高等数学第21章第6节重积分的应用

第二十一章 重 积 分

§6 重积分的应用

一 曲面的面积

设D 为可求面积的平面有界区域，函数),(y x f 在D 上具有连续的一阶偏导数，讨论由方程D y x y x f z ∈=),(),,(所确定的曲面S 的面积。

分析:为了定义曲面S 的面积，对区域D 作分割T ，它把D 分成n 个小区域).,2,1(n i i =σ根据这个分割相应地将曲面S 也分成n 个小曲面片).,2,1(n i S i =在每个i S 上任取一点i M ,作曲面在这一点的切平面

i π,并在i π上取出一小块i A ,使得i A 与i

S 在xy 平面上的 投影都是i σ,如图21-36所示.现在点i M 附近,用切平面i A 代替小曲面片i S ,从而当T 充分小时,有∑=?=?n i i

S S 1∑=?≈n

i i

A 1

,这里i

i A

S S ???,,分别表示曲面S,小曲面片i S ,小切平面块i A 的面积.

现在按照上述给出的曲面面积的概念,来建立曲面面积的计算公式.

分析:首先计算i A 的面积.由于切平面i π的法向量就是曲面S 在),,(i i i i M ζηξ处的法向量,记它与z 轴的夹角为i γ,则.)

,(),(11

cos 2

2

i i y i i x i f f ηξηξγ++=

因为i A 在xy 平面上的投影为i σ，所以i i i y i i x i

i i f f A σηξηξγσ?++=?=

?),(),(1cos 2

2.

其次，由于和数

i i i y i i x n

i i n

i f f A σηξηξ?++=?∑

∑

==),(),(12

2

1

1

是连续函数

),(),(12

2y x f y x f y x ++在有界闭区域D 上的积分和,于是当0→T ,就得到

lim

0→=?T S ∑

=n

i 1

i i i y i i x f f σηξηξ?++),(),(12

2

??

=D

dxdy y x f y x f y x ),(),(12

2++ (1)

或

lim 0→=

?T S ??

∑

=?=D

n

i i i z n dxdy

),cos(cos 1

γσ, (2) 其中),cos(z n 为曲面的法向量与z 轴正向夹角的余弦． 例1 求圆锥22y x z +=

在圆柱体x y x ≤+22内那一部分的面积．

解 据曲面面积公式(1)，

??++=?D

y x dxdy z z S 221,

其中D 是x y x ≤+22.所求曲面方程为

22y x z +=

,

故

2

2

2

2

,y

x y z y

x x z y x +=

+=

.

因此

2112

222222

2

=++++=++y

x y y x x z

z

y

x

, 所以

.4

2

22π=

?==

???

D dxdy S D

▌ ☆☆☆ 以下为选讲内容, 不作基本要求.

若空间曲面S 由参量方程

D v u v u z z v u y y v u x x ∈===),(),,(),,(),,( (3)

确定，其中),(v u x ，),(v u y ,),(v u z 在D 上具有连续的一阶偏导数，且

),(),(v u y x ?? ),(),(v u z y ?? )

,()

,(v u x z ??

中至少有一个不等于零，则曲面S 在点),,(z y x 的法线方向数为

(

),(),(v u y x ??,),(),(v u z y ??,)

,()

,(v u x z ??)

它与z 轴的夹角的余弦的绝对值为

2

22))

,(),(()),(),(()),(),((

)

,(),(),cos(v u y x v u x z v u z y v u y x z n ??+??+????=

)

())(()

,()

,(2

2

2

22

2v u v u v u v v

v

u u

u

z z y y x x z y

x

z y

x

v u y x ++-++++??=

,1)

,(),(2

F

EG v u y x -??=

(4)

其中

=E u u u z y x 222++, F=v u v u v u z z y y x x ++, G=v v v z y x 222++.

当

)

,()

,(v u y x ??0≠时,对(2)作变换=x ),(v u x ,=y ),(v u y ,则有

dudv v u y x z n dxdy z n S D

D

),()

,(),cos(1),cos(1??==?????

.

由(4)，得到由参量方程(3)所表示的曲面面积公式：

??-=?'

2D dudv F EG S . (5)

例2 求球面上两条纬线和两条经线之间的曲面的面

积(图21—37中阴影部分)． 解: 设球面方程为 ?φcos cos R x =, ?φsin cos R y =, φsin R z =,

其中R 为球的半径．本例是求当2121,φφφ???≤≤≤≤时的球面部分面积．由于2222

R z y x E =++=φφφ

, φ22cos ,0R G F ==,

所以

.cos 22φR F EG =-

由公式(5)即得所求曲面面积．).sin )(sin (cos 1212222

1

2

1

φφ??φφ?φφ??

--==

???R d R d S ▌

二 重心

分析:设V 是密度函数为),,(z y x ρ的空间物体，),,(z y x ρ在V 上连续．为求得V 的重心坐标公式，先对V 作分割T ，在属于分割T 的每一小块i v 上任取一点(i i i ?ηξ,,)，于是小块i v 的质量可以ρ（i i i ?ηξ,,）?i v 近似代替．若把每一小块看作质量集中在(i i i ?ηξ,,)的质点时，整个物体就可用这n 个质点的质点系来近似代替．由于质点系的重心坐标公式为

∑∑==??=

n

i i

i

i

i

n

i i

i

i

i

i

n v v x 1

1),,(),,(ζ

ηξρζ

ηξρξ,∑∑==??=

n

i i

i

i

i

n

i i

i

i

i

i

n v v y 1

1),,(),,(ζ

ηξρζ

ηξρη,∑∑==??=

n i i

i

i

i

n

i i

i i i i

n v v z 1

1),,(),,(ζ

ηξρζηξρζ

由此我们得到如下结论:

结论．．1: ．．在上述分析中．．．．．．,．当．0→T 时．,．,,,n n n z y x 的极限．．．z y x ,,即为．．V ．的重心坐标，即．．．．．．．

??????=

V

V

dV

z y x dV

z y x x x ),,(),,(ρρ, ．

??????=V

V

dV

z y x dV

z y x y y ),,(),,(ρρ, ．

.),,(),,(??????=V

V

dV

z y x dV

z y x z z ρρ

注．

：1）当物体V 的密度均匀即ρ为常数时，则有 ,1,1,1

??????????=

?=

?=V

V

V

zdV V

z ydV V

y xdV V

x

这里V ?为V 的体积．

2)密度分布为),(y x ρ的平面薄板D 的重心坐标是

.),(),(,),(),(????????=

=

D

D

D

D

d y x d y x y y d y x d y x x x σ

ρσ

ρσ

ρσ

ρ

3)当平面薄板D 的密度均匀时，即ρ是常数时，则有

.1

,1?????=?=

D

D yd D y xd D x σσ 这里D ?为平面薄板D 的面积．

例3 求密度均匀的上半椭球体的重心．

解: 设椭球体由不等式122

2222≤++c

z b y a x 表示．由对称性知0,0==y x .又由ρ为常

数，所以 .3

2

abc zdxdydz

dV

zdV z V

V

V

πρρ?????????=

=

由§5例5得 .8

3c

z =

▌ 三 转动惯量

分析: 质点A 对于轴l 的转动惯量J 是质点A 的质量m 和A 与转动轴l 的距离r 的平方的乘积，即2

mr J =.

现在讨论空间物体V 的转动惯量问题．

我们把V 看作由n 个质点组成的质点系，然后用取极限的方法求得V 的转动惯量． 设),,(z y x ρ为空间物体V 的密度分布函数，它在V 上连续．对V 作分割T ，在属于T 的每一小块i v 上任取一点(i i i ζηξ,,)，于是i v 的质量可以i i i i v ?),,(ζηξρ近似替代．当以质点{}n i i i i ,,2,1),,,( =ζηξ近似替代V 时，质点系对于x 轴的转动惯量则是 .),,()(1

22

∑=?+=n

i i i i i i i x v J n ζηξρζη

由此我们给出如下定义:

结论．．2:．． 在上述分析中．．．．．．,．当．0→T 时，上述积分和．．．．．．．.

),,()(1

22∑=?+=n

i i i i i i i x v J n ζηξρζη

的极限就是物体．．．．．．．V ．对于．．x ．轴的转动惯量．．．．．． .),,()(2

2???+=

V

x dV z y x z y J ρ 结论．．3:．．类似可得物体．．．．．．V ．对于．．y 轴与．．z 轴的转动惯量分别为．．．．．．．．．

??????+=+=V

z V

y dV z y x y x J dV z y x x z J .

),,()(,

),,()(2

222ρρ

同理，物体．．．．．V ．对于坐标平面的转动惯量分别为．．．．．．．．．．．．．．

?????????==

=V

zx V

yz V

xy dV z y x y J dV z y x x J dV z y x z J .

),,(,),,(,

),,(22

2ρρρ

据此，也可建立平面薄板对于坐标轴的转动惯量：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

????==

D

y D

x d y x x J d y x y J σρσρ),(,),(22 以及．．

??=

D

l d y x y x r J ,),(),(2

σρ 这里．．l 为转动轴，．．．．．),(y x r 为．D ．中点．．),(y x 到．l 的距离函数。．．．．．．

例4 求密度均匀的圆环D 对于垂直与圆环面中心轴的转动惯量（图21-38）。

解: 设圆环D 为 ,2

22221R y x R ≤+≤密度为ρ，则D 中任一点),(y x 与转轴的距离平方

为.22y x +于是转动惯量

????=+?=D

R R dr r d d y x J π

θρσρ20

3222

1

)()(2

)(2

212

21

424R R m R R +=

-=

πρ

其中m 为圆环的质量。

例5 求均匀圆盘D 对于其直径的转动惯量（图21-39）。

解 设圆盘D 为,222R y x ≤+密度为ρ，求对于y 轴的转动惯量。由于D 内任一点),(y x 与y 轴的距离为x ，故

?????==D

R

rdr r d d x J πθθρσρ20

2

2

)cos (???=π

θθρ200

3

2

cos R

dr r d ,4

1

4

24

mR R =

=

ρπ 其中m 为圆盘的质量。

例6 设某球体的密度与球心的距离成正比，求它对于切平面的转动惯量。

解 设球体由不等式2

222R z y x ≤++表示，密度函数为222z y x k ++，

这里k 为比例常数。切平面方程为R x =，则球体对于平面R x =的转动惯量为 dxdydz x R z y x k

J V

2222)(-++=???

?

??-=π

π?θ??θ200

32sin )cos sin (R

dr r r R d d k

????-=πππ

θθ??θ20

20

3

2

.cos 2sin R

d kR d dr r d kR

?

???+π

π

π

??θθ??0

200

3522sin cos sin R

d dr r d k d

.9

11

6R k π= ▌ 四 引力

分析:求密度为),,(z y x ρ的立体对立体外质量为1的质点A 的引力。设A 的坐标为

),,(ζηξ，V 中点的坐标用),,(z y x 表示。我们使用微元法来求V 对A 的引力。V 中质量

微元dV dm ρ=对A 的引力在坐标轴上的投影为 ,,,3

33dV r

z k dF dV r y k dF dV r x k dF z y x ρζ

ρηρξ-=-=-= 其中k 为引力系数， 222)()()(ζηξ-+-+-=

z y x r 是A 到dV 的距离。于是力F 在三个坐标轴上

的投影分别为

???

???-=-=V

V y x dV r y k F dV r x k F ,,33ρηρξF ,3???-=V

z dV r z k ρ?

所以 .k F j F i F F z y x ++=

例7 (选讲) 设球体V 具有均匀的密度ρ，求V 对球外一点A （质量为1）的引力 （引力系数为k ）.

解 设球体为2

2

2

2

R z y x ≤++，球外一点A 的坐标为（a ,0,0）（a R <）. 显然有0==y x F F ，现在计算z F .由上述公式，

[]

dxdydz a z y x

a

z k F V

z ρ???

-++-=2

/322

2

)

(

[]

,)

()(2

/322

2

???

--++-=R

R

D

a z y x

dxdy

dz a z k ρ

其中{}

.),(2

222z R y x y x D -≤+=用柱坐标计算：

[]

dr a z r

r

d dz a z k F z R R R

z ?

??---+-=2

20

2

/322

20

)

()(π

θρ

?-+---

-=R

R

dz a

az R a z k )21(22

2

ρπ

.343

2k R a

ρπ-

=

高等数学定积分应用

第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求： 使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等） 二、本章各节教学内容及学时分配： 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点： 找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤： （1）画出图形； （2）将这个图形分割成n 个部分，这n 个部分的近似于矩形或者扇形； （3）计算出面积元素； （4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6．2定积分在几何中的应用

一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-，面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=，)(2x y ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =，b x =；不够时由)(1x ?)(2x ?=解出， b x a ≤≤，)()(21x y x ??≤≤，面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-，面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步：在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=，)(2y x ?=. 第二步：在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =，d y =；不够时由)(1y ?)(2y ?=解出， d y c ≤≤，)()(21y x y ??≤≤，面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ，12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ，1222+=-x x ，1-=x ，3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ，于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =，4+=y x 得，4,2=-=y y ，当42<<-y 时 45.02+

高等数学 第七章 定积分的应用

第七章定积分的应用 一、本章提要 1.基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2．基本公式 平面曲线弧微元分式． 3.基本方法 (1)用定积分的微元法求平面图形的面积， (2)求平行截面面积已知的立体的体积， (3)求曲线的弧长， (4)求变力所作的功， (5)求液体的侧压力， (6)求转动惯量， (7)求连续函数f(x)在[]b a,区间上的平均值， (8)求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q必须满足条件：（1）Q与变量x和x的变化区间[]b a,以及定义在该区间上某一函数f(x)有关；（2）Q在[]b a, 上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x），并确定积分变量的变化区间[]b a,； （2）取近似找微分：在[]b x d ,+，当x d很小时运用“以 x a,内任取一代表性区间[]x 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d=()d Q f x x≈Q ?为量Q在小 ?（Q 区间[]x ,+上所分布的部分量的近似值）； x x d

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x = ?? ． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ? ---== R R R R x x R A A d 2d 2 2=2 πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 2 2π20 2 π20 ππ22 1d 2 1d R R R A A =?= = = ? ? θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

高等数学定积分的应用

授课单元12教案

教学内容 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的f (?)?x 的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最近似值，即表成乘积 iinb ??????x ?ff ?xdx ?lim （即整体量） 后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分． iia 0??1i ? 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实 ??b ,aQ 的定积分的方法简化成下面的上的某个量际应用时，为了方便，一般把计算在区间 ： 两步： x [a ,b ] ，求出积分区间确定积分变量1） （[x ,x ?dx ]]a ,b [ ，并在该小区间上找出所求量Q ） 在区间上，任取一小区间的微分元（2素 dQf (x )dx ＝b Q 的定积分表达式（3） 写出所求量?dxxQ ?)f (a 用以上两步来解决实际问题的方 法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 b ? f (?x )dxA oxba ,x ?x ?)(xy ?f 1、 ．由 轴所围成图形面积公式 及，a

d????(y?)dyA y dy,x??(y),y?c1及、轴所围成图形面积公式c3xy?2x??1,x?例求曲线轴所 ???xxdxs???dx解 围成的图形面积及x与直线172033 40?1??????????xxxy?yyx?yy?yx?a,x?b(a?b)所围2、和由两条连续曲线与直线 ?dxyy?xx?A）的面积成平面图形（如图112a 2211b??????

高等数学典型例题与应用实例(重积分B部分)

例 利用二重积分的性质，估计积分 2222(2)d D x y x y σ+-?? 的值，其中D 为半圆形区域22 4,0x y y +≤≥． 解 我们先求函数2 2 2 2 (,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值． 由22 220,420,x y f x xy f y x y '?=-=? ?'=-=??解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=． 在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2 ()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0． 在边界22 2:4L x y +=(0)y ≥上， 242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤ 由3 ()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22 x x x ==- =，(0)(0,2)8h f ==． 5537 ()(,)2224 h f ± =±=． 综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知 222202(2)d 82D x y x y πσπ?≤+-≤???， 即 22220(2)d 16D x y x y σπ≤+-≤??． 例 设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 为D 在第一象限的部分，则 (cos sin )( )D xy x y dxdy +=??． （A ）1 2 cos sin D x y dxdy ?? （B ）1 2D xy dxdy ?? （C ）1 4 (cos sin )D xy x y dxdy +?? （D ）0 解 区域D 如图所示，并记0D 为以(1,1),(1,1),(0,0)-为顶点的三角

高等数学定积分应用习题答案

第六章 定积分的应用 习题 6-2 (A) 1． 求下列函数与 x 轴所围部分的面积： ] 3,0[,86)1(2+-=x x y ] 3,0[, 2)2(2x x y -= 2． 求下列各图中阴影部分的面积： 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： ; 1,)1(===-x e y e y x x 与 ; )0(ln ,ln ,0ln )2(>>====a b b y a y x x y 与 ;0,2)3(2==-=y x y x x y 与 ; )1(,2)4(22--==x y x y ;0,2)1(4)5(2=-=-=y x y x y 与 ; 2,)6(2x y x y x y ===与 ; )0(2sin ,sin 2)7(π≤≤==x x y x y ; 8,2 )8(222 （两部分都要计算）=+=y x x y 4．的图形的面积。 所围成与直线求由曲线e x e x y x y ====-,,0ln 1 5．的面积。处的切线所围成的图形和及其在点求抛物线)0,3()3,0(342--+-=x x y 6．的面积。处的法线所围成的图形及其在点求抛物线),2 (22p p px y = 7．形的面积。与两坐标轴所围成的图求曲线a y x =+ 8．所围图形的面积。求椭圆 12 2 22 =+b y a x 9．。与横轴所围图形的面积（的一拱求由摆线)20)cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 10．轴之间的图形的面积。的切线的左方及下方与由该曲线过原点求位于曲线x e y x = 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： ;)0(sin 2)1(>=a a θρ ; )0()cos 2(2)2(>+=a a θρ ; 2cos 2)3(2（双纽线）θρ= 抛物体的体积。 轴旋转，计算所得旋转 所围成的图形绕及直线把抛物线x x x x ax y )0(4.12002>==

第十章____重积分(高等数学教案)

重积分 【教学目标与要求】 1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，知道二重积分的中值定理。 2.掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法。 3.掌握计算三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算方法。 4.会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、重心、转动惯量、引力等）。【教学重点】 1.二重积分的计算（直角坐标、极坐标）； 2.三重积分的（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）计算。 3.二、三重积分的几何应用及物理应用。 【教学难点】 1.利用极坐标计算二重积分； 2.利用球坐标计算三重积分； 3.物理应用中的引力问题。 【教学课时分配】 (10学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§10. 1 二重积分的概念与性质 【回顾】定积分 设函数y =f (x )在区间[a , b ]上非负、连续. 求直线x =a 、x =b 、y =0 及曲线y =f (x )所围成的曲边梯形的面积. (1)分割：用分点a =x 0

高等数学定积分的应用

授课单元12教案 课题1用定积分求平面图形的面积 一、微元法 在本章第1节定积分概念的两个实例（曲边梯形的面积和变速直线运动的路程）中，我们是先把所求整体量进行分割，然后在局部范围内“以不变代变”，求出整体量在局部范围内的近似值，即表成乘积i i x f ?ξ)(的形式；再把这些近似值加起来，得到整体量的近似值；最后，当分割无限加密时取和式的极限得定积分 ()()i n i i b a x f dx x f ?ξ=∑?=→λ1 lim （即整体量） ． 事实上，对于求几何上和物理上的许多非均匀分布的整体量都可以用这种方法计算．但在实际应用时，为了方便，一般把计算在区间[]b a ,上的某个量Q 的定积分的方法简化成下面的两步：：

（1） 确定积分变量x ，求出积分区间],[b a （2） 在区间],[b a 上，任取一小区间],[dx x x + ，并在该小区间上找出所求量Q 的微分元素 dQ ＝dx x f )( （3） 写出所求量Q 的定积分表达式 dx x f Q b a ?=)( 用以上两步来解决实际问题的方法称为元素法或微元法．下面我们就用元素法来讨论定积分在几何、物理和经济学中的一些应用． 二、在直角坐标系下求平面图形的面积 1、．由)(x f y =，b x a x ==,及ox 轴所围成图形面积公式 ()b a A f x dx = ? 1'、(),,x y y c y d ?===及y 轴所围成图形面积公式()d c A y dy ?=? 例 求曲线3 x y =与直线2,1=-=x x 及x 轴所围成的图形面积 解 4 17 2 30 1 3= +- =?? -dx x dx x s 2、由两条连续曲线()x y y 2=和()()()()x y x y x y y 211≤=与直线)(,b a b x a x <==所围成平面图形（如图1）的面积()()[]dx x y x y A b a ?-=12 图1 图2 2'、由两条连续曲线()y x x 2=和()()()()y x y x y x x 211≤=与直线)(,d c d y c y <==所 围成平面图形(如图2)的面积 ?-=d c dy y x y x A )]()([12

高等数学 重积分 (9.4.2)--重积分的应用

习题 9.4 1. 求下列平面闭区域D 的面积. (1) D 由曲线e ,e x x y y -==及1x =围成； (2) D 由曲线21,1y x y x =+=--围成； (3) D 由双纽线22222()4()x y x y +=-围成； (4) {(cos ,sin )|24sin }D r r r θθθ=≤≤； (5) 1(cos ,sin )1cos 2D r r r θθθ??=≤≤+???? ； (6) D 由曲线2223()2(0)x y ax a +=>围成； (7) D 由椭圆22(234)(567)9x y x y +++++=围成； (8) D 是由曲线3y x =，34y x =，3x y =，34x y =所围成的位于第一象限部分; 2. 利用二重积分计算下列各题中立体Ω的体积. (1) Ω为第一卦限中由圆柱面224y z +=与平面2,0,0x y x z ===所围成； (2) Ω由平面0,0,y z y x ===及6236x y z ++=围成； (3) 22{(,,)|1x y z x y z Ω=+≤≤+； (4) 222{(,,)|1,11}x y z x y z z Ω=+≤+-≤≤; (5) Ω由平面0,0,0,1x y z x y ===+=及抛物面226x y z +=-围成. 3. 设平面薄片所占的闭区域是由直线2,x y y x +==和x 轴所围成，它的面密度 22(,)x y x y ρ=+，求该薄片的质量. 4. 在一半径为R 的球体内，以某条直径为中心轴用半径为r 的圆柱形钻孔机打一个孔 (r R <)，求剩余部分的体积. 若圆柱形孔的侧面高为h ，证明所求体积只与h 有关，而与r 和R 无关. 5. 利用三重积分求所给立体Ω的体积. (1) Ω是由柱面2x y =和平面0z =及1x z +=所围成的立体； (2) Ω是由抛物面22z x y =+和所2218z x y =--围成的立体； (3) Ω为圆柱体cos r a θ≤内被球心在原点、半径为a 的球所割下的部分; (4) Ω是由单叶双曲面2222x y z R +-=和平面0,z z H ==围成的立体; (5) 1Ω是Oxyz 坐标系中体积为5的立体，Ω为1Ω在变换

(完整版)高等数学定积分应用习题答案.doc

第六章定积分的应用 习题6-2 (A) 1．求下列函数与x 轴所围部分的面积： (1) y x 2 6x 8, [0, 3] ( 2) y 2x x2 , [ 0, 3] 2．求下列各图中阴影部分的面积： 1. 图 6-1 3．求由下列各曲线围成的图形的面积： (1) y e x , y e x与x1; ( 2) y ln x 与 x 0, y ln a, y ln b (b a 0) ; (3) y 2x x2与 y x , y 0 ; ( 4) y 2 2 x , y 2 (x 1) ; (5) y 2 4(1 x) 与 y 2 x , y 0 ; (6) y x2 与 y x , y 2x ; (7) y 2 sin x , y sin 2x (0 x ) ; (8) y x 2 , x 2 y 2 （两部分都要计算） ; 2 8

4．求由曲线y ln x 与直线 y 0, x e 1 , x e 所围成的图形的面积。 5．求抛物线y x 2 4 x 3 及其在点 (0, 3) 和 (3, 0) 处的切线所围成的图形的面积。 6．求抛物线y 2 2 px 及其在点 ( p , p) 处的法线所围成的图形的面积。 2 7．求曲线x y a 与两坐标轴所围成的图形的面积。 x 2 y 2 1 所围图形的面积。 8．求椭圆 2 b 2 a 9．求由摆线x a(t sin t), y a(1 cost ) 的一拱（0 t 2 ) 与横轴所围图形的面积。 10．求位于曲线y e x下方与由该曲线过原点的切线的左方及x 轴之间的图形的面积。 11．求由下列各方程表示的曲线围成的图形的面积： (1) 2a sin (a 0) ; ( 2) 2a (2 cos ) (a 0); (3) 2 2 cos 2 （双纽线） ; 12. 把抛物线y2 4ax 及直线 x x ( x 0 0) 所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转抛物体的体积。 13. 由 y x 3 , x 2 , y 0 所围成的图形，分别绕x 轴及 y 轴旋转，计算所得两个旋转 体的体积。 14．求下列已知曲线所围成的图形，按指定的轴旋转所产生的旋转体的体积： (1) y ach x 0, x a , y 0 , 绕 x 轴 ; 与 x a ( 2) y sin x 与 y 2x , 绕 x 轴 ; (3) y sin x 与 y cos x (0 x ) , 绕 x 轴 ; 2 ( 4) y ln x , 与 x 2 , y 0 绕 y 轴 ; (5) y 2x x2 与 y x , y 0 绕 y 轴 ; (6) ( x 5)2 y 2 16 , 绕 y 轴 ; 15. 求由抛物线y 2 4(1 x) 及其在 (0, 2) 处的切线和x 轴所围的图形绕 x 轴旋转 产生的旋转体的体积。 16. 求 x 2 y 2 4, x 3 y 2所围图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积。 17. 一立体以椭圆x 2 y2 1 为底，垂直于长轴的截面都是等边三角形( 图 6 2)，100 25 求其体积。

高等数学-第七章--定积分的应用

第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间[]R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ??---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2R A =，于是 22π202π20ππ22 1d 21d R R R A A =?===??θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，其代表性小区间[]r r r d ,+所对应的面积微元r r A d π2d =，于是 20 20π2π2d π2R r r r A R R =?==?． 问题2 如何理解连续函数f (x ) 在闭区间[]b a ,上的平均值?-=b a x x f a b u d )(1是有限个数的算术平均值的推广． 解析 首先，我们知道几个数 y y y n 12,,,???的算术平均值为 y y y y n n y n k k n =++???+==∑()/121 1， 对于函数)(x f ，我们把区间[]b a , n 等分，设分点为a =x x x b n 01<

高等数学教案--定积分的应用

高等数学教案—定积分的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 i. 一.定积分应用的微元法 用定积分计算的量的特点： (1) 所求量（设为 F ）与一个给定区间 [],a b 有关，且在该区间上具有可 加性. 就是说，F 是确定于 [],a b 上的整体量，当把 [],a b 分成许多小区间时，整体量等于各部分量之和，即1 n i i F F == ∑。 (2) 所求量F 在区间[],a b 上的分布是不均匀的，也就是说， F 的值与区间 [],a b 的长不成正比（否则的话，F 使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了）. 用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量 F 分为部分量之和，即: 1Δn i i F F ==∑; 第二步：求出每个部分量的近似值，Δi F ≈()Δ(1,2,,);i i f x i n ξ= 第三步：写出整体量 F 的近似值，1Δn i i F F ==∑≈ 1()Δn i i i f x ξ=∑； 第四步：取max{Δ}0i x λ=→时的 1 ()Δn i i i f x ξ=∑极限，则得 1 lim ()Δ()d n b i i a i F f x f x x λξ→===∑?. 观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，这只要把近似式()Δi i f x ξ中的变量记号改变一下即可（ i ξ换为 x ；i x ?换为 d x ）. 而第三、第四两步可以合并成一步：在区间 [],a b 上无限累加，即在 [] ,a b

上积分. 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是 F 能用定积分计算定积分应用的微元法： (一)在区间 [微小区间 [],d x x x +，然后写出在这个小区间上 ΔF 的近似值，记为d ()d F f x x =(称为F 的微 ); (二)将微元d F 在[],a b 上积分（无 限累加），即得 ()d .b a F f x x =? 微元法中微元的两点说明： (1)()d f x x 作为ΔF 的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求其差是关于Δx 的高阶无穷小. 即 Δ()d (Δ)F f x x o x -=.这样我们就知道了，称作微元的量 ()d f x x ，实际上是所求量的微分d F ; (2)具体怎样求微元呢? 这是问题的关键，这要分析问题的实际意义及数量关系，一般按着在局部 [],d x x x + 上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代曲”的思路（局部线性化），写出局部上所求量的近似值，即为微元 x x f F d )(d = 二、用定积分求平面图形的面积 1. 直角坐标系下的面积计算 用微元法不难将下列图形面积表示为定积分. （1）曲线()(()0),y f x f x =≥,x a x b ==及Ox 轴所围图形，如下左图，面积微元d ()d A f x x =，面积()d b a A f x x =?. （2）由上、下两条曲线(),()(()())y f x y g x f x g x ==≥及,x a x b ==所围成的图形，如下右图，面积微元d [()()]d ,A f x g x x =-，面积 [()()]d b a A f x g x x =-?.