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A Simple Block-Based Lossless Image Compression Scheme

S.Grace Chang University of California,Berkeley Berkeley,CA94720

grchang@https://www.doczj.com/doc/119343299.html,

Gregory S.Yovanof Hewlett-Packard Laboratories, Palo Alto,CA94304

yovanof@https://www.doczj.com/doc/119343299.html,

Abstract

A novel low-complexity lossless scheme for continuous-tone images dubbed the PABLO codec(Pixel And Block adaptive LOw complexity coder)is introduced.It comprises a simple pixel-wise adaptive predictor and a block-adaptive coder based on the Golomb-Rice coding method.PABLO is an asymmetric algorithm requiring no coding dictionary and only a small amount of working memory on the en-coder side.Due to the simplistic data structure for the compressed data,the decoder is even simpler lending itself to very fast implementations.Experimental results show the ef?ciency of the proposed scheme when compared against other state-of-the-art compression systems of considerably more complexity.

1Introduction:Predictive Coding

Among the various compression methods,predictive techniques have the advantage of relatively simple imple-mentation.Predictive schemes exploit the fact that adjacent pixel values from a raster image are highly correlated.With a predictive codec,the encoder(decoder)predicts the value of the current pixel based on the value of pixels which have already been encoded(decoded)and compresses the error

signal.If a good predictor is used,the distribution of the prediction error is concentrated near zero,meaning that the error signal has signi?cantly lower entropy than the original, and hence,it can be ef?ciently encoded by a lossless coding scheme like the Huffman coding,Rice-coding or Arithmetic coding.

The introduced algorithm falls under the category of pre-dictive coding.The main processing steps are(see Fig.1):1) Prediction:predict the current pixel based on the“past”pix-els to allow lossless differential predictive coding;2)Error Preprocessing:map the prediction errors to non-negative

otherwise

(1)

The parameters and stand for big threshold and small threshold,respectively.The intuition is that if,say,

is not close to but is close to,then there is probably a horizontal edge and we take to be the predicted value. The analysis for a vertical edge is similar.

1.2Rice Codes

Encoding a given sequence of-bit symbols with Rice coding is like using a collection of1different Huffman

A B

Figure2.The predictor support pixels.X is

the current pixel to be coded.

codebooks designed for over a wide entropy range.For

each entropy value,this allows the encoder to choose the best codebook from the1choices.When the data

is Laplacian-distributed,the Rice coder has been shown to

be equivalent to the multiple Huffman codebook approach

[1,2],but it does not require a codebook.For differential

predictive coding,the Laplacian assumption is usually a

valid one.

Encoding of a given symbol with a Rice code comprises

two components:the fundamental sequence(FS)and the

sample splitting.The FS is a comma code which takes a

symbol value and transforms it into“0”s followed by a

“1”(the comma).For example,the codeword for3is “0001”.Sample splitting is based on the intuition that the

few least signi?cant bits(LSB)are random and thus non-

compressible and should be transmitted as https://www.doczj.com/doc/119343299.html,bining

these two ideas,a symbol is encoded by splitting the

non-compressible LSB’s from the MSB’s,and the

LSB’s are transmitted as the original bits while the MSB’s are transmitted as a FS code.The variable will be referred

to as the splitting factor.Clearly,the codeword length for

a given input symbol and splitting factor is given by

1(2) where is the integer corresponding to the MSB’s. The default option is;i.e.transmit the original

bits,and thus guarantee that the symbol is not expanded.

For each symbol of bits we can?nd at least one optimal 012which gives the minimal length. By selecting among the various options,we essentially

have multiple encoders to choose from.

1.3Pre-processor–the Rice Mapper

Prediction errors are usually modeled as having a Lapla-

cian distribution.For-bit symbols in the range021, the prediction error exists in the range2121, requiring1bits to represent.However,given that we know the current prediction there are only2possible values for the current prediction error.Speci?cally,if we know?,then the prediction error can only be in the range ?21?,which requires bits to code.We use the Rice-mapper in[3]to map the original Laplacian distributed integral error value to a non-negative integer following an approximate geometric distribution.In closed form,the Rice mapper is

210

otherwise

(3)

where?is the error residual and min?2

1?.

1.4Error Modeling–Estimating the Statistics

In the case of Rice-coding the necessary statistic is the value of the optimal for a processing block.There are several ways to?nd the optimal adaptively.One method, as suggested by the original Rice coder based on block-encoding,?nds an optimal for each processing block through an exhaustive search among the allowable’s.To ?nd the best splitting factor,a cumulative counter is kept for each allowable keeping track of the total block length if every pixel in the block were coded with this.The optimal is the one yielding the smallest cumulative codelength.

There are simpler methods for estimating with only a slight loss in performance.One method is to compare the cumulative sum of each block,1?,where is the number of symbols in the block,with some decision boundaries derived from assuming random LSB’s[3]. Another method is to note that adjacent blocks are highly correlated,and thus it suf?ces to search within1,where is the value of the previous block.

2Rice-Coding Based Compression Schemes

2.1Original Rice Algorithm

The original Rice coder is a block-based algorithm[3]. The size of the processing block is a one-dimensional16x1 vector.A cumulative counter is updated for each as de-scribed in Section1.4.The best is taken to be the one which yields the least number of compressed bits.At the beginning of each block,ID bits are sent to indicate the value used(in the case of8bpp grayscale images,3ID bits are sent),followed by the encoded output of the entire block using as the splitting factor.In our investigation we have experimented with several variations of the original Rice coding method.

2.2Mixed Rice and Binary Encoding

Notice that for Rice encoding,even by choosing an opti-mal for each block,there are some codewords within the block that are expanded rather than compressed.Therefore, it would be better to have some symbols coded with the

optimal for that block,but binary encode,i.e.,send as de-fault,the symbols that would be expanded by the chosen value.To accomplish this,we keep a1bit per pixel bitmap indicating whether the pixel is Rice or binary encoded.This 1bpp bitmap is an expensive overhead which we need to decide whether it is worth keeping.To make this decision, we keep two cumulative counts,one for summing the total length if the entire block were Rice encoded with each al-lowable and the other one for summing the total length if some pixels were Rice-encoded and some were binary encoded.If the saving in bits is more than the overhead, then we keep a bitmap and do a mixture of Rice coding and binary encoding;otherwise,we do purely Rice coding for the entire block.

There needs to be an indicator for each block telling us whether the block is mix-encoded or purely Rice en-coded.To avoid further overhead,we reserve the value6as a MARKER in the3block-ID bits that are sent indicating the value used.

2.3PABLO:Mixed Rice-Binary Encoding with

Block Classi?cation

The proposed PABLO scheme builds upon the previously described mixed Rice-Binary encoding method with the pur-pose of improving its performance against images with large ?at areas(text,graphics,compound documents).With such images instead of coding every pixel(which can achieve at most8:1compression ratio),better compression would be achieved with a scheme like,say,runlength encoding, which skips over large contiguous areas of a single value. One simple way to do this is by block classi?cation.That is,we use1bit per block indicating whether that block is a FLA T block,meaning that the entire block is of the same value.If it is FLA T,then send the value of the block.If not,then we decide to mix-encode that block as described in Section2.2.From the previous discussion it can be seen that this scheme employs a pixel-by-pixel adaptive predictor and a block-adaptive Rice coder,and hence the name PABLO (Pixel And Block adaptive LOw complexity coder).

Obviously,the PABLO scheme is speci?cally targeted towards textual and graphics images.For regular images, there are seldomly FLA T blocks,and1bit per block would be wasted.However,the overhead incurred by the block classi?cation only results in approximately.5%loss in cod-ing ef?ciency against natural images and thus is quite in-signi?cant.

2.4Hierarchical Block Classi?cation

The block-classi?cation algorithm described in Section 2.3could be improved by noticing that in compound images, there are many blocks which are mostly?at,but have some

(i.e. HALF_FLAT)

Figure3.The tree-structured scheme for clas-

sifying the?at regions of a block.

other values in a corner or at the edge.Instead of classifying the entire block as non-?at and using Rice encoding,we can split the block into smaller regions and classify whether it is half-?at or is all?at except on one quadrant,and then mix-encode the non-?at portion.

To transmit this information,it naturally incurs more overhead.To avoid too much overhead for pure images,we propose a tree-structured classi?cation as shown in Figure 3.For REGULAR images it incurs1bit per block over-head,same expense as the block-classi?cation scheme.For compound images,2bits per block are needed to specify ENTIRELY-FLA T blocks,and3bits per block are needed to specify3/4-FLA T and HALF-FLA T blocks,plus an ad-ditional2bits to specify which half(top,bottom,left,right) or quadrant is not?at.A block is REGULAR if it is neither ENTIRELY-FLA T,HALF-FLA T,nor3/4-FLA T.The value of the?at region is then sent as original,and the non-?at portion is mix-encoded.

3Results

We now present some experimental results.Table1 provides a comparison of our schemes with other exist-ing schemes against the USC image database.Column1 shows the compression attained by FELICS[4](with the maximum parameter set to6),which is a low-complexity context-based pixel-wise adaptive algorithm also based on the Rice code.The JPEG data shown corresponds to the independent lossless JPEG function employing the2-point

predictor no.7and arithmetic coding[5].The third column is the straightforward Rice algorithm with the parameter estimated via exhaustive search and a processing block of size8x8.The column MixEncode is the algorithm described in Section2.2,and PABLO is the algorithm described in Sec-tion2.3,both with88blocks.The next column is the0th order entropy of the entire image,using the predictor in(1). Note that we have converted the bitrate to compression ra-tio.For comparison,we also include the performance of the sequential LZW algorithm,i.e.,the UNIX’compress’.Our algorithms show improvement over the FELICS and JPEG scheme.Notice that PABLO is always worse than MixEn-code for pure images since there is rarely any FLA T block and thus,there is a waste of1bit per block.For the most part,MixEncode performs slightly better than pure RICE. However,in the case of the mand image,it is slightly worse because there are quite a few blocks with optimal6,a value that is not used in our schemes.

Table2summarizes the performance of the introduced schemes and the LOCO-I algorithm as described in[6] against a number of images from the JPEG suite of standard test images.The LOCO-I scheme is a pixel-wise adaptive coder employing an adaptive predictor,context-based error modeling with special treatment of long pixel-runs and Rice coding.It is symmetric for both the encoder and the de-coder.For the non-compound images,the HIER scheme (the hierarchical block classi?cation)is about2-7%worse than the LOCO-I.For the compound images,HIER is about 20%worse due to the very simple encoding for blocks with mostly white space and some text.However,the advan-tage that PABLO offers over the LOCO-I scheme is that the decoder is extremely simple,since it does not require any statistical modeling.

4Complexity

The main design objective for all the presented algorithms so far has been low complexity,in terms of both the com-putational complexity as well as the overall system resource requirements.The error modeling part of the block-adaptive algorithms makes them more than1-pass,but only on the block level(typically8x8block size).Only the current block plus the boundary pixels in the adjacent blocks(which are used by the predictor)need to be buffered.The collection of the statistics requires the use of a few counters and the pro-cess merely involves addition and bit-shift operations.The formation of a Rice codeword is extremely simple,and these algorithms use very little working memory and no coding memory at all.

The decoder is even simpler and faster than the encoder since it does not have to estimate the value which is trans-mitted as overhead along with the compressed bitstream. Thus,these schemes are ideally suited for asymmetrical ap-plications such as compression in a laserjet printer[7]where the decoder needs to operate at a much faster rate than the encoder.

5Conclusion

This paper summarizes the results of an investigation of lossless compression schemes for grayscale images based on the Rice coding method,a low-complexity alternative to the popular Huffman coding.Due to the simplistic data structure of the compressed information,our algorithms have very simple and fast implementations ideally suited for low cost devices like computer peripherals.

References

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Info.Theory,vol.IT-21,228-230,March1975.

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A Low Complexity,Context-Based,Lossless Image

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IEEE29th Asilomar Conference on Signals,Systems and Computers,Paci?c Grove,CA,Oct30-Nov.1, 1995.

Images JPEG MixEnc0th Entropy

1.82 1.85 1.84 1.33

lax 1.30 1.36 1.35

1.74 1.82 1.81 1.13 man 1.64 1.71 1.64

2.23 2.37 2.36 1.40 lake 1.48 1.54 1.50

1.27 1.31 1.31 1.00 milkdrop

2.05 2.13 2.11

1.91

2.00 2.00 1.45 peppers 1.89 1.68 1.66

1.28 1.27 1.27 1.46 urban 1.78 1.89 1.79

MixEncode HIER LZW

?nger 1.350 1.423

1.995 1.999 1.39

hotel 2.011 2.118

3.404

4.178 3.44

woman 1.857 1.916

3.552 5.133

4.80

cmpnd2 4.536 5.943

巧用二次函数图象的对称性解题解析

巧用二次函数图象的对称性解题解析新盈中学王永升 2010-6-29 二次函数是初中数学的重点内容之一，在初中代数中占有重要位置。其图象是一种直观形象的交流语言，含有大量的信息，为考查同学们的数形结合思想和应用图象信息的能力，二次函数图象信息题成了近年来各地中考的热点。所以学会从图象找出解题的突破点成了关键问题，那就要熟练掌握二次函数的基本知识。比如：二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标对称轴方程，各字母的意义以及一些公式，对于这些知识，同学们掌握并不是很困难，但对二次函数图象的对称性，掌握起来并不是很容易，而且对于有关二次函数的一些题目，如果用别的方法会很费力，但用二次函数图象的对称性来解答，也许会有事倍功半的效果。现将这两个典型例题，供同学们鉴赏：例1、已知二次函数的对称轴为x=1，且图象过点（2，8）和（4，0），求二次函数的解析式。分析：此题中我们可以按照常规的解法，用二次函数的一般式来解，但运算量会很大，因为我们将会解一个三元一次方程组。另外，我们还可以利用二次函数的对称性来解决此题。本道题目的特点是给了抛物线的对称轴方程及一个x轴上的点坐标。因此我们可以依据二次函数的对称性，求出抛物线所过的x轴上的另一个点的坐标为（-2，0），这样的话我们就可以选择用二次函数的

交点式来求解析式。设二次函数的解析式为y=a(x+2)(x-4)，然后将（2，8）代入即可求出a值，此题得解。本题利用二次函数的对称性解题减少了大量的运算，既可以准确解题又节省了时间，不失为一种好的方法。例2、若二次函数y=ax2+b(ab≠0)，当x取x1、x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值是____________ 分析：此题我们可以采用常见的将x1、x2代入解析式，由于y 值相等，则可求出x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。我们也可以用二次函数的对称性来解题。由于二次函数的对称性，当函数值相等时，则两点为对称点，且本题中的二次函数 y=ax2+b(ab≠0)的对称轴为y轴（x=0），所以，我们也可以得到x1+x2的值为0，将x=0代入解析式可得函数值为b。相比较我们可以知道，利用二次函数的对称性解决本题，减少了运算量，但对于知识点的理解和掌握的要求大大增加了。要求学生对二次函数的对称性的把握要进一步理解、深化。我们还可以将上题中的解析式变为一般式y=ax2+bx+c，其他条件不变，结果为c。下面仅以a>0时为例进行解答。当a<0时也是成立的。

初中数学函数知识点归纳(1)

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像) 平面直角坐标系 1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系 2、各个象限内点的特征: 第一象限：（+，+）点P （x,y ），则x ＞0,y ＞0；第二象限：（-，+）点P （x,y ），则x ＜0,y ＞0；第三象限：（-，-）点P （x,y ），则x ＜0,y ＜0；第四象限：（+，-）点P （x,y ），则x ＞0,y ＜0； 3、点的对称特征：已知点P(m,n), 关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 4、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x + 5、两点之间的距离：已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=2 12212)()(y y x x -+- 6、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 2 1 2y y +) 7、点的平移特征：在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）；将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）；将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）；将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。

图像分割算法研究与实现

中北大学课程设计说明书学生姓名：梁一才学号：10050644X30 学院：信息商务学院专业：电子信息工程题目：信息处理综合实践: 图像分割算法研究与实现指导教师：陈平职称: 副教授 2013 年 12 月 15 日

中北大学课程设计任务书 13/14 学年第一学期学院：信息商务学院专业：电子信息工程学生姓名：焦晶晶学号：10050644X07 学生姓名：郑晓峰学号：10050644X22 学生姓名：梁一才学号：10050644X30 课程设计题目：信息处理综合实践: 图像分割算法研究与实现起迄日期：2013年12月16日～2013年12月27日课程设计地点：电子信息科学与技术专业实验室指导教师：陈平系主任：王浩全下达任务书日期: 2013 年12月15 日

课程设计任务书 1．设计目的： 1、通过本课程设计的学习，学生将复习所学的专业知识，使课堂学习的理论知识应用于实践，通过本课程设计的实践使学生具有一定的实践操作能力； 2、掌握Matlab使用方法，能熟练运用该软件设计并完成相应的信息处理； 3、通过图像处理实践的课程设计，掌握设计图像处理软件系统的思维方法和基本开发过程。 2．设计内容和要求（包括原始数据、技术参数、条件、设计要求等）： (1)编程实现分水岭算法的图像分割； (2)编程实现区域分裂合并法； (3)对比分析两种分割算法的分割效果； (4)要求每位学生进行查阅相关资料，并写出自己的报告。注意每个学生的报告要有所侧重，写出自己所做的内容。 3．设计工作任务及工作量的要求〔包括课程设计计算说明书(论文)、图纸、实物样品等〕：每个同学独立完成自己的任务，每人写一份设计报告，在课程设计论文中写明自己设计的部分，给出设计结果。

函数图象的对称变换

课题：函数图像的对称变换（2课时）学情分析：相对于函数图象的平移变换，对称变换是学生的难点，对于具体函数，学生还有一定的思路，但结论性的结果，学生掌握的不是很好。教学目标：（1）通过具体实例的探讨与分析，得到一些对称变换的结论。（2）通过一定的应用，加强学生对对称变换结论的理解。（3）能数形结合解决想过题目。教学过程：欣赏图片，感受对称一、师生共同分析讨论完成下列结论的形成。 1、（1）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（2）函数()y f x =-与()y f x =的图像关于对称；（3）函数()y f x =--与()y f x =的图像关于对称． 2、奇函数的图像关于对称，偶函数图像关于对称． 3、（1）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()()f a x f b x +=-，则 ()y f x =的图像关于直线对称．

（2）若对于函数()y f x =定义域内的任意x 都有()2()f a x b f a x +=--，则()y f x =的图像关于点对称． 4、对0a >且1a ≠，函数x y a =和函数log a y x =的图象关于直线对称． 5、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =的图像在x 轴下方的部分以为轴翻折到x 轴上方，其余部分不变． 6、要得到()y f x =的图像，可将()y f x =，[)0,x ∈+∞的部分作出，再利用偶函数的图像关于的对称性，作出(),0x ∈-∞时的图像．二、学生先独立完成，再分析点评 2 3、函数x y e =-的图象与函数的图象关于坐标原点对称． 4、将函数1()2x f x +=的图象向右平移一个单位得曲线C ，曲线C '与曲线C 关于直线y x =对称，则C '的解析式为． 5、设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图像的关系为关于对称． 6、若函数()f x 对一切实数x 都有(2)(2)f x f x +=-，且方程()0f x =恰好有四个不同实根，求这些实根之和为．二、典例教学【例1】填空题：（1 （2）对于定义在R 上的函数()f x ，有下列命题，其中正确的序号为． ①若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；②若对x R ∈，有

数学f1初中数学2006年中考试题分类汇编--函数及其图像 (2)

本文为自本人珍藏版权所有仅供参考本文为自本人珍藏版权所有仅供参考 2006年中考试题分类汇编--函数及其图像 1.（2006·梅列区）函数y = 3 x+1 中自变量x 的取值范围是 .x ≠-1 2．（2006·晋江市）函数3 21-= x y 中，自变量x 的取值范围是 . x ≠2 3 3.（2006·旅顺口区）如图是一次函数y 1=kx+b 和反比例函数y 2观察图象写出y 1＞y 2时，x 的取值范围．－2＜x ＜0或x ＞3 4．（2006·南通市）在函数5 2-=x x y 中,自变量x 的取值范围是_ ________．x>5 5．（2006·衡阳市）函数y =中自变量劣的取值范围是 . x ≥1 6．（2006·盐城市）函数y= 1 -x 1中，自变量x 的取值范围是 . x ≠1 7．（2006·永州市）函数y =中自变量x 的取值范围是．3x ≤ 8．（2006·潍坊市）函数12 y x -=-中，自变量x 的取值范围是（）Ｄ A ．1x -≥ B ．2x > C ．1x >-且2x ≠ D ．1x -≥且2x ≠ 9．（2006·广东省）函数1 1+= x y 中自变量x 的取值范围是 ( A ) A ．x ≠-l B ．x >-1 C ．x =- 1 D ．x <- 1 10．（2006·永州市）小慧今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（）D 11．（2006·湛江市）小颖从家出发，直走了20分钟，到一个离家1000米的图书室，看了40分钟的书后，用15分钟返回到家，下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是（）A A ． B ． C ． D ．（分）

车辆牌照图像识别算法研究与实现本科毕设论文

Q260046902 专业做论文西南科技大学毕业设计（论文）题目名称：车辆牌照图像识别算法研究与实现

车辆牌照图像识别算法研究与实现摘要：近年来随着国民经济的蓬勃发展，国内高速公路、城市道路、停车场建设越来越多，对交通控制、安全管理的要求也日益提高。因此，汽车牌照识别技术在公共安全及交通管理中具有特别重要的实际应用意义。本文对车牌识别系统中的车牌定位、字符分割和字符识别进行了初步研究。对车牌定位，本文采用投影法对车牌进行定位；在字符分割方面，本文使用阈值规则进行字符分割；针对车牌图像中数字字符识别的问题，本文采用了基于BP神经网络的识别方法。在学习并掌握了数字图像处理和模式识别的一些基本原理后，使用VC++6.0软件利用以上原理针对车牌识别任务进行编程。实现了对车牌的定位和车牌中数字字符的识别。关键词：车牌定位；字符分割；BP神经网络；车牌识别；VC++

Research and Realization of License Plate Recognition Algorithm Abstract:In recent years, with the vigorous development of the national economy，there are more and more construct in the domestic expressway, urban road, and parking area. The requisition on the traffic control, safety management improves day by day. Therefore, license plate recognition technology has the particularly important practical application value in the public security and the traffic control. In the paper, a preliminary research was made on the license location, characters segment and characters recognition of the license plate recognition. On the license location，the projection was used to locate the license plate; On the characters segmentation, the liminal rule was used to divide the characters; In order to solve the problem of the digital characters recognition in the plate, BP nerve network was used to recognize the digital characters. After studying and mastering some basic principles of the digital image processing and pattern recognition, the task of license plate recognition was programmed with VC++ 6.0 using above principles. The license location and the digital characters recognition in the license plate were implemented. Keywords: license location, characters segmentation, BP nerve network, license plate recognition, VC++

2020最新函数图像的对称问题(小结)

解填空题常用到的几个公式 1． AB 和平面M 所成的角为α，AC 在平面M 内，AC 和AB 在平面M 内的射影AB 1所成的角是β，设∠BAC=θ,则βαθcos cos cos = 2．在二面角N l M --的面M 内，有直角三角形ABC,斜边BC 在棱上，若A 在平面内N 的射影为D,且∠ACD=1θ，∠ABD=2θ，二面角为θ，则22 122sin sin sin θθθ+= 3．设F 1,F 2为椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）的焦点，M 是椭圆上一点，若∠F 1MF 2=θ 则21MF F S ?=2tan 2θ b , 21e a b -= . 4．设F 1,F 2为双曲线122 22=-b y a x （a>b>0）的焦点，M 是双曲线上一点，若∠F 1MF 2=θ,则21MF F S ?=2cot 2θ b , 12-=e a b . 5．已知椭圆122 22=+b y a x （a>b>0）上一点，F 1,F 2为左右两焦点，∠PF 1F 2=α， ∠P F 2F 1=β，则2 cos 2cos βαβα-+==a c e . 6.设直线b kx y +=与椭圆12222=+b y a x (双曲线122 22=-b y a x )相交于不同的两点A ),(11y x ,B ),(22y x ,AB 的中点为M ),(00y x ,则0202y a x b k -=(0 202y a x b k =). 7.过抛物线两点，的直线交抛物线于作倾斜角为的焦点B A F p px y ,)0(22θ>= 函数图像的对称问题(小结) 函数问题的对称性问题是函数性质的一个重要方面，也是历年高考热点问题之一，除了常见的自身对称（奇偶函数的对称性），两函数图像对称（原函数与反函数的对称性）以外，函数图象的对称性还有一些图像关于点对称和关于直线对称的两类问题，在这里，两函．．数图象关于某直线对称或关于某点．．．．．．．．．．．．．．．成．中心对称．．．．与函数自身的对称轴或对称中心．．．．．．．．．．．．．是有本质区别的，注意不要把它们相混淆。造成解题失误，下面就这些问题给出一般结论，希望对同学们有帮助。一、同一个函数图象关于直线的对称

初中数学函数知识点汇总

函数及其图像一、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。坐标平面被x 轴和y 轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 轴和y 轴上的点，不属于任何象限。二、不同位置的点的坐标的特征 1、各象限内点的坐标的特征第一象限(+,+) 第二象限(-,+) 第三象限(-,-) 第四象限(+,-) 2、坐标轴上的点的特征在x 轴上纵坐标为0 , 在y 轴上横坐标为, 原点坐标为（0，0） 3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线上?x 与y 相等点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上?x 与y 互为相反数 4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同。位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同。 5、关于x 轴、y 轴或远点对称的点的坐标的特征点P 与点p ’关于x 轴对称?横坐标相等，纵坐标互为相反数点P 与点p ’关于y 轴对称?纵坐标相等，横坐标互为相反数点P 与点p ’关于原点对称?横、纵坐标均互为相反数 6、点到坐标轴及原点的距离点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）到x 轴的距离等于y （2）到y 轴的距离等于x （3）到原点的距离等于22y x + 三、函数及其相关概念 1、变量与常量在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数。 2、函数的三种表示法（1）解析法（2）列表法（3）图像法 3、由函数解析式画其图像的一般步骤（1）列表（2）描点（3）连线 4、自变量取值范围四、正比例函数和一次函数 1、正比例函数和一次函数的概念一般地，如果b kx y +=（k ，b 是常数，k ≠0），那么y 叫做x 的一次函数。特别地，当一次函数b kx y +=中的b 为0时，kx y =（k 为常数，k ≠0）。这时，y 叫做x 的正比例函数。

初中数学函数图像专题

中考专项复习三（函数及其图象）一、选择题(本题共10 小题，每小题4 分，满分40分) 2．若 ab ＞0，bc<0，则直线y=－a b x －c b 不通过（）. A ．第一象限 B 第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．若二次函数y=x 2－2x+c 图象的顶点在x 轴上，则c 等于（）. A ．－1 B ．1 C ． 2 1 D ．2 4．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（）. A ．y=－x －2 B ．y=－x －6 C ．y=－x+10 D ．y=－x －1 5．已知一次函数y= kx+b 的图象经过第一、二、四象限，则反比例函数y= kb x 的图象大致为（） . 6．二次函数y=x 2－4x+3的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，则△ABC 的面积为 A ．1 B ．3 C ．4 D ．6 7．已知一次函数y=kx+b 的图象如图所示，当x ＜0时，y 的取值范围是（）. A ．y ＞0 B ．y ＜0 C ．－2＜y ＜0 D ．y ＜－2 8．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，则点(a+b ，ac)在（）. A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限（第7题图）（第8题图）（第9题图）（第10题图） 9．二次函数c bx ax y ++=2 （0≠a ）的图象如图所示，则下列结论： ①a ＞0； ②b ＞0； ③c ＞0；④b 2-4a c ＞0，其中正确的个数是（）. A ． 0个 B ． 1个 C ． 2个 D ． 3个 10．如图，正方形OABC ADEF ，的顶点A D C ，，在坐标轴上，点F 在AB 上，点B E ，在函数 1 (0)y x x =>的图象上，则点E 的坐标是（）Ａ． ?? Ｂ． ? ? Ｃ． ?? Ｄ．?? 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分) 11．已知y 与(2x+1)成反比例，且当x=1时,y=2，那么当x=-1时，y=_________. 12．在平面直角坐标系内，从反比例函数x k y = （k ＞0）的图象上的一点分别作x 、y 轴的垂线段，与x 、y 轴所围成的矩形面积是12，那么该函数解析式是_________. 13．老师给出一个函数，甲、乙、丙各正确指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第一象限；乙：函数的图象经过第三象限；丙：在每个象限内，y 随x 的增大而减小 .请你根据他们的叙述构造满足上述 x

基于Matlab的图像边缘检测算法的实现及应用汇总

目录摘要 (1) 引言 (2) 第一章绪论 (3) 1.1 课程设计选题的背景及意义 (3) 1.2 图像边缘检测的发展现状 (4) 第二章边缘检测的基本原理 (5) 2.1 基于一阶导数的边缘检测 (8) 2.2 基于二阶导的边缘检测 (9) 第三章边缘检测算子 (10) 3.1 Canny算子 (10) 3.2 Roberts梯度算子 (11) 3.3 Prewitt算子 (12) 3.4 Sobel算子 (13) 3.5 Log算子 (14) 第四章MATLAB简介 (15) 4.1 基本功能 (15) 4.2 应用领域 (16) 第五章编程和调试 (17) 5.1 edge函数 (17) 5.2 边缘检测的编程实现 (17) 第六章总结与体会 (20) 参考文献 (21)

摘要边缘是图像最基本的特征，包含图像中用于识别的有用信息，边缘检测是数字图像处理中基础而又重要的内容。该课程设计具体考察了5种经典常用的边缘检测算子,并运用Matlab进行图像处理结果比较。梯度算子简单有效，LOG 算法和Canny 边缘检测器能产生较细的边缘。边缘检测的目的是标识数字图像中灰度变化明显的点，而导函数正好能反映图像灰度变化的显著程度，因而许多方法利用导数来检测边缘。在分析其算法思想和流程的基础上，利用MATLAB对这5种算法进行了仿真实验，分析了各自的性能和算法特点，比较边缘检测效果并给出了各自的适用范围。关键词：边缘检测；图像处理；MATLAB仿真

引言边缘检测在图像处理系统中占有重要的作用，其效果直接影响着后续图像处理效果的好坏。许多数字图像处理直接或间接地依靠边缘检测算法的性能，并且在模式识别、机器人视觉、图像分割、特征提取、图像压缩等方面都把边缘检测作为最基本的工具。但实际图像中的边缘往往是各种类型的边缘以及它们模糊化后结果的组合，并且在实际图像中存在着不同程度的噪声，各种类型的图像边缘检测算法不断涌现。早在1965 年就有人提出边缘检测算子，边缘检测的传统方法包括Kirsch，Prewitt，Sobel，Roberts，Robins，Mar-Hildreth 边缘检测方法以及Laplacian-Gaussian（LOG）算子方法和Canny 最优算子方法等。本设计主要讨论其中5种边缘检测算法。在图像处理的过程需要大量的计算工作,我们利用MATLAB各种丰富的工具箱以及其强大的计算功能可以更加方便有效的完成图像边缘的检测。并对这些方法进行比较

角函数图像的对称轴与对称中心

函数轴对称：如果一个函数的图象沿一条直线对折，直线两则的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转 180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。正弦函y=sinx 的图像既是轴对称又是中心对称，它的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形；y=sinx 的图象的对称轴是经过其图象的 “峰顶点” 或 “谷底点” ，且平行于y 轴的无数条直线；它的图象关于x 轴的交点分别成中心对称图形。三角函数图像的对称轴与对称中心特级教师王新敞对于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系．而tan()y A x ωφ=+的对称中心与零点和渐近线与x 轴的交点相联系，有渐近线但无对称轴．由于函数sin()y A x ωφ=+、cos()y A x ωφ=+和tan()y A x ωφ=+的简图容易画错，一般只要通过函数sin y x =、cos y x =、tan y x =图像的对称轴与对称中心就可以快速准确的求出对应的复合函数的对称轴与对称中心． 1.正弦函数sin y x =图像的对称轴与对称中心：对称轴为2 x k π π=+ 、对称中心为(,0) k k Z π∈．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴只需将x ωφ+取代上面的x 的位置，即 2 x k π ωφπ+=+ ()k Z ∈，由此解出1 ()2 x k π πφω = + - ()k Z ∈，这就是函数 sin()y A x ωφ=+的图象的对称轴方程．对于函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心只需令x k ωφπ+= ()k Z ∈，由此解出 1 ()x k πφω = - ()k Z ∈，这就是函数sin()y A x ωφ=+的图象的对称中心的横坐标，得对称中心1 ( (),0) k k Z πφω -∈． 2.余弦函数cos y x =图像的对称轴与对称中心：

数据隐藏课程设计论文——图像的信息隐藏检测算法和实现

中国科学技术大学继续教育学院课程设计论文报告论文题目：图像的信息隐藏检测算法和实现学员姓名：黄琳学号：TB04202130 专业：计算机科学与技术指导教师：日期：2007年1月20日

图像的信息隐藏检测算法和实现 [摘要] Information hiding analysis is the art of detecting the message's existence or destroying the stega nographic cover in order to blockade the secret communication. And information Information hiding includes steganography and digital watermark. The application of steganography can be traced to ancient time, and it is also an n hiding detection is the very first step in information hiding analysis. Firstlly, architectonic analysis about information hiding detection is proposed, including the analysis of digital image characteristics, image based detecting algorithms and some problems in its realization. Secondly, many detecting algorithms are introduced with theoretical analyses and experimental results in details. Thirdly, two applications of detecting technology are put forward. Finally, a detecting model used in Internet is discussed [关键词]安全信息隐藏检测 1. 引言数字图像的信息隐藏技术是数字图像处理领域中最具挑战性、最为活跃的研究课题之一。本文概述了数字图像的信息隐藏技术，并给出了一个新的基于彩色静止数字图像的信息隐藏算法。数字图像可分为静止图像和动态图像两种，后者一般称为视频图像。视频图像的每一帧均可看作是一幅静止图像，但是这些静止图像之间并不是相互孤立的，而是存在时间轴上的相关性。静止图像是像素（Pixel）的集合，相邻像素点所对应的实际距离称为图像的空间分辨率。根据像素颜色信息的不同，数字图像可分为二值图像、灰度图像以及彩色图像。数字图像的最终感受者是人的眼睛，人眼感受到的两幅质量非常相同的数字图像的像素值可能存在很大的差别。这样，依赖于人的视觉系统（Human Visual System，HVS）的不完善性，就为数字图像的失真压缩和信息隐藏提供了非常巨大的施展空间。信息隐藏与信息加密是不尽相同的，信息加密是隐藏信息的内容，而信息隐藏是隐藏信息的存在性，信息隐藏比信息加密更为安全，因为它不容易引起攻击者的注意。 2. 信息隐藏技术综述 2.1信息隐藏简介信息隐藏（Information Hiding），也称作数据隐藏（Data Hiding），或称作数字水印（Digital Watermarking）。简单来讲，信息隐藏是指将某一信号（一般称之为签字信号，Signature Signal）嵌入（embedding）另一信号（一般称之为主信号，Host Signal，或称之为掩护媒体，cover-media）的过程，掩护媒体经嵌入信息后变成一个伪装媒体（stegano-media）。这一嵌入过程需要满足下列条件：

函数图象的对称教案

函数图象的对称教案【教学目标】1．让学生掌握函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法； 2．让学生了解函数图象的自对称和两函数图象之间的相互对称问题．【教学重点】函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法【教学难点】自对称和相互对称的区别【例题设置】例1、例2、例3（函数（或曲线）关于点（或直线）的对称问题的解法），例4（函数的对称问题）【教学过程】一、函数关于点（或直线）的对称函数解析式的求法〖例1〗写出点),(y x M 关于下列直线或点对称的点的坐标 ★ 点评：将点),(y x M 改为函数)(x f y =图象或曲线0),(=y x F 解法类似，其步骤大致如下：将所求曲线上的任意一点(,)P x y ，求其关于点（或直线）的对称点(,)P x y '''，再将点P '的坐标代入原方程，即可得到所求的轨迹方程．因此所有的对称问题最终都将归结为点的对称问题,只要记住对称点的写法, 问题便迎刃而解. 〖例2〗已知函数31y x =+，则其关于原点对称的函数解析式为；关于直线1y x =+对称的函数解析式为．当对称轴斜率为±1时，点坐标符合口诀： x 用y 代， y 用x 代．

答案：31y x =-；113 y x =+ 〖例3〗已知定义在[1,1]-上的奇函数()f x 的图象与函数()g x 的图象关于点(2,1)对称，且当34x ≤≤时，3()(4)2g x x =-+，求()f x 的解析式．解：① 设(,)P x y （01x ≤≤）为()f x 的图象上的任意一点，则其关于点(2,1)的对称点(4,2)P x y '--（344x ≤-≤）必在()g x 的图象上，故32(44)2y x -=--+ ∴当01x ≤≤时，3()f x x = ② 当10x -≤<时，10x -≤<，且()f x 为奇函数 ∴33()()()f x f x x x =--=--= 综上所述， 3()f x x =．〖例4〗设函数()y f x =的定义域为R ，则下列命题中： ① 若()f x 为偶函数，则(2)y f x =+的图象关于y 轴对称； ② 若(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ③ 若(2)(2)f x f x -=-，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ④ 若(2)(2)f x f x +=-，则()y f x =的图象关于直线2x =对称； ⑤ (2)y f x =+与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称． ⑥ (2)y f x =-与(2)y f x =-图象关于直线2x =对称．其中正确命题的序号为：．答案：④⑥ ★点评：其中注意④⑤的区别，(2)(2)f x f x +=-指的是()y f x =的图象自身的一种对称关系；而(2)y f x =+与(2)y f x =-是函数()f x 通过复合变换后得到的两个新的函数图象，要求的应是这两个函数图象的对称关系．二、函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称）命题1：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线x a =对称．推论：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f b x +=-，则函数()y f x =的图象关于直线()()22 a x b x a b x ++-+= = 对称．命题2：设函数()y f x =的定义域为D ，若对于一切的x D ∈，都有()()f a x f a x +=--，思考：情形一中 x 的范围是如何给出的，为何要限定其范围？

一次函数图象的变换--对称

一次函数图象的变换——对称求一次函数图像关于某条直线对称后的解析式是一类重要题型，同学们在做时经常做错，下面我介绍一种简便的方法：抓住对称点的坐标解决问题。知识点： 1、与直线y=kx+b关于x轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（x, -y）应当在直线y=kx+b上，于是有-y=kx+b,即l：y=-kx-b。 2、与直线y=kx+b关于y轴对称的直线l，每个点与它的对应点都关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数。设l上任一点的坐标为（x,y），则（-x, y）应当在直线y=kx+b上，于是有y=-kx+b,即l：y=-kx+b。下面我们通过例题的讲解来反馈知识的应用：例：已知直线y=2x+6.分别求与直线y=2x+6关于x轴，y轴和直线x=5对称的直线l的解析式。分析：关于x轴对称时，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称时，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直坐标轴）对称时，则相关点解：1、关于x轴对称设点（ x , y ）在直线l上，则点（ x , -y ）在直线y=2x+6上。即：-y=2x+6 y=-2x-6 所以关于x轴对称的直线l的解析式为：y=-2x-6. 关于直线对称。 2、关于y轴对称设点（x,y）在直线l上，则点（-x,y）在直线y=2x+6上。即：y=2(-x) +6 y=-2x+6 所以关于y轴对称的直线l的解析式为：y=-2x+6.

3、关于直线x=5对称（作图）由图可知：AB=BC则C点横坐标：-x+5+5=-x+10 所以点C （-x+10, y）设点（x,y）在直线l上，则点（-x+10, y）在直线y=2x+6上。即：y=2（-x+10）+6 y=-2x+26 所以关于直线x=5对称的直线l的解析式为：y=-2x+26. 总结：根据对称求直线的解析式关键在找对称的坐标点。关于x轴对称，横坐标不变纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标不变横坐标互为相反数；关于某条直线（垂直对称轴）对称，可见例题中分析的方法去求对称点。练习：1、和直线y=5x-3关于y轴对称的直线解析式为，和直线y=-x-2关于x轴对称的直线解析式为。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -2x+8关于y轴对称，求k、b的值。答案：1、y=-5x-3;y=x+2 分析：设点（x,y）在直线上，则点（-x,y）在关于y轴对称的直线y=5x-3上，所以直线为y=-5x-3;设点（x,y）在直线上，则点（x,-y）在

初中数学一次函数的图像专项练习30题(有答案)

一次函数（图像题）专项练习一 1．函数y=ax+b 与y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（） A ． B ． C ． D ． 2．一次函数y 1=kx+b 与y 2=x+a 的图象如图，则下列结论：①k ＜0；②a ＞0；③当x ＞2时，y 2＞y 1，其中正确的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 3．一次函数y=kx+b ，y 随x 的增大而减小，且kb ＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（） A ． B ． C ． D ． 4．下列函数图象不可能是一次函数y=ax ﹣（a ﹣2）图象的是（） A ． B ． C ． D ． 5．如图所示，如果k ?b ＜0，且k ＜0，那么函数y=kx+b 的图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 6．如图，直线l 1：y=x+1与直线l 2：y=﹣x ﹣把平面直角坐标系分成四个部分，则点（，）在（）

A ．第一部分 B ．第二部分 C ．第三部分 D ．第四部分 7．已知正比例函数y=﹣kx 和一次函数y=kx ﹣2（x 为自变量），它们在同一坐标系内的图象大致是（） A ． B ． C ． D ． 8．函数y=2x+3的图象是（） A ．过点（0，3），（0，﹣）的直线 B ．过点（1，5），（0，﹣）的直线 C ．过点（﹣1，﹣1），（﹣，0）的直线 D ．过点（0，3），（﹣，0）的直线 9．下列图象中，与关系式y=﹣x ﹣1表示的是同一个一次函数的图象是（） A ． B ． C ． D ． 10．函数kx ﹣y=2中，y 随x 的增大而减小，则它的图象是下图中的（） A ． B ． C ． D ． 11．已知直线y 1=k 1x+b 1，y 2=k 2x+b 2，满足b 1＜b 2，且k 1k 2＜0，两直线的图象是（） A ． B ． C ． D ． 12．如图所示，表示一次函数y=ax+b 与正比例函数y=abx （a ，b 是常数，且ab ≠0）的图象是（） A ． B ． C ． D ． 13．连降6天大雨，某水库的蓄水量随时间的增加而直线上升．若该水库的蓄水量V （万米3）与降雨的时间t （天）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）

初中数学一次函数的图像专项练习30题(有答案)ok

. 一次函数的图像专项练习30题（有答案） 1．函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（） A．B．C．D． 2．一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a＞0；③当x＞2时，y2＞y1，其中正确的个数是（） A．0B．1C．2D．3 3．一次函数y=kx+b，y随x的增大而减小，且kb＞0，则在直角坐标系内它的大致图象是（）A．B．C．D． 4．下列函数图象不可能是一次函数y=ax﹣（a﹣2）图象的是（） A．B．C．D． 5．如图所示，如果k?b＜0，且k＜0，那么函数y=kx+b的图象大致是（） A．B．C．D． 6．如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=﹣x ﹣把平面直角坐标系分成四个部分，则点（，）在（）

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