7．3*复数的三角表示
考点学习目标核心素养复数的三角形式
了解复数的三角形式，了解复数的代数
表示与三角表示之间的关系
数学抽象
复数三角形式乘、除运算的
三角表示及其几何意义
了解复数乘、除运算的三角表示及其几
何意义
数学抽象、数学
运算
问题导学
预习教材P83－P89的内容，思考以下问题：
1．复数z＝a＋b i的三角形式是什么？
2．复数的辐角、辐角的主值是什么？
3．复数三角形式的乘、除运算公式是什么？
4．复数三角形式乘、除运算的几何意义是什么？
1．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
一般地，任何一个复数z＝a＋b i都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ
→
所在射线(射线OZ
→
)为终边的角，叫做复数z＝a＋b i的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z.r(cos θ＋isin θ)叫做复数z＝a＋b i的三角表示式，简称三角形式．a＋b i叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
■名师点拨
(1)任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
(2)复数0的辐角是任意的．
(3)在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作arg z，且0≤arg z＜2π.
(4)两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．
2．复数三角形式的乘、除运算
若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则
(1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)
＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)z 1z 2＝
r 1（cos θ1＋isin θ1）
r 2（cos θ2＋isin θ2）
＝r 1r 2
[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和． 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)复数的辐角是唯一的．( )
(2)z ＝cos θ－isin θ是复数的三角形式．( ) (3)z ＝－2(cos θ＋isin θ)是复数的三角形式．( ) (4)复数z ＝cos π＋isin π的模是1，辐角的主值是π.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√
复数z ＝1＋i 的三角形式为z ＝________． 解析：r ＝2，cos θ＝
12＝22
， 又因为1＋i 对应的点位于第一象限， 所以arg(1＋i)＝π
4
.
所以1＋i ＝2? ????cos π4＋isin π4. 答案：2?
????cos π4＋isin π4 复数6? ????cos π
2＋isin π2的代数形式为________．
解析：6? ????cos π
2＋isin π2＝6cos π2＋6isin π2＝6i.
答案：6i
6?
????cos π
3＋isin π3×4? ????cos π6＋isin π6＝________；
6?
????cos π
3＋isin π3÷4? ????cos π6＋isin π6＝________．
解析：6? ????cos π3＋isin π3×4?
????cos π
6＋isin π6
＝24????
??cos ? ????π3＋π6＋isin ? ????π3＋π6
＝24i.
6?
????cos π
3＋isin π3÷4? ????cos π6＋isin π6
＝64??????cos ? ????π3－π6＋isin ? ????π3－π6
＝32? ????cos π
6＋isin π6
＝
334＋34
i. 答案：24i
334＋3
4
i
复数的代数形式与三角形式的互化 角度一 代数形式化为三角形式
把下列复数的代数形式化成三角形式： (1)3＋i ； (2)2－2i.
【解】 (1)r ＝3＋1＝2，因为3＋i 对应的点在第一象限， 所以cos θ＝
32，即θ＝π6
， 所以3＋i ＝2? ????cos π
6＋isin π6.
(2)r ＝2＋2＝2，cos θ＝
2
2
， 又因为2－2i 对应的点位于第四象限， 所以θ＝7π
4
.
所以2－2i ＝2?
????cos 7π
4＋isin 7π4.
复数的代数形式化三角形式的步骤
(1)先求复数的模． (2)决定辐角所在的象限． (3)根据象限求出辐角．
(4)求出复数的三角形式．
[提醒] 一般在复数三角形式中的辐角，常取它的主值这既使表达式简便，又便于运算，但三角形式辐角不一定取主值．
角度二 三角形式化为代数形式
分别指出下列复数的模和辐角的主值，并把这些复数表示成代数形式． (1)4? ????cos π6＋isin π6； (2)
3
2
(cos 60°＋isin 60°)； (3)2?
????cos π3－isin π3. 【解】 (1)复数4? ????cos π6＋isin π6的模r ＝4，辐角的主值为θ＝π6.
4? ????cos π6＋isin π6＝4cos π6＋4isin π6
＝4×
32＋4×12
i ＝23＋2i. (2)
32(cos 60°＋isin 60°)的模r ＝3
2
，辐角的主值为θ＝60°. 32(cos 60°＋isin 60°)＝32×12＋32×32i ＝
34＋3
4
i. (3)2?
????cos π3－isin π3 ＝2??????cos ? ????2π－π3＋isin ? ????2π－π3
＝2? ????cos 5
3
π＋isin 53π.
所以复数的模r ＝2，辐角的主值为5
3π.
2?
????cos 53π＋isin 53π＝2cos 53π＋2isin 53π ＝2×12＋2×? ?
???－32i
＝1－3i.
复数的三角形式z ＝r (cos θ＋isin θ)必须满足“模非负、余正弦、＋相连、角统一、i 跟sin ”，否则就不是三角形式，只有化为三角形式才能确定其模和辐角，如本例(3)．
下列复数是不是复数的三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式．
(1)12? ?
???cos π4－isin π4；
(2)－12? ?
???cos π3＋isin π3；
(3)12? ?
???sin 3π4＋icos 3π4；
(4)cos 7π5＋isin 7π
5；
(5)12?
?
???cos π2＋isin π6.
解：根据复数三角形式的定义可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是复数的三角形式． (1)原式＝12??????cos ? ????－π4＋isin ? ????－π4； (2)原式＝12??????cos ? ????π＋π3＋isin ? ????π＋π3
＝12?
?
???cos 4π3＋isin 4π3；
(3)原式＝12??????cos ? ????π2－3π4＋isin ? ????π2－3π4
＝12??????cos ? ????－π4＋isin ? ????－π4；
(5)原式＝14?
?
???cos π2＋isin π2.
复数三角形式的乘、除运算
计算：
(1)8?
????cos 43π＋isin 43π×4? ????cos 56π＋isin 56π；
(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)]； (3)4÷?
????cos π4＋isin π4. 【解】 (1)8?
????cos 43π＋isin 43π×4? ????cos 56π＋isin 56π
＝32??????cos ? ????43π＋56π＋isin ? ????4
3π＋56π
＝32? ????cos 136π＋isin 136π ＝32? ????cos π6＋isin π6 ＝32?
??
??32＋12i ＝163＋16i.
(2)3(cos 225°＋isin 225°)÷[2(cos 150°＋isin 150°)] ＝
3
2
[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)] ＝6
2
(cos 75°＋isin 75°) ＝
62? ????6－24＋6＋24i ＝
6－238＋6＋23
8i ＝
3－34＋3＋34
i. (3)4÷?
????cos π4＋isin π4
＝4(cos 0＋isin 0)÷?
????cos π4＋isin π4
＝4????
??cos ? ????－π4＋isin ? ????－π4
＝22－22i.
(1)乘法法则：模相乘，辐角相加． (2)除法法则：模相除，辐角相减．
(3)复数的n 次幂，等于模的n 次幂，辐角的n 倍．
计算：
(1)??????2?
????cos π3＋isin π32
；
(2)2(cos 75°＋isin 75°)×? ??
??12－12i ；
(3)? ????－1
2＋32i ÷??????2? ????cos π3＋isin π3.
解：(1)??????2? ????cos π3＋isin π32
＝(2)2? ????cos 23π＋isin 23π ＝2? ????－1
2＋32i ＝－1＋3i.
(2)12－12i ＝22? ????22－22i ＝
22? ?
?
??cos 74π＋isin 74π， 所以2(cos 75°＋isin 75°)×? ??
??12－12i
＝2? ????cos 512π＋isin 512π×??????22? ????cos 74π＋isin 74π ＝2×
22??????cos ? ????512π＋74π＋isin ? ????5
12
π＋74π ＝cos 2612π＋isin 26
12π
＝cos π6＋isin π
6
＝
32＋12
i. (3)因为－12＋32i ＝cos 23π＋isin 2
3π，
所以? ????－1
2＋32i ÷??????2? ????cos π3＋isin π3
＝?
????cos 23π＋isin 23π÷??????2? ????cos π3＋isin π3
＝12??????cos ? ????23π－π3＋isin ? ????2
3π－π3
＝12? ?
???cos π3＋isin π3
＝14＋3
4
i.
复数三角形式乘、除运算的几何意义
在复平面内，把复数3－3i 对应的向量分别按逆时针和顺时针方向旋转π
3
，求
所得向量对应的复数．
【解】 因为3－3i ＝23?
??
??
32－12i ＝23?
????cos 116π＋isin 116π 所以23? ????cos 116π＋isin 116π×? ????cos π3＋isin π3 ＝23??????cos ? ????116π＋π3＋isin ? ????11
6π＋π3
＝23? ????cos 136π＋isin 136π ＝23? ??
??cos π6＋isin π6
＝3＋3i ，
23? ????cos 116π＋isin 116π×??????cos ? ????－π3＋isin ? ????－π3 ＝23??????cos ? ????116π－π3＋isin ? ????11
6π－π3
＝23? ????cos 32π＋isin 32π
＝－23i.
故把复数3－3i 对应的向量按逆时针旋转π3得到的复数为3＋3i ，按顺时针旋转π
3得
到的复数为－23i.
两个复数z 1，z 2相乘时，先分别画出与z 1，z 2对应的向量OZ 1→，OZ 2→，然后把向量OZ 1→
绕点O 按逆时针方向旋转角θ2(如果θ2<0，就要把OZ 1→
绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|)，再把它的模变为原来的r 2倍，得到向量OZ →，OZ →
表示的复数就是积z 1z 2.
在复平面内，把与复数334＋3
4
i 对应的向量绕原点O 按逆时针方向旋转
π
3
，然后将其长度伸长为原来的2倍，求与所得向量对应的复数．(用代数形式表示) 解：334＋34i ＝32?
?
???cos π6＋isin π6，由题意得
32?
????cos π6＋isin π6×??????2? ????cos π3＋isin π3
＝32×2??????cos ? ????π6＋π3＋isin ? ????π6＋π3 ＝3? ????cos π2＋isin π2
＝3i ，
即与所得向量对应的复数为3i.
1．复数1－3i 的辐角的主值是( ) A.5
3π B.23π C.5
6
π D.π3
解析：选A.因为1－3i ＝2? ????1
2－32i ＝2? ????cos 53π＋isin 53π，所以1－3i 辐角的主
值为5
3
π.
2．复数9(cos π＋isin π)的模是________． 答案：9
3．arg(－2i)＝________． 答案：32π
4．计算：
(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°)； (2)2(cos 300°＋isin 300°)÷??????2? ????cos 34π＋isin 34π. 解：(1)(cos 75°＋isin 75°)(cos 15°＋isin 15°) ＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°) ＝cos 90°＋isin 90° ＝i.
(2)2(cos 300°＋isin 300°)÷??????2? ????cos 34π＋isin 34π ＝2? ????cos 53π＋isin 53π÷??????2? ????cos 34π＋isin 34π
＝2??????cos ? ????53π－34π＋isin ? ????5
3
π－34π
＝2? ????cos 1112π＋isin 1112π ＝－1＋32＋3－1
2
i.
[A 基础巩固]
1．复数12－3
2
i 的三角形式是( )
A ．cos ? ????－π3＋isin ? ??
??－π3 B ．cos π3＋isin π
3
C ．cos π3－isin π3
D ．cos π3＋isin 5π
6
解析：选A.12－32i ＝cos 53π＋isin 5
3π
＝cos ? ????2π－π3＋isin ?
????2π－π3 ＝cos ? ????－π3＋isin ? ??
??－π3.
2．复数sin 50°－isin 140°的辐角的主值是( ) A ．150° B ．40° C ．－40°
D ．320°
解析：选D.sin 50°－isin 140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°) ＝cos 320°＋isin 320°.
3．复数sin 4＋icos 4的辐角的主值为( ) A ．4 B.3π
2－4 C ．2π－4
D.5π2
－4 解析：选D.sin 4＋icos 4＝cos ? ????52π－4＋isin ? ??
??52π－4. 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( ) A.π
4
B.π4或5π4
C ．2k π＋π
4(k ∈Z )
D ．k π＋π
4
(k ∈Z )
解析：选D.因为cos θ＋isin θ＝sin θ＋icos θ， 所以cos θ＝sin θ，即tan θ＝1，
所以θ＝π
4
＋k π，(k ∈Z )．
5．如果θ∈? ??
??π2，π，那么复数(1＋i)(cos θ－isin θ)的三角形式是( ) A.2?
??
?
?
?cos ?
????9π4－θ＋isin ? ????9π4－θ
B.2[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]
C.2?
???
??cos ?
????π4＋θ＋isin ? ????π4＋θ
D.2????
?
?cos ? ????3π4＋θ＋isin ? ????3π4＋θ
解析：选A.因为1＋i ＝2? ????cos π4＋isin π4，
cos θ－isin θ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)， 所以(1＋i)(cos θ－isin θ) ＝2???
??
?cos ? ????π4＋2π－θ＋isin ? ????π4＋2π－θ
＝2?
???
?
?cos ?
????9π4－θ＋isin ? ????9π4－θ.
6．已知z ＝cos 2π3＋isin 2π3，则arg z 2
＝________．
解析：因为arg z ＝2π3，所以arg z 2
＝2arg z ＝2×2π3＝4π3.
答案：4π
3
7．把复数1＋i 对应的向量按顺时针方向旋转π
2
，所得到的向量对应的复数是________．
解析：(1＋i)????
??cos ? ????－π2＋isin ? ????－π2 ＝2? ????cos π4＋isin π4??????cos ? ????－π2＋isin ? ????－π2 ＝2??????cos ?
????π4－π2＋isin ? ????π4－π2
＝2?
???
??cos ?
??
??－π4＋isin ?
????－π4
＝1－i.
答案：1－i
8．设复数z 1＝1＋3i ，z 2＝3＋i ，则z 1
z 2
的辐角的主值是_________________．
解析：由题知，z 1＝2? ????cos π3＋isin π3，z 2＝2?
????cos π6＋isin π6， 所以z 1z 2的辐角的主值为π3－π6＝π
6
.
答案：π6
9．设复数z 1＝3＋i ，复数z 2满足|z 2|＝2，已知z 1z 2
2的对应点在虚轴的负半轴上，且arg z 2
∈(0，π)，求z 2的代数形式．
解：因为z 1＝2? ????cos π6＋isin π6，设z 2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)，所以z 1z 22
＝8??????cos ? ????2α＋π6＋isin ? ????2α＋π6.由题设知2α＋π6＝2k π＋3π2(k ∈Z )，所以α＝k π＋
2π3(k ∈Z )，又α∈(0，π)，所以α＝2π3，所以z 2＝2?
????cos 2π3＋isin 2π3＝－1＋3i.
10．已知z ＝－1＋i i －2i ，z 1－z －
z 2＝0，arg z 2＝7π12
，若z 1，z 2在复平面内分别对应点A ，
B ，且|AB |＝2，求z 1和z 2.
解：由题设知z ＝1－i ，因为|AB |＝2，即|z 1－z 2|＝2，
所以|z 1－z 2|＝|z －
z 2－z 2|＝|(1＋i)z 2－z 2|＝|i z 2|＝|z 2|＝2，又arg z 2＝7π12，
所以z 2＝2?
????cos 7π12＋isin 7π12， z 1＝z －
z 2＝(1＋i)z 2＝
2? ??
??cos π4＋isin π4
·
2? ??
??cos 7π12＋isin 7π12
＝
2?
????cos 5π6＋isin 5π6.
[B 能力提升]
11．若复数z ＝(a ＋i)2
的辐角的主值是3π2，则实数a 的值是( )
A ．1
B ．－1
C ．－ 2
D ．－ 3
解析：选B.因为z ＝(a ＋i)2＝(a 2
－1)＋2a i ，arg z ＝3π2
，
所以?
????a 2
－1＝0a <0，所以a ＝－1，故选B.
12．设π<θ<5π4，则复数cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ的辐角的主值为( )
A ．2π－3θ
B ．3θ－2π
C ．3θ
D ．3θ－π
解析：选B.cos 2θ＋isin 2θcos θ－isin θ＝cos 2θ＋isin 2θ
cos （－θ）＋isin （－θ）＝cos 3θ＋isin 3θ.
因为π<θ<5π4，所以3π<3θ<15π
4，
所以π<3θ－2π<7π
4
，故选B.
13．已知复数z 满足z 2
＋2z ＋4＝0，且arg z ∈? ??
??π2，π，则z 的三角形式为________．
解析：由z 2
＋2z ＋4＝0，得z ＝12
(－2±23i)＝－1±3i.
因为arg z ∈? ??
??π2，π， 所以z ＝－1－3i 应舍去，
所以z ＝－1＋3i ＝2? ????cos 2π3＋isin 2π3.
答案：z ＝2?
????cos 2π3＋isin 2π3
14．已知k 是实数，ω是非零复数，且满足arg ω＝34π，(1＋ω－)2＋(1＋i)2
＝1＋kω.
(1)求ω的值；
(2)设z ＝cos θ＋isin θ，θ∈[0，2π]，若|z －ω|＝1＋2，求θ的值． 解：(1)设ω＝r ? ??
??
－22＋22i (r >0)，可求出r ＝2，即ω＝－1＋i. (2)|z －ω|＝
3＋22cos ?
????θ＋π4.
因为|z －ω|＝1＋2， 所以
3＋22cos ?
????θ＋π4＝1＋2，
化简得cos ? ????θ＋π4＝1，
而
π4≤θ＋π4≤9π
4
， 所以θ＋π4＝2π，即θ＝7π4
.
[C 拓展探究]
15．设O 为复平面的原点，A 、B 为单位圆上两点，A 、B 所对应的复数分别为z 1、z 2，z 1、
z 2的辐角的主值分别为α、β.若△AOB 的重心G 对应的复数为13＋1
15
i ，求tan(α＋β)．
解：由题意可设z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β. 因为△AOB 的重心G 对应的复数为13＋1
15i ，
所以z 1＋z 23＝13＋1
15i ，即?
????cos α＋cos β＝1，sin α＋sin β＝15，
所以?????2cos α＋β2cos α－β2＝1，2sin α＋β2cos α－β2＝1
5，
所以tan
α＋β2
＝1
5，故tan(α＋β)＝2tan
α＋β
21－tan
2α＋β2
＝5
12.
高一数学专项练习题 高一数学专项练习题 高一数学专项练习一. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知函数唯一的零点在区间内，那么下面命题错误的( ) A 函数在或内有零点 B 函数在内无零点 C 函数在内有零点 D 函数在内不一定有零点 2.若，，则与的关系是 ( ) A B C D 3. 函数零点的个数为 ( ) A B C D 4. 已知函数y=f(x)有反函数，则方程f(x)=0 ( ) A 有且仅有一个根 B 至多有一个根 C 至少有一个根 D 以上结论都不对 5. 某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林，则第四年造林( ) A 亩 B 亩 C 亩 D 亩 二. 填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分。 6.用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是
7.函数f(x)=lnx-x+2的零点个数为 8. 设函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在[a,b]上有实根. 9. 若点(2,1)既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=__________________，=__________________ 三. 解答题：本大题共3小题，共41分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 10.(本小题13分) 某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元，销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为多少? 11.(本小题14分) 设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程有且仅有一根介于和之间。 12.(本小题14分) 函数在区间上有最大值，求实数的值 B组题(共100分) 四. 选择题：本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 13.如果二次函数y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点，则m的取值范围是( ) A (-2,6) B [-2,6] C {-2,6｝ D (-,-2)(6,+)
网易云课堂_C++程序设计入门(下)_第9单元：白公曾咏牡丹芳，一种鲜妍独“异常”_第9单元 - 作业3：OJ编程 - 使用异常进行复数运算的错误处理... 第9单元?-?作业3：OJ编程?-?使用异常进行复数运算的错误处理 查看帮助 温馨提示： 1.本次作业属于Online Judge题目，提交后由系统即时判分。 2.学生可以在作业截止时间之前不限次数提交答案，系统将取其中的最高分作为最终成绩。 在复数的运算中，练习异常处理 依照学术诚信条款，我保证此作业是本人独立完成的。 通过C++内建的异常类，处理复数除法中除数为0 的问题（5分）题目内容请参见【第9单元 - 作业3说明：【OJ - 使用异常进行错误处理】】 时间限制：500ms内存限制：32000kb #include iostream #include exception #include stdexcept #include limits #include cmath
using namespace std; class MyComplex--2. 创建一个类 MyComplex，用来表示复数。 MyComplex(); MyComplex(double a, double b); friend ostream operator (ostream os, const MyComplex z);--4. 重载流插入运算符，使之可以将复数输出为如下的格式(实部如果是非负数，则不输出符号位；输出时要包含半角左右小括号)：friend istream operator (istream is, MyComplex z);--3. 重载流提取运算符，使之可以读入以下格式的输入(两个数值之间使用空白分隔)，将第一个数值存为复数的实部，将第二个数值存为复数的虚部： MyComplex operator+(const MyComplex secondMyComplex);--加法法则：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i； MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--减法法则：(a+bi)－(c+di)=(a－c)+(b－d)i； MyComplex operator*(const MyComplex secondMyComplex);--乘法法则：(a+bi)·(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i； MyComplex operator-(const MyComplex secondMyComplex);--除法法则：(a+bi)÷(c+di)=[(ac+bd)-(c2+d2)]+[(bc-ad)-(c2+d2)]i. private: double a_;
高中数学基础训练测试题（1） 集合的概念，集合间的基本关系 一、填空题（共12题，每题5分） 1、集合中元素的特征： ， ， . 2、集合的表示法： ， ， . 3、已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是 . 4、设集合I={1，2，3}，A ?I,若把集合M ∪A=I 的集合M 叫做集合A 的配集. 则A={1，2}的配集有 个 . 5、设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 . （1）．P Q （2）．Q P （3）．P =Q （4）．P ∩Q =Q 6、满足条件?≠?M ≠?{0，1，2}的集合共有 个. 7、 若集合a B A a a a B a a A 则且},1{},43|,2|,12{},1,1,{22-=+--=-+= = . 8、 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ??≠集合M 有_____个. 9、集合{|10}A x ax =-=，{} 2 |320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______、 10、已知集合{}{} A x x x R B x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ?，则a 的取值范围是_______ . 11、 若2 {|30}A x x x a =++=，求集合A 中所有元素之和 . 12、任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n= ??+异奇偶） 与同奇偶）与n m mn n m n m ((,则集合M={(a,b)|a ⊕b=36,a 、b ∈N +}中元素的个数是___________.
第1章：复数与复变函数 §1 复数 1．复数域 形如iy x z +=的数，称为复数，其中y x ,为实数。实数x 和实数y 分别称为复数iy x z +=的实部与虚部。记为 z x Re =， z y Im = 虚部为零的复数可看成实数，虚部不为零的复数称为虚数，实部为零虚部不为零的复数称为纯虚数。复数iy x z -= 和iy x z +=称为互为共轭复数，z 的共轭复数记为z 。 设 ，复数的四则运算定义为 加（减）法： 乘法： 除法： 相等： 当且仅当 复数的四则运算满足以下运算律 ①加法交换律 1221z z z z +=+ ②加法结合律 321321)()(z z z z z z ++=++ ③乘法交换律 1221z z z z ?=? ④乘法结合律 321321)()(z z z z z z ??=?? ⑤乘法对加法的分配律 3121321)(z z z z z z z ?+?=+? 全体复数在引入相等关系和运算法则以后，称为复数域. 在复数域中，复数没有大小. 正如所有实数构成的集合用R 表示，所有复数构成的集合用C 表示。
例 设i 3,i 5221+=-=z z ，求 2 1 z z ． 分析：直接利用运算法则也可以，但那样比较繁琐，可以利用共轭复数的运算结果。 解 为求 2 1 z z ，在分子分母同乘2z ，再利用1i 2-=，得 i 101710110i 171)i 3)(i 52(2222121-=-=--=??=z z z z z z z 2．复平面 一个复数iy x z +=本质上由一对有序实数唯一确定。于是能够确定平面上全部的点和全体复数间一一对应的关系。如果把x 和y 当作平面上的点的坐标，复数z 就跟平面上的点一一对应起来，这个平面叫做复数平面或z 平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴. 在复平面上，从原点到点 所引的矢量 与复数z 也构成一一对应 关系，且复数的相加、减与矢量相加、减的法则是一致的，即满足平行四边形法则，例如： 这样，构成了复数、点、矢量之间的一一对应关系. 3． 复数的模与辐角 向量 的长度称为复数 的模或绝对值，即：
最新高中数学《复数》经典考题分类解析 复数的代数运算年年必考，其题目活而不难，主要考查学生灵活运用知识的能力，复数的几何意义也是考查的一个重点。落实考查特点有利于抓住复习中的关键：（1）复数的概念，包括虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、复数的模、复数的相等、共轭复数的概念。（2）复数代数形式基本运算的技能与技巧，特别是 i ±1的计算，注意转化思想的训练，善于将复数向实数转化。 （3）复数的几何意义， 1、复数的概念以及运算 例1i 是虚数单位，238i 2i 3i 8i ++++=L ．（用i a b +的形式表示，a b ∈R ，） 解：原式＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i 点评：复数是高中数学的重要内容，是解决数学问题的重要工具，本题考查了复数的概念以及复数的引入原则，主要考查i 12-=的实际应用问题。 例2若a 为实数， =，则a 等于（ ） A ． B ． C ． D ．-解析：由已知得：等式左边＝i a a i ai 3 223223)21)(2(-++=-+ 由复数相等的充要条件知：???????-=-=+23 220322a a ，所以a ＝ 点评：本题考查了复数的基本运算以及复数相等的概念。 例3若复数(1)(2)bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 解析：(1)(2)bi i ++＝i b b )12()2(++-，因为(1)(2)bi i ++是纯虚数，因此
???≠+=-0 1202b b 所以b ＝2。 点评：本题考查的复数的乘法运算问题，通过该运算考查了纯虚数的概念。 2、复数的几何意义 复数与复平面上的点，及复平面上从原点出发的向量建立了一一对应关系，这样使得 复数问题可以借助几何图形的性质解决，反之，一些解析几何问题、平面几何问题也可以借助于复数的运算加以解决。 例4若35ππ44θ??∈ ??? ，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解析：复数的实部a ＝)4sin(2sin cos π θθθ+=+，虚部b ＝ )4sin(2cos sin πθθθ-=-，因为4 543πθπ<<，所以 ππθπππθπ<-<<+<42,234，所以0)4sin(<+πθ，0)4 sin(>-πθ，即a<0，b>0，所以复数对应的点在第二象限。 点评：本题以复数的三角形式作为命题背景，考查了复数的三角形式运算以及三角函数的恒等变化，以及复数的几何意义。复数与复平面内的点的对应关系经常出现在考题中，关键是把复数化简成bi a +的形式，并且准确的判断出a 、b 的符号是求解问题的关键。 3、复数的开放性的考查 例4．复数i z a b a b =+∈R ，，，且0b ≠，若24z bz -是实数，则有序实数对()a b ，可以是 ．（写出一个有序实数对即可） 解析：因为24z bz -＝i b ab ab b a )42()4(222-+--是实数，所以有 0422=-b ab ，因为0≠b ，所以b a 2=，所以答案可以填写（2，1）或（2，4）、（3，6）等等。
高一数学（必修2）第一章 空间几何体 [基础训练] 一、选择题 1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( ) A .棱台 B .棱锥 C .棱柱 D .都不对 2．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ） A . 3 B . 23 C . 33 D . 43 3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在 同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π B ．50π C ．125π D ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A ．3:1 B ．3:2 C ．2:3 D ．3:3 5．在△ABC 中，0 2, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是 （ ） A. 92π B. 72π C. 52π D. 32 π 6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长 分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是（ ） A ．130 B ．140 C ．150 D ．160 二、填空题 1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点， 顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。 2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。 3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。 4．如图，,E F 分别为正方体的面11A ADD 、面11B BCC 的中心，则四边形 E BFD 1在该正方体的面上的射影可能是____________。
复数的运算测试题 一、选择题 1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ） Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ 2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．—1 答案：Ｄ 3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ． 2 a =或 0a = 答案：Ｄ 4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）
Ａ．若22120z z +>，则2212z z >- Ｂ． 12 z z -= Ｃ．22121200z z z z +=?== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ 5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限 Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ 6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ 7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则1 2z z ·的最大值为（ ）
Ａ．3 2 Ｄ．3 答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ） Ａ． 2- Ｂ． Ｃ． Ｄ．4 答案：Ｂ 9．在复平面内12 ω=-对应的向量为OA ，复数2ω对应的向量为 OB ．那么向量AB 对应的复数是（ ） Ａ．1 Ｂ． 1- Ｄ． 答案：Ｄ 10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．
复数专题 一、选择题 1 ．（2012年高考（天津理）） i 是虚数单位,复数7= 3i z i -+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．2i -+ D ．2i -- 2 ．（2012年高考（新课标理））下面是关于复数2 1z i = -+的四 个命题:其中的真命 题为 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1- （ ） A ．23,p p B ．12,p p C ．,p p 24 D ．,p p 34 3 ．（2012年高考（浙江理））已知i 是虚数单位,则 3+i 1i -= （ ） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i 4 ．（2012年高考（四川理））复数2(1)2i i -= （ ） A ．1 B ．1- C ． i D ．i - 5 ．（2012年高考（上海理））若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则 （ ） A ．3,2==c b . B ．3,2=-=c b . C ．1,2-=-=c b . D ．1,2-==c b . 6 ．（2012年高考（陕西理））设,a b R ∈, 是虚数单位,则“0ab =”是“复数b a i + 为纯虚数”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7 ．（2012年高考（山东理））若复数z 满足(2)117z i i -=+( i 为虚数单位),则z 为 （ ） A ．35i + B ．35i - C ．35i -+ D ．35i -- 8 ．（2012年高考（辽宁理））复数 22i i -=+ （ ） A ．34i - B ．34i + C ．41i - D ．3 1i +
椭圆基础训练题 一、选择题 1．F 1、F 2是定点，|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．直线 C ．线段 D ．圆 2．设定点F 1（0，－3）、F 2（0，3），动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的轨迹 是 （ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 3.椭圆116 252 2=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( ) A ．２ B ．３ C ．５ D ．７ 4．方程222=+ky x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 （ ） A ．),0(+∞ B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1） 5．若方程x 2a 2 —y 2a =1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A 、a<0 B 、-1
高中数学公式速记口诀大全 一、《集合与函数》 内容子交并补集,还有幂指对函数。性质奇偶与增减,观察图象最明显。复合函数式出现,性质乘法法则辨,若要详细证明它,还须将那定义抓。指数与对数函数,两者互为反函数。底数非1的正数,1两边增减变故。函数定义域好求。分母不能等于0,偶次方根须非负,零和负数无对数;正切函数角不直,余切函数角不平;其余函数实数集,多种情况求交集。两个互为反函数,单调性质都相同;图象互为轴对称,Y=X是对称轴;求解非常有规律,反解换元定义域;反函数的定义域,原来函数的值域。幂函数性质易记,指数化既约分数;函数性质看指数,奇母奇子奇函数,奇母偶子偶函数,偶母非奇偶函数;图象第一象限内,函数增减看正负。 二、《三角函数》 三角函数是函数,象限符号坐标注。函数图象单位圆,周期奇偶增减现。同角关系很重要,化简证明都需要。正六边形顶点处,从上到下弦切割;中心记上数字1,连结顶点三角形;向下三角平方和,倒数关系是对角,变成税角好查表,化简证明少不了。二的一半整数倍,奇数化余偶不变,将其后者视锐角,符号原来函数判。两角和的余弦值,化为单角好求值,余弦积减正弦积,换角变形众公式。和差化积须同名,互余角度变名称。计算证明角先行,注意结构函数名,保持基本量不变,繁难向着简易变。逆反原则作指导,升幂降次和差积。条件等式的证明,方程思想指路明。万能公式不一般,化为有理式居先。公式顺用和逆用,变形运用加巧用;1加余弦想余弦,1减余弦想正弦,幂升一次角减半,升幂降次它为范; 三角函数反函数,实质就是求角度,先求三角函数值,再判角取值范围;利用直角三角形,形象直观好换名,简单三角的方程,化为最简求解集; 三、《不等式》 解不等式的途径,利用函数的性质。对指无理不等式,化为有理不等式。高次向着低次代,步步转化要等价。数形之间互转化,帮助解答作用大。证不等式的方法,实数性质威力大。求差与0比大小,作商和1争高下。直接困难分析好,思路清晰综合法。非负常用基本式,正面难则反证法。还有重要不等式,以及数学归纳法。图形函数来帮助,画图建模构造法。 四、《数列》 等差等比两数列,通项公式N项和。两个有限求极限,四则运算顺序换。数列问题多变幻,方程化归整体算。数列求和比较难,错位相消巧转换,取长补短高斯法,裂项求和公式算。归纳思
《复数的四则运算》教学设计 吕叔湘中学 黄国才 【教学目的】1、初步理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 2、会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 3、了解复数中共轭复数的概念 【教学重点】：会利用加法、减法、乘法、运算法则进行简单的运算。 【教学难点】：理解复数的加法、减法、乘法的运算法则. 【教学过程】： 一、 问题情景： 问题1： 由初中学习我们可以知道： （2+3x ）+(1-4x)=3-x 猜想： （2+3i ）+(1-4i)= ？ 二、 建构数学 1、复数减法的运算法则 问题 2：用字母表示数，你可以表示复数的运算法则和运算律吗？ (1)运算法则:设复数z 1=a+bi,z 2=c+di,（a,b,c,d ∈R ）那么： z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 显然，两个复数的和仍是一个复数，复数的加法法则类似于多项式的合并同类项法则。 (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z 1,z 2,z 3∈C,有： z 1+z 2=z 2+z 1, (z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3) 2、复数减法的运算法则 定义：把满足(c+di )+(x+yi) = a+bi 的复数x+yi （x,y ∈R ），叫做复数a+bi 减去复数c+di 的差，记作：x+yi ＝(a+bi )－(c+di) 由复数的加法法则和复数相等定义，有c+x=a ， d+y=b 由此，x=a －c ， y=b －d ∴ (a+bi )－(c+di) = (a －c) + (b －d)i 显然，两个复数的差仍然是一个复数 由此可见： 两个复数相加(减)就是把实部与实部，
一、复数选择题 1．复数3 (23)i +（其中i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．9i B ．46i - C ．9 D ．46- 2．已知i 为虚数单位，则复数23i i -+的虚部是（ ） A ． 35 B ．35i - C ．15 - D ．1 5 i - 3．已知复数21i z i =-，则复数z 在复平面内对应点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4． )) 5 5 11-- +＝（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2 5．若复数1z i =-，则 1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 6．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 7．若复数2i 1i a -+（a ∈R ）为纯虚数，则1i a -=（ ） A B C ．3 D ．5 8．已知复数z 满足2 2z z =，则复数z 在复平面内对应的点(),x y （ ） A ．恒在实轴上 B ．恒在虚轴上 C ．恒在直线y x =上 D ．恒在直线y x =-上 9．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．已知2021(2)i z i -=，则复平面内与z 对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 11．设复数z 满足41i z i =+，则z 的共轭复数z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12．设a + ∈R ，复数()()() 2 4 2 121i i z ai ++=-，若1z =，则a =（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7
一、复数选择题 1．已知复数1z i =+，则2 1z +=（ ） A ．2 B C ．4 D ．5 2．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55??- ??? D ．43,55?? - ??? 3．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 4．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ） A B ．1 C ．2 D ．3 5．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ） A B ．3 C ．5 D ．6．若复数1z i =-，则1z z =-（ ） A B ．2 C ． D ．4 7．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 8．若 1m i i +-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）． A ．1- B ．0 C ．1 D 9．在复平面内，复数z 对应的点是()1,1-，则1 z z =+（ ） A ．1i -+ B ．1i + C ．1i -- D ．1i - 10．已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A ．3 B ．5 C ．6 D ．8 11．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ） A ．-1 B ．1 C ．i - D ．i 12．若i 为虚数单位，,a b ∈R ，且2a i b i i +=+，则复数a bi -的模等于（ ） A B C D
复数基础——复数的基本运算_2 回顾复数 复数的基本运算 回顾复数 将下列数字写成复数形式： ?简单复习一下，复数是包含实数部分和虚数部分的数。 如果有a+bi，a是实数，b是实数，这是复数。a是实部，bi是虚数部分（注：虚部不包括i）。 为什么bi是虚部？因为bi带有特殊系数i，这个虚数单位，这个特殊的数i，在这里乘以了b。我相信大家都会觉得怪诞，不过根据定义：?在此之前，不存在对某个数取平方后得到-1，现在取i的平方，得到-1，关于虚数（单位）的特别的知识点是它的平方是负数。复数有用之处在于它使我们有能力解决很多方程，这些方程在只允许实数解的情况下无解。复数在很多方面都有用，特别是在工程领域，还有其他领域，比如物理等等。现在，我们不会花很多心思讨论复数定义，在大家处理更多数字后，特别是接触到某些工程应用后，希望大家明白虚数的价值。 回到问题中来，把上面的数字写成复数形式。 ?怎么把它写成复数呢？把它写成实部和虚部的组合。可以写成： -21 = -21+0i ?0i等于0，所以它仍等于-21，实际上这里没有虚部，-21本身就是复数形式，很简单。同样的：
7i是虚数形式的，所以这里没有实部，实部是0，虚部是7i，所以等于0 + 7i。 复数的基本运算 很多时候解方程都会碰到根号下负数的情况，比如根号下-1或者-9：由于如何实数的平方不是0就是正数，所以以上两个数这些没有定义，为了定义这些数，人们引入i的概念，i是虚数单位，i的定义是：这就是解决了根号下负数的问题，这样一来，根号下-9是多少呢？它等于i乘以根号9，即3i， 为什么，想想3i平方是多少？ 这是指数性质。所以，这样的定义就拓展到了，所有负数开根号的情况： 3i是所谓的虚数，它其实也不比其他数“虚”，某种意义上，负数真的存在吗？只不过是将负号放在前面表示抽象含义，负号只是表示它和大小的关系。任何数乘以虚数单位i都是虚数。解二次方程时，你会发现结果有时会实数和虚数并存（有实数部分和虚数部分），举个例子：这不能化简了，因为实数和虚数不能相加，大家可以把这当作不同维度，一个数有实部5，还有虚部2i，这叫做复数。复数可以在平面中表示：虚数也就是虚轴，在纵轴2i，上图表示为2个单位。 实数也就是实轴，在实轴5，上图表示为5个单位。 所以这个图形表示为：5+2i。在以后讲复数应用时，我还会举更多例子，现在只需要知道定义即可。看看有什么运算，两复数相加怎么做：a是实部，bi是虚部，另一个复数是：
一、复数选择题 1．复数()1z i i =?+在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若复数1z i i ?=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1 B ．1 C ．－i D ．i 3．已知a 为正实数，复数1ai +（i 为虚数单位）的模为2，则a 的值为（ ） A B ．1 C ．2 D ．3 4．已知,a b ∈R ，若2 ()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ） A ．2a >或1a <- B ．1a >或2a <- C ．12a -<< D ．21a -<< 5．在复平面内复数Z=i （1﹣2i ）对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．若复数()()24z i i =--，则z =（ ） A ．76i -- B ．76-+i C ．76i - D ．76i + 7．已知复数5i 5i 2i z =+-，则z =（ ） A B ．C ．D ．8．已知复数5 12z i =+，则z =（ ） A ．1 B C D ．5 9．若复数z 满足421i z i +=+，则z =（ ） A ．13i + B ．13i - C ．3i + D ．3i - 10．满足313i z i ?=-的复数z 的共扼复数是（ ） A ．3i - B ．3i -- C ．3i + D ．3i -+ 11．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ?④z z ，其结果一定是实数的是（ ） A ．①② B ．②④ C ．②③ D ．①③ 12．复数 2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ． 35 13．设21i z i +=-，则z 的虚部为（ ）
高中数学必修1《集合》基础训练 一、选择题 1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2．下列四个集合中，是空集的是（ ） A ．}33|{=+x x B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．},01|{2R x x x x ∈=+- 3．下列表示图形中的阴影部分的是（ ） A ．()()A C B C B ．()()A B A C C ．()()A B B C D ．()A B C 4．下面有四个命题： （1）集合N 中最小的数是1； （2）若a -不属于N ，则a 属于N ； （3）若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2； （4）x x 212=+的解可表示为{}1,1； 其中正确命题的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长， 则△ABC 一定不是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形 6．若全集{}{}0,1,2,32U U C A ==且，则集合A 的真子集共有（ ） A B C
A ．3个 B ．5个 C ．7个 D ．8个 二、填空题 1．用符号“∈”或“?”填空 （1）0______N , 5______N , 16______N （2）1______,_______,______2 R Q Q e C Q π-（e 是个无理数） （3{}|,,x x a a Q b Q =∈∈ 2. 若集合{}|6,A x x x N =≤∈，{|}B x x =是非质数，C A B =，则 C 的 非空子集的个数为 。 3．若集合{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<，则A B =_____________． 4．设集合{32}A x x =-≤≤,{2121}B x k x k =-≤≤+,且A B ?， 则实数k 的取值范围是 。 5．已知{}{}221,21A y y x x B y y x ==-+-==+，则A B =_________。 三、解答题 1．已知集合? ?????∈-∈=N x N x A 68| ，试用列举法表示集合A 。 2．已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围。
复数的三角形式的运算(一)·教案示例 目的要求 1．掌握复数三角形式的乘法运算法则． 2．理解复数三角形式的乘法运算的几何意义，并能简单地应用． 内容分析 1．在代数形式下，两个复数的乘积(a ＋bi)(c ＋di)按照多项式展开，从而得出乘法运算法则．在三角形式下，两个复数的乘积r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)仍可按代数形式(r1cos θ1＋ir1sin θ1)(r2cos θ2＋ir2sin θ2)来计算．但这样运算较繁杂，而且没有体现出三角形式下模与辐角的特征和作用，因此很有必要研究两个复数的乘积的结果(也是一个复数)的模与原来两个复数的模、辐角与原来两个复数的辐角之间的关系． 2．三角形式下两个复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)与z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)的乘法公式及法则： r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)] 即，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于这两个复数的辐角的和． 上述法则中，注意“积的辐角等于这两个复数的辐角的和”指的是积的辐角的集合等于原来两个复数的辐角集合中各自任取一个，求和角，所有和角组成的集合．而积的辐角主值不一定等于这两个复数的辐角主 值的和．如－＝π，－＝π，－－＝＝π≠π＋π．arg(i)arg(1)arg[(i)(1)]argi 32232 arg(z1·z2)与argz1、argz2的关系是 arg(z1·z2)＝argz1＋argz2＋2k π(k 取某一整数) 其中整数k 使argz1＋argz2＋2k π∈[0，2π)． 3．根据三角形式的乘法法则，结合向量知识，可以对复数乘法的几何意义解释如下： 在复平面内作出z1、z2对应的向量，将向量按逆时针方向旋转一个角θ2(若θ2＜0，则 按顺时针方向旋转一个角|θ2|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量 就表示积z1z2． 也就是说，复数乘法实质上就是向量的旋转和伸缩．旋转方向与角度取决于从另一复数的辐角集中取出来的值，伸长或缩短及其倍数取决于另一复数的模的大小． 4．将两个复数相乘的结果推广到有限个复数相乘，即为 r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)·…·rn(cos θn ＋isin θn) ＝r1r2…rn[cos(θ1＋θ2＋…＋θn)＋isin(θ1＋θ2＋…＋θn)](n ≥2)． 可以用数学归纳法说明： 1°当n ＝2时，乘法公式成立．
课题：4．2复数的运算（一） 教学目的：掌握复数的加法运算及意义 教学重点：复数加法运算． 教学难点：复数加法运算的运算率 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21 i=-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复 a bi a b R 数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示* 3. 复数的代数形式:复数通常用字母z表示，即(,) =+∈，把复 z a bi a b R 数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当 a bi a b R 且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都 是实数，就可以比较大小只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： ∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实 轴，y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序
高中数学高考总复习复 数习题 Last revised by LE LE in 2021
高中数学高考总复习复数习题一、选择题 1．复数3＋2i 2－3i ＝( ) A．i B．－i C．12－13i D．12＋13i 2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i表示的点在虚轴上，则实数m的值是( ) A．－1 B．4 C．－1和4 D．－1和6 4．(文)已知复数z＝ 1 1＋i ，则z－·i在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 (理)复数z在复平面上对应的点在单位圆上，则复数z2＋1 z ( ) A．是纯虚数 B．是虚数但不是纯虚数C．是实数
D．只能是零 5．复数(3i－1)i的共轭复数 ．．．．是( ) A．－3＋i B．－3－i C．3＋i D．3－i 6．已知x，y∈R，i是虚数单位，且(x－1)i－y＝2＋i，则(1＋i)x－y的值为( ) A．－4 B．4 C．－1 D．1 7．(文)复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则z＝z1·z2在复平面内对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (理)现定义：e iθ＝cosθ＋isinθ，其中i是虚数单位，e为自然对数的底，θ∈R，且实数指数幂的运算性质对e iθ都适用，若a＝C50cos5θ－C52cos3θsin2θ＋ C 54cosθsin4θ，b＝C 5 1cos4θsinθ－C 5 3cos2θsin3θ＋C 5 5sin5θ，那么复数a＋b i等于 ( ) A．cos5θ＋isin5θ B．cos5θ－isin5θ C．sin5θ＋icos5θ D．sin5θ－icos5θ 8．(文)已知复数a＝3＋2i，b＝4＋xi(其中i为虚数单位)，若复数a b ∈R，则实数x 的值为( ) A．－6 B．6
高中数学（选修1-1）导数及其应用基础训练题 一、选择题 1 若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A '0()f x B '02()f x C ' 02()f x - D 0 2 一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是（ ） A 7米/秒 B 6米/秒 C 5米/秒 D 8米/秒 3 函数3 y x x =+的递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),(+∞-∞ D ),1(+∞ 4 32()32f x ax x =++,若' (1)4f -=,则a 的值等于（ ） A 319 B 316 C 313 D 3 10 5 函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件 6 函数344 +-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A 72 B 36 C 12 D 0 二、填空题 1 若3' 0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2 曲线x x y 43 -=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3 函数sin x y x = 的导数为_________________； 4 曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为 _______________；