纠错编码作业set01

ECE 1501

F.R.Kschischang Error Control Coding October 2nd,2015Problem Set #1Due date:Tuesday October 13th,2015(in class)

1.A metric on a set A is a function d :A ×A →R satisfying,for all x,y,z ∈A ,(i)d (x,y )≥0(with equality if and only if x =y ),(ii)d (x,y )=d (y,x ),and (iii)d (x,z )≤d (x,y )+d (y,z ).

(a)Prove that Hamming distance is a metric on F n for any nonempty set F and any positive integer

n .

(b)In decoding the output of Gaussian channels,one often uses the distance measure ?(x,y )= n i =1|x i ?y i |2,where x,y ∈C n are n -tuples with complex-valued components.Prove or disprove:

?is a metric.

2.(Roth,Problem 1.2)Let F ={0,1}and let x ,y ,and z be words in F n that form an “equilateral triangle”of side 2t ,i.e.,

d (x,y )=d (y,z )=d (z,x )=2t.

Show that there is exactly one word v in F n such that

d (v,x )=d (v,y )=d (v,z )=t.

3.Let C be an (n,M,d )code over an alphabet A of ?nite size q .De?ne

S = x ∈C y ∈C

d (x,y ).

(a)By observing that d (x,y )=0if x =y and d (x,y )≥d if x =y ,show that

S ≥M (M ?1)d.(1)

(b)For a ∈A and 1≤i ≤n ,let n a (i )=|{x ∈C :x i =a }|,the number of codewords having value a

in position i .Note that a ∈A n a (i )=M .Show that

S =

n i =1 a ∈A n a (i )(M ?n a (i ))=nM 2?n i =1 a ∈A n 2a (i ).(c)Prove that

a ∈A n 2a (i )≥1q a ∈A

n a (i ) 2.(2)[Hint:apply the Cauchy-Schwarz inequality to the vectors (1,1,...,1)and (n a (i ):a ∈A ).]

(d)Combine (2)with (1)to show that d ≤1?1q 1?1M

,a result known as the Plotkin bound .

(e)An (n,M,d )code C over an alphabet A is called equidistant if the Hamming distance between

every pair of distinct codewords in C is equal to d ,and equifrequent if every symbol of A occurs equally often in each position (i.e.,n a (i )is a constant).Show that the Plotkin bound is met with equality if and only if C is equidistant and equifrequent.

4.(This question,based on [1],assumes some familiarity with graph theory.)Let G =(V,E )be a simple graph 1with vertex set V and edge set E .Two vertices u and v of V are neighbours if {u,v }is an edge in E .For k ≥2,a k -clique in G is a collection of k mutually neighbouring vertices,i.e.,a subset of V of size k in which each pair of vertices are neighbours.A 2-clique is just any pair of neighbouring vertices,a 3-clique forms a 3-edge triangle,etc.Since any subset of a clique is itself a clique,k -cliques naturally contain sub-cliques of all possible smaller orders.We call G (k +1)-clique-free if G contains no (k +1)-cliques.

Let n denote the number of vertices of G and let e denote the number of edges of G .If e is large,one would expect that G should contain many cliques.A natural question arises:if G is restricted to be (k +1)-clique-free,what is the maximum number of edges that it may have?Let us denote by T (n,k )the largest possible number of edges in a (k +1)-clique-free simple graph with n vertices.Clearly T (n,1)=0,and T (n,k )must be a non-decreasing function of k .In fact P.Tur′a n proved the following.

Tur′a n’s Theorem :Let n =qk +r ,where q and r are integers and 0≤r

T (n,k )=k ?12k n 2?r 2 1?r k

.(For a proof—actually,six di?erent proofs—see [2].)

(a)Show that a simple graph with n vertices and e edges must contain a (k +1)-clique if e > 1?1k n 22.

(b)Let d H denote Hamming distance in A n ,where A is an alphabet of size q .De?ne a simple graph

G N,q,d =(V,E )in which V =A N ,and in which {u,v }∈E if and only if d H (u,v )≥d ,where d is a ?xed positive integer.Show that the vertices of a clique in G N,q,d form a code of length N over A with minimum distance at least d .

(c)Show that |E |=12(q 2N ?q N V q (N,d ?1)),where V q (N,d ?1)denotes the number of points in a

Hamming ball radius d ?1in A N .

(d)Find the size of the clique in G N,q,d (and hence code)guaranteed by Tur′a n’s theorem,and compare

this with the Gilbert bound.

(e)Now let ρ:A N ×A N →Z ≥0denote a symmetric “distance function”(not necessarily a metric),

and for any x ∈A N ,let V x (r )=|{x ∈A N :ρ(x,x )≤r }|denote the cardinality of a ball of radius r centered at x .(Note that V x (r )may depend on x .)Similarly to G N,q,d ,de?ne a graph (V,E )with vertex set V =A N and with {u,v }∈E if and only if ρ(u,v )≥d .Find the size of the clique in this graph guaranteed by Tur′a n’s theorem.(Express your result in terms of the average cardinality of a (d ?1)-ball,where the average is taken uniformly over A N .)

5.For 0≤x ≤1,let

H q (x )=?x log q x ?(1?x )log q (1?x )+x log q (q ?1)

denote the q -ary entropy function and let

V q (n,t )=t i =0 n

i (q ?1)i

denote the number of points in a Hamming ball of radius t centered on an arbitrary q -ary n -tuple.1A

simple graph has at most one edge between any pair of distinct vertices,and no self-loops,i.e.,no edges from a vertex to itself.

(a)Prove,for 0≤t/n ≤1?(1/q ),that

V q (n,t )≤q nH q (t/n )

by justifying each of the steps in the following chain of equalities and inequalities.Where does the condition t/n ≤1?(1/q )enter?(Since the bound holds trivially for t =0,in the following assume that t >0and write θ=t/n .)

q ?nH q (θ)V q (n,t )(i )=θt (1?θ)n ?t (q ?1)?t ·t i =0 n i (q ?1)i

(ii )≤θt (1?θ)n ?t (q ?1)?t ·n i =0

n i (q ?1)i

θ(1?θ)(q ?1) i ?t (iii )=n i =0

n i θi (1?θ)n ?i

(iv )=1

(b)Prove that V q (n,t )≥1n +1

q nH q (t/n )

by justifying each of the steps in the following chain of claims.(Since the bound holds trivially for t =0and t =n ,in the following assume that 0

A i = n i θi (1?θ)n ?i .i.

For 0≤i ≤n ,A i ≤A t .ii.

(n +1)A t ≥ n i =0A i .iii.

A t ≥1/(n +1).iv.

V q (n,t )≥ n t (q ?1)t .v.

q ?nH q (θ)V q (n,t )≥A t .

vi.V q (n,t )≥1n +1q nH q (t/n ).

6.Group Theory

(a)An operation ?on the ?ve element set F ={e,a,b,c,d }is de?ned according to the following

multiplication table:?e a b c d

e e a b c d

a a c e d b

b b d

c a e

c c e

d b a

d d b a

e c

Is (F,?)a group?Explain.

(b)Let H be a ?nite nonempty subset of a group G and suppose that H is closed under the operation

of G .Show that H is a subgroup of G .Explain why this result does not in general hold for in?nite subsets of a group.

(c)Let G be the group of matrices of the form

1a

01

where a is an integer and the group operation is ordinary matrix multiplication.

i.

Find the identity element of this group.ii.

Find the inverse of an arbitrary element of this group.iii.

Is this group abelian?iv.Find a subgroup of this group having exactly 3distinct cosets.

7.Let G be the cyclic group of order n generated by the element a ,i.e.,G ={a,a 2,a 3,...,a n },where a n is the identity.Let φ(n )be Euler’s totient function,which gives the number of positive integers less than or equal to n that are relatively prime to n .

(a)Show that every subgroup of G is cyclic.

(b)Show that G contains at most one subgroup of any given order.

(c)Show that a subgroup of G of order d has φ(d )distinct generators.(d)Explain why the Euler formula d :d |n φ(d )=n holds (here d |n means that d is an integer divisor

of n ).

References

[1]L.M.G.M.Tolhuizen,“The generalized Gilbert-Varshamov bound is implied by Tur′a n’s Theorem,”

IEEE https://www.doczj.com/doc/119153687.html,.Theory ,vol.43,pp.1605–1606,Sept.1997.

[2]M.Aigner,“Tur′a n’s graph theorem,”Amer.Math.Monthly ,vol.102,pp.808–816,1995.

通信原理(陈启兴版)第9章课后习题答案

第9章差错控制编码 9.1 学习指导 9.1.1 要点 差错控制编码常称为纠错编码，或信道编码，其基本思想是在发送端根据一定的规律在待发送的信息码元中加入监督码元，接收端就可以利用监督码元与信息码元的关系来发现或纠正错误，其实质就是通过牺牲有效性来换取可靠性的提高。 本章的要点有差错控制技术和编码分类；最小码距与纠检错能力；线性分组码的生成、监督和纠错；循环码的生成多项式、生成矩阵、编码和译码；卷积码的矩阵、多项式和图形描述方法。 1. 差错控制技术 对于不同类型的信道，应该采用不同的差错控制技术。差错控制技术主要有以下四种。 (1) 检错(error detection)重发(retransmission)：在发送码元序列中加入差错控制码元，接收端利用这些码元检测到有错码时，利用反向信道通知发送端，要求发送端重发，直到正确接收为止。所谓检测到有错码，是指在一组接收码元中知道有一个或一些错码，但是不知道该错码应该如何纠正。在二进制系统中，这种情况发生在不知道一组接收码元中哪个码元错了。因为若知道哪个码元错了，将该码元取反即能纠正，即将错码“0”改为“1”或将错码“1”改为“0”就可以了，不需要重发。在多进制系统中，即使知道了错码的位置，也无法确定其正确取值。 采用检错重发技术时，通信系统需要有双向信道传送重发指令。 (2)前向纠错(Forward Error Correction)：这时接收端利用发送端在发送码元序列中加入的差错控制码元，不但能够发现错码，还能将错码恢复其正确取值。在二进制码元情况下，能够确定错码的位置，就相当于能够纠正错码。 采用FEC时，不需要反向信道传送重发指令，也没有因反复重发而产生的时延，故实时性好。但是为了能够纠正错码，而不是仅仅检测到错码，和检错重发相比，需要加入更多的差错控制码元。故设备要比检测重发设备复杂。 (3)反馈(feedback)校验(check out)：这时不需要在发送序列中加入差错控制码元。接收端将接收到的码元原封不动地转发回发送端。在发送端将它和原发送码元逐一比较。若发现有不同，就认为接收端收到的序列中有错码，发送端立即重发。这种技术的原理和设备都很简单。但是需要双向信道，传输效率也较低，因为每个码元都需要占用两次传输时间。 (4)检错删除(deletion)：它和检错重发的区别在于，在接收端发现错码后，立即将其删除，不要求重发。这种方法只适用在少数特定系统中，在那里发送码元中有大量多余度，删除部分接收码元不影响应用。例如，在循环重复发送某些遥测数据时。又如，用于多次重发仍然存在错码时，这时为了提高传输效率不再重

纠错编码的应用

移动通信的发展日新月异，从1978年第一代模拟蜂窝通信系统诞生至今，不过20多年的时间，就已经过三代的演变，成为拥有10亿多用户的全球电信业最活跃、最具发展潜力的业务。尤其是进几年来，随着第三代移动通信系统（3G）的渐行渐近，以及各国政府、运营商和制造商等各方面为之而投入的大量人力物力，移动通信又一次地在电信业乃至全社会掀起了滚滚热潮。虽然目前由于全球电信业的低迷以及3G系统自身存在的一些问题尚未完全解决等因素，3G业务的全面推行并不象计划中的顺利，但新一代移动通信网的到来必是大势所趋。因此，人们对新的移动通信技术的研究的热情始终未减。 移动通信的强大魅力之所在就是它能为人们提供了固话所不及的灵活、机动、高效的通信方式，非常适合信息社会发展的需要。但同时，这也使移动通信系统的研究、开发和实现比有线通信系统更复杂、更困难。实际上，移动无线信道是通信中最恶劣、最难预测的通信信道之一。由于无线电波传输不仅会随着传播距离的增加而造成能量损耗，并且会因为多径效应、多普勒频移和阴影效应等的影响而使信号快速衰落，码间干扰和信号失真严重，从而极大地影响了通信质量。 为了解决这些问题，人们不断地研究和寻找多种先进的通信技术以提高移动通信的性能。特别是数字移动通信系统出现后，促进了各种数字信号处理技术如多址技术、调制技术、纠错编码、分集技术、智能天线、软件无线电等的发展。本文将主要关注在几代移动通信系统中所使用的不同的纠错编码技术，以展示纠错编码在现代数字通信中的重要作用。 二、纠错编码基础知识 1948年，香农(Shannon)在他那篇著名的论文《通信的数学理论》中提出并证明了：对于一个信道容量为C的有扰信道，消息源产生信息的速率为R，只要R≤C，则总可以找到一种信道编码和译码方式使编码错误概率P随着码长n的增加，按指数下降到任意小的值，表示为，这里E( R )称为误差指数；若R>C，则不存在编译码方式来实现无误传输。这一结论为信道编码指出了方向，但它仅是一个存在性定理，并未给出怎样

(完整版)数字通信原理第五章纠错编码习题解答

第五章 纠错编码习题解答 1、已知一纠错码的三个码组为(001010)、(101101)、(010001)。若用于检错，能检出几位错码？若用于纠错，能纠正几位错码？若纠检错结合，则能纠正几位错码同时检出几位错码？ [解]该码的最小码距为d 0=4，所以有： 若用于检错，由d 0≥e +1，可得e =3，即能检出3位错码； 若用于纠错，由d 0≥2t +1，可得t =1，即能检出1位错码； 若纠检错结合，由d 0≥e +t +1 （e >t ），可得t =1，e =2，即能纠正1位错码同时能检出2位错码。 2、设某(n ,k )线性分组码的生成矩阵为： 001011100101010110G ?? ??=?????? ①试确定该(n ,k )码中的n 和k ； ②试求该码的典型监督矩阵H ； ③试写出该码的监督方程； ④试列出该码的所有码字； ⑤试列出该码的错误图样表； ⑥试确定该码的最小码距。 [解] ①由于生成矩阵G 是k 行n 列，所以k =3，n =6。 ②通过初等行变换，将生成矩阵G 变换成典型生成矩阵

[] 100101010110001011k G I Q ?? ??==?????? 由于101110110011011101T Q P Q ???? ????=???? ????????，　＝＝，可知典型监督矩阵为 []110100011010101001r H PI ?? ??=?? ????＝ ③监督方程为5424315 300 00 a a a a a a a a a ⊕⊕=??⊕⊕=??⊕⊕=? ④所有码字见下表 ⑤错误图样表即错误图样与校正子关系表，见下表

第九章差错制编码(信道编码)

第九章差错控制编码（信道编码） 9.1引言 一、信源编码与信道编码 数字通信中，根据不同的目的，编码分为信源编码与信道编码二大类。 信源编码~ 提高数字信号的有效性，如，PCM编码，M 编码，图象数据压缩编码等。 信道编码~ 提高传输的可靠性，又称抗干扰编码，纠错编码。 由于数字通信传输过程中，受到干扰，乘性干扰引起的码间干扰，可用均衡办法解决。 加性干扰解决的办法有：选择调制解码，提高发射功率。 如果上述措施难以满足要求，则要考虑本章讨论的信道编码技术，对误码（可能或已经出现）进行差错控制。 从差错控制角度看：信道分三类：（信道编码技术） ①随机信道：由加性白噪声引起的误码，错码是随机的，错码间统计独立。 ②突发信道：错码成串，由脉冲噪声干扰引起。 ③混合信道：既存在随机错误，又存在突发错码，那一种都不能忽略不计的信道。 信道编码（差错控制编码）是使不带规律性的原始数字信号，带上规律性（或加强规律性，或规律性不强）的数字信号，信道译码器则利用这些规律性来鉴别是否发生错误，或进而纠错。 需要说明的是信道编码是用增加数码，增加冗余来提高抗干扰能力。二：差错控制的工作方式 (1) 检错重发 (2) 前向纠错，不要反向信道 (3) 反馈校验法，双向信道 这三种差错控制的工作方式见下图所示： 检错重发 前向纠错 反馈校验法 检错误 判决信号 纠错码 信息信号 发 发 收 信息信号

9.2 纠错编码的基本原理 举例说明纠错编码的基本原理。 用三位二进制编码表示8种不同天气。 ???????? ?????雹 雾 霜 雪 雨阴 云 晴111 0111 01001 11001010 0000???→ ?种 许使用种中只准 48码组许用码组，其它为禁用雨阴云晴 011101110000??? ? ??? 许用码组中，只要错一位（不管哪位错），就是禁用码组，故这种编码能发现任何一位出错，但不能发现的二位出错，二位出错后又产生许用码。 上述这种编码只能检测错误，不能纠正错误。 因为晴雨阴错一位，都变成1 0 0。 要想纠错，可以把8种组合（3位编码）中，只取2种为许用码，其它6种为禁用码。 例如： 0 0 0 晴 1 1 1 雨 这时，接收端能检测两个以下的错误，或者能纠正一个错码。 例：收到禁用码组1 0 0时，如认为只有一位错，则可判断此错码发生在第1位，从而纠正为0 0 0（晴），因为1 1 1（雨）发生任何一个错误都不会变成1 0 0。 若上述接收码组种的错码数认为不超过二个，则存在两种可能性： 位错） （位错）（21111000/变成100 因为只能检出错误，但不能纠正。 一：分组码，码重，码距 （见樊书P282 表9-1） 将码组分段：分成信息位段和监督位段，称为分组码，记为（n, k ） n ~ 编码组的总位数，简称码长（码组的长度） k ~ 每组二进制信息码元数目，（信息位段） r k n =- ~ 监督码元数目，（监督位段）（见樊书P282，图9-2） 一组码共计8种

10信道编码简介解析

第二章 信道编码简介 2、1信道编码简介 一、信道编码理论 1948年，信息论的创始人Shannon 从理论上证明了信道编码定理又称为Shannon 第二定理。它指出每个信道都有一定的信道容量C ，对于任意传输速率R 小于信道容量C ，存在有码率为R 、码长为n 的分组码和),,(00m k n 卷积码，若用最大似然译码，则随码长的增加其译码错误概率e p 可以任意小]1[。 )(R E n b e b e A p -≤ （2.1） ) ()()1(0R E n c R E n m c e c c c e A e A p -+-=≤ （2.2） 式中，b A 和c A 为大于0的系数，)(R E b 和)(R E c 为正实函数，称为误差指数，它与R 、C 的关系]2[如图2.1所示。由图可以看出：)(R E 随信道容量C 的增大而增加，随码率R 的增加而减小。 这个存在性定理告诉我们可以实现以接近信道容量的传输速率进行通信，但并没有给出逼近信道容量的码的具体编译码方法。 Shannon 在信道编码定理的证明中引用了三个基本条件： 1、采用随机编译码方式； 2、编译码的码长n 趋于无穷大； 3、译码采用最佳的最大后验译码。 在高斯白噪声信道时，信道容量： )/](1[log 02s bit WN P W C S += （2.3） 上式为著名的Shannon 公式，式中W 是信道所能提供的带宽， T E P S S /=是信号概率，S E 是信号能量，T 是分组码信号的持续时间即信号宽度，W P S /是单位频带的信号功率，0N 是单位频带的噪声功率，)/(0WN P S 是信噪比。

信道编码在移动通信中的应用解析

信道编码在移动通信中的应用 姚晓莉王梅 (河北科技大学信息学院,050054 摘要:当今社会移动通信发展迅速。本文主要介绍了几种主要的信道编码方法,对其各自的优缺点进行了总结。最后对信道编码的未来进行了展望。 关键词:移动通信;信道编码;分组码;卷积码;Turbo码 The Application of the Channel Codes in Mobile Communication Systems Yao Xiaoli Wang Mei (Hebei University of Science and Technology,050054 Abstract:Nowadays,the Mobile Communication Systems are fast development.This article introduced the Channel Codes,and discussed the advantage and disadvantage of different types of Channel Codes.Finally,there also predicted the Channel C odes’tomorrow. Keywords:Mobile Communication;Channel Codes;Block codes;Convolution Codes;Turbo Codes 1引言 当今社会,随着科学技术的进步、经济的快速发展,在社会的各个不同领域,通信技术都显得尤为重要。移动通信是当今通信领域最为活跃的一个分支。移动通信满足了人们随时随地的个人通信要求,因此它的发展更显得尤为重要。

纠错编码

在通信系统中,为提高信息传输可靠性,广泛使用了具有一定纠错能力的信道编码技术, 如奇偶校验码、行列监督码、恒比码、汉明码、循环码(CRC)等编码技术。这些编码技术因 其编码方式比较简单,其检错、纠错能力都不是很强,无法满足数字通信系统中高可靠传输的性能要求,必须采用高性能的强纠错编码技术。 下面介绍几种高性能强纠错编码技术： 1里德- 索罗门码(Read - Solomon) 里德-索罗门码,简称RS码,是一种重要的线性分组编码方式,对突发性错误有较强的纠错能力。该编码技术是利用伽罗华创造的伽罗华域(Galois Field)中的数学关系来把传送数据包的每个 字节映射成伽罗华域中的一个元素(又称符号) ,每个数据包都按码生成多项式为若干个字节 的监督校验字节,组成RS的误码保护包,接收端则按校验矩阵来校验接收到的误码保护包是 否有错,有错时则在错误允许的范围内纠错。RS纠错编码具有很强的纠正突发误码的能力。为了纠正一个错误,要2个符号的检测码,一个用来确定位置,一个用来纠错。一般来说纠t个错误需要2t个检验符,这时要计算2t个等式,确定t个位置和纠t个错。能纠t个符号的RS 码生成多项式为: g ( x) = ( x + a0 ) ( x + a1 ) ( x + a2) …( x + a2t - 1 ) 。 2卷积码(Convolution codes) 卷积码是一种非分组编码,适用于前向纠错法。在许多实际情况下,卷积码的性能常优于分组式编码。卷积编码是将信息序列以k个码元分段,通过编码器输出长为n的一个码段。卷积 码的监督码元并不实行分组监督,每一个监督码元都要对前后的信息单元起监督作用,整个编解码过程也是一环扣一环,连锁地进行下去。卷积编码后的n个码元不仅与本段的信息元有关,而且也与其前N - 1段信息有关,故也称连环码,编码过程中互相关联的码元个数为nN。卷积编码的结构是:“信息码元、监督码元、信息码元、监督码元…”。在解码过程中,首先将接收到的信息码与监督码分离,由接收到的信息码再生监督码,这个过程与编码器相同;再将此再 生监督码与接收到的监督码比较,判断有无差错,并纠正这些差错。 3交织编码 交织编码,其基本思路是将i个能纠t个错的分组码( n, k)中的码元比特排列成i行n列的方阵,每个码元比特记作B ( i, n) 。交织前如果遇到连续j个比特的突发错误,且j >> t,对其中的连续2个码组而言,错误数已远远大于纠错能力t,因而无法正确对出错码组进行纠错。交织后, 总的比特数不变,传输次序由原来的B (1, 1) , B (1, 2) , B (1, 3). . . B (1, n) , B (2, 1) , B (2, 2) , B (2, 3). . . B (2,n) , . . . . . . B ( i, 1) , B ( i, 2) , B ( i, 3). . . B ( i, n)转变为B (1, 1) , B (2, 1) , B (3, 1). . . B ( i, 1) , B (1, 2) , B (2, 2) , B(3, 2). . . B ( i, 2). . . . . . . . . B (1, n) , B (2, n) , B (3, n) , . . . B ( i, n)的次序。此时因干扰或衰落引起的突发错误图样正好落在分组码的纠错能力范围内,可以正确纠正这些 被分解开的差错。通常把码组数i称为交织度,用这种方法构造的码称为交织码。 使用交织编码的好处是提高了纠正突发错误的能力但又不增加新的监督码元,从而不会降低 编码效率。理论上交织度i越大,抗突发错误的能力就越强。 4格状编码调制

海明码编码计算、检错和纠错原理解析

一、海明码检错/纠错基本思想 海明码（Hamming Code）是一个可以有多个校验位，具有检测并纠正一位错误代码的纠错码，所以也仅用于信道特性比较好的环境中，如以太局域网。它的检错、纠错基本思想如下： （1）将有效信息按某种规律分成若干组，每组安排一个校验位通过异或运算进行校验，得出具体的校验码 （2）在接收端同样通过异或运算看各组校验结果是否正确，并观察出错的校校组，或者多个出错的校验组的共同校验位，得出具体的出错比特位 （3）对错误位取反来将其纠正 二、海明码计算 海明码计算要按以下步骤来进行：计算校验码位数→确定校验码位置→确定校验码 1. 计算校验码位数 假设用N表示添加了校验码位后整个传输信息的二进制位数，用K代表其中有效信息位数，r表示添加的校验码位数，它们之间的关系应满足：N=K＋r≤2r－1（是为了确保r位校验码能校验全部的数据位，因为r位校验码所能表示的最大十进制数为2r-1，同时也确保各位码本身不被其他校验码校验） 信息码位数12~45~1112~2627~5758~120121~247 校验码位数2 3 4 5 6 7 8 2. 确定校验码位置 海明码的校验码的位置必须是在2n次方位置（n从0 开始，分别代表从左边数起分别是第1、2、4、8、16……），信息码也就是在非2n次方位置 3. 确定校验码 校验位置选择原则：第i位校验码从当前校验码位开始，每次连续校验i位后再跳过i位，然后再连续校验i位，再跳过i位，以此类推。确定每个校验码所校验的比特位： P1校验码位校验的码字位为：第1位（也就是P1本身）、第3位、第5位、第7位、第9位、第11位、第13位、第15位，……。 P2校验码位校验的码字位为：第2位（也就是P2本身）、第3位，第6位、第7位，第10位、第11位，第14位、第15位，……。 P3校验码位校验的码字位为：第4位（也就是P4本身）、第5位、第6位、第7位，第12位、第13位、第14位、第15位，第20位、第21位、第22位、第23位，……。 Pn校验码位校验的码字位为：第2n-1位（也就是Pn本身）、第2n-1+1位、第2n-1+2位、第2n-1+3位、……、第2n-1位，第3×2n-1位、第3×2n-1+1、……、第2×2n-1位，第5×2n-1位、第5×2n-1+1位、第3×2n-1位，……、第7×2n-1位、第7×2n-1+1位、……、第4×2n-1位，……，第(2m-1) 2n-1位、……第m×2n-1位 最后每组通过异或逻辑运算（与偶校验原理一样），使每组的运算结果为0，即可得出第i位校验码的值 4. 实现校验和纠错