积分的奇偶对称性
----定积分、二重积分、三重积分、
第一类曲线积分、第一类曲面积分
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a a a a dx x f dx x f x f dx x f x f a a C f 为偶函数，则若为奇函数，则
若设01 定积分的奇偶对称性
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关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性
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关于上连续在有界闭区域设02 二重积分的奇偶对称性
03 三重积分的奇偶对称性;),,(2),,(),,,(),,(),,()2(;
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关于上连续在有界闭区域设
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关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性
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关于上连续在有界闭区域设03 三重积分的奇偶对称性
04 第一类曲线积分的奇偶对称性.
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关于上连续在曲面设
知识点小结： 1． 函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称；特别的，当()y f x =满足()()f a x f a x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线x a =对称； 2． 函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点,22a b c +?? ??? 对称；特别的，当函数()y f x =满足()()0f a x f a x ++-=时，函数()y f x =的图象关于点(),0a 对称； 3． 一般地，对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 (T)()f x f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期； 4． 对于非零常数A ，若函数()y f x =满足(A)()f x f x +=-，则函数()y f x =必有一个周期为2A ； 5． 对于非零常数A ，函数()y f x =满足1(A)() f x f x +=，则函数()y f x =的一个周期为2A ；对于非零常数A ，函数()y f x =满足1()() f x f x =-，则函数()y f x =的一个周期为2A . 例1：()f x 为定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x -=+对x R ∈恒成立. ⑴ 求证：()y f x =为周期函数； ⑵ 当[]0,2x ∈时，()2 f x x x =-，求函数()f x 在[]2,6上的解析式. 例2：若定义在上的函数对任意，都有成立，且时，成立． （1）证：是上的增函数； （2），解关于的不等式． R ()x f R x x ∈11,()()()12121-+=+x f x f x x f 0>x ()1>x f ()x f R ()54=f x () 3232<--x x f
专项5函数单调性、奇偶性、周期性、对称性综合 有关函数的奇偶性、单调性、周期性和图像的综合问题，历来都是一个难点，并且几乎是必考的重点内容，它考察的 内容应该说是非常多的，综合性也是非常强的，而且不易想，因而，对很多同学來说，十分头疼，在这一章节内容上, 我们绝对要摒弃大量做题不顾总结的复习思路，基于此，我们从以下几个方面讲这部分内容。 第一个问题，就是对于“已知奇/偶函数一段定义域上的解析式，求另一段的解析式”这样的问题，最为基础题，同学 们一定要知道怎么解决这种问题，但是对于求确切的/(G )的问题，这里的。代指一个确切的常数，我们可以不求出另 一 ?段上的解析式，我们采取“进/退周期”的方式，什么意思呢？就是如果讣我们求的于(G )中的。不在己经解析式的 定义域上，对于比定义域右端点值大的，要根据周期定义每次减一个周期，逐步将其转化到已知解析式的定义域之上, 比如，题目让我们求/(13),我们通过分析发现该函数的周期为2,而我们只知道XG (0,2).上的解析式，那么我们就 可以“退周期”，即/(13) = /(2x6+l) = /(l),即只需要求出这个/(I)就是了，同理，对于比定义域小的，我们用 同样方法，可以“进周期”，求解相关问题。 第二个问题，我们必须要说这个周期的问题，周期其实在高中教材中只是在必修四三角函数中学了，但是函数中却经 常出现，而且不算是超纲内容，这一点需要大家知道，不能因为函数教材屮没有讲就认为不需要掌握，但是有一点需 要大家知道，那就是对于周期性，我们更多的是记住一些结论，推到这些结论是不要求的，因此，我们在这里总结这 些结论，希望大家都记住。 如果一个函数满足= + 则这个函数就是以。为一个周期的函数，这里要强调“一个周期”，事实上，弦/都 是这个函数的周期，也就是说/(x) = f(ka + x), /(x) = f(ka-x), /(x) = f(x-a),还有一?些有关周期的拓展定义: 第三个问题，是有关于图像的问题，特别是图像的做法，有很多是需要掌握对称性规律的，相关的对称性规律结论请 回顾复习专项4,专项4屮有比较基础的对称性总结函数关于兀轴、y 轴、坐标原点对称的规律；特别强调下列三种函 数l.f(x)l,/(lg(x)l),/(g(lxl))，这三种绝对值加到不同地方的函数图像本身的对称性规律要掌握好。 奇函数、偶函数、反函数和一些常见的函数，如对号函数等的对称性 对于耍求函数有几个零点或者两个函数有几个交点的问题，作图是最主耍的方法，作图的吋候，一定要按照我们学过 的函数图像的三种变换进行画图，从授基本的图形开始画，通过平移、对称一步一步的得到我们想要的函数图像，做 图的过程小，如果有带有绝对值，一定要想着使丿IJ 相应带有绝对值的作图规律，坚决不允许通过描点连线的方式进行 作图。 下面开启做题Z 旅，下面的这些题，淘汰、更换历经了很长时间，不论简单还是难度稍微大些，都是非常好的试题， 一定要认认真真完成，对于错题，还要进行总结分析。 1. /⑴为奇函数,g ⑴= /(x) + 9,g(2) = 3,则/(2)= _______________ 2. .f(x)为定义在/?上的奇函数，当xhO 时，/(Q = 2" + 2x + b ，则/(-1)= _____________ ①弘+沪_卍)；②弘+沪命；③弘+沪 1 /(x ) ,则函数/(兀)的周期为2a 。
函数的对称性、奇偶性和周期性的综合运用 一．函数的对称性 的图象自身对称 1、轴对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 称. . 推论1 . 推论2 . 2、中心对称 对于函数f(x)的定义域内任意一个x， . . . . 小结: 轴对称与中心对称的区别 轴对称：f(a+x)= f(b-x)中，自变量系数互为相反数（内反），函数值相等(差为零)；
中心对称：f(a+x)= - f(b-x)+2c中，自变量系数互为相反数（内反），函数值和为定值.（二）两个函数的图象相互对称 1； 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于直线x=0(y轴)轴对称； y轴对称； 求对称轴方法：令a+x=b-x,得 2、函数y＝f(a＋x)+c与y＝－f(b－x)+d 特别地，函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于点（0,0）（原点）中心对称. . 求对称中心方法：横坐标令a+x=b-x,得 二．函数的奇偶性 1. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x) （f(x) －f(－x)＝0），那么 函数f(x)叫做偶函数．偶函数的图象关于y轴（x=0）对称． 推论：若y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)，即y＝f(x)的图像关于直线x＝a轴对称. 2. 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x) （f(x) +f(－x)＝0），那么 函数f(x)叫做奇函数．奇函数的图象关于原点(0,0)对称. 推论：若y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)，即y＝f(x) 的图像关于点（a，0）中心对称. 三．函数的周期性 1. 定义：对于定义域内的任意一个，都存在非零常数，使得
函数的奇偶性与对称性 1． 下列函数中，奇函数的个数为： （1）)1ln()(2x x x f -+= （2）x x x f -+-= 22)( （3）x x x f -+=11log )(2 （4）2 )110lg()(x x f x -+= A ．1 B.2 C.3 D.4 2.函数11)(22-+-=x x x f 是: A.奇函数非偶函数 B. 偶函数非奇函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 3.函数2 |2|)1lg()(2---=x x x f 的奇偶性是: A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数 4.若函数11)(-+ =x a m x f 是奇函数,则m 取值是: A.0 B.2 1 C.1 D. 2 5.若函数)(x f y =与)(x f y -=的图象关于原点对称,则是: A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数 6.已知函数)(x f 的定义域为),0()0,(+∞?-∞,且对定义域中的任一x ,均有1)()(=-x f x f ,1 )(1)()(+-=x f x f x g 则)(x g 是: A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数 6.当R x ∈时,)(x f 满足)()()(y f x f y x f +=+,则)(x f 是: A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.不是奇函数又不是偶函数 7.若函数)1(log )(223+++=x x ax x f 在)0,(-∞上有最小值－5,则函数)(x f 在),0(+∞上: A.有最大值5 B.有最小值5 C.有最大值3 D.有最大值9 8.如果函数c bx ax x f ++=2)(对于任意的实数t 都有)4()(t f t f -=,则: A.)4()1()2(f f f << B. )4()2()1(f f f << C.)1()4()2(f f f << D.)1()2()4(f f f << 9.若奇函数)(x f 满足)2()2(-=+x f x f ,则)2(f 的值是: A.0 B.4 C.－４ Ｄ.不能确定
函 数 的 对 称 性 一个函数的自对称 定义1、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=-或是(2)()f a x f x -=，图像特征函数自身关于x a =对称。就是该函数的对称轴是x a =。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f a x +=--或是(2)()f a x f x -=-，图像特征函数自身关于点(,0)a 对称。就是该函数的对称点是(,0)a 。 定义3、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=-，图像特征函数自身关于2a b x += 对称。就是该函数的对称轴是2 a b x +=。 定义2、定义域为R 的函数()f x ，若满足()()f a x f b x +=--，图像特征函数自身关于点( ,0)2a b +对称。就是该函数的对称点是(,0)2 a b +。 还可以推广为()()f a x m f b x +=-- 含义：函数()f x 关于( ,)22a b m +这个点对称。 周期性:若()f x 对于定义域中的任意x 均有()()f x T f x +=,则()f x 是周期函数. 它的变形有: (1)f(x-1)=f(x+1) (2)f(x+2)=－f(x)；(3)f(x+2)=1() f x - (4)f(x+3) ＋f(x)=1 (5)f(x+1)=) (11)(x f x f -+ 特征是x 的符号相同。 习 题 1、已知()f x 是R 上的偶函数，且f(-x-1)=f(-x+1) 当[0,1]x ∈时，()1f x x =-+，求当[5,7]x ∈时,()f x 的解析式。 2、定义域为R 的()f x 既是奇函数又是周期函数,T 是它的一个周期.问:区间[,]T T -上它有几个根?（财富：奇函数的半周期也是0点） 3、定义在R 上的偶函数()f x 以3为周期,且(2)0f =,则方程()0f x =在区间(0,6) 上有几个根? 4、()f x 是R 上的偶函数,若将()f x 的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数,且(2)1f =-,求(1)(2)(3)(2008)f f f f ++++L 的值. 5、定义在R 上的函数()f x 满足5()()02 f x f x ++=且5 ()4 f x +为奇函数,下列结论谁正确? ①函数()f x 的最小正周期是52;②函数()f x 的图象关于点（5,04）对称;③函数()f x 的图象关于52 x =对称;④函数()f x 的最大值为5()2f . 6、函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则（ ）(A) ()f x 是偶函数； (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ ； (D) (3)f x +是奇函数 例4举例子，构造新函数，用定义，平移，伸缩处理四道抽象函数题。 （1）f(x)是奇函数，则有f(-x+a)= f(x+a)是奇函数，则f(-x+a)= （2）函数f(x-1)是偶函数，求y=f(x)的对称轴。
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上， 通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =- 也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+=+或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+ 或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
函数的奇偶性与对称性 一、课前准备： 【自主梳理】 1.奇偶函数的定义：一般地，对于函数()f x 的定义域内的________一个x ，都有____________，那么()f x 就叫做奇函数．对于函数()f x 的定义域的________一个x ，都有______________，那么()f x 就叫做偶函数． 2．奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_________对称． （2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于__________对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于__________对称． （3）若奇函数)(x f 的定义域包含0，则=)0(f ___________． （4）定义在R 上的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数=)(x g _____________和一个偶函数=)(x h ______________的和． （5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为___________；两个偶函数之积（商）为____________；一奇一偶函数之积（商）为_____________（注：取商时应使分母不为0）． 3．函数图像的对称性：（1）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于_________对称． （2）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于_________对称． 【自我检测】 1．对于定义在R 上的函数)(x f ，下列判断正确的是__________． ①若(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；②若(2)(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数． 2．给出4个函数：①241()3x f x x +=-；②()25f x x =-+；③1()lg 1x f x x -=+；④1()1 x f x x -=+． 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数． 3.已知22 ()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数，则=m ______,=n _________． 4.函数x x x f -=3)(的图像关于点__________对称． 5.函数1sin )(3++=x b ax x f ，若(3)2f =，则(3)f -的值为___________．
函数的奇偶性、对称性与周期性常用结论，史上最全 函数是高中数学的重点与难点，在高考数学中占分比重巨大。高考中对函数的考查灵活，相关的结论众多，有奇偶性，对称性，还有周期性，这些结论及变形能否掌握，都影响着学生的最终成绩。本篇将函数的奇偶性、对称性与周期性常用的结论进行总结，希望对同学们有帮助。需要WORD 电子文档的同学，可以入群领取。 1.奇偶函数： 设[][][]b a a b x b a x x f y ,,,),( --∈∈=或奇偶函数的定义域关于原点对称。 ①若为奇函数；则称)(),()(x f y x f x f =-=-() ()()0, 1() f x f x f x f x +-==-- ②若为偶函数则称)()()(x f y x f x f ==-。() ()-()0, 1() f x f x f x f x -==- 2.周期函数的定义： 对于()f x 定义域内的每一个x ，都存在非零常数T ，使得()()f x T f x +=恒成立，则称函数()f x 具有周期性，T 叫做()f x 的一个周期，则kT （,0k Z k ∈≠）也是()f x 的周期，所有周期中的最小正数叫()f x 的最小正周期。 《 分段函数的周期：设)(x f y =是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:), (x f y = []a b T b a x -=∈,,。把)()(a b K KT x x f y -==轴平移沿个单位即按向量 )()0,(x f y kT ==平移，即得在其他周期的图像：[]b kT a kT x kT x f y ++∈-=,),(。 [][]?? ?++∈-∈=b kT a,kT x )(b a, x )()(kT x f x f x f
题型一：判断函数奇偶性 1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 【例1】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ 1y x =； ⑵ 422y x x =++； ⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-． 【例2】 判断下列函数的奇偶性： ⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+； ⑷21()f x x =． 典例分析 板块二.函数的奇偶性与对称性
【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： ⑴ 221()1x x a f x a +=-(0a >且1)a ≠； ⑵ ()f x ⑶ 2()5||f x x x =+． 【例4】 判别下列函数的奇偶性： （1）31()f x x x =-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 【例5】 判断函数 的奇偶性． 2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；
（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数． 【例6】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ ()(f x x =- ⑵ 11()()()12 x f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数． 【例7】 若函数f(x)= 3(x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数 g(x)的奇偶性． 【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有 ()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2()()()()1f x F x f x g x =+-是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数
三角函数的奇偶性和对称性 奇偶性 判断一个三角函数既不是奇函数又不是偶函数和判断函数奇偶性是一样的， 都是有两个条件（1）函数的定义域要关于原点对称（这是一个奇函数或偶函数的前提条件） （2）在（1）成立的基础上判断f(-x)=-f(x)成立，那函数一定是奇函数，若f(-x)=f(x),那函数一定是偶函数 你所问的三角函数既不是奇函数又不是偶函数方法：上边（1）不满足的情况下，三角函数既不是奇函数又不是偶函数；（1）条件满足就要看（2）条件当f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)这两个等式都不成立时，三角函数既不是奇函数又不是偶函数。 1 设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是_________ f(x+t)=sin(x+t)=sin(2x+2t) 若要使f(x+t)为偶函数则： 2t=kπ+π/2 所以： t=(1/2)*kπ+π/4 2 （1）若f(x)=sin(x+a)为偶函数，求a的值； (2)已知函数sin(x+a)+更3cos(x+a)为偶函数，求a的值 1.f(x)是偶函数，则有f(x)=f(-x),即sin（x+a)=sin(-x+a), 所以sinxcosa+cosxsina=- sinxcosa+cosxsina, ∴sinxcosa=0对x∈R恒成立.∴cosa=0 ∴a=π÷2+kπ,其中k∈Z. 2.同上,f(x)=f(-x)，且f(x)=sin(x+a)+√3cos(x+a)=2sin(x+a+π÷3）， 则同1，有a+π÷3=π÷2+kπ，k∈Z， 即a=π÷6+kπ，k∈Z。 3 已知f(x)是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若f（a-2)-f(4-a2)＜0，求实数a的取值范围。 我光列了一个， a-2|＜|4-a2| 应该能用两边平方来解但我不会 应该还有别的不等式我认为是 |a-2|＞-1 |4-a2|＜1 对不？说说你们的做法 a-2|＜|4-a2| a-2|＜|（a-2）（a+2）| 当a不等于2时候可以消去（a-2） 1＜|a+2| 下面的|a-2|＞-1 |4-a2|＜1 就不对了
苏州市学案函数的奇偶性与对称性 一、课前准备： 【自主梳理】 1. _______________________________________________ 奇偶函数的定义：一般地，对于函数/(X)的定义域内的___________________________________ -个X，都有 __________ 那么/(兀)就叫做奇函数.对于函数/(兀)的定义域的 _______ 一个兀，都有______________ , 那么就叫做偶函数? 2. _______________________________________________ 奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于___________________________________ 对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于 _______ 对称. (2)一个函数是奇函数的充耍条件是它的图像关于________ 对称；一个函数是偶函数的充耍条件是它的图像关于________ 对称? (3)若奇函数.f(x)的定义域包會0,则/(0)= ________________ (4)定义在上的任意函数/(兀)都可以表示成一个奇函数g(x)= ________________ 和一个偶函数加兀)= _____________ 的和. (5)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为_____________ ；两个偶函数之积(商) 为___________ ; 一奇一偶函数Z积(商)为_____________ (注：取商时应使分母不为0). 3.函数图像的对称性:(1)定义在7?上的函数门兀)满足f(a + x) = f(a-x)，则/(兀)的图 像关于________ 对称. (2)定义在R上的函数/(%)满足f(a + x) = -f(a -x),则/(x)的图像关于________________ 对称. 【自我检测】 1.对于定义在R上的函数/(x), F列判断正确的是 ____________ ? ①若/(-2) = /(2),则函数/(兀)是偶函数；②若/(-2)*⑵,则函数/(兀)不是偶函数; ③若/(-2) = /(2),则函数/(X)不是奇函数. 1+ y* 1 —Y V — 1 2.给出4 个函数：①/(%) =——:② f(x) = -2x + 5；③/U) = lg—:④ fM=-—. 3-x 1十兀x+1 其中____ 是奇函数；_____ 是偶函数；_____ 既不是奇函数也不是偶函数. 3.已知f(x) = (m2 -l)x2 +(加一1)兀 + /? + 2 为奇函数，则加= _ ,/?= _________ . 4?函数.f (x) = x3-x的图像关于点__________ 对称. 5?函数/(x) = ax3 +/?sinx + l,若/(V3) = 2 ,贝0 /(-V3)的值为 _______________
苏州市学案 函数的奇偶性与对称性 一、课前准备： 【自主梳理】 1.奇偶函数的定义：一般地，对于函数()f x 的定义域内的________一个x ，都有____________，那么()f x 就叫做奇函数．对于函数()f x 的定义域的________一个x ，都有______________，那么()f x 就叫做偶函数． 2．奇偶函数的性质：⑴具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于_________对称． （2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图像关于__________对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图像关于__________对称． （3）若奇函数)(x f 的定义域包含0，则=)0(f ___________． （4）定义在R 上的任意函数)(x f 都可以表示成一个奇函数=)(x g _____________和一个偶函数=)(x h ______________的和． （5）在定义域的公共部分内，两个奇函数之积（商）为___________；两个偶函数之积（商）为____________；一奇一偶函数之积（商）为_____________（注：取商时应使分母不为0）． 3．函数图像的对称性：（1）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于_________对称． （2）定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于_________对称． 【自我检测】 1．对于定义在R 上的函数)(x f ，下列判断正确的是__________． ①若(2)(2)f f -=，则函数()f x 是偶函数；②若(2)(2)f f -≠，则函数()f x 不是偶函数； ③若(2)(2)f f -=，则函数()f x 不是奇函数． 2．给出4个函数：①2 41()3x f x x +=-；②()25 f x x =-+；③1()l g 1x f x x -=+；④1()1 x f x x -=+． 其中 是奇函数； 是偶函数； 既不是奇函数也不是偶函数． 3.已知22 ()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++为奇函数，则=m ______,=n _________． 4.函数x x x f -=3 )(的图像关于点__________对称． 5.函数1sin )(3 ++=x b ax x f ，若2f =，则 (f 的值为___________．
题型一：判断函数奇偶性 1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f (x)±f (-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断． 【例1】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ 1 y x =； ⑵ 422y x x =++； ⑶ 3y x x =+； ⑷ 31y x =-． 【例2】 判断下列函数的奇偶性： ⑴4()f x x =； ⑵5()f x x =； ⑶1()f x x x =+ ； ⑷21()f x x =． 【例3】 判断下列函数的奇偶性并说明理由： ⑴ 221()1x x a f x a +=-(0a >且1)a ≠； ⑵ ()11f x x x =-+-； ⑶ 2()5||f x x x =+． 典例分析 板块二.函数的奇偶性与对称 性
【例4】 判别下列函数的奇偶性： （1）31 ()f x x x =-； （2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 【例5】 判断函数 的奇偶性． 2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数； （2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数； （3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数． 【例6】 判断下列函数的奇偶性： ⑴ ()(f x x =- ⑵ 11 ()()( )12 x f x F x a =+-，其中0a >且1a ≠，()F x 为奇函数． 【例7】 若函数f(x)= 3 (x x)+g(x)是偶函数，且f (x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性． 【例8】 函数()y f x =与()y g x =有相同的定义域，对定义域中任何x ，有 ()()0f x f x +-=，()()1g x g x -=，则2() ()()()1 f x F x f x g x = +-是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数
函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2(c b a + 对称
《必修1》函数专题 η『方法点拨及参考答案或提示』? 函数专题（三）（一）函数奇偶性的概念性质问题 方法要领指点：严格按定义来判断，即考察f(-x)与f(x)关系，熟记复合与合成函数奇偶规律参见『知识与方法梳理知识与方法梳理』4.★判断识真☆1.B.2.B. 【例题1】C .[解析])(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则|f(x)|、|g(x)|都是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数，)(|)(|x g x f 是偶函数，|)(|)(x g x f 是奇函数，|)()(|x g x f 是偶函数，故答案选C （二）函数解析式奇偶性的判断 方法要领指点：要特别注意函数定义域必须关于原点对称.【例题2】[解析]. (1)与函数定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)，不关于原点对称，故为非奇非偶函数; (2)令f(x)=1 2-x 2 ;其定义域为(-2，2），且f(-x)=f(x)， f(x)为偶函数； (3)f(x)=x(2x +1 2(2x -1)),其定义域为{x|x≠0x ∈R}且f(-x)=-x 22-x +12-x -1=x 22x +1 2x -1 ,所以f(x)为偶函数; (5)f(x)定义域为R ，且f(-x)=log 2(-x +x 2+1)= log 1 x +x 2 +1=-log(x +x 2+1)=-f(x),所以f(x)为奇函数. 【例题3】 [解析](1)x>0时，f(x)=x 2-2x,且x<0 f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x 2+2x =-f(x).(2)x <0时，f(x)=-x 2-2x,且-x>0.f(-x)=(-x)2-2(-x)=x 2+2x.=-f(x)(3)x =0时，f(-x)=f(x)=f(0)=0，则有f(-x)=-f(x) 综上，对任意x ∈R 都有f(-x)=-f(x)，即 f(x)是奇函数. ※解法辩伪※ 〖正解〗当x =0时，f(x)=2≠0,所以f(x)不是奇函数， 又∵f(-1)=(-1)2+2(-1)+3=2f(1)=-12+2-3=-2 f(- 1)≠f(1)∴函数f(x)不是偶函数.即f(x)是非奇非偶函数. 【例题4】 [解析]令()x f x x e =+，则()11f e =+， ()111f e --=-+即()()11f f -≠，()()11f f -≠-，所以 x y x e =+既不是奇函数也不是偶函数，而BCD 依次是奇函数、 偶函数、偶函数，故选A. （三）利用对称点求值 1. 分段函数求值 方法要领指点：注意求值点与其对称点的关系以及分段函数取段问题. 【例题5】[解析]g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2)=-3f (g (－1))＝f(-3)=-f(3)=-(32+6)=-15 2.抽象函数求值 方法要领指点：注意求值点与其对称点的关系抽象函数恒等关 系式的赋值利用. 【例题6】[解析]由f (-1＋2)＝f (-1)＋f (2)得f(1)=-f(1)+f(2)，所以f(2)=2f(1)=1. 则f (5)＝f(3+2)=f(3)+f(2)=f(1+2)+1=f(1)+f(2)+1= 5 2 3.合成复合函数求值 方法要领指点：首先要注意判断函数是否具有奇偶对称性，再考虑求值点与其对称点的关系.★判断识真☆ B 解析]f(x)为偶函数，f(-a )= f(a ),点(a ，f (a ))是在图像上的点，故选B 【例题7】 [解析]可证g(x)=ln(1+9x 2-3x 是奇函数， f(lg2)+f(lg 1 2 )=f(lg2)+f(-lg2)=g(lg2)+g(-lg2)+2=2 （四）函数的对称中心和轴 1. 对称轴的判断 方法要领指点：轴对称函数都可以平移转化为偶函数.也可以考虑特殊的点对称排除非轴对称，轴对称函数满足的恒等关系参见『知识与方法梳理』3.x y O
函数对称性、周期性和奇偶 性规律总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
函数对称性、周期性和奇偶性 关岭民中数学组 (一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性） 1、奇偶性:（1） 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f （2）偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 2、奇偶性的拓展 : 同一函数的对称性 （1）函数的轴对称： 函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 若写成：)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =关于直线 2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 证明：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知， )2()(111x a f x f y -==，即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 说明：关于a x =对称要求横坐标之和为2a ，纵坐标相等。 ∵1111(,)(,)a x y a x y +-与 关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ∵1111(,)(2,)x y a x y -与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f -= ∵1111(,)(2,)x y a x y -+与关于x a =对称，∴函数)(x f y =关于a x =对称 ?)2()(x a f x f +=- （2）函数的点对称： 函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义： 对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期。 分段函数的周期：设是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C: 。把个单位即按向量 在其他周期的图像： 。 2、奇偶函数： 设 ①若 ②若。 分段函数的奇偶性 3、函数的对称性： （1）中心对称即点对称： ①点 ② ③
④ ⑤ （2）轴对称：对称轴方程为：。 ① 关于直线 ②函数 关于直线 成轴对称。 ③ 关于直线 成轴对称。 二、函数对称性的几个重要结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 若，则具有周期性； 若，则具有对称性： “内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、图象关于直线对称推论1：的图象关于直线对称 推论2、的图象关于直线对称 推论3、对称 2、的图象关于点对称 推论1、的图象关于点对称 推论2、的图象关于点对称 推论3、的图象关于点对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数与图象关于Y轴对称 2、奇函数与图象关于原点对称函数 3、函数与图象关于X轴对称 4、互为反函数与函数对称 5.函数与图象关于直线对称 推论1:函数与图象关于直线对称 推论2:函数与图象关于直线对称 推论3:函数与图象关于直线对称 （三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性 性质1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x) 易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。 2、复合函数的奇偶性 定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]， 则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。 定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]， 则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是 f[－g(x)]＝－f[g(x)]。