣5)或(1,0).
考点:二次函数综合题;最值问题;存在型;分类讨论;综合题.
8.如图①,抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧),与y 轴交于点C ,已知ABC ?的面积为6. (1)求a 的值;
(2)求ABC ?外接圆圆心的坐标;
(3)如图②,P 是抛物线上一点,点Q 为射线CA 上一点,且P 、Q 两点均在第三象限内,Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点,若点P 到x 轴的距离为d ,QPB ?的面积为2d ,且PAQ AQB ∠=∠,求点Q 的坐标.
【答案】(1)-3;(2)坐标(-1,1);(3)Q ()4,1-. 【解析】 【分析】
(1)利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标,然后利用三角形面积公式列出方程解出a ;(2)利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标,求出AC 解析式,找到AC 垂直平分线的解析式,与AB 垂直平分线解析式联立,解出x 、y 即为圆心坐标;(3)过点P 做PD ⊥x 轴,PD =d ,发现△ABP 与△QBP 的面积相等,得到A 、D 两点到PB 得距离相等,可得AQ PB ∥,求出PB 解析式,与二次函数解析式联立得到P 点坐标,又易证
ABQ QPA ??≌,得到BQ =AP 26Q 点坐标,点与点的距离列出方程,解出Q 点坐
标即可 【详解】
(1)解:由题意得()()1y x x a =--- 由图知:0a <
所以A (,0a ),()10
B ,,()0,
C a - ()()1
12
ABC S a a ?=
-?-=6 34()a a =-=或舍
∴
3a =-
(2)由(1)得A (-3,0),()10
B ,,()0,3
C ∴直线AC 得解析式为:3y
x
AC 中点坐标为33,22??
- ???
∴AC 的垂直平分线为:y x =-
又∵AB 的垂直平分线为:1x =-
∴1y x x =-??=-? 得11x y =-??=?
ABC ?外接圆圆心的坐标(-1,1). (3)解:过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得:PD =d ,
∴1
2
ABP S PD AB ?=?
=2d
∵QPB ?的面积为2d
∴ABP BPQ S S ??=,即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥
设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B
∴1y x =-
∴2
123y x y x x =-??=--+?易得45x y =-??=? 1
()0x y =??=?舍 所以P (-4,-5),
由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得:ABQ QPA ??≌ ∴BQ =AP =26 设Q (m ,-1)(0m <) ∴()2
21126m -+=
4m =-
∴Q ()4,1-. 【点睛】
本题考查二次函数综合性问题,涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点,第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标;第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式,与AB 垂直平分线解析式;第三问关键在于能够求出PB 的解析式
9.如图甲,直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ,经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ,顶点为P . (1)求该抛物线的解析式;
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ,使以C ,P ,M 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请直接写出所符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)当0<x <3时,在抛物线上求一点E ,使△CBE 的面积有最大值(图乙、丙供画图探
究).
【答案】(1)y=x 2﹣4x+3;(2)(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣
2
);(3)E 点坐标为(
,
)时,△CBE 的面积最大.
【解析】
试题分析:(1)由直线解析式可求得B 、C 坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式; (2)由抛物线解析式可求得P 点坐标及对称轴,可设出M 点坐标,表示出MC 、MP 和PC 的长,分MC=MP 、MC=PC 和MP=PC 三种情况,可分别得到关于M 点坐标的方程,可求得
M点的坐标;
(3)过E作EF⊥x轴,交直线BC于点F,交x轴于点D,可设出E点坐标,表示出F点的坐标,表示出EF的长,进一步可表示出△CBE的面积,利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标.
试题解析:(1)∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C,
∴B(3,0),C(0,3),
把B、C坐标代入抛物线解析式可得,解得,
∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴抛物线对称轴为x=2,P(2,﹣1),
设M(2,t),且C(0,3),
∴MC=,MP=|t+1|,PC=,
∵△CPM为等腰三角形,
∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况,
①当MC=MP时,则有=|t+1|,解得t=,此时M(2,);
②当MC=PC时,则有=2,解得t=﹣1(与P点重合,舍去)或t=7,此时M(2,7);
③当MP=PC时,则有|t+1|=2,解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2,此时M(2,﹣
1+2)或(2,﹣1﹣2);
综上可知存在满足条件的点M,其坐标为(2,)或(2,7)或(2,﹣1+2)或(2,﹣1﹣2);
(3)如图,过E作EF⊥x轴,交BC于点F,交x轴于点D,
设E(x,x2﹣4x+3),则F(x,﹣x+3),
∵0<x<3,
∴EF=﹣x+3﹣(x2﹣4x+3)=﹣x2+3x,
∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3(﹣x2+3x)=﹣(x﹣)2+,