6.3正比例函数的图象（教案）
教学目标
1、了解正比例函数y=kx的图象的特点。
2、会作正比例函数的图象。
3、理解正比例函数及其图象的有关性质。
4、能熟练地作出正比例函数的图象。
能力目标
1、进一步培养学生数形结合的意识和能力。
2、通培养学生的探索精神。
情感目标
让学生全身心地投入教学活动中，能进行探索的活动，发展实践能力与创新精神。
教学重点
1、正比例函数的图象的特点。
2、正比例函数图象的性质。
教学过程
1、新课导入（几张幻灯片导入新课2分钟）
生活中有时候为了解决问题的方便，我们利用图象来研究两个变量之间的变化关系，刚才我们看到的心电图，以及买彩票时画的一些图，还有气温变化折线图以及速度随时间的变化图等都可以很方便的知道因变量随自变量的变化情况，上周我们刚刚学了一次函数，现在我们遇到一个一次函数，如果我想知道y随x 如何变化，也可以借助这个一次函数的图象来了解，在一次函数中有一类特殊的函数叫正比例函数，今天我们就从正比例函数的图象开始学习，不过首先我们得了解什么是函数的图象，下面请大家先齐读学习目标。
2、讲授新课
（1）首先请大家认真阅读课本第187页的内容，并完成试一试的1、2两个题。
3.活动1：请大家在同一坐标系内作出正比例函数y= x，y=x，y=3x，y=-2x的图象。
（学生完成，老师巡视，并发现问题及时讲解）
4、想一想
（1）正比例函数y=kx的图象有什么特点？（都经过原点）
（2）你作正比例函数y=kx的图象时描了几个点？（至少两点）
（3）直线y= x，y=x，y=3x中，哪一个与x轴正方向所成的锐角最大？哪一与x轴正方向所成的锐角最小？
4、小结：正比例函数的图象有以下特点：（用幻灯片展示要得出的知识点）
（1）正比例函数的图象都经过坐标原点。
（2）作正比例函数y=kx的图象时，除原点外，还需找一点，一般找（1,k）点。
（3）在正比例函数y=kx图象中，当k>0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角越大。
活动2：试用简便方法在平面直角坐标系内作出一次函数y=2x,y=-x,y=-x,y=5x的图象。
并根据你所画的函数图象回答以下问题（8分钟）
老师用幻灯片的展示正比列函数的两个例子并引导学生总结正比例函数的图象特征和性质，最后得出结论：
（4）在正比例函数y=kx的图象中，当k>0时，y的值随x值的增大而增大；当k<0时，y的值随x值的增大而减小。
【规律探究】正比例函数的图象特征和性质
1、经过的象限：
2、增减性：(表中↗表示x增大，↘表示x减小)
三、练一练（12分钟）（幻灯片展示3、4题的答案）
1.请在直角坐标系中画出的图象
2.函数y=－7x的图象在第二、四象限内,经过点(0, 0 )与点(1,-7),y随x的增大而减小.
3.正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是m>1
思考题：幻灯片展示出来。
四、记一记:
1.正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线．?
2.在正比例函数y=kx图象中，当k>0时，k的值越大，函数图象与x轴正方向所成的锐角越大。
3.当k>0时，正比例函数y=kx图象经过第一、第三象限，从左向右上升，即y随x的增大而增大；
4.当k<0时，正比例函数y=kx图象经过第二、第四象限，从左向右下降，即y随x的增大而减小．
5.正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，?我们可以称它为直线y=kx．
五、教学反思：正比例函数的知识是我们学习一次函数y=kx+b的基础，本节课我和学生一起学习了正比例函数的概念以及性质，还进行了简单的升华，正比例函数的应用。本节课我主要是想通过让学生自己动手操作，然后观察得出正比例函数的图象及其性质。一节课大部分时间是在让学生自己动手和动脑，我主要是想提问引导他们。通过本节课的反馈，这节课的知识容量有点大，如果把练一练中2,3两题关于正比例函数的性质应用去掉，本节课的容量刚好。另外，我觉得在我的这节课中，最大的难点是引导学生思考为什么正比例函数的图象是一条直线，其实大部分学生都知道用描点法去取点，但是学生取的点是有限个，画出来的图象是线段。其实，我是把学生分了几组，然后再规定各组取不同的点，最后等学生各自画完自己取的点后，把各组画的图象拼接在一起，看起来就给人直线的感觉，所以学生自然能够想到，如果所取的点足够多，那么正比例函数的图象一定是一条直线。
函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象教学设计 教学目标 1．知识与技能 （1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的实际意义； （2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象, 并借助图形计算器 动态演示三角函数图象，研究参数?ω，，A 对函数图象变化的影响，让学 生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律． （3）考察参数A 、?、ω对()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象影响的过程中认识 到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的联系. 2．过程与方法 （1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生 的数学发现能力和概括总结能力. （2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系， 提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力． （3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归 思想，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度、价值观 （1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学 态度． （2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点 教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象以及参数?ω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象之间的变换关系. 教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变
§1.4.1正弦、余弦函数图象的教学设计 【教材分析】 《正弦函数,余弦函数的图象》是高中新教材人教A 版必修四的内容，作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数的后继内容，是在已有三角函数线知识的基础上，来研究正余弦函数的图象与性质的，它是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究余弦函数、正切函数的图象与性质、正弦型函数 的图象的知识基础和方法准备。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。 本节共分两个课时，本课为第一课时，主要是利用正弦线画出 的图象，考察图象的特点，用“五点作图法”画简图，并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换；再利用图象研究正余弦函数的部分性质（定义域、值域等） 【学情分析】 本课的学习对象为高二下学期的学生，他们经过近一年半的高中学习，已具有一定的学习基础和分析问题、解决问题的能力，思维活跃、想象力丰富、乐于尝试、勇于探索，学习欲望强的学习特点。 【教学目标】 1、知识与技能 （1）会用单位圆中的三角函数线作出]2,0[,sin π∈=x x y 的图象，明确图象的形状； （2）根据关系)2 sin(cos π + =x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象； （3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图。 2、过程与方法 进一步培养合作探究、分析概括，以及抽象思维能力。 3、情感态度价值观 通过作正弦函数和余弦函数图象，培养认真负责，一丝不苟的学习精神。 【教学重点难点】 教学重点：“五点法”画]2,0[,sin π∈=x x y ，x y cos =，[]π2,0∈x 图像 教学难点：运用几何法画正弦函数图象。 【教学过程】 一．情景引入 实验：简谐振动，得到直观的图象，让学生注意观察它的图形特点，并说明，在物理学中称其为“正弦曲线”或“余弦曲线”． 问题：如何得到正弦函数的精确图象?
函数图像与变换 教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）. 教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。 教学过程： 一.知识要点： 1.常见函数图像及其性质： （1）平移变换： ①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象 横向 平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象 纵向 平移b 个单位，(上+下—) ③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换： ①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴 对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴 对称. ③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点 对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称. ④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称. ⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称. 若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称. 若函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-= （3）翻折变换主要有 ①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习： 1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)， 则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A ) A.y ＝f (x －1)－1 B.y ＝f (x ＋1)－1 C.y ＝f (x －1)＋1 D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x ) 解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 图2—3
【问题】1996年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环；4个月零1周后，人们在2.56万千米外的澳大利亚发现了它(一个月按30天计算) ．（1）这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米？（2）这只燕鸥的行程y（单位：千米）与飞行时间x（单位：天）之间有什么关系？ （3）这只燕鸥飞行1个半月的行程大约是多少千米？ （4）对这个问题你还能提出什么结论． 分析：（1）这只燕鸥大约平均每天飞行的路程不少于 25600÷（30×4+7）≈200（km）. （2）假设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（单位：千米）就是飞行时间x（单位：天）的函数，函数解析式为 y=200x (0 x 127). （3）这只燕鸥飞行1个半月的行程，大约是x=45时的函数y=200x 的值，即 y=200×45=9000(km). （4）略． 3.共同思考 下列问题中变量对应规律可用怎样的函数表示？这些函数有什么共同点？ （1）圆的周长l 随半径r的大小变化而变化？ （2）铁的密度为7.8g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的大小变化而变化；
（3）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随这些练习本的本数n的变化而变化； （4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时间t（单位：分）的变化而变化． 可以得出上面问题中的函数分别为： （1）l=2 r （2）m=7.8V （3）h=0.5m （4）T=-2t 4.归纳定义 一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数（proportional function）,其中k叫做比例系数． 5.共同参与 请你举出一些实际问题，使问题中的变化规律是正比例函数的形式． 6.例题讲解 为了研究正比例函数的性质，我们是通过研究正比例函数图象性质而达到的，因此例题是画出正比例函数图象． 先给同学们提一个问题： 描点法画函数图象的一般步骤是、、 ． 例1.画出下列正比例函数的图象： （1）y=2x （2）y=-2x 解：（1）y=2x
《探究一次函数的图像与性质》教学设计 怀来县新保安中学梅丽丽 一、教材分析 函数是中学数学中非常重要的内容，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型。它贯穿于整个中学阶段的始末，同时也是历年中考、高考必考的内容之一。一次函数是初学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后进一步学习初、高中其它函数和高中解析几何中的直线方程的基础。 本节课的教学内容是一次函数的图象和性质的第一课时。学本节课之前，学生已学习了平面直角坐标系、函数概念与图象、正比例函数的概念及图象性质，一次函数的概念等有关的知识，是继续学习反比例函数和二次函数的图象与性质的重要基础，起着承上启下的作用。数形结合的思想是本节内容所包含的主要数学思想。 二、教学目标的确定 知识与技能目标： 1、掌握一次函数的图象的简单画法； 2、经历探索由一次函数图像观察归纳一次函数性质的过程； 3、掌握并应用一次函数性质解决问题。 过程与方法目标： 1、通过对应描点来研究一次函数的图象，经历知识的归纳，探究过程。 2、通过一次函数的图象归纳函数的性质，体验数形结合的应用。 3、体会和学会探索问题的一般方法，渗透从特殊到一般的数学思想。 情感态度价值观目标：通过自主探究和合作交流，增强函数小组合作意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质，体验成功的喜悦。 三、教学重点和难点 教学重点是一次函数的图像和性质 教学难点是由一次函数的图像实验归纳出一次函数的性质及对性质的理解。 四、教学方法：自主探究式教学方法 五、教学手段：几何画板软件及自制网页
六、教学过程设计 教学 环节 教学过程设计意图 创设情境引入新课《新龟兔赛跑》乌龟与兔子比赛，乌龟的速度是每分钟15米，兔子 的速度是每分钟100米，乌龟在兔子前900米，写出兔子和乌龟距 兔子出发点的距离y与出发时间x之间的关系式？问：谁能赢？？ 学生说出解析式：x y100 =和900 15+ =x y 师引导学生回忆正比例函数的定义和图像以及一次函数的定义 教师适时指出要想解决这个问题我们可以借助函数图像来研究，从 而自然引出课题—一次函数的图像和性质，教师板书这堂课的课题 内容. 通过提出实际问题。 学生列出函数解析式，从 而复习一次函数和正比例 函数的定义与关系，用解 析法表示函数，自然引出 用图像法研究函数的必要 性，为下面的探究作铺垫。 这个问题没有给出明 确的路程，就是引导学生 学会何时分类，如何分类， 同时发挥图像形象和直观 的优势。 实验探究发现新知自主探究一：一次函数的图像的画法 1、用描点法画出函数图像y=-x与y=-x+6 列表 x …-2 -1 0 1 2 … y=-x …… y=-x+6 …… 2、讨论两图像的相同点与不同点 3、用几何画板画函数y=2x与y=2x-3的图像，验证结论 4、教师引导学生得出：一次函数y=kx＋b的图像是一条直线，我们 称它为直线y=kx＋b，它可以看作由直线y=kx平移|b|个单位而 得到。 5、用两点法画出图像y=2x-1和-0.5x+1 自主探究二：一次函数的图像和性质 1、提出探究问题：k、b对一次函数的图像和性质有何影响？ 2、先让学生讨论交流实验方案。若学生不会控制变量法，教师用生 物实验中的例子来启发引导学生。如白鼠生存环境的探究实验进行 启发。要想研究一个因素，就保持别的因素不变，就改变这个因素， 看它的影响。 3、学生自主探究与展示交流。学生小组讨论后利用几何画板研究得 出结论，注意两个参数要一个一个研究，研究一个参数时，另一个 参数保持不变。 探究一次函数从正比 例函数入手，渗透从简单 到复杂，从特殊到一般的 研究过程。 环节一目的是引导学 生体会参数K的作用，为 学生自主探究改变不同的 K值，画出图像进行探究 作铺垫。 让学生经历一个完整 的数学实验过程：观察、 猜想—验证—归纳——证 明，从而得出正比例函数 的性质，渗透实验探究的 方法。 引导学生概括图像与 性质时，从两个方面思考， 渗透数形结合思想。
函数图象的几何变换教案 【教学目标】1．让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象； 2．让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论； 3．培养学生主动运用数形结合方法解题的意识． 【教学重点】函数图象的几何变换 【教学难点】1．各种图象变换之间的区别及灵活应用； 2．运用数形结合方法解题． 【例题设置】例1（平移易错点剖析），例2、4（函数作图），例3（找中心），例5（图 象法解不等式） 【教学过程】 第一课时 一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象． ⑴ 正比例函数 kx y =，)0,(≠∈k R k ⑵ 反比例函数 k y = ， )0,(≠∈k R k ☆ 其图象是以原点为中心，以直线y x =和y x =-为对称轴的双曲线． ⑶ 一次函数 b kx y +=，)0,(≠∈k R k ⑷ 一元二次函数 )0(2 ≠++=a c bx ax y ⑸ 指数函数 ,0x y a a =>且1≠a （特征线：1=x ） ⑹ 对数函数 0, log >=a x y a 且1≠a （特征线：1=y ） ⑺ 正弦函数 R x x y ∈=,sin ，周期π2=T ⑻ 余弦函数 x y cos =，R x ∈，周期π2=T ⑼ 正切函数 ),2 (,tan Z k k x x y ∈+ ≠=π π 周期π=T ☆一个小结论：在区间)2 , 0(π 上恒有x x x sin tan >>（证明文科留至《三角函数》一节