2.5 冲激信号和阶跃信号的傅里叶变换
2.5.1 冲激信号
由傅里叶变换定义及冲激信号的抽样特性很容易求得(t)函数的FT为
冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱都是均匀的。在时域中波形变化剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量，这种频谱常称作"均匀谱"或"白色谱"。
2.5.2 直流信号
如前所述，冲激信号的频谱是常数，那么时域为常数的信号（直流信号）的频谱是否为冲激函数呢？
我们来考虑()的傅里叶逆变换，即
这也就是说
上式意味着
式中的E为常数。
这表明，直流信号的频谱是位于w=0的冲激函数，这与直流信号的物理概念是一致的。
2.5.3单位阶跃信号
单位阶跃函数同样不满足绝对可积条件，但仍存在傅里叶变换。前面我们已经讲述了符号函数的傅里叶变换，下面我们借助符号函数来求阶跃信号的FT。
单位阶跃函数U(t)可用符号函数来表示，即
再利用直流信号与符号函数的傅里叶变换
可得单位阶跃函数的傅里叶变换为
单位阶跃函数及其频谱如下图所示。由图可知，U(t)在t>0时等同于直流信号，但它又不是纯粹的直流信号，它在t=0处有跳变，因此其频谱不是仅在=0处有一个冲激函数（这对应于信号的直流特性），而且还会含有其它众多的频率分量。
为什么会有众多的频率分量呢？这是因为信号在时域零点处有跳变！由于时域的剧烈变化，相应的频域中的分量将是无限的。还记得我们在前面讲周期矩形脉冲信号所提及的"时域跳变将使频域包含无限的频率分量"的结论吗？这儿就是一个很好的例证。大家可以翻回去看看，是不是这样。
图2-11 (a) 单位阶跃函数的波形 (b) 信号的幅度谱
单位阶跃信号 单位阶跃信号的定义为： 单位阶跃信号是信号分析的基本信号之一，在信号与系统分析中有着非常重要的作用，通常，我们用它来表示信号的定义域，简化信号的时域表示形式。例如：可以用两个不同延时的单位阶跃信号来表示一个矩形门信号，即： 在MATLAB中，可通过多种方法得到单位阶跃信号，下面分别介绍主要的几种。 方法一：调用Heaviside(t)函数 在MATLAB的Symbolic Math Toolbox 中，有专门用于表示单位阶跃信号的函数，即Heaviside(t)函数，用它即可方便地表示出单位阶跃信号以及延时的单位阶跃信号，并且可以方便地参加有关的各种运算过程。 例①．用MATLAB画出单位阶跃信号的波形，其程序如下： ut=sym('Heaviside(t)'); %定义单位阶跃信号（要用符号函数定义法）ezplot(ut,[-2,10]) %绘制单位阶跃信号在范围之间的波形运行结果如下：
例②．用MATLAB画出信号的波形 其程序如下： f=sym('Heaviside(t+2)-3*Heaviside(t-5)'); %定义函数表达式ezplot(f,[-4,20]) %绘制函数在范围之间的波形运行结果如下： 方法二：数值计算法
在MATLAB中，有一个专门用于表示单位阶跃信号的函数，即stepfun( )函数，它是用数值计算法表示的单位阶跃函数。其调用格式为： stepfun(t,t0) 其中，t是以向量形式表示的变量，t0表示信号发生突变的时刻，在t0以前，函数值小于零，t0以后函数值大于零。 有趣的是它同时还可以表示单位阶跃序列，这只要将自变量以及取样间隔设定为整数即可达到。下面通过一个例子来说明如何调用stepfun( )函数来表示单位阶跃函数。 例①：用stepfun( )函数表示单位阶跃信号，并绘出其波形 程序如下： t=-1:0.01:4; %定义时间样本向量 t0=0; %指定信号发生突变的时刻 ut=stepfun(t,t0); %产生单位阶跃信号 plot(t,ut) %绘制波形 axis([-1,4,-0.5,1.5]) %设定坐标轴范围 运行结果如下：
2.5 冲激信号和阶跃信号的傅里叶变换 2.5.1 冲激信号 由傅里叶变换定义及冲激信号的抽样特性很容易求得(t)函数的FT为 冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱都是均匀的。在时域中波形变化剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量，这种频谱常称作"均匀谱"或"白色谱"。 2.5.2 直流信号 如前所述，冲激信号的频谱是常数，那么时域为常数的信号（直流信号）的频谱是否为冲激函数呢？ 我们来考虑()的傅里叶逆变换，即 这也就是说 上式意味着 式中的E为常数。 这表明，直流信号的频谱是位于w=0的冲激函数，这与直流信号的物理概念是一致的。 2.5.3单位阶跃信号 单位阶跃函数同样不满足绝对可积条件，但仍存在傅里叶变换。前面我们已经讲述了符号函数的傅里叶变换，下面我们借助符号函数来求阶跃信号的FT。 单位阶跃函数U(t)可用符号函数来表示，即 再利用直流信号与符号函数的傅里叶变换
可得单位阶跃函数的傅里叶变换为 单位阶跃函数及其频谱如下图所示。由图可知，U(t)在t>0时等同于直流信号，但它又不是纯粹的直流信号，它在t=0处有跳变，因此其频谱不是仅在=0处有一个冲激函数（这对应于信号的直流特性），而且还会含有其它众多的频率分量。 为什么会有众多的频率分量呢？这是因为信号在时域零点处有跳变！由于时域的剧烈变化，相应的频域中的分量将是无限的。还记得我们在前面讲周期矩形脉冲信号所提及的"时域跳变将使频域包含无限的频率分量"的结论吗？这儿就是一个很好的例证。大家可以翻回去看看，是不是这样。 图2-11 (a) 单位阶跃函数的波形 (b) 信号的幅度谱
阶跃信号傅里叶变换的多种求解方法
何勇福 皮小林 潘芳芳 南昌大学共青学院
[摘 要]因为阶跃信号不满足傅里叶变换所需的条件---信号绝对可积， 故不 能直接利用傅里叶变换的定义式来求阶跃信号的频谱密度函数， 本文从多个方面 给出求解其傅氏变换的方法。 [关键词]阶跃信号；频谱函数；傅里叶变换；拉普拉斯变换 我们在用傅里叶变换公式计算一个信号的频谱密度函数时， 要求该信号的积 分必须存在，这就意味着信号要满足绝对可积这个条件。对于单位阶跃信号来 说很显然不满足绝对可积，所以我们只能采用别的方法求其频谱函数，通常，用 取极限的方法是比较多的， 下面就结合信号与系统相关知识进一步研究其频谱函 数的多种求解。 一、按定义求解
F [e (t )] = ò e - jwt dt = ò cos( wt )dt - j ò sin( wt )dt
0 0 0
￥
￥
￥
= =
1 1 sin( wt ) ￥ cos( wt ) ￥ 0 0 w jw
lim ê ?
t ?￥
é cos( wt ) ù 1 é sin( wt ) ù é sin( wt ) ù - sin ê - lim ê ú+ ú w ú w ? t ?0 ? ? t ?￥ ? jw ? jw
上式中第一项即 pd ( w) ，中间两项都等于零，最后一项是
1 jw
1 ，所以可 jw
得阶跃信号的频谱函数为 pd ( w) + 二、利用求极限的方法
这是一种在很多教材上都采用了的一种方法。 将 e (t ) 看作单边指数信号衰减 信号 e - at e (t ) 当 a ? 0 时的极限，对于单边指数衰减信号的傅里叶变换容易求出：
F [e -at e (t )] = 1 a w = 2 -j 2 2 a + jw a + w a + w2 1 ，但实部满足以下关系： jw
当我们取 a ? 0 时容易求出虚部的极限为
阶跃信号为什么不满足傅里叶变换条件? 傅氏变换的充分条件是： 在时域内要绝对可积。 但是这并不是必要条件，一些非绝对可积的函数（阶跃函数）也是有傅里叶变换的，它们的傅氏变换按定义不太可能求得，一般是通过求极限的方式得到其傅氏变换。 2.5 冲激信号和阶跃信号的傅里叶变换 2.5.1 冲激信号 由傅里叶变换定义及冲激信号的抽样特性很容易求得(t)函数的FT为 可见，冲激函数的频谱等于常数，也就是说，在整个频率范围内频谱都是均匀的。在时域中波形变化剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量，这种频谱常称作"均匀谱"或"白色谱"。 2.5.2 直流信号 如前所述，冲激信号的频谱是常数，那么时域为常数的信号（直流信号）的频谱是否为冲激函数呢？ 我们来考虑()的傅里叶逆变换，即 这也就是说 上式意味着 式中的E为常数。 这表明，直流信号的频谱是位于w=0的冲激函数，这与直流信号的物理概念是一致的。
2.5.3单位阶跃信号 单位阶跃函数同样不满足绝对可积条件，但仍存在傅里叶变换。前面我们已经讲述了符号函数的傅里叶变换，下面我们借助符号函数来求阶跃信号的FT。 单位阶跃函数U(t)可用符号函数来表示，即 再利用直流信号与符号函数的傅里叶变换 可得单位阶跃函数的傅里叶变换为 单位阶跃函数及其频谱如下图所示。由图可知，U(t)在t>0时等同于直流信号，但它又不是纯粹的直流信号，它在t=0处有跳变，因此其频谱不是仅在=0处有一个冲激函数（这对应于信号的直流特性），而且还会含有其它众多的频率分量。 为什么会有众多的频率分量呢？这是因为信号在时域零点处有跳变！由于时域的剧烈变化，相应的频域中的分量将是无限的。还记得我们在前面讲周期矩形脉冲信号所提及的"时域跳变将使频域包含无限的频率分量"的结论吗？这儿就是一个很好的例证。大家可以翻回去看看，是不是这样。 图2-11 (a) 单位阶跃函数的波形(b) 信号的幅度谱
单位阶跃信号的表示-matlab
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单位阶跃信号 单位阶跃信号的定义为： 单位阶跃信号是信号分析的基本信号之一，在信号与系统分析中有着非常重要的作用，通常，我们用它来表示信号的定义域，简化信号的时域表示形式。例如：可以用两个不同延时的单位阶跃信号来表示一个矩形门信号，即： 在MATLAB中，可通过多种方法得到单位阶跃信号，下面分别介绍主要的几种。 方法一：调用Heaviside(t)函数 在MATLAB的Symbolic Math Toolbox 中，有专门用于表示单位阶跃信号的函数，即Heaviside(t)函数，用它即可方便地表示出单位阶跃信号以及延时的单位阶跃信号，并且可以方便地参加有关的各种运算过程。 例①．用MATLAB画出单位阶跃信号的波形，其程序如下： ut=sym('Heaviside(t)'); %定义单位阶跃信号（要用符号函数定义法） ezplot(ut,[-2,10]) %绘制单位阶跃信号在范围之间的波形
运行结果如下： 例②．用MATLAB画出信号的波形 其程序如下： f=sym('Heaviside(t+2)-3*Heaviside(t-5)'); %定义函数表达式 ezplot(f,[-4,20]) %绘制函数在范围之间的波形 运行结果如 下：
方法二：数值计算法 在MATLAB中，有一个专门用于表示单位阶跃信号的函数，即stepfun( )函数，它是用数值计算法表示的单位阶跃函数。其调用格式为： stepfun(t,t0) 其中，t是以向量形式表示的变量，t0表示信号发生突变的时刻，在t0以前，函数值小于零，t0以后函数值大于零。有趣的是它同时还可以表示单位阶跃序列，这只要将自变量以及取样间隔设定为整数即可达到。下面通过一个例子来说明如何调用stepfun( )函数来表示单位阶跃函数。 例①：用stepfun( )函数表示单位阶跃信号，并绘出其波形 程序如下： t=-1:0.01:4; %定义时间样本向量