欧几里得几何与非欧几何
摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。
关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系
欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。
一、欧几里得几何的发展
（一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础
在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。
最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。
对几何从经验上升到理论作出重要贡献的有毕达哥拉斯学派。他们注意研究抽象的数学概念，尤其对整数的性质有出色的研究。雅典的巧辩学派以著名的三等分任意角、化圆为方和倍立方三大难题为其研究中心。
柏拉图是那个时代影响最大的哲学家。柏拉图及其后继者把数学概念看作抽象图。柏拉图说数学概念不依赖于经验而自有其实在性。它们只能为人所发现，并非为人所发明或塑造。他是第一个把严密推理法则加以系统化的人，希腊人最早坚持数学里必须用演绎推理作求证的唯一方法，并使数学有别于所有其他知识领域或研究领域。柏拉图学派的最重要发现是圆锥曲线。还对不可公度量作过一些研究。这些都为欧几里得的研究开辟了道路。
欧多克斯是古希腊时代最大的数学家，他在数学上的第一个大贡献是关于比
例的一个新理论，后被欧几里得创造性地应用于《几何原本》之中。亚里士多德用以证明存在性的方法均被欧几里得所继承。亚里士多德也讨论数学的基本原理。他认为公理是一切科学所公有的真理，而公设则是为某一门科学所接受的第一性原理。这一点欧几里得在构造几何公理与公设时得到了应用。逻辑学的创立是亚里士多德的一个重要贡献。欧几里得的《几何原本》的逻辑论证体系，很大程度得益于亚里士多德的逻辑学。
（二）欧几里得的《几何原本》
欧几里得的《几何原本》是古希腊的几何知识的精华和大全，是对以往儿何知识的全面总结，爱因斯坦把它叫做“宏伟的大厦”。
《几何原本》首先摆出定义、公理、公设，从简到繁地导出了定理。在欧几里得几何中，公理成了推出几何定理的一种思想规定，并且由这些公理和公设及传统的形式逻辑一起构成了公理化几何学的框架，公设则给出了构造几何图形的一般规定。这样一来，欧几里得公理方法同时又是一种构造方法。公理方法突出地证明了实践高于理论的选理。公设、公理正是这种实践检验的直接产物，正是由此才建立起整个欧几里得几何学大厦。也正是由于在方法论上欧几里得几何把外在物理空间直观绝对化了，这又使它并末停在感性直观和实践基础的简单形态上。因此, 欧几里得的《几何原本》也是一个标志, 从它开始几何学由原始起源的测量技术的经验积累，转向了系统化、公理化的发展。正是《几何原本》在使用公理方法的基础上所建立的演绎体系，使欧几里得几何成了几何发展史上的一个里程碑，其意义正如冯·诺伊曼所说: “欧几里得从公设出发的处理方法，标志着脱离经验主义的伟大的一步，可见《几何原本》是一部内容非常丰富逻辑上异常严谨毓几何学著作，是二千多年以前最早成热的数学著作，这使它有很强的生命力，一直到十九世纪都是人们学习和研究几何学的经典著作。
欧几里得在《几何原理》中给出了5条公设，其中给前四条人们认为简单明了，符合亚里士多德关于公理“自明性”的要求，唯独第五公设及所谓“平行公设”：“如两直线和第三直线相交，且在同一侧所成的两个同侧内角之和小于两直角则这两直线无限延长之后必相交于该侧的一点”，不仅文字表达要比前四个公理啰嗦，而且所阐述的事实也不是那么的简单明了，其欧几里得也对这一公设似乎也不太满意。例如在《几何原本》的第一卷共有48条命题，其中前28条命题的证明，欧几里得都回避了第五公设，只有在第29条命题的证明中才不得不应用了一次，这也是唯一的一次应用第五公设，因此可以认为，第五公设问题实际上首先是由欧几里得本人提出来的。自欧几里得以来，人们总怀疑这一公设本来就是一条定理，只是欧几里得本人无法证明它而已。后来无数的数学家都曾尝试过证明第五公设，并付出了辛勤的劳动，也有许多数学家曾经宣告自己“证明”了第五公设，但这些“证明”后来或是自己或是被别人发现了毛病——用了第五公设的等价命题。
二、非欧几何的发展
（一）问题的提出
非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》。许多数学家对《几何原本》第五公设的证明研究，在思想上、材料上为非欧几何的问世已经做好了充分的准备，这门学科的诞生，就有待于富有高度科学想象力的数学家为它迈出决定性的一步，应归功于高斯、波尔约和罗巴切夫斯基三人。
（二）非欧几何的创立——罗巴切夫斯基几何
著名的数学家高斯、波尔约与罗巴切夫斯基是非欧几何的创始人，都为非欧几何的创立做出了巨大的贡献，但只有罗巴切夫斯基是最坚定不移地捍卫自己成果的斗士。
罗巴切夫斯基在前人的基础上，引用与欧氏第五公设相矛盾的命题，即直线外一点可作两条平行线为假设，并且把他同欧氏几何中其它公设和公理相联系。经过推理后，得出3个结论：
（1）用欧氏几何其它公设和公理不能证明欧氏第五公设，即第五公设是独立的；
（2）与第五公设相矛盾的公设同欧氏几何其它公设、公理相结合，展开一系列推理，获得了许多在逻辑上无矛盾的定理，构成了不同于欧氏几何的新的几何学；
（3）这种逻辑上无矛盾的几何学的真理性同物理学中的定理一样，只能凭实验；
这3条结论显然与欧氏几何不同，是一种全新的几何体系，是罗氏独创性思维的结晶。
（三）非欧几何的发展与确认——黎曼几何
非欧几何要获得人们的普遍接受，需要确实的建立非欧几何自身的无矛盾性和现实意义。罗巴切夫斯基终其一身努力最后并没有实现这个目标。1854 年，黎曼摆脱高斯等前人把几何对象局限在3维欧几里得空间的曲线和曲面的束缚，从维度出发，建立了更一般的抽象几何空间。
黎曼仿照传统的微分几何定义流形上2点之间的距离、流形上的曲线和曲线之间的夹角。并以这些概念为基础，展开对n 维流形几何性质的研究。在n 维流形上他也定义类似于高斯在研究一般曲面时刻画曲面弯曲程度的曲率。他指出对于3维空间，有以下3种情形：(1)曲率为正常数；(2)曲率为负常数；(3)曲率恒等于0。黎曼指出后2种情形分别对应于罗巴切夫斯基的非欧几何和通常的欧氏几何学，而第一种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。黎曼创造的几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何2条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在。它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
19世纪70年代以后，意大利数学家贝尔特拉米、德国数学家克莱茵和法国数学家庞加莱等人先后在欧几里得空间中给出了非欧几何的直观模型，从而揭示出非欧几何的现实意义。此外，还有许多数学家为非欧几何的发展做出了巨大贡献。历经2000余年，非欧几何学作为一种几何的合法地位可以说充分建立起来
了，也真正获得了广泛的理解，人们最初的愿望终于变成了现实。
三、欧几里得几何和非欧几何的辩证关系
1.欧几里得几何和非欧几何的差异性
欧氏几何和非欧几何是对立统一的关系。
它们的对立是一目了然的, 无论是它们之间的平行公设、定理以及整个几何体系所反映的空间形式，都表现了出来。欧氏几何和非欧几何最根本的分歧在于平行公设的不同，其他一切区别都是由它派生出来的。
由于平行公设的对立，这就决定了各自包含一些相互对立的定理。例如欧氏几何的定理说,三角形内角之和为两直角，罗氏几何定理却说，三角形内角之和小于两直角；欧氏几何证明，直线若与一角的一边相交，必与另一边也相交，罗氏几何却证明,对一角的一边作垂线可以不交另一边；欧氏几何认为，不在一直线上的三点可作一园, 罗氏几何却认为存在不可能作外接园的三角形，欧氏几何定理指出，两平行线被一直线所截，内错角相等，罗氏几何定理恰恰相反，认为两平行线被一直线所截，内错角不相等，如此等等。欧氏几何和非欧几何所反映的现实空间也是不同的。欧氏几何所反映的是没有重力场的“平直”空间( 实际上是重力场很弱,只是近似地看作无重力场作用)，牛顿力学和狭义相对论所讨论的空间就是这种空间：而非欧几何(主要是黎曼几何) 所反映的是有重力场的“弯曲”空间，广义相对论讨论的空间就是这种空间。
2. 欧氏几何和非欧几何的同一性
欧氏几何和非欧几何不但是对立的，同时又是相辅相成、相互联系、相互转化、两极相通，具有同一性。
首先从欧氏几何和罗氏几何的出发点来看，它们的区别仅仅在于“平行公设”的不同，其他公设或公理完全相同。因此，从这两种几何学的出发点来看，确实既具有对立的一面，又具有统一的一面。
其次，从希尔伯特公理体系来看，由它们的辈部五组公理的前四组公理—一结合公理、顺序公理、台同公理、连续公理得出的全部几何结论，构成绝对几何学，而它的全部定理在欧氏几何或罗氏几何中都是成立的，因为这些定理部是独立的，不依赖于平行公理。
再次，从欧氏几何到非欧几何的历史演变过程中，我们可以看到，欧氏几何孕育着非欧几何是从欧氏几何的母体中脱胎而出，转化而来的。这个转化过程是相当艰巨和曲折的。
3.欧氏几何和非欧几何的对应性
从科学理论发展角度来看，欧氏几何和非欧几何的对立统一，还表现为个别和一般、特殊和普遍的对应关系。
欧氏几何对于罗氏几何是作为个别和特殊而存在，而罗氏几何对于欧氏几何是作为一般和普遍而存在。从欧氏儿何到罗氏几何的发展，是从个别到一般、从特殊到普遍的发展形式。
总的来说，非欧几何的建立所产生的一个“最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变了对数学性质的理解”。历史学家通过数学这面镜子，不仅看到了数学的成就与应用，也看到了数学的发展如何教育人们去进行抽象的推理，发扬理性主义的探索精神，激发人们对理想和美的追求。
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欧几里得与欧几里得几何 亚历山大里亚的欧几里得（约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。 欧几里得是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典，当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得，当他还是个十几岁的少年时，就迫不及待地想进入“柏拉图学园”学习。他在有攀滋入学园之后，便全身心地沉潜在数学王国里。他潜心求索，以继器粕拉图的学术为奋斗目标，除此之外，他哪儿也不去，什么也不干。熬翻阅和研究了柏拉图的所有著作和手稿，可以说，连柏拉图的亲传攀擎也没有谁能像他那样熟悉柏拉图的学术思想、数学理论。经过对柏拉图思想的深入探究，他得出结论：图形是神绘制的，所有一切籀象的逻辑规律都体现在图形之中。因此，对智慧的训练，就应该从戡图形为主要研究对象的几何学开始。他确实领悟到了柏拉图思想的要旨，并开始沿着柏拉图当年走过的道路，把几何学的研究作为自醺羽主要任务，并最终取得了世人敬仰的成就。 最早的几何学兴起于公元前7年的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派纂糯典。在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然黔这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之问、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他下定决心，要在有生之年完成这一工作。为了完成这一重任，欧几里得不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷。在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解。经过欧几里得忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书。这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何。 不朽的平面几何学著作 《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作。传到今天的欧几里得著作并不多，然而我们却可以从这部书详细的写作笔调中，看出他真实的思想底蕴。 全书共分13卷。书中包含了5条“公理”、5条“公设”、23个定义和467个命题。在每一卷内容当中，欧几里得都采用了与前人完全不同的叙述方式，即先提出公理、公设和定义，然后再由简到繁地证明它们。这使得全书的论述更加紧凑和明快。而在整部书的内容安排上，也同样贯彻了他的这种独具匠心的安排。它由浅到深，从简至繁，先后论述了直边形、圆、比例论、相似形、数、立体几何以及穷竭 法等内容。其中有关穷竭法的讨论，成为近代微积分思想的来源。仅仅从这些卷帙的内容安排上，我们就不难发现，这部书已经基本囊括了几何学从公元前7世纪的古埃及，一直到公元前4世纪——欧几里得生活时期——前后总共400多年的数学发展历史。这其中，颇有代表性的便是在第1卷到第4卷中，欧几里得对直边形和圆的论述。正是在这几卷中，他总结和发挥了前人的思维成果，巧妙地论证了毕达哥拉斯定理，也称“勾股定理”。即在一直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的两个正方形的面积之和。他的这一证明，从此确定了勾股定理的正确性并延续了2000多年。《几何原本》是一部在科学史上千古流芳的巨著。它不仅保存了许多古希腊
非欧几何的诞生及其给我们的启示 摘要： 非欧几何的创立是数学史上最光辉的篇章，也是人类历史上一次伟大的思想解放的典范，它不仅带来了数学思想的深刻变革，也使人们的思想发生了极大的变化，使人们对真理、时空等一系列重大的哲学问题有了新的认识，对人类文化的发展产生了非同寻常的影响。数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示． 关键词： 非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何；几何原本； 1 非欧几何的发展史 1.1 问题的提出 非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过
直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲尔公设． 1.2 问题的解决 1.2.1 非欧几何的萌芽 沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD 开始，如果角A 和角B 是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D．这样第五公设便等价于角C 和角D 是直角这个论断．萨凯里提出另2 个假设：(1)钝角假设：角C 和角D 都是钝角；(2)锐角假设：角C 和角D 都是锐角．最后在锐角假设下，萨凯里导出了一系列结果，因为与经验认识违背，使他放弃了最后结论．但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法，开辟了一条不同于前人的新途径．其后瑞士数学家兰伯特（Lambert1728-1777）所做的工作与萨凯里相似．他也考察了一类四边形，其中3 个角为直角，而第5 个角有3 种可能性：直角、钝角和锐角．他同样在锐角假设下得到“三角形的面积取决于其内角和；三角形的面积正比于平角与内角和的差．他认为只要一组假设相互没有矛盾，就提供了一种几何的可能．著名的法国数学家勒让德（A.M.Legendar1752-1833）对平行公设问题也十分关注，他得到的一个重要定理：“三角形内角之和不能大于两直角”．这预示着可能存在着一种新几何．19 世纪初，德国人萨外卡特（schweikart 1780-1859）使这种思想更加明朗化．他通过对“星形几何”的研究，指出：“存在两类几何：狭义的几何（欧氏几何）星形几何．在后一个里面，三角形有一个特点，就是三角形内角之和不等于两直角”．
《几何原本》与《九章算术》的异同 《几何原本》和《九章算术》都是经典的数学著作，一部是西方的著作，一部是中国的古代著作，这两部著作都对后来的数学发展做出了很大的贡献，并对人类文明产生深远的影响。《几何原本》和《九章算术》本身是关于纯数学的专著，但高度抽象化的数学是必定是需要和其它的学科相结合的。 下面，我就《几何原本》和《九章算术》的异同做一些阐述，首先，《几何原本》和《九章算术》产生的背景不同： 《几何原本》产生的背景： 欧几里得的生平，现在知道的甚少，欧几里得在公元前300年左右，来到亚历山大里亚教学．人们称赞欧几里得治学精神严谨、谦虚，是一个温良敦厚的数学教育家．欧几里得在从事数学教育中，总是循循善诱地启发学生，提倡刻苦钻研，弄懂弄通，反对投机取巧、急功近利的狭隘思想．欧几里得在从事数学教育中，善于积累数学知识，并进行了拓宽与创新．他的巨著《几何原本》是一生中最重要的工作，这部著作的形成具有无以伦比的历史意义．他精僻地总结了人类长时期积累的数学成就，建立了数学的科学体系，为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机．这部著作长时期被人崇拜、信仰，从来没有一本教科书，像《几何原本》那样长期广为传颂．从1482年到19世纪末，欧几里得《几何原本》的印刷本竟用各种文字印刷1000版以上，在此之前，它的手抄本统御几何学也已达近1800年之久．欧几里得继承和发展了前人的数学知识，《几何原本》所用到的材料大部分是希腊前期各学派创建的成果．欧几里得是柏拉图的门徒，他的著作基本沿续了柏拉图的传统思想，承袭了《共和国》中所论及的科学方法．欧几里得在《几何原本》中，发展了柏拉图的以哲学为基础，“数论、几何、音乐、天文”4科为内容的科学思想． 另外，欧几里得还采用了欧多克索斯等学者的一些定理，并加以完善．《几何原本》所采用的公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按严谨的科学体系进行编排，使之系统化、理论化，超过了以前的所有著作，因此，当《几何原本》问世之后，其它诸类逐渐消声匿迹了．
欧几里得的故事 言传身教 欧几里得大约生于公元前325年，他是古希腊数学家，他的名字与几何学结下了不解之缘，他因为编著《几何原本》而闻名于世，但关于他的生平事迹知道的却很少，他是亚历山大学派的奠基人。早年可能受教于柏拉图，应托勒密王的邀请在亚历山大授徒，托勒密曾请教欧几里得，问他是否能把证明搞得稍微简单易懂一些，欧几里得顶撞国王说：“在几何学中是没有皇上走的平坦之道的。”他是一位温良敦厚的教育家。 另外有一次，一个学生刚刚学完了第一个命题，就问：“学了几何学之后将能得到些什么？”欧几里得随即叫人给他三个钱币，说：“他想在学习中获取实利。”足见，欧几里得治学严谨，反对不肯刻苦钻研投机取巧的思想作风。 在公元前6世纪，古埃及、巴比伦的几何知识传入希腊，和希腊发达的哲学思想，特别是形式逻辑相结合，大大推进了几何学的发展。在公元前6世纪到公元前3世纪期间，希腊人非常想利用逻辑法则把大量的、经验性的、零散的几何知识整理成一个严密完整的系统，到了公元前3世纪，已经基本形成了“古典几何”，从而使数学进入了“黄金时代”。柏拉图就曾在其学派的大门上书写大型条幅“不懂几何学的人莫入”。欧几里得的《几何原本》正是在这样一个时期，继承和发扬了前人的研究成果，取之精华汇集而成的。 《几何原本》 欧氏《几何原本》推论了一系列公理、公设，并以此作为全书的起点。共13卷，目前中学几何教材的绝大部分都是欧氏《几何原本》的内容。 勾股定理在欧氏《几何原本》中的地位是很突出的，在西方，勾股定理被称作毕达哥拉斯定理，但是追究其发现的时间，在我国和古代的巴比伦、印度都比毕达哥拉斯早几百年，所以我们称它勾股定理或商高定理。在欧氏《几何原本》中，勾股定理的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明，人们非常赞同这种巧妙的构思，因此目前中学课本中还普遍保留这种方法。 据说，英国的哲学家霍布斯一次偶然翻阅欧氏的《几何原本》，看到勾股定理的证明，根本不相信这样的推论，看过后十分惊讶，情不自禁地喊道： “上帝啊，这不可能”，于是他就从后往前仔细地阅读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终还是被其证明过程的严谨、清晰所折服。 欧氏《几何原本》的部分内容与早期智人学派研究三个著名几何作图问题有关，特别是圆内接正多边形的作图方法。欧氏的《几何原本》只把用没有刻度的直尺画直线，用圆规画圆列为公理，限定了“尺规”作图。于是几何作图就出现了“可能”与“不可能”的情况。在这里欧几里得只给出了正三、四、五、六、十五边形的作法，加上连续地二等分弧，可以扩展到正2n、3（2n）、5（2n）、15（2n）边形。因此，我们可以想象欧几里得一定还尝试
非欧几何简介 欧氏几何与球面几何的区别与联系 比较球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质，我们可以总结出以下显著的差别，见表6-1： 表6-1 球面上的几何图形与平面上的几何图形的性质差异 ，其中A、B、C 为单位球面上三角形的三个内角（弧度 制） 通过上面的比较，我们看到，球面上的几何是与平面几何不同的一种几何理论。平面几何最早由希腊数学家欧几里德（Euclid，公元前300年左右）整理成
系统的理论。他的不朽之作《几何原本》不仅包含了平面几何，也包含了立体几何。为了纪念他对人类做出的伟大贡献，后来就把这种几何称为欧氏几何。球面上的几何是与欧氏几何不同的几何，所以叫做非欧几何。 球面上的几何与欧氏几何有不相同之处，但他们之间也有一些共同特征，见表6-2。 表6-2 球面上的几何与欧氏几何的共同特征 两种几何的这些相同之处，说明它们之间应该有某种内在的联系。 首先分析一下球面三角形的面积公式 把这个公式改写成 这个等式的左端称为球面三角形的角超，它反映出球面上的几何与平面几何的差距。在平面几何中三角形三内角之和等于，角超等于零。在球面上的几何中角超大于零。 不难看出当球面半径R无限增大时，球面逐渐趋向于平面，越来越小， 即三角形的角超越来越小，球面三角形逐渐趋向于平面三角形，球面几何的性质逐渐接近于平面几何的性质。所以我们可以说： 当球面半径趋向于无穷大时，球面上的几何以平面几何为极限。 因为地球的半径非常大，当我们研究的范围相对于地球半径很小时，三角形的角超就一定很小。因此，可以用平面几何的知识来代替球面几何知识，所产生的误差很小。 另一种非欧几何 通过前一小节的分析，我们发现三角形的三个内角之和的大小，在很大程度上反映了平面欧氏几何与球面几何的差别。当三角形的三个内角之和等于时，就是欧氏几何，当三角形的三个内角之和大于时，就反映出球面几何的主要特征。 有没有三角形三个内角之和小于的几何呢？ 我们简单回顾一段几何发展史。在十七世纪以前，人们认为只有一种几何，就是欧氏几何，它是一切科学的基础。但是到了十七、十八世纪，数学家在对几何理论的基础进行深入研究时，首先把注意力集中在“平行公理”上。
欧式几何VS非欧几何 1什么是欧式几何？ 2.欧式几何的来源？欧几里得 3欧式几何公理有哪些？ 4欧式几何的缺陷——出现非欧几何 5什么是非欧几何？ 包括？罗巴切夫斯基（俄）———罗式几何黎曼（德）————黎曼几何 6三种几何的关系
导出命题 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧式几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 非欧氏几何 非欧氏几何产生于非欧式空间，而非欧式空间可以理解成扭曲了的欧式空间，可能它的坐标轴不再是直线，或者坐标轴之间并不 正交（即不成90度） 例子：欧式空间中的球面，对于在球面上爬行的蚂蚁来说就是非欧式空间的平面，它们在爬行的过程中不会感觉到球面的弯曲。当然在这样的一个球面上，欧式几何也不再成立，譬如：三角形的内角和不再是180度，而球面上两点之间的最短距离也不再是两点之间的连线（因为这时两点之间的的线段根本经 过球面）欧氏几何是平面，非欧几何是在一个不规则曲面上的 非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。 欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。 有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。 因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最著名的，争论了长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论。 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？ 到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开
欧几里得几何学的公理体系. 欧几里得几何（Euclid geometry）起源于古 埃及，当尼罗河泛滥后，为了重新整理土地而需要 进行丈量. 因此他们用geometry一词，其原意就是 “丈量土地”. 自此就开始了对图形的研究. Euclid 《原本》把直到古希腊时代为止的这些知识综合整理 出来，而成为一个逻辑体系. 由于这个《原本》中包 含了图形的知识、实数理论的原型、数论等，而直接 研究图形的部分最多，因此，中文译本将书名译成为 《几何原本》. （“几何”来自“geo”的音译） 几何学是数学科学中关于图形的数学分支. 在 这一阶段，几何学就意味着数学的全部，古代数学家 把萌芽中的代数学也包括在几何学中. “数”与“形”的结合，是17世纪开始的，由于 代数学、分析学的发展，并形成了几何学、代数学、 分析学等独立的数学分支，数学家R.Descartes首先 建立了解析几何学，他利用坐标系，将图形问题转化 为数量之间的问题，并用代数的计算方法来处理几何 问题. 于是，相对于解析几何学来说，不用坐标而直接 研究图形的几何学，称之为纯粹几何学. 纯粹几何学 的进一步发展，就是射影几何学. 十九世纪出现了罗巴杰夫斯基几何，这种几何否 定了欧几里得几何中的平行线公理. 在n维向量空间建立后，几何体系就综合成了 n维欧几里得几何、n维射影几何、n维非欧几何. 把几何学用“群”的观点统一起来加以论述，也就是 “埃尔兰根纲领（Erlangen program, 1872）”，德国 数学家F.Klein的一篇不朽论文）：每种几何学视为 由一个点集组成的“空间”S，以及“由S到S的变 换群G”所确定的，研究S的子集（图形）性质中对 于G来说不变的性质，这就是几何学. 在埃尔兰根纲领距今已近140年的今天，几何学 的发展日新月异，微分几何学及其发展Riemann几何 学、代数几何学，在20世纪取得辉煌的成就，举世 瞩目.
欧几里得几何与非欧几何 摘要：欧几里得的《几何原本》奠定了几何学发展的基础, 随着逻辑推理的理论发展, 非欧几何在艰难中产生发展起来；其中少不了欧几里得、罗巴切夫斯基与黎曼在几何学上的巨大贡献，且两者几何学之间存在着严密的辩证关系。 关键词：欧几里得几何、几何原本、非欧几何、辩证关系 欧氏几何是人类创立的第一个完整的严密的(相对而言) 科学体系。它于公元前三世纪由古希腊数学家欧几里得完成，后来经历了两千多年的发展，对科学和哲学的影响是极其深远的。十九世纪二十年代，几何学发展史上出现了新的转折点，德国数学家高斯、匈牙利数学家亚·鲍耶和俄国数学家罗巴切夫斯基分别在1824年、1825年1826年各自独立地创立了非欧几何，其中以罗巴切夫斯基所发表的内容最完善，因此取名为罗氏几何学。1854年，德国数学家黎曼创立了黎曼几何。十九世纪末，德国数学家阂可夫斯基发展了黎曼几何，创立了四维空时几何学。1915年，爱因斯坦利用非欧几何——四维空间几何学作为工具创立了广义相对论, 不久广义相对论连同非欧几何为天文观察等科学实践所证实。从此，人们确认非欧几何是人类发现的伟大的自然科学真理。 一、欧几里得几何的发展 （一）古希腊前期几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础 在欧几里得时代以前，数学家与学者们就已经获得许多几何方面的成果，但大多数是零星的，有的对部分内容也作过一些整理加工，但不系统。面对前人留下的材料以及一些证明方法，欧几里得认真进行了总结、提练、筛选，以及分析、综合、归纳、演绎，集前人工作之大成，系统整理加工成巨著《几何原本》，所以说古希腊前期的几何学的发展为欧几里得几何的产生奠定了基础。 最早研究几何的一批人是爱奥尼亚学派，它的创始人是泰勒斯，据传他曾用一根已知长度的杆子，通过同时测量竿影和金字塔影之长，求出了金字塔的高度。人也把数学之成为抽象理论和有些定理演绎证明归功于他，如圆被直径二等分，等腰三角形两底角相等，两直线相交对顶角相等，两角及夹边对应相等的两个三角形全等，内接于半圆的角是直角等的论证。 对几何从经验上升到理论作出重要贡献的有毕达哥拉斯学派。他们注意研究抽象的数学概念，尤其对整数的性质有出色的研究。雅典的巧辩学派以著名的三等分任意角、化圆为方和倍立方三大难题为其研究中心。 柏拉图是那个时代影响最大的哲学家。柏拉图及其后继者把数学概念看作抽象图。柏拉图说数学概念不依赖于经验而自有其实在性。它们只能为人所发现，并非为人所发明或塑造。他是第一个把严密推理法则加以系统化的人，希腊人最早坚持数学里必须用演绎推理作求证的唯一方法，并使数学有别于所有其他知识领域或研究领域。柏拉图学派的最重要发现是圆锥曲线。还对不可公度量作过一些研究。这些都为欧几里得的研究开辟了道路。 欧多克斯是古希腊时代最大的数学家，他在数学上的第一个大贡献是关于比
欧几里德几何 简称“欧氏几何”。几何学的一门分科。公元前3世纪，古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。在其公理体系中，最重要的是平行公理，由于对这一公理的不同认识，导致非欧几何的产生。按所讨论的图形在平面上或空间中，分别称为“平面几何”与“立体几何”。 欧几里德几何指按照欧几里德的《几何原本》构造的几何学。 欧几里德几何有时就指平面上的几何，即平面几何。三维空间的欧几里德几何通常叫做立体几何。高维的情形请参看欧几里德空间。 数学上，欧几里德几何是平面和三维空间中常见的几何，基于点线面假设。数学家也用这一术语表示具有相似性质的高维几何。 公理描述 [编辑本段] 欧几里德几何的传统描述是一个公理系统，通过有限的公理来证明所有的“真命题”。 欧几里德几何的五条公理是： 任意两个点可以通过一条直线连接。 任意线段能无限延伸成一条直线。 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交。 第五条公理称为平行公理，可以导出下述命题： 通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。 平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。） 从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。 欧几里德还提出了五个“一般概念”，也可以作为公理。当然，之后他还使用量的其他性质。
《几何原本》与《九章算术》的异同 古希腊数学的经典之作是欧几里得的名著《几何原本》。亚历山大前期大数学家欧几里得完成了具有划时代意义工作——把以实验和观察而建立起来的经验科学，过渡为演绎的科学，把逻辑证明系统地引入数学中，欧几里得在《几何原本》中所采用公理、定理都是经过细致斟酌、筛选而成，并按照严谨的科学体系进行内容的编排，使之系统化、理论化，超过他以前的所有著作。《几何原本》分十三篇。含有467个命题。 《几何原本》对世界数学的贡献主要是： 1.建立了公理体系，明确提出所用的公理、公设和定义。由浅入深地揭示一系列定理，使得用一小批公理证出几百个定理。 2.把逻辑证明系统地引入数学中，强调逻辑证明是确立数学命题真实性的一个基本方法。 3.示范地规定了几何证明的方法：分析法、综合法及归谬法。 《几何原本》精辟地总结了人类长时期积累的数学成就，建工了数学的科学体系。为后世继续学习和研究数学提供了课题和资料，使几何学的发展充满了活的生机。 二千年来，一直被公认为初等数学的基础教材。 而中国的经典之作是《九章算术》。不同的是，《九章算术》并不是一人一时写成的，它经历了多次的整理、删补和修订，是几代人共同劳动的结晶。大约成书于东汉初年（公元一世纪）。《九章算术》采用问题集形式。全书分为九章，例举了246个数学问题，并在若干问题之后，叙述这类问题的解题方法。 《九章算术》对世界数学的贡献主要有： 1.开方术，反应了中国数学的高超计算水平，显示中国独有的算法体系。 2.方程理论，多元联立一次方程组的出现，相当于高斯消去法的总结，独步于世界。
3.负数的引入，特别是正负数加减法则的确立，是一项了不起的贡献。 刘徽公元263年注《九章算术》，主要贡献是整理此前的中国古代数学成就，并用自己的理解加以评述，特别是一些数学方法的提炼，达到中国数学的高峰。 《九章算术》系统地总结了西周至秦汉时期我国数学的重大成就，是中国数学体系形成的重要标志，其内容丰富多彩，反映了我国古代高度发展的数学。《九章算术》对中国数学发展的影响，可与欧几里得《几何原本》对西方数学的影响一样，是非常深远的。 结论：《九章算术》和《几何原本》同为世界最重要的数学经典。《九章算术》以其实用、算法性称誉世界，《几何原本》以其逻辑演绎的思想方法风靡整个科学界。 二者是互相补充的，并非一个掩盖另一个。 古希腊数学的特点如下： 1.希腊人将数学抽象化，使之成为一种科学，具有不可估量的意义和价值。希腊人坚持使用演绎证明，认识到只有用勿容置疑的演绎推理法才能获得真理。要获得真理就必须从真理出发，不能把靠不住的事实当作已知。从《几何原本》中的10个公理出发，可以得到相当多的定理和命题。 2.希腊人在数学内容方面的贡献主要是创立平面几何、立体几何、平面与球面三角、数论，推广了算术和代数，但只是初步的，尚有不足乃至错误； 3.希腊人重视数学在美学上的意义，认为数学是一种美，是和谐、简单、明确以及有秩序的艺术； 4.希腊人认为在数学中可以看到关于宇宙结构和设计的最终真理，使数学与自然界紧密联系起来，并认为宇宙是按数学规律设计的，并且能被人们所认识的。 中国数学的特点如下：
三角形三内角和 ——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较 1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”． 罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．” 罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明． 图7－11
欧氏几何说：“三角形的三内角和等于180 o．”现实生活中有没有这种几何模型呢？有！平面上的三角形的内角和就等于180 o，如图7－12左图．罗氏几何说“三角形的三内角和小于180o”．难道现实生活中也会有这样的几何模型吗？有！1868年意大利数学家贝特拉米找到了一种曲面，人们给它起名叫“伪球面”．在“伪球面”上可以证明：“三角形内角和小于180 o”，如图7－12中间的图． 图7－12 现实生活中有没有“三角形的内角和大于180 o”的几何学？有！这是德国著名数学家黎曼于1854年提出来的，如图7－12右图． 黎曼生于德国汉诺威，父亲是牧师，他遵照父亲的愿望进入哥廷根大学学习哲学和神学．可是进哥廷根大学后，他很快被数学所吸引．于是就放弃神学专攻数学，并成为大数学家高斯的学生．1851年他获得数学博士学位，博士论文受到高斯极高的评价．1859年他成为哥廷根大学的教授，1866年因患肺结核死于意大利，年仅40岁． 黎曼提出了一种与前两种几何完全不同的新几何，叫做“黎曼几何”．黎曼几何的模型是球面，在黎曼几何中“三角形内角之和大于180 o.” 后来，人们把罗氏几何和黎曼几何合在一起统称“非欧几何”．非欧几何在现代物理中，特别是相对论提出之后找到了具体用处，使得非欧几何并不像有些人说的是“想象中的几何”，而成了有着重要现实意义的几何学．
《九章算术》的历史地位 1引言 1.1研究背景 《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产，是古代中国数学发展史上的重要里程碑。《九章算术》作为中国汉族学者在古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种。该书内容十分丰富，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，极具研究价值。本文将对九章算术这部古代中国数学著作对现代数学的影响及其重要的历史地位进行简单的分析。 1.2研究方法 利用历史研究法、文献分析法等。 2 《九章算术》概述 《九章算术》作为中国汉族学者在古代第一部数学专著，是《算经十书》中最重要的一种。魏晋时期刘徽为《九章算术》作注时这样写到：“周公制礼而有九数，九数直流则《九章》是矣……汉北平侯张苍、大司农中丞耿寿昌皆以善算命世。苍等因旧文之遗残，各称删补，故校其目则与古异，而所论多近语也”。这段注是说，西汉的张苍、耿寿昌曾经做过增补。最后成书最迟在东汉前期，但是其基本内容在东汉后期已经基本定型。《汉书艺文志》(班固根据刘歆《七略》写成者)中着录的数学书仅有《许商算术》、《杜忠算术》两种，并无《九章算术》，可见《九章算术》的出现要晚于《七略》。《后汉书马援传》载其侄孙马续“博览群书，善《九章算术》”，马续是公元1世纪最后二、三十年时人。再根据《九章算术》中可供判定年代的官名、地名等来推断，现传本《九章算术》的成书年代大约是在公元1世纪的下半叶。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类，就是《九章算术》。《九章算术》是世界数学发展史上的宝贵遗产，是古代中国数学发展史上的重要里程碑。它对古代中国数学发展的影响之大是任何其他数学书籍不能相比的。它几乎成了中国古代数学的代名词。中国历代数学家从中吸取着丰富的营养，不断地将中国数学向前推进。 《九章算术》的内容十分丰富。它采用问题集的形式，收有246个与生产实践有关的应用问题，包括问题、答案和术三部分，并配有插图。分为方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程和勾股等九章。这些问题来源于实际，又进行了改造、整理和虚构，从而使其更具有一般意义。题目的答案简洁明了。其术则是用简练、规范的语言将计算步骤编制成一个个程序，构成了一些定理或公式。这种编写体例成为古代中国数学著作典范。16世纪之前的
非欧几何的诞生及其给我们的启示 摘要：数学史上，非欧几何占有特殊的地位．以非欧几何的发明过程为基本线索，探讨了其对数学学 科本身、人类文化、哲学思想的影响；对数学科研者、数学教育工作者及高校学生的启示． 关键词：非欧几何；罗巴切夫斯基几何；黎曼几何 1 非欧几何的发展史 1.1 问题的提出 非欧几何的发展源于2 000 多年前的古希腊数学家的欧几里得的《几何原本》．其中公设五是欧几里得自己提出的，它的内容是“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点”．这一公设引起了广泛的讨论，因为它不如其他公理、公设那样简明，欧几里得本人也不满意这条公设，他在证完了所有不需要平行公设的定理后才使用它，怀疑它可能不是一个独立的公设，或许能用其它公设或公理代替．从古希腊时代开始到19 世纪的2000 多年来数学家们始终对这条公设耿耿于怀，孜孜不倦的试图解决这个问题．数学家们主要沿2 条研究途径前进：一条途径是寻找一条更为自明的命题代替平行公设；另一条途径是试图从其他9 条公理、公设推导出平行公设来．沿第一条途径找到的第五公设最简单的表述是1795 年苏格兰数学家普雷菲尔（J.Playfair 1748-1819）给出的：“过直线外一点，有且只有一条直线与原直线平行”也就是我们今天中学课本里使用的平行公理．但实际上古希腊数学家普罗克鲁斯在公元5 世纪就陈述过它．然而问题是，所有这些替代公设并不比原来的第五公设更好接受，更“自然”．历史上第一个证明第五公设的重大尝试是古希腊天文学家托勒玫（Ptolemy，约公元150 年）做出的，后来普罗克鲁斯指出托勒玫的“证明”无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，这就是上面提到的普雷菲 尔公设． 1.2 问题的解决 1.2.1 非欧几何的萌芽 沿第二条途径论证第五公设的工作在18 世纪取得突破性进展．首先是意大利人萨凯里（Saccharin 1667-1733）提出用归谬法证明第五公设，萨凯里从四边形ABCD
数学分支之欧氏几何 欧氏几何的建立 欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人准备的“木石砖瓦”材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉著作《几何原本》。这本书的问世，标志着欧氏几何学的建立。这部科学著作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部著作在几何教学中一直占据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。 一座不朽的丰碑 欧几里德将早期许多没有联系和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的著作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。 在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推导出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推导出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的“两点确定一条直线”等即是。同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们尽可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德采用的正是这种方法。他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到复杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最复杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典范。正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。 欧氏几何的完善 公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的
第20卷,第3期 科学技术与辩证法Vol.20 No.3 2003年6月 Science,Technology and Dialectics J un.,2003 非欧几何发展中的若干认识论问题 冯 进 (常熟高等专科学校数学系,江苏常熟215500) 摘 要:非欧几何在数学史上具有重要而特殊的地位.本文从认识论的角度,论述非欧几何发展中第一次遇到的数学对象的存在性、数学理论的相容性、数学体系的和谐性以及数学结论的真理性等问题,从中折射出它对数学发展的巨大推动作用。 关键词:非欧几何;认识论;存在性;相容性;和谐性;真理性 中图分类号:N033;N09 文献标识码:A 文章编号:1003-5680(2003)03-0057-06 19世纪30年代非欧几何的诞生,标志着长达两千多年的关于欧氏几何第五公设问题探索取得了突破性进展,对现代数学及相对论的发展具有极其重大的推动作用。非欧几何思想的发展有众多论著专门论述,它在数学史及科学史上的意义几乎是其他数学知识所无法相比的,对此,美国著名数学史家M?克莱因这样评述:“在19世纪所有复杂的技术创造中间,最深刻的一个,非Euclid几何学,在技术上是最简单的,这个创造引起数学的一些重要新分支,但它的最重要的影响是迫使数学家们从根本上改变对数学的性质的理解,以及它和物质世界的关系的理解,并引出关于数学基础的许多问题,这些问题在20世纪仍然在进行着争论。”[1]数学知识的增长,包括数学概念的提出、数学命题的证明、数学理论的建立等,是数学发展的重要表现,同时,也是人们对数学的不断理解与认识的过程;反之,对数学的深入理解,以及对数学思想的透彻认识,同样也推动着数学的发展,有时甚至会产生革命性的变革。非欧几何的诞生正是具有这种意义,甚至“在整个思想史中,从来没有发生过具有如此强烈影响的事件”[2]。本文着重于认识的角度,从数学对象的存在性、数学理论的相容性、数学体系的和谐性、数学结论的真理性四个方面,论述非欧几何对数学发展的这种双重影响。这四个方面,是非欧几何产生后引起的数学上,更重要的是认识上的问题,也是有史以来(至19世纪初)数学界第一次遇到的关于数学的全新的认识论问题。 一 第五公设问题探索:二千年努力引来 对数学及其性质看法的本质变化 经典数学几乎都是以现实世界为基本模型,数学结论总体上直接反映了客观事物的基本性质与运动规则,大量的生产、生活、天文观察实践,以及对这些实践的理性思考,使古代数学家确信宇宙万物是由数字构成的,甚至幻想整个世界就是数学,从毕达哥拉斯提出“万物皆数”,到柏拉图的“理念世界”,以及中世纪后的“上帝按数学方式设计宇宙”,无一不是将数学作为是自然的本质。 坚持“自然的数学设计”信念的原因来自两大方面,一是古希腊人创立的逻辑推理方法,以及由此而产生的严谨的欧氏几何体系。逻辑思维方法的创立是古希腊人对人类文明的最大贡献,欧氏几何不仅是理性思维的经典蓝本,且它的不证自明的公理、及由此推出的一系列让人不得不接受的结论,为数学设计构建了坚实的基础;二是18世纪以前几乎所有的科学实践都佐证了“自然的数学设计”。毕达哥拉斯时代就已经精确地知道弦发出的声音与弦长的关系;开普勒坚信上帝按某个简单、优美的数学方案设计了世界,他的行星运动三定律将哥白尼的理论作了最大简化,准确地描述了行星运动规律;牛顿的万有引力及力学三定律则将数学设计的信念推崇之极点,他为自己的工作能揭示无所不在的上帝之秘密而倍感欣慰。所有这些实践,事实上都是以欧氏几何为基本空间框架构建的。因此,二千多年来的理性思维活动、科学研究实践以及传统习惯感受,都把欧几里得体系当作神圣不可侵犯的“圣书”,以至于“神明”之士宁愿对着欧几里得定理发誓,而不愿对着“圣经”发誓。几乎所有的人都深信:欧氏几何就是真理。 然而,由于欧氏几何是建立在直观自明的公理基础上的,其“自明性”要求与古希腊人追求理性的一贯”天性”,使 【收稿日期】 2002-08-08 【作者简介】 冯 进(1958-),男,江苏常熟人,常熟高等专科学校数学系副教授,从事数学教育、数学思想史的学习与研究。 75
关于欧氏几何的第5公设及非欧几何 谢裕华秦敏雁施培成 摘要：本文综述了由欧氏几何到非欧几何的发展历史；评述了非欧几何的思想及其伟大意义；论述了欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何的对立统一关系。比较了三种几何的主要特征及适用范围。 关键词：第五公设，欧氏几何，罗氏几何，黎曼几何。 一、关于Euclid的《Elements》 欧几里得的《几何原本》早已失传，现存的有： 1、公元四世纪末（400年左右）泰恩（Thon）的《原本》修订本。 2、18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个第十世纪的《原本》希腊文手抄本，可能比泰恩本更早些。 3、现代版本最早的是1482在威尼斯印刷的，依据泰恩修订本的版本。 4、现在看到的各种版本（一千多种版本）均非欧几里得手稿的传本，而是依据后人的修订本，注释本，翻译本重新整理出来的。 5、1794年法国数学家勒让德（A.M.Legendre,1752-1833）为使《几何原本》更便于教和学，曾对《原本》作了较大的修改，如删去了《原本》中的非几何部分内容，并将几何部分重新整理和编写。把“命题”中的定理和问题加以明确区分，还把第5公设换为与它等价的平行公理；“过直线外一点，有而且只有一条直线与原直线平行”等等，编成了《新欧几里得几何原本》。于是自19世纪开始，初等几何课本一般都是以此为兰本的改编本。 6、中国最早的汉译本是1607年（明万历35年丁未）意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci,1552-1610）和徐光启（1562－1633）的合译本（前6卷），称之为“明译本”底本系德国人的拉丁文本15卷。
二百五十年之后，1857年，后9卷由英人伟烈亚 （A.Wylie,1815-1887）和李善兰（1811－1882）合译，称之为“清译本”底本是英文版第15卷。 由于它们均系文言，并且名词，术语和现代有很大的差异，不易看懂，故现代新译本于1990年由陕西科技出版社出版。 二、关于第5公设 古希腊对于数学的最杰出的贡献就是“根据公理体系来建立数学”的观念，即：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组原始定义和原始命题（公设，公理）出发，通过演绎推理导出这一学科的其他所有命题。所以《原本》是一部在定义，公设和公理的基础上，按演绎推理方法建立起来的命题系统。 《原本》第1卷有首先给出了23个定义，如： 点是没有部分的；线是没有宽度的长度，……等等。此外，还有平面，直角，垂直……等定义。 定义之后是5个公设： 1）从任一点到任一别的点（可）引一直线； 2）有限直线（可）循直线延长； 3）以任一点为中心，任意长为半径（可）做一圆； 4）开直角都相等； 5）若一直线与另外两直线相交，且在同侧二内角（同旁内角）之和小于二直角。则这两直线无限延长后相交于该侧的一点。 五个定理： 1）等于同一量的量彼此相等； 2）等量加等量其和相等； 3）等量减等量其差相等； 4）互相重合的量彼此相等； 5）整体大于部分。