拉格朗日方程的应用及举例
拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。
纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。
应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。
一、动能的计算
对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。
例1-1 已知质量为m，半径为r的均质圆盘D，
沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。圆盘的盘面和曲
杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度ω1绕通过
O点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。
解：取广义坐标x和?，x为圆盘与曲杆接触点到
曲杆A点的距离，?为曲杆OAB的转角，? = ω1t。
应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C的速度和相对于质心平动坐标- - 优质资料
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系的角速度。若以曲杆OAB 为动参考系，C 为动点，
2
1221e r ,,ωυωυυx x x x
C +=== 再应用刚体绕二平行轴转动的合成方法，圆盘的角速度为
r
x
-
=1ωω 于是圆盘的动能为
2
12212241)(21??
? ?
?
-++=r x
mr x x m T ωω 若将动能表达式展开，得到
2
12221124
1212143ωωωmr x m x mr x m T ++-=
可以看出，圆盘的动能包含广义速度x
的二次项，广义速度x 的一次项和它的零次项。
二、广义力的计算
概括地说，广义力有三种计算方法： 1）根据广义力的定义，有 N j q z F q y F q x F Q i i iz i i iy j i iz N
i j ,,2,11
=???
?
????+??+??=
∑
=
我们可以按照这个公式来计算，但是，有时计算是繁冗的。
2）我们知道，作用在系统上的诸主动力对于任何虚位移元功之和等于诸广义力对于相应的广义坐标的虚位移元功之和，即
j
j
n
i i i
N
i q
Q δδ1
1
∑∑===
?r F
对于完整系统，广义坐标的变分δq 1，δq 2，…，δq n 是彼此独立的。若给出某一广义坐标的变分为δq j ，而令其它坐标变分均为零，即 δq j ≠0，δq 1 = δq 2 = … = δq j －1 = δq j ＋1= … =δq n = 0 则上式为
j j i i
N
i q Q δδ1
?=?∑=r F
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于是n j q Q j
i
i N
i j ,,2,1,
δδ1
=?=
∑=r
F
由于系统的主动力在给定的虚位移中元功之和
i i
N
i r F
δ1
?∑=的计算是我们熟悉的，则广义力Q j
可较易地计算出。依次给出不同序数的坐标变分的同时，令其它坐标变分为零，则可依次计算出与广义坐标对应的广义力。这种方法是我们经常应用的。
3）若作用于系统上的主动力有势，则通过势能函数即可求出广义力。设势能函数为V ，则可应用式 j
j q V
Q ??-
= 进行广义力的计算。
例1-3 均质杆OA 和AB 在A 点铰链连接，并在O 点用铰链支承。杆重分别为P 1和P 2，F 1为作用于B 点的水平力，试求对应于?和ψ的广义力。
解：系统具有两个自由度。依题意，取?和ψ为广义坐标，对应于?和ψ的广义力以Q ?和Q ψ表示。于是， ψ
ψ??ψ
?ψψ??ψ??
??
δsin 2δcos 2δsin 2sin 2δsin δsin 2δcos cos 2δsin δcos b a x b a x b a y b a y a y a y B B D D C C +=+=--=+=-== 当?获得变分δ?，而ψ保持不变，即δψ = 0时， ????
?????sin 2sin cos 2δδδ)sin 2sin cos 2()
δδδ(δδ2111
211
1P a P a F C A Q a P a P a F z Z y Y x
X A i i i i i i
i
N
i --==
--=++=
?∑=∑=r F
当ψ获得变分δψ，而δ? = 0时， ψψψ
ψψψψψsin cos 2δδδsin δcos 2δδ212
212b P b F A Q b P b F A -==
-=?∑=r
F
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三、拉格朗日方程的应用
应用拉格朗日方程建立系统的动力学方程时，一般采用以下步骤：
1）分析系统的约束条件，判断系统的类型是否为完整系统，是定常还是非定常的，是保守的还是非保守的。
2）若系统为完整的，在确定其自由度数目后，选择恰当的广义坐标。
3）计算出以广义速度表达的动能T (q ，q ，t )、势能V (q ，t )或广义力Q (q ，t )，若主动力有势，计算出拉格朗日函数L (q ，q
，t )。 4）列出拉格朗日方程。
例1-4 半径为R 、质量为m 的圆环挂在一半径为r 的固定圆柱上。设圆环与圆柱间有足够大的摩擦力阻止相对滑动，试写出圆环的运动微分方程，并求微幅摆动的周期。
解：圆环具有一个自由度，是完整系统。取θ为广义坐标，圆环的动能为
222
1
21ωO O J mv T +=
其中O
O r R v θ )(-=，瞬心为A ，则 θω
R
r R R v O -==
于是
2222
2
222)()(21)(21θθθ r R m R
r R mR r R m T -=-+-= 主动力有势，系统的势能为
V =－mg (R －r ) cos θ
θθ
θ
θθθθsin )(0)(2d d )(222r R mg V
T r R m T t r R m T
-=??=??-=??? ????-=?? 代入拉格朗日方程，得到系统的动力学方程： 0sin )()(22=-+-θθ
r R mg r R m 即
0sin )(2=+-θθ
g r R 考虑到微幅，有 0)
(2=-+θθ
θ
R g
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周期为 g
r R )
2(π
2-=τ 由于主动力有势，可以写出拉格朗日函数： θθ
cos )()(22r R mg r R m V T L ---=-= 代入式（1-25）中同样可以得到系统的动力学方程。
2. 已知摆线绕在固定圆柱上，尺寸如图；求此摆的运动微分方
程。
解 这是单自由度保守系统，选θ为广义坐标，选θ= 0为系统的零势能位置，则
]
cos )()sin [()(2
122θθθθθR l R l mg V R l m T +-+=+=
将T 、V 代入保守系统的拉格朗日方程
θ
θθ??=??-
??? ????V
T T t d d
或将拉格朗日函数L =T -V 代入如下形式的拉格朗日方程
0d d =??-
??
? ????θθL
L t 皆可得运动微分方程
0sin )(2=+++θθθ
θg R R l 3. 已知三均质齿轮，半径皆为r ，质量都是m ，此机构位于水平
面内，若无重系杆受矩为M 的力偶作用；求系杆的角加速度α。
解 这是单自由度非保守系统，选系杆的转角?为广义坐标，则
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有关的角速度和速度为
,24,2,3232==?=?==ωωωωω?
ωr v r v O O
该系统的广义力为 Q ?=M
动能为
2
22322222112
1212121ωωmr mv mr mv T O O =+?+=
代入拉格朗日方程 ???Q T
T t =??-???
? ???? d d 得
2
22mr M
==ω
α
例1-9试求例1-1中圆盘的运动微分方程。又，若t =0时，x =10cm ，x = 0，求当x =20cm 时，x
为多少？ 例1-1 已知质量为m ，半径为r 的均质圆盘D ，沿OAB 直角曲杆的AB 段只滚不滑。圆盘的盘面和曲杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度ω1绕通过
O 点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。
解：由例1-1已求得动能T 为
2
12212241)(21??
? ?
?
-++=r x
mr x x m T ωω 水平台为零势面，则圆盘的势能为
V = 0
系统的拉格朗日函数L 为
x m x
L
x m x m x m x L t r x mr x m x L r x mr x x m T L 2112
122122,2321d d 2141)(21ωωωω=??=+=??? ??????
? ??--=????? ??
-++==
代入拉格朗日方程，有
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
拉格朗日方程的应用及举例 拉格朗日方程有以下几个特点：（1）拉格朗日方程适用于完整系统，可以获得数目最少的运动微分方程，即可以建立与自由度数目相同的n个方程，是一个包含n个二阶常微分方程组，方程组的阶数为2n。求解这个方程组可得到以广义坐标描述的系统运动方程。（2）拉格朗日方程的形式具有不变性。对于任意坐标具有统一的形式，即不随坐标的选取而变化。特别是解题时有径直的程序可循，应用方便。（3）所有的理想约束的约束反力均不出现在运动微分方程中。系统的约束条件愈多，这个特点带来的便利越突出。（4）拉格朗日方程是以能量的观点建立起来的方程，只含有表征系统运动的动能和表征主动力作用的广义力，避开了力、速度、加速度等矢量的复杂运算。（5）拉格朗日方程不但可以建立相对惯性系的运动，还可以直接建立相对非惯性系的动力学方程，只要写出的动能是绝对运动的动能即可，至于方程所描述的运动是对什么参考系的运动，则取决于所选的广义坐标。 纵观拉格朗日方程，看出分析力学在牛顿力学的基础上，提出严密的分析方法，从描述系统的位形到建立微分方程都带有新的飞跃。我们还应看到，虽然拉格朗日方法在理论上和应用上都有重要的价值，但是，牛顿力学的价值并未降低，特别是它的几何直观性和规格化的方法使人乐于应用，由于计算机的广泛使用，牛顿一欧拉方法又有所发展。我们将会看到，用拉格朗日方程求解，在获得数量最少的运动微分方程时，其求导过程有时过于繁琐，并有较多的耦合项。 应用拉格朗日方程建立动力学方程时，应首先建立以广义坐标q和广义速度q 表示的动能函数和广义力Q。为此，首先讨论动能的计算和广义力的计算，在此基础上，再讨论拉格朗日方程的应用。 一、动能的计算 对于系统的动能，可以写出关于广义速度q 的齐次函数的表达式。在实际计算中，应用理论力学的有关知识就可以建立以广义坐标和广义速度所表达的动能函数。 例1-1 已知质量为m，半径为r的均质圆盘D， 沿OAB直角曲杆的AB段只滚不滑。圆盘的盘面和曲 杆均放置在水平面上。已知曲杆以匀角速度ω1绕通过 O点的铅直轴转动，试求圆盘的动能。 解：取广义坐标x和?，x为圆盘与曲杆接触点到 曲杆A点的距离，?为曲杆OAB的转角，? = ω1t。 应用柯尼希定理求圆盘的动能。为此，先求圆盘质心C的速度和相对于质心平动坐标- - 优质资料
一维定态薛定谔方程 的应用 授课人： 物理科学与技术学院
势 阱 日常生活中的各种井（阱） 物理学中研究微观粒子运动状态时常用的模型，因其势能函数曲线的形状如同井而得名 水井 窨井 陷阱 U x O a U
() U x x O a ∞ ∞00()0 , x a U x x x a ≤≤?=?∞<>? 这是一个理想化的物理模型， 应用定态薛定谔方程求解波函数， 有利于进一步理解在微观系统中 能量量子化和概率密度等概念 这样的势能函数称为 一维无限深势阱
建立定态薛定谔方程并求解 假设微观粒子质量为 ，由 m 22 2d ()()()2d U x x E x m x ψψ??-+=???? x a U x 0()0≤≤=阱内( ) ： 22 2d ()()2d x E x m x ψψ-= x x a U x 0 , ()<>→∞ 阱外( )： 令： 2 22mE k =得通解： ()sin() x A kx ψ?=+ 微观粒子的能量不可能达到 无穷大，所以粒子不可能在阱外出现，或者说粒子在阱外出现的概率为零。 ()0 x ψ≡222 d 0d k x ψψ+=
利用标准条件确定 和 k ?因 在整个 轴上必须连续 x ()x ψsin() 0()0 0 0 A kx x a x x x ?ψ+≤≤?=? <>?，(0)sin 0 A ψ?== a A ka ()sin()0 ψ?=+=求归一化的波函数 一维无限深势阱中 微观粒子的波函数 2220π()d sin d a n x x A x x a ψ+∞-∞=??221 A a =?= 2A a = n a x x a x a x x a π2sin 0()00 , ψ? ≤≤?=??<>?() π ()sin 1,2,3n x A x n a ψ==??， 0?=π n k a =()1,2,3n =???，
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1 q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：