题型04 二次函数的实际应用题
一、单选题
1．如图，隧道的截面由抛物线和长方形OABC 构成，长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ．按照图中所示的平面直角坐标系，抛物线可以用y =﹣
16
x 2
+bx +c 表示．在抛物线型拱璧上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m ．那么两排灯的水平距离最小是( )
A ．2m
B ．4m
C
．
D
．【答案】D
【分析】根据长方形的长OA 是12m ，宽OC 是4m ，可得顶点的横坐标和点C 的坐标，即可求出抛物线解析式，再把y ＝8代入解析式即可得结论． 【详解】根据题意，得
OA =12，OC =4．
所以抛物线的顶点横坐标为6，
即﹣2b a
=13
b =6，∴b =2．
∵C （0，4），∴c =4， 所以抛物线解析式为：
y =﹣
16
x 2
+2x +4 =﹣
16
（x ﹣6）2
+10 当y =8时， 8=﹣
1
6
（x ﹣6）2+10， 解得：x 1
x 2=6﹣
则x 1﹣x 2
．
所以两排灯的水平距离最小是
43．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
2．使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）（0°＜x≤90°）近似满足函数关系y＝ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x 与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为（）
A．33°B．36°C．42°D．49°
【答案】C
【分析】据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可知，物线开口向上，
该函数的对称轴x＞1854
2
且x＜54，
∴36＜x＜54，
即对称轴位于直线x＝36与直线x＝54之间且靠近直线x＝36，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG=1米，AE=AF=x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【详解】S △AEF =
12AE×AF=212x ，S △DEG =12DG×DE=12×1×（3﹣x ）=32
x -，S 五边形EFBCG =S 正方形ABCD ﹣S △AEF ﹣S △DEG =213922x x --
-=21115222x x -++，则y=4×（21115
222
x x -++）=22230x x -++，∵AE ＜AD ，∴x ＜3，综上可得：2
2230y x x =-++（0＜x ＜3）．故选A ． 考点：动点问题的函数图象；动点型．
4．某建筑物，从10m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状（抛物线所在的平面与墙面垂直），如图所示，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面
40
3
m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是（ ）
A ．2m
B ．3m
C ．4m
D ．5m
【答案】B
【分析】以OB 为x 轴，OA 为y 轴建立平面直角坐标系，A 点坐标为（0，10），M 点的坐标为（1，40
3
），设出抛物线的解析式，代入解答球的函数解析式，进一步求得问题的解． 【详解】解：设抛物线的解析式为y ＝a (x ﹣1)2
+
403
， 把点A （0，10）代入a (x ﹣1)2
+
403，得a (0﹣1)2+403
＝10， 解得a ＝﹣
10
3
， 因此抛物线解析式为y ＝﹣
103(x ﹣1)2+403
， 当y ＝0时，解得x 1＝3，x 2＝﹣1（不合题意，舍去）；
即OB ＝3米． 故选B ．
【点睛】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式的运用，运用抛物线的解析式解决实际问题．解答本题是时设抛物线的顶点式求解析式是关键．
5．超市有一种“喜之郎“果冻礼盒，内装两个上下倒置的果冻，果冻高为4cm ，底面是个直径为6cm 的圆，轴截面可以近似地看作一个抛物线，为了节省成本，包装应尽可能的小，这个包装盒的长AD(不计重合部分，两个果冻之间没有挤压)至少为( )
A ．(6cm +
B ．(6cm +
C ．(6cm +
D ．(6cm +
【答案】A
【分析】设：左侧抛物线的方程为：2y ax =，点A 的坐标为()3,4-，将点A 坐标代入上式并解得：4
a 9
=
，由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，将y 2=代入抛物线表达式，即可求解． 【详解】解：设左侧抛物线的方程为：2
y ax =， 点A 的坐标为()3,4-，将点A 坐标代入上式并解得：4a 9
=， 则抛物线的表达式为：2
4y x 9
=
， 由题意得：点MG 是矩形HFEO 的中线，则点N 的纵坐标为2，
将y 2=代入抛物线表达式得：242x 9=，解得：x 2
=(负值已舍去)，
则AD 2AH 2x 6=+=+ 故选：A ．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用.首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后求解．
6．小悦乘座中国最高的摩天轮“南昌之星”，从最低点开始旋转一圈，她离地面的高度y （米）与旋转时间x （分）之间的关系可以近似地用二次函数来刻画．经测试得出部分数据如表．根据函数模型和数据，可推断出南昌之星旋转一圈的时间大约是（ ）
A ．32分
B ．30分
C ．15分
D ．13分
【答案】B
【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于14.7小于16.0之间，由此不难找到答案． 【详解】最值在自变量大于14.7小于16.0之间， 所以最接近摩天轮转一圈的时间的是30分钟． 故选：B ．
【点睛】此题考查二次函数的实际运用，利用表格得出函数的性质，找出最大值解决问题．
7．如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a （x ﹣k ）2+h ．已知球与D 点的水平距离为6m 时，达到最高2.6m ，球网与D 点的水平距离为9m ．高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ，则下列判断正确的是（ ）
A ．球不会过网
B ．球会过球网但不会出界
C ．球会过球网并会出界
D ．无法确定
【答案】C
【分析】（1）将点A (0,2)代入2
(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x =9和x =18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．
【详解】根据题意,将点A (0,2)代入2
(6) 2.6y a x =-+， 得：36a +2.6=2， 解得：1
60
a ，=-
∴y 与x 的关系式为21
(6) 2.660
y x =-
-+；
当x =9时,()2
196 2.6 2.45 2.4360
y =-
-+=>，
∴球能过球网， 当x =18时,()2
1186 2.60.2060
y =--+=>，
∴球会出界. 故选C.
【点睛】考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 8．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( )
A ．2
26675
y x =
B ．2
26675
y x =-
C ．2
131350
y x =
D ．2
131350
y x =-
【答案】B
【分析】设抛物线解析式为y=ax 2，由已知可得点B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. 【详解】∵拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax 2，点B(45，-78)， ∴-78=452a ， 解得：a=26675
-
， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为2
26675
y x =-， 故选B.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.
9．如图，公园中一正方形水池中有一喷泉，喷出的水流呈抛物线状，测得喷出口高出水面0.8m ，水流在离
喷出口的水平距离1.25m处达到最高，密集的水滴在水面上形成了一个半径为3m的圆，考虑到出水口过高影响美观，水滴落水形成的圆半径过大容易造成水滴外溅到池外，现决定通过降低出水口的高度，使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面（）
A．0.55米B．11
30
米C．
13
30
米D．0.4米
【答案】B
【分析】如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，由题意得到对称轴为x＝1.25＝5
4
，A（0，0.8），C（3，
0），列方程组求得函数解析式，即可得到结论．
【详解】解：如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，
由题意得，对称轴为x＝1.25＝5
4
，A（0，0.8），C（3，0），
设解析式为y＝ax2+bx+c，
∴
930
5
24
0.8
a b c
b
a
c
++=
?
??
-=
?
?
=
??
，
解得：
8
15
4
3
4
5
a
b
c
?
=-
?
?
?
=
?
?
?
=
?
?
，
所以解析式为：y＝
8
15
-x2+
4
3
x+
4
5
，
当x＝2.75时，y＝13 30
，
∴使落水形成的圆半径为2.75m，则应把出水口的高度调节为高出水面08﹣13
30
＝
11
30
，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系，找到点的坐标，用待定系数法解出函数解析式是解题的关键
10．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A出发，沿箭头所示方向经过点B跑到点C，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t（单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这个固定位置可能是图1中的（）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
【答案】D
【详解】解：A、假设这个位置在点M，则从A至B这段时间，y不随时间的变化改变，与函数图象不符，故本选项错误；
B、假设这个位置在点N，则从A至C这段时间，A点与C点对应y的大小应该相同，与函数图象不符，故本选项错误；
C、，
假设这个位置在点P，则由函数图象可得，从A到C的过程中，会有一个时刻，教练到小翔的距离等于经过30秒时教练到小翔的距离，而点P不符合这个条件，故本选项错误；
D、经判断点Q符合函数图象，故本选项正确；
故选D ． 二、填空题
11．某运动员对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y (米)与水平距离x (米)之间的关系为2125
1233
y x x =-++，由此可知该运动员此次实心球训练的成绩为____米． 【答案】10
【分析】根据铅球落地时，高度y=0，把实际问题可理解为当y=0时，求x 的值即可． 【详解】当y=0时，
2125
01233
x x -
++= 解得，x=-2（舍去），x=10． 故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．
12．汽车刹车后行驶的距离s (单位：m )关于行驶的时间t (单位：s )的函数解析式是2126s t t =-．汽车刹车后到停下来前进了m ______． 【答案】6
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出s 的值. 【详解】解：根据二次函数解析式2126s t t =-=-6(t2-2t+1-1)=-6(t-1) 2+6 可知，汽车的刹车时间为t=1s ，
当t=1时，2126s t t =-=12×1-6×12=6(m) 故选：6
【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，理解透题意是解题的关键．
13．如图，一款落地灯的灯柱AB 垂直于水平地面MN ，高度为1.6米，支架部分的形为开口向下的抛物线，其顶点C 距灯柱AB 的水平距离为0.8米，距地面的高度为2.4 米，灯罩顶端D 距灯柱AB 的水平距离为1.4米，则灯罩顶端D 距地面的高度为______米．
【答案】1.95
【分析】以点B 为原点建立直角坐标系，则点C 为抛物线的顶点，即可设顶点式y ＝a （x ?0.8）2＋2.4，点A 的坐标为（0，1.6），代入可得a 的值，从而求得抛物线的解析式，将点D 的横坐标代入，即可求点D 的纵坐标就是点D 距地面的高度
【详解】解：
如图，以点B为原点，建立直角坐标系．
由题意，点A（0，1.6），点C（0.8，2.4），则设顶点式为y＝a（x?0.8）2＋2.4
将点A代入得，1.6＝a（0?0.8）2＋2.4，解得a＝?1.25
∴该抛物线的函数关系为y＝?1.25（x?0.8）2＋2.4
∵点D的横坐标为1.4
∴代入得，y＝?1.25×（1.4?0.8）2＋2.4＝1.95
故灯罩顶端D距地面的高度为1.95米
故答案为1.95.
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．14．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m （篱笆的厚度忽略不计），当AB=_____m时，矩形土地ABCD的面积最大．
【答案】150
【分析】根据题意可以用相应的代数式表示出矩形绿地的面积，利用函数的性质即可解答本题．
【详解】解：设AB=xm，则BC=1
2
（900﹣3x），
由题意可得，S=AB×BC= 1
2
（900﹣3x）x=﹣
3
2
（x2﹣300x）=﹣
3
2
（x﹣150）2+33750，
∴当x=150时，S取得最大值，此时，S=33750，
∴AB=150m，
故答案为150．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求出最值．
15．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，
小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝﹣5x2+20x，在飞行过程中，当小球的行高度为15m时，则飞行时间是_____．
【答案】1s或3s
【分析】根据题意可以得到15=﹣5x2+20x，然后求出x的值，即可解答本题．
【详解】∵y=﹣5x2+20x，
∴当y=15时，15=﹣5x2+20x，得x1=1，x2=3，
故答案为1s或3s．
【点睛】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和一元二次方程的知识解答．
16．某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件．若使利润最大，每件的售价应为______元．
【答案】25
试题分析：设最大利润为w元，则w=（x﹣20）（30﹣x）=﹣（x﹣25）2+25，∵20≤x≤30，∴当x=25时，二次函数有最大值25，故答案为25．
考点：1．二次函数的应用；2．销售问题．
17．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=
?1
x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两40
盏灯的水平距离EF是______米.(精确到1米)
【答案】8√5
由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就
是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．
x2+10=8，
故有?1
40
即x2=80，x1=4√5，x2=?4√5．
所以两盏警示灯之间的水平距离为：|x1?x2|=|4√5?（?4√5）|=8√5≈18（m）
18．小明制作了一张如图所示的贺卡. 贺卡的宽为xcm，长为40cm，左侧图片的长比宽多4cm. 若1416
x，则右侧留言部分的最大面积为_________2
cm.
【答案】320
【分析】先求出右侧留言部分的长，再根据矩形的面积公式得出面积与x 的函数解析式，利用二次函数的图像与性质判断即可得出答案.
【详解】根据题意可得，右侧留言部分的长为(36-x)cm
∴右侧留言部分的面积()()
()2
2
363632432418324x x x x x =-=--++=--+
又14≤x≤16
∴当x=16时，面积最大()2
1618324320=--+=(2
)cm
故答案为320.
【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，比较简单，解题关键是根据题意写出面积的函数表达式. 19．甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P ，羽毛球飞行的水平距离s （米）与其距地面高度h （米）之间的关系式为2123
1232
h s s =-++，如图，已知球网AB 距原点5米，乙（用线段CD 表示）扣球的最大高度为
9
4
米，设乙的起跳点C 的横坐标为m ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m 的取值范围是__________．
【答案】54m <<
当94h =
时，21239
12324
S S -++=，解得4S = ∵扣球点必须在球网右边，即5m >，
∴54m <<．
点睛：本题主要考查了二次函数的应用题，求范围的问题，可以选取h 等于最大高度，求自变量的值，再根据题意确定范围．
20．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为(0，4)，(6，4)，机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是_____．
【答案】﹣4
5
＜a＜
4
7
【分析】根据题意可以知道抛物线与线段AB有一个交点，根据抛物线对称轴及其与y轴的交点即可求解．【详解】解：由题意可知：
∵点A、B坐标分别为（0，4），（6，4），
∴线段AB的解析式为y＝4．
机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．
抛物线对称轴方程为：x＝2，
机器人在运动过程中只触发一次报警，
所以抛物线与线段y＝4只有一个交点．
所以抛物线经过点A下方．
∴﹣5a＜4
解得a＞﹣4
5
．
4＝ax2﹣4ax﹣5a，△＝0
即36a2+16a＝0，
解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝4
9
．
当抛物线恰好经过点B时，即当x＝6，y＝4时，
36a﹣24a﹣5a＝4，
解得a＝4 7
综上：a 的取值范围是﹣
45＜a ＜47
【点睛】本题考查二次函数的应用,关键在于熟悉二次函数的性质,结合图形灵活运用. 三、解答题
21．在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本.已知购买2支钢笔和3个笔记本共38元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元. （1）钢笔、笔记本的单价分别为多少元？
（2）经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售.笔记本一律按原价销售.学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？
【答案】（1）钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元；（2）当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元. 【分析】（1）钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元，根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设钢笔的单价为a 元，购买数量为b 元，支付钢笔和笔记本的总金额w 元，①当30≤b≤50时，求得w=-0.1（b-35）2
+722.5，于是得到700≤w≤722.5；②当50＜b≤60时，求得w=8b+6（100-b ）=2b+600，700＜w≤720，于是得到当30≤b≤60时，w 的最小值为700元，于是得到结论． 【详解】（1）设钢笔、笔记本的单价分别为x 、y 元.根据题意可得
2338
4570x y x y +=??
+=?
解得：106x y =??=?
.
答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元.
（2）设钢笔单价为a 元，购买数量为b 支，支付钢笔和笔记本总金额为W 元. ①当30≤b≤50时，
100.1(30)0.113a b b =--=-+
w=b （-0.1b+13）+6（100-b ）
20.17600b b =-++
20.1(35)722.5b =--+
∵当30b =时，W=720，当b=50时，W=700 ∴当30≤b≤50时，700≤W≤722.5 ②当50＜b≤60时， a=8，
86(100)2600,W b b b =+-=+
∵700720W <≤
∴当30≤b≤60时，W 的最小值为700元
∴当一等奖人数为50时花费最少，最少为700元.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，二元一次方程组的应用，正确的理解题意求出二次函数的解析式是解题的关键．
22．某超市销售一种文具，进价为5元/件．售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（6x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．
（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；
（3）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润． 【答案】（1）2
10210800=-+-y x x ；（2）当天销售单价所在的范围为813≤≤x ；（3）每件文具售价为9元时，最大利润为280元.
【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，
（2）由（1）的关系式，即240y ≥，结合二次函数的性质即可求x 的取值范围
（3）由题意可知，利润不超过80%即为利润率＝（售价－进价）÷售价，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，即可求． 【详解】解： 由题意
（1）26(5)1005102108000.5x y x x x -?
?
=--
?=-+- ???
故y 与x 的函数关系式为：2
10210800=-+-y x x （2）要使当天利润不低于240元，则240y ≥，
∴()2
2102108001010.5302.5240y x x x =-+-=--+= 解得，128,13x x ==
∵100-<，抛物线的开口向下， ∴当天销售单价所在的范围为813≤≤x （3）∵每件文具利润不超过80% ∴
5
0.8x x
-≤，得9x ≤ ∴文具的销售单价为69x ≤≤，
由（1）得()2
2102108001010.5302.5y x x x =-+-=--+ ∵对称轴为10.5x =
∴69x ≤≤在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大
∴当9x =时，取得最大值，此时()2
10910.5302.5280y =--+= 即每件文具售价为9元时，最大利润为280元
【点睛】考核知识点：二次函数的应用.把实际问题转化为函数问题解决是关键.
23．某驻村扶贫小组实施产业扶贫，帮助贫困农户进行西瓜种植和销售.已知西瓜的成本为6元/千克，规定销售单价不低于成本，又不高于成本的两倍.经过市场调查发现，某天西瓜的销售量y (千克)与销售单价
x (元/千克)的函数关系如下图所示：
(1)求y 与x 的函数解析式(也称关系式)； (2)求这一天销售西瓜获得的利润的最大值.
【答案】(1)y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ?-+≤≤?
=?<≤??
；(2)这一天销售西瓜获得利润的最大
值为1250元.
【分析】(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，利用待定系数法求得k 、b 的值即可；当10＜x≤12时，由图象可知y ＝200，由此即可得答案；
(2))设利润为w 元，当6≦x≤10时，w ＝－200
2
172
x -（）＋1250，根据二次函数的性质可求得最大值为1250；当10＜x≤12时，w ＝200x －1200，由一次函数的性质结合x 的取值范围可求得w 的最大值为1200，两者比较即可得答案.
【详解】(1)当6≤x≤10时，由题意设y ＝kx ＋b(k ＝0)，它的图象经过点(6，1000)与点(10，200)， ∴1000620010k b
k b =+??
=+?
，
解得200
2200k b =-??
=?
，
∴当6≤x≤10时， y ＝-200x+2200， 当10＜x≤12时，y ＝200，
综上，y 与x 的函数解析式为()()20022006102001012x x y x ?-+≤≤?=?<≤??
；
(2)设利润为w 元，
当6≤x≤10时，y ＝－200x ＋2200，
w ＝(x －6)y ＝(x －6)(－200x ＋200)＝－200
2
172
x -（）＋1250， ∵－200＜0，6≦x≤10， 当x ＝
17
2
时，w 有最大值，此时w=1250； 当10＜x≤12时，y ＝200，w ＝(x －6)y ＝200(x －6)＝200x －1200， ∴200＞0，
∴w ＝200x －1200随x 增大而增大， 又∵10＜x≤12，
∴当x ＝12时，w 最大，此时w=1200， 1250＞1200， ∴w 的最大值为1250，
答：这一天销售西瓜获得利润的最大值为1250元.
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，涉及了待定系数法，二次函数的性质，一次函数的性质等，弄清题意，找准各量间的关系是解题的关键.
24．某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，某村组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种士特产每袋成本10元.试销阶段每袋的销售价x （元）与该士特产的日销售量y （袋）之间的关系如表：
（1）日销售量y （袋）与销售价x （元）的函数关系式；
（2）假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？
【答案】（1）y ＝﹣x +40；（2）要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元.
【分析】(1)根据表格中的数据，利用待定系数法，求出日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式即可 (2)利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可.
【详解】(1)依题意，根据表格的数据，设日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为y ＝kx+b 得
25152020k b k b =+??
=+?，解得1
40k b =-??=?
，
故日销售量y(袋)与销售价x(元)的函数关系式为：y ＝﹣x+40； (2)依题意，设利润为w 元，得 w ＝(x ﹣10)(﹣x+40)＝﹣x 2
+50x+400， 整理得w ＝﹣(x ﹣25)2+225， ∵﹣1＜0，
∴当x ＝2时，w 取得最大值，最大值为225，
故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元. 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
25．某政府工作报告中强调，2019年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店,A B 两种湘莲礼盒一个月的销售情况，A 种湘莲礼盒进价72元/盒，售价120元/盒，B 种湘莲礼盒进价40元/盒，售价80元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的销售总额为2800元，平均每天的总利润为1280元．
（1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？
（2）小亮调査发现，A 种湘莲礼盒售价每降3元可多卖1盒．若B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当A 种湘莲礼盒降价多少元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？
【答案】（1）该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒；（2）当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
【分析】（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，列二元一次方程组即可解题 （2）根据题意，可设A 种礼盒降价m 元/盒，则A 种礼盒的销售量为：（103
m
+
）盒，再列出关系式即可． 【详解】解：（1）根据题意，可设平均每天销售A 礼盒x 盒，B 种礼盒为y 盒，
则有(12072)(8040)1280120802800x y x y -+-=??+=?，解得1020x y =??=?
故该店平均每天销售A 礼盒10盒，B 种礼盒为20盒． （2）设A 种湘莲礼盒降价m 元/盒，利润为W 元，依题意 总利润(12072)108003m W m ?
?
=--+
+ ???
化简得2
2
1161280(9)13073
3
W m m m =-++=--+ ∵1
03
a =-
< ∴当9m =时，取得最大值为1307，
故当A 种湘莲礼盒降价9元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是1307元．
【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．
26．随着5G 技术的发展，人们对各类5G 产品的使用充满期待.某公司计划在某地区销售第一款5G 产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化.设该产品在第x （x 为正整数）个销售周期每台的销售价格为y 元，y 与x 之间满足如图所示的一次函数关系. （1）求y 与x 之间的关系式；
（2）设该产品在第x 个销售周期的销售数量为p （万台），p 与x 的关系可用11
22
p x =
+来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？
【答案】（1）y 与x 之间的关系式为5007500y x =-+；（2）第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元.
【分析】（1）根据两点坐标即可求出一次函数的解析式；
（2）根据题意令销售收入W=py ，再根据二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设y 与x 之间的关系式为y=kx+b ， 把（1，7000），（5,5000）代入y=kx+b ，
得700050005k b k b =+??=+?，解得500
7500k b =-??=?
∴y 与x 之间的关系式为5007500y x =-+；
（2）令销售收入W=py=11()(5007500)22
x x +-+=2
250(7)16000x --+
∴当x=7时，W 有最大值为16000， 此时y=-500×7+7500=4000
故第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元.
【点睛】此题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与二次函数的图像与性质.
27．某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元/kg ．设第x 天的销售价格为y （元/kg ），销售量为()m kg ．该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律：①当130x 时，y=40；当3150
x
时，y 与x 满足一次函数关系，且当36x =时，37y =；44x =时，33y =．②m 与x 的关系为550m x =+． （1）当3150x 时，y 与x 的关系式为 ；
（2）x 为多少时，当天的销售利润W （元）最大？最大利润为多少？
（3）若超市希望第31天到第35天的日销售利润W （元）随x 的增大而增大，则需要在当天销售价格的基础上涨a 元/kg ，求a 的最小值． 【答案】（1）1
552
y x =
+；（2）x 为32时，当天的销售利润W （元）最大，最大利润为4410元；（3）3 【分析】（1）依据题意利用待定系数法，易得出当3150x 时，y 与x 的关系式为：1
552
y x =
+， （2）根据销售利润＝销售量×（售价﹣进价），列出每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）要使第31天到第35天的日销售利润W （元）随x 的增大而增大，则对称轴352b
a
=，求得a 即可 【详解】（1）依题意，当x=36时，37;44y x ==时，y=33， 当3150x 时，设y kx b =+，
则有37363344k b k b =+??=+?，解得1255
k b ?
=-???=?
y ∴与x 的关系式为：1
552
y x =
+ （2）依题意，
(18)W y m =-?
(4018)(550),
(130)155(550),(3150)2
x x W x x x -?+??∴=???
-++ ????? 整理得， 21101100,(130)51601850,(3150)2
x x W x x x +??
=?-++??
当130x 时，
W 随x 增大而增大
30x ∴=时，取最大值3011011004400W =?+=
当3150x 时，
2255
1601850(32)441022
W x x x =
++=-+