福建省长泰一中高考数学一轮复习《二项式定理》学案
()()1::1k k n n C C n k k +=-+
3．二项式定理主要有以下应用
①近似计算
②解决有关整除或求余数问题
③用二项式定理证明一些特殊的不等式和推导组合公式（其做法称为“赋值法”） 注意二项式定理只能解决一些与自然数有关的问题
④ 杨辉三角形
例1. (1) （18湖南理11）若(ax －1)5的展开式中x 3的系数是－80，则实数a 的值是 ．
(2) （18湖北文8）在243)1(x x +
的展开式中，x 的幂指数是整数的有 项． (3) (1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中x 2项的系数为 ．
解：（1）－2 （2）5项 （3）35
变式训练1：若多项式)1()1()11010991010
2(+++++++=+x a x a x a a x x , 则
=a 9( )
A 、9
B 、10
C 、－9
D 、－10
解：根据左边
x 10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为010*******=+=+a C a a ,∴
109-=a 故选D 。 例2. 已知f(x)＝(1+x)m +(1+x)n ，其中m 、n ∈N 展开式中x 的一次项系数为11，问m 、n 为
何值时，含x 3项的系数取得最小值？最小值是多少？
由题意111111=+?=+n m C C n m ，则含x 3项的系数为)2)(1(6
133--=+n n n C C n m ＋ 典型例题 基础过关
整理得05052=--n n
即解方程(n －10)(n ＋5)＝0
则只有n=10适合题意.由
)(2220101i x x C T r r r r n -???=--+, 当 02220=-
-r r 时,有r=8, 故常数项为C i C 2
108810)(=-=45 故选D
例3. 若,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=-求（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +） 解：对于式子：,,......)21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- 令x=0，便得到：0a =1
令x=1，得到2004210......a a a a ++++=1
又原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）
=)......(2003)......(2004200421002004210a a a a a a a a a +++++=++++ ∴原式：（10a a +）+（20a a +）+……+（20040a a +）=2018 注意：“二项式系数”同二项式展开式中“项的系数”的区别与联系 变式训练3：若()
323012323x a a x a x a x +=+++，则 ()()220213a a a a +-+的值是 （ ） A ．1-
B ．1
C ．0
D ．2 解：A