三、设系统的闭环传递函数为Gc(s)=
ωξωωn
n n
s s 2222++，试求
最大超调量σ％=9.6%、峰值时间tp=0.2秒时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。
解：∵
%100%2
1?=--ξξπ
σe
=9.6% ∴ξ=0.6
∵t p =
π
ωξn 12
-＝0.2
∴ωn =
πξ
t p 131402106
2
2
-=
-=...19.6rad/s
四、设一系统的闭环传递函数为G c (s)=
ωξωωn
n n
s s 2222++，试求
最大超调量σ％=5%、调整时间t s =2秒(△=0.05)时的闭环传递函数的参数ξ和ωn 的值。
解：∵
%100%2
1?=--ξξπ
σe =5% ∴ξ=0.69 ∵
t s =
ξ
ωn 3
＝2 ∴ωn =2.17 rad/s
五、设单位负反馈系统的开环传递函数为
)
6(25
)(+=
s s s G k
求（1）系统的阻尼比ζ和无阻尼自然频率ωn ；
（2）系统的峰值时间t p 、超调量σ％、 调整时间t S (△=0.02)； 解：系统闭环传递函数
2562525)6(25)
6(251)6(25
)(2
++=++=++
+=s s s s s s s s s G B 与标准形式对比，可知
62=n w ξ ，252=n
w 故 5=n w ， 6.0=ξ
又
46.015122=-?=-=ξn d w w
785.04
==
=
π
π
d
p w t
33.14
%
5.9%100%100%2
2
6.016.01==
=?=?=----n
s w t e
e
ξσπ
ξ
ξπ
七、已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
)
2(100
)(+=
s s s G K
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ； （2）试求输入为t t r 31)
(+=时，系统的稳态误差。
解：（1）将传递函数化成标准形式
)
15.0(50
)2(100)(+=+=
s s s s s G K
可见，v ＝1，这是一个I 型系统 开环增益K ＝50； （2）讨论输入信号，t t r 31)
(+=，即A ＝1，B ＝3
根据表3—4，误差
06.006.0050
3
111=+=+∞+=++=
V p ss K B K A e
六、某系统如下图所示，试求其无阻尼自然频率ωn ，阻尼比ζ，超
调量σ％，峰值时间
p
t ，调整时间
s t (△=0.02)。
解： 对于上图所示系统，首先应求出其传递函数，化成标准形式，然后可用公式求出各项特征量及瞬态响应指标。
()()()()()04
.008.022********.04501001450100
2
++=++=?+++=s s s s s s s s s X s X i o
与标准形式对比，可知
08.02=n w ξ ，
04
.02
=n w
()()
()s t s t e
e
s rad n s n p n 1002
.02.04
4
03.162
.012.01%
7.52%2
.0/2.02
2
2.012.012
2
=?=≈≈-=
-=
≈====-?-
--
?ωπ
?
ωπσ?ωπ?
π?
八、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
)
2.0)(1.0(2
)(2++=s s s s G K
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ； （2）试求输入为2425)
(t t t r ++=时，系统的稳态误差。
解：（1）将传递函数化成标准形式
)
15)(110(100)2.0)(1.0(2)(2
2++=++=s s s s s s s G K
可见，v ＝2，这是一个II 型系统 开环增益K ＝100； （2）讨论输入信号，2
425)(t
t t r ++=，即A ＝5，B ＝2, C=4
根据表3—4，误差
04
.004.000100
4
2151=++=+∞+∞+=+++=a V p ss K C K B K A e
九、 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下：
)
11.0)(12.0(20
)(++=
s s s G K
求：(1) 试确定系统的型次v 和开环增益K ； （2）试求输入为2252)
(t t t r ++=时，系统的稳态误差。
解：（1）该传递函数已经为标准形式
可见，v ＝0，这是一个0型系统 开环增益K ＝20； （2）讨论输入信号，2252)(t t t r ++=，即A ＝2，B ＝5，C=2
根据表3—4，误差
∞=∞+∞+=+++=+++=
21
2
020520121Ka C K B K A e V p ss
十、设系统特征方程为 s 4+2s 3+3s 2+4s+5=0，试用劳斯-赫尔维茨
稳定判据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=2，a 2=3，a 1=4，a 0=5均大于零，且有
5
3100420053100424=
?021>=? 0241322>=?-?=?
0124145224323<-=??-??-??=?
060)12(5534<-=-?=?=? 所以，此系统是不稳定的。
十一、设系统特征方程为
0310126234=++++s s s s ，试用劳斯-赫尔维茨稳定判
据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=6，a 2=12，a 1=10，a 0=3均大于零，且有
3
1210
01060
3
12
1001064=
?061>=?
0621011262>=?-?=?
051210110366101263>=??-??-??=? 015365123334>=?=?=?
所以，此系统是稳定的。
十二、设系统特征方程为
03425234=++++s s s s ，试用劳斯-赫尔维茨稳定判
据判别该系统的稳定性。
解：用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 4=1，a 3=5，a 2=2，a 1=4，a 0=3均大于零，
( )/d
/
且有
3
210045003210
0454=
?
051>=?
0641252>=?-?=?
0514143554253<-=??-??-??=? 0153)51(3334<-=-?=?=?
所以，此系统是不稳定的。
十三、设系统特征方程为
0164223=+++s s s ，
试用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别该系统的稳定性。
解：（1）用劳斯-赫尔维茨稳定判据判别，a 3=2,a 2=4,a 1=6,a 0=1均大于零，且有
1
400
620143=?
61210441640
2212640
4321>=??-??-??=?>=?-?=?>=?
所以，此系统是稳定的。
十四、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。
)
102.0(30)(+=s s s G
解：该系统开环增益K ＝30；
有一个积分环节，即v ＝1；低频渐近线通过（1，20lg30）这点，斜
率为－20dB/dec ；
有一个惯性环节，对应转折频率为5002
.01
1==w ，斜率增加
－20dB/dec 。
系统对数幅频特性曲线如下所示。
十五、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性曲线。
)
101.0)(11.0(100)(++=
s s s s G
解：该系统开环增益K ＝100；
有一个积分环节，即v ＝1；低频渐近线通过（1，20lg100）这点，即通过（1，40）这点斜率为－20dB/dec ；
有两个惯性环节，对应转折频率为101
.01
1==w ，10001
.01
2==w ，斜
率分别增加－20dB/dec 系统对数幅频特性曲线如下
所示。
十六、设系统开环传递函数如下，试绘制系统的对数幅频特性稳态误差不变，响应速度降低曲线。
11.0)(+=s s G
解：该系统开环增益K ＝1；
无积分、微分环节，即v ＝0，低频渐近线通过（1，20lg1）这点，
即通过（1，0）这点斜率为0dB/dec ；
有一个一阶微分环节，对应
转折频率为101
.01
1==w ，
斜率增加20dB/dec 。
系统对数幅频特性曲线如下所示。
二． 图1为利用加热器控制炉温的反馈系统（10分）
试求系统的输出量、输入量、被控对象和系统各部分的组成，且画出原理方框图，说明其工作原理。
解答：输出量：炉温。输入量：给定电压信号。被控对象：电炉。 系统包括：电位器、放大器、电机、减速器以及自藕调压器、
热电偶。
原理方框图：
三．如图2为电路。求输入电压i u 与输出电压0u 之间的微分方程，并求出该电路的传递函数。（10分）
解答：跟据电压定律得
L ( )/d -20 dB / dec
-40 dB / dec
10
100 0 1 40
L ( )/dB
20 dB / dec 10
(rad/s)
R u 0u i C u 0
u i
R
(a)(b)001
i
u dt u u RC +=?
四、求拉氏变换与反变换
1． 求
[0.5]t te - 解答：
2
112(1)s s -
-
2． 求
1
3[](1)(2)
s s s -++ 解答：=t
236t e te ---+
八、已知某系统是单位负反馈系统，其开环传递函数
1
510
+=
s G k ，则该系统在单位脉冲、单位阶跃和单位恒速信号作用
下的ss e 分别是多少？（8分）
解答：该系统为单位负反馈且为0型系统，k=11, 所以该系统在单
位阶跃和单位恒速信号作用下的ss e 分别是11
1
、
。
在单位脉冲信号作用下的稳态误差为
011
51011
lim )()]
()(1)[(1
lim 00
=?++
?
=?+?
=→→s s s X s H s G s H s e s i s ss
九、设有如图所示的反馈控制系统，试求根据劳斯判据确定传递函数k 值的取值范围
()
i X s ×-0()
X s k
(s 1)(s 5)
++()X s 1
Ts +1
s
解答：k
()
(s 1)(s 5)k
G s s =
+++
系统的特征方程：(s 1)(s 5)k 0s +++=
可展开为：3
2s 5s k 0s
+++=
列出劳斯数列：
3
210
15s 6k
30-k s 6s
k
s
k>0,30-k>0 <0k<30
七、图示机械系统由质量m 、阻尼系数C 、弹簧刚度K 和外力)
(t f 组成的机械动力系统。图(a)中)(t x o 是输出位移。当外力
)(t f 施加3
牛顿阶跃力后，记录仪上记录质量m 物体的时间响应曲线如（b ）图所示。
试求：
1）该系统的微分方程数学模型和传递函数；(4分)
2）该系统的弹簧刚度质量m 、阻尼系数C 、弹簧刚度k ；（3分）
3）时间响应性能指标：上升时间s t 、调整时间r t 、振荡频数N 、
稳态误差ss e （5分）。
f(t)
m
c
k
x 0(t)
1.0
t
0.095
x 0
图(a) 机械系统 图（b ）响应曲线 解答：解：1）对于该系统有：
()()()()t f t kx t x c t x
m =++000 故 ()k
cs ms s G ++=
21
2）求k 由Laplace 变换的终值定理可知：
()()()
s X s t x x s t 00
00lim lim ?==∞→∞
→s k cs ms s
s 31lim 20
?
++=→k
3
= 而
()∞0x =1.0，因此k=3.求m ， 由
()()()
%100000?∞∞-=
x x t x M p p 得：
%5.9%1000
.1095
.0=?=
p M 又由式%1002
1?=--ξξπ
e
M p 求得ξ
=0.6
将==ξ,2p
t 0.6代入2
1ξωπωπ-=
=n d
p
t 中，得
n ω=1.96。
再由2n m
k
ω=求得m=0.78。求c 由m
c
n =ξω2，求得
c=1.83.
3）求s t ==
n
s
t ξω3
2.55 (取?=0.05时)
==
n
s t ξω4
3.40 (取?=0.02时)
求r t
=-=ξ
ξβ2
1arctan
0.91
=-=
d
r t ωβ
π 2.323
求N 取
?=0.05时，πξ
ξ2
15.1-=
N =0.64 取
?=0.02
时，
πξ
ξ
2
12-=
N =0.85
求ss e 当输入为阶跃信号时，系统的稳态误差为：
p
ss K e +=
11
对于0型系统 1==K K p ，代入式中求得： ss e =0.5
二．设有一个系统如图1所示，k 1=1000N/m, k 2=2000N/m, D=10N/(m/s)，当系统受到输入信号
t t x i sin 5)(= 的作用时，试求
系统的稳态输出
)(t x o 。(15分)
i
x o
x 1
K 2
K D
解：
()()()1
015.001.021211+=
++=s s
k k Ds k k Ds k s X s X i o 然后通过频率特性求出
()()
14.89sin 025.0+=t t x o
三．一个未知传递函数的被控系统，构成单位反馈闭环。经过测试，得知闭环系统的单位阶跃响应如图2所示。(10分) 问：(1) 系统的开环低频增益K 是多少？(5分)
(2) 如果用主导极点的概念用低阶系统近似该系统，试写出其近似闭环传递函数；(5分)
17/8
0.55
25ms
O
t
解：（1）
007
18
K K =+，0
7K =
(2)
()()8
025.07
+=
s s X s X i o 四．已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图3所示。(10分)
1. 写出开环传递函数G(s)的表达式；(5分)
2. 概略绘制系统的Nyquist 图。(5分) 1．
)
100s )(01.0s (s 100
)1100
s )(101.0s (
s K
)s (G ++=
++=
??
???
=∴=ω100K dB 80K lg 20 2．
七．如图6所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下
e ss ≤225.时，K 的数值。(10分)
0K s 9s 6s K )3s (s )s (D 232=+++=++=
由劳斯判据： K
s 0
6K 54s K 6s
91s 0
12
3
- 第一列系数大于零，则系统稳定得54K 0<< 又有：
K
9
e ss =
≤2.25 可得：K ≥4 ∴ 4≤K ＜54
五．已知系统结构如图4所示, 试求：(15分)
1. 绘制系统的信号流图。(5分)
2. 求传递函数
)
(
)(s X s X i o 及
)
()(s N s X o 。(10分)
G 1(s)X i (s)
+-
G 2(s)H 1(s)
+-
+ +
N(s)
X o (s)
H 2(s)
2212121H G G L ,H G L -=-= 1G G P 1211=?=
2
21122
11)()(H G G H G G G s X s X i o ++=
1211H G 11
P +=?=
2
21121
211)()(H G G H G H G s N s X o +++=
六．系统如图5所示，)(1)
(t t r =为单位阶跃函数，试求：(10
分)
1. 系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率ωn 。(5分)
2. 动态性能指标：超调量M p 和调节时间%)5(=?
s t 。(5分)
1．)
2s (s )2S (S 4n 2n
ξω+ω=+
?????=ξω=ξ→=ω∴2
25.02n n
2．
%5.16%100e
M 2
1p =?=ξ-ξπ-
)s (32
5.033t n s =?=ξω=
八．已知单位反馈系统的闭环传递函数3
2
)
(+=
Φs s ，试求系
统的相位裕量
γ。(10分)
解：系统的开环传递函数为1
s 2
)s (W 1)s (W )
s (G +=
-=
11
2
|)j (G |2c
c =+ω=
ω，解得3c =ω
?
=?-?=ω-?=ω?+?=γ-12060180tg 180)(180c 1c
36.二阶系统的传递函数为
1
1
2s s ++，试在左图中标出系统的特
征根在S 平面上的位置，在右图中标出单位阶跃曲线。 解：
5.01
21=ξ=ξω=ωn n
40.（7分）机械系统如图所示，其中，外力f(t)为系统的输入，位移x(t)为系统的输出，m 为小车质量，k 为弹簧的弹性系数，B 为阻尼器的阻尼系数，试求系统的传递函数（忽略小车与地面的摩擦）。
解：系统的微分方程为
22dt x
d m )t (Kx dt dx B )t (f =--
)t (f )t (Kx dt dx
B dt
x d m 22=++
拉氏变换得：（零初始条件）
)s (F )s (KX )s (BsX )s (X ms 2=++
K
Bs ms 1
)s (F )s (X 2
++=∴ 41.（7分）已知系统结构如图，试求传递函数
C s R s ()()
及
C s N s ()
()
解：.2212121
H G G L ,H G L -=-=
1G G P 1211=?= 221122
1H G G H G 1G G )s (R )s (C ++=
1211H G 11P +=?= 2
21121
2H G G H G 1H G 1)s (N )s (C +++=
45.（8分）已知单位反馈系统的闭环传递函数W s s ()=
+23
，
试求系统的相位裕量
γ和幅值裕量kg
解：系统的开环传递函数为1
s 2
)s (W 1)s (W )
s (G +=
-=
11
2
|)j (G |2c
c =+ω=
ω，解得3c =ω
?
=?-?=ω-?=ω?+?=γ-12060180tg 180)(180c 1c 又∞=ωg ∞=∴g K
42.（7分）系统如图所示，r t t ()
[]=1为单位阶跃函数，试求：
1. 系统的阻尼比ξ和无阻尼自然频率ωn
1．)
2s (s )2S (S 4n 2n
ξω+ω=+
???
?
?=ξω=ξ→=ω∴2
25.02
n n 2. 动态性能指标：超调量M p 和调节时间t s ()δ
=5
2．%5.16%100e
M 2
1p
=?=ξ-ξπ
-
)s (32
5.033t n s =?=ξω=
43.（8分）如图所示系统，试确定使系统稳定且在单位斜坡输入下
e ss ≤225.时，K 的数值。
.
0K s 9s 6s K )3s (s )s (D 232=+++=++=
由劳斯判据：
K
s 0
6K 54s K 6s 91s 0
12
3-
第一列系数大于零，则系统稳定得54K 0<< 又有：K
9
e ss
=
≤2.25 可得：K ≥4 ∴ 4≤K ＜54 44.（7分）已知开环最小相位系统的对数幅频特性如图所示。 1. 写出开环传递函数G(s)的表达式； 1．)
100s )(01.0s (s 100
)1100
s )(101.0s (s K
)
s (G ++=
++=
?????
=∴=ω
100
K dB
80K lg 20 2. 概略绘制系统的乃奈斯特图。