各种有趣的分形
我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。
但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让
图中的风景图片又是说明分形的另一
很好的例子。这张美丽的图片是利用分
形技术生成的。在生成自然真实的景物
中，分形具有独特的优势，因为分形可
以很好地构建自然景物的模型。
这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发
现，它的每个枝杈都在外形上和整体相
同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的
枝杈也和整体相同，只是变得更加小
了。
Sierpinski三角形具有严格的自相似特
性
Kohn雪花具有严格的自相似特性
分维及分形的定义
分维概念的提出
对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。
维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。
如果用长度l去测面积，就会得到无穷大；而如果用l3去测这块面积，结果就是零。这就表明，用n维的标准体l n去测量一个几何对象，只当n与拓扑维数d一致时，才能得出有限的数值。如果n＜d，就会得到无穷大；如果n＞d，则结果为零。分数维也是按照这个要求来定义的。由于分形的复杂性有多种不同类型，所以可以提出不同定义的分维概念，从不同的角度表示分形的不规则性。通常用的是“容量维”。简单地说，分维所表示的不规整程度，相当于一个物体占领空间的本领。一条光滑的一维直线，完全不能占领空间；但是“科赫曲线”却有无穷的长度，比光滑的直线有更多的折皱，拥挤在一个有限的面积里，的确占领了空间，它已不同于一条直线，但又小于一个平面。所以它大于一维，又小于二维，它的容量维为1.2618，这看来是理所当然的。海岸线的分维数通常在1.15到1.25之间。曼德尔布罗特指出，对于各种分形来说，即使在不同的尺度上，用分维表示的不规整程度却是一个常量。这真是一个令人惊奇的性质，也表明“分维”概念的客观现实特性。分维所表征的正是大自然的规则的不规则性。一个分形的曲线意味着一种有组织的结构，这个结构隐藏在奇特怪异的形状之中。
分数维概念
我们知道0维是
点，一维是线，二维
是面，三维是空间。
那么，谁能告诉我
1.5维是什么? 一条直线段是一维的，由四条这样的直线段组成的正方形是二维的。六个这样的正方形组成的正方体是三维的。直线的长度数值，正方形的面积数值和立方体的体积数值都和我们测量的单位有关。测量的单位也往往是我们所能分辨的最小单位。假设我们的分辨能力增加了一倍，因此我们把直线段长度单位减小到原单位的一半，直线段长度的计量值就变为原来的两倍，正方形面积就变为原来的四倍，体积则变为原来的八倍。我们有下式:
log4/log2=2 log8/log2=3
这里的二和三不是巧合，这是另一种维数的定义:测度维的概念。为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从
而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。
如果某图形是由把原图缩小为1/λ的相似的b个图形所组成，有：λ^D=ｋ
D即维数D=logｋ/logλ
其中的λ为线度的放大倍数，K为“体积”的放大倍数。
回到海岸线长度的问题。当用直线段来近似曲线时，长度单位减为原来的一半往往意味着我们可以用长度为原来的二分之一的直线段来近似曲线。这时，海岸线长度增加程度近似于一个固定的倍数。对于英国海岸线来说，其值约为 2.7，而log2.7/log2=1.41，1.41就是英国海岸线的维数。1.41由于是一个分式所得出的比值，因此人们称之为分数维。还有其他一些分数维的定义方法，但得出的结果都比较近似。分数维是衡量分形的基本参数之一。
自然界的山,其分形维数在2.2维左右,但从2.1维到2.5维画出来的都有一定的山的效果.
下面详细介绍分维及计算
1)新的维数(全维数:整数维+分维)
a.由欧氏几何的"整数维"引出的非欧几何----分维:
a).欧氏几何的"整数维"
欧氏几何学是一门具有2000多年历史的数学分支,他是以规整几何图形为其研究对象的.有线性和曲线两大类.这些规整几何图形的点,直线,平面图形(曲线),空间图形的维数(欧氏维数)都是整数维,分别为0,1,2,3.对规整几何图形的几何测量是指长度,面积和体积的测量.则上述两类几何图形的测量结果,可以归纳简化表述为如下两点:
i. 长度=l,面积=l2 ,体积=l3
ii.长度(半径)=r1,面积=πr2,(球)体积=(4/3)πr3
上述各种关系的量纲分别是长度单位l的1,2,3次方,即这些方次恰与该几何图形的欧氏维数相等,并且是整数.
归结上述两点,各类几何图形的测量都是以长度l为基础的.所以,欧氏几何中对规整几何图形的测量,可以概括表述为
长度=l 面积A=al2体积V=bl3
式中a和b为常数,称为几何因子,他与具体的几何图形的形状有关.如圆a=π;球b=4π/3. 以上都是欧几里得几何规则图形的整数维.而对于不规则的非欧几何图形,其维数关系也就不那末规整了,即欧几里得测
度----长度,宽度,厚度----不能抓住不规则形状的本质,于是曼德勃罗特转向新的想法,即关于维数的新想法.
b).非欧几何的"分维"
欧氏几何中的空间是3维的,平面是2维的,直线是1维的,而点是0维的.那末,一个线团的维数如何呢?这与观察方法有关.远看,他是一个点,是0维;近些看,象球,有空间3维感;再近看,就看到了绳子,又成为1维的了.引发人们注意到几何中也具有"相对关系",以及维数的多样性.曼德勃罗特"越过"了0,1,2,3,......的"传统整数维"(同时也超越了传统观念),进入了看起来象是不可能的"分数维数",分维出现了.从概念上说,这是一场走钢丝表演,是冒险.对于非数学家,"外行",(年轻的)新手,生手,即开拓创新者(或所谓的"半瓶子醋"),他要求先自愿地暂停疑虑(思考),再另寻它路.而对数学家或该行业保守的专家,可能会不懈一顾,不予考虑,不许生疑,被传统所限制束缚住,以至难有大突破.而事实证明前者的方法和策略是极为强劲有力的成就大功者.
分维与古典的欧几里得维数是有联系的.将欧氏维数统一扩展成
M=l d
则由对数定义可知,指数d可以表示为以l为底的,M的对数,即d=log l M
经用换底公式换底,就可以得到关于维数的解析通式,
分维中广泛使用的关系式d=lnM/lnl
他可以被看成是各种维数的综合表达式,即广义维数(欧氏维数及各种分维)的由来或基准式.分维是一种测度,是用其它方法不能明确定义的一些性质----一个对象粗糙,破碎或不规则程度----的手段.即对某种特征性的粗糙度的量度.是有规则的不规则性的反映.此法的关键要点就是使在不同的尺度上(放大或缩小)不规则(图形,功能等)的程度保持恒定.
2).拓扑维和豪斯道夫维——维数的定义
连续空间的概念,空间维数是连续的,不是间断离散的.对数,换底,
拓扑维数是比分形维数更基本的量,以Dt表示,它取整数值,在不作位相变换的基础上是不变的,即通过把空间适当地放大或缩小,甚至扭转,可转换成孤立点那样的集合的拓扑维数是0,而可转换成直线那样的集合的拓扑维数是1.所以,拓扑维数就是几何对象的经典维数Dt=d.拓扑维数是不随几何对象形状的变化而变化的整数维数.
对于任何一个有确定维数的几何体,若用与它相同维数的"尺r"去度量,则可得到一确定的数值N;若用低于它维数的"尺"去量它,结果为无穷大;若用高于它维数的"尺"去量它,结果为零.其数学表达式为:N(r)～r-Dh.上式两边取自然对数,整理后可得
Dh=lnN(r)/ln(1/r) 或Dh=lim[lnN(σ)/ln(1/σ)] σ→0
式中的Dh就称为豪斯道夫维数,它可以是整数,也可以是分数.欧氏几何体,它们光滑平整,其D值是整数.人们常把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形,把此时的Dh值称为该分形的分形维数,简称分维.也有人把
该维数称为分数维数.当然还必须看其是否具有自相似性和标度不变性.
维数的其它定义
(1) 信息维数Di = lim (∑PilnPi/lnσ) σ→0
(2) 关联维数Dg = lim (lnC(σ)/ln(1/σ)) σ→0
(3) 相似维数Ds = lnN/ln(1/r)
(4) 容量维数Dc = lim (lnN(ε)/ln(1/ε)) σ→0
Dc≥Dh
(5) 谱维数 D (分形子维数)——是研究具有自相似分布的随机过程,如随机行走的粒子的统计性质,可用渗流模型来描述的多孔介质,高聚物凝胶(经络的通道及传质)等一类"蚂蚁在迷宫中"的问题.
(6) 填充维数Dp——由半径不同的互不相交的小球尽可能稠密的填充定义的维数称之为填充维数(Packing Dimension).
(7) 分配维数Dd——可以看成是利用两脚间隔距离为σ的两脚规测量曲线C所得的"长度".即定义为
Dd = lim (lnMσ(C)/(-lnσ)) σ→0曲线的分配维数至少等于盒维数.
(8) 李雅普诺夫(Lyapunov)维数Dl——是作为混沌的吸引子维数,他是利用Lyapunov指数来定义的.奇怪吸引子的断面图总是呈分形构造的(经络的断面切片),因此就可以测定其分形维数.
分形维数的测量
1.基本方法
分形维数的定义有很多,但适合所有事物的定义还没出现.每个维数的测定对象常是不同的,所以要区别对待,物适其用.
实际的测定分形维数的方法,大致可以分成如下五类:
(1)改变观察尺度求维数:是用圆和球,线段和正方形,立方体等具有特征长度的基本图形去近似分形图形.
(2)根据测度关系求维数:这个方法是利用分形具有非整数维数的测度来定义维数的.
(3)根据相关函数求维数;C(r)∝r-a，a=d-D
(4)根据分布函数求维数;p(r)∝p(λr) p(r) ∝r-D
(5)根据频谱求维数.
2.盒维数(计盒维数,Kolmogorov熵,熵维数,度量维数,对崐数密度等)
3.函数图的维数
4.码尺与分形维数的关系----分形维数的不确定性对实际分形体而言,测量的分形维数值随码尺而变化,?也就是说,对同一分形体由于选取的码尺不同,会得到不同的分维值.原因是,结构层次不同,自相似的程度不同.测量时要注意.
分形定义
分形难下确切的定义。分形的原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”，故又可称为"碎形"。分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂,无序,不规则,非线性,不光滑,具有自相似,自仿射和标度不变性的复杂系统,图形,构造,功能,性质和复杂现象,及隐藏在这些复杂现象背后的,具有精细结构,内在随机性,局部与整体本质联系的,被传统线性科学(物理,欧氏几何学)排斥在外的不规则"病态",不可微的事体,形体.在尺度变换(放大,缩小)下具有"自相似性"和"标度不变性(无特征长度) "的,从有限认识无限的特殊规律的科学.即其组成部分(局部)以某种方式(结构,?信息,功能等广义分形)与整体相似的形体,事物,或现象;或在多个层次上,适当地放大或缩小其几何尺寸，其局部与整体的整个精细结构，形态，性质等不因此而发生改变(统计)的形体，体系、分形是整体与局部在某种意义下：大小尺度之间的对称性与统一性的集合，是非线性变换下的不变性,是整体观(统一观),共性观，非二分法的产物，是有规则的不规则性。分形是没有特征长度，但具有一定意义(广义)下的自相似图形，结构，性质和形态的总称。
分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似。
除了自相似性以外，分形具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。即无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。但是每次放大的图形却并不和原来的图形完全相似。这告诉我们：其实，分形并不要求具有完全的自相似特性。
分形的数学定义
定义1 如果一个集合在欧氏空间中的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数Dt，
即Dh>Dt
则称该集合为分形集,简称为分形。(Dh≥Dt)
这个定义是由曼德勃罗特在1982年提出的，四年后他又提出了一个实用的定义。
定义2 组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。
它突出了分形的自相似性,反映了自然界中广泛存在的一类"事
物"的基本属性:局部与局部,?局部与整体在形态,功能,信息,时间与空间等方面具有统计意义上的自相似性.它与欧氏几何中的"相似"不同.上述定义还不是严密,精确的定义.
要完整地理解分形还必需知道它的一些特性。
分形的特征和产生机制
分形特征
大自然中的山、树、云、海岸线都可以看成是分形。一般地说，分形具有以下一些特征：该集合具有精细的结构，即有任意小比例的细节（无限可分性）；该集合整体与局部间有某种自相似性；分形集合的分形维数一般不是整数，而是分数，且一般大于它的拓扑维数；分形集合是如此的不规则，以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述；在大多数情况下，分形集合可以以非常简单的方法来定义，可能由迭代产生；通常有某种自相似的形式,可能是近似的或是统计的.。具体的说有下面几个特征。
1)1)自相似性
是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征.即几何或非线性变换下的不变性:?在不同放大倍数上的性状相似.包括几何结构与形态,过程,信息,功能,?性质,能量,物质(组份),时间,空间等特征上,具有自相似性的广义分形。自相似性的数学表示为:f(λr)=λαf(r),或f(r)～rα.其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质.函数f(r)是面积,体积,质量等占有数,量等性质的测度。
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的,?或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似.另外,在整体与整体之间或部分与部分之间,也会存在自相似性.一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式,而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合.但是,表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数,并不会因为放大或缩小等操作而变化[这一点被称为伸缩对称性],所改变的只是其外部的表现形式.自相似性通常只和非线性复杂系统的动力学特征有关。
人们在观察和研究自然的过程中,认识到自相似性可以存在于物理,化学,天文学,生物学,(中医,针灸,经络)材料科学,经济学,以及社会科学等众多学科中,可以存在于物质系统的多个层次上,?他是物质运动,发展的一种普遍的表现形式,即是自然界的普遍规律之一.但是科学工作者真正把自相似性作为自然界的本质特性来进行研究还只是近一,二十年的事。
2)2)标度不变性(无特征长度)
一个具有自相似性的物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说
这类物体没有特征长度。标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态,复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性.
标度不变性(无特征长度)：具有自相似性的系统,物体,事物必定满足标度不变性,或者说这类形体没有特征长度——没长短，面积,体积等。特征长度是指所考虑的对象中最具代表性的尺度,?如空间的长,宽,高,及时间的分,秒,时等.标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大还是缩小,它的结构,形态,性质(功能),复杂程度,不规则性等各种特性均不会发生变化(或是统计性的),故标度不变性又称为伸缩对称性.此空间称无标度空间，其内是分形,范围以外就不是分形了,它有有限与无限之分。
对于实际的分形体来说,这种标度不变性只在一定的范围内适用。人们通常把标度不变性适用的空间称为该分形体的无标度空间.在此范围以外，就不是分形了。
3)3)层次性,递归性
自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性。
4)4)自仿射性
自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例都是同一的,是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同。
5)5)分形元－初始元－生成元
是构成分形整体,相对独立的,放大与缩小均不改变,及共同相似的基本部分,即相似单元,相似单位,或是变换中不变性(共性)的共同的,最基本的,简单的结构,性质的单位或单元,是整体与局部共性的统一体.
分形性就是分形性质的统合,如自相似性和标度不变性,分数维性等。
6)分形元－支(枝,肢),岔(叉,杈)
如五行的“金，木，水，火，土”就是五行分形元的五个分形元支，五杈；阴阳有两个分形元支等。
分形图形一般都比较复杂，其复杂程度可用分形维数去定量描述。现在有不少维数的定义，其中最容易理解的且与分形维数有密切关系的是相似维数。一般地说，如果某图形是由把全体缩小为1／a的a D个相似图形构成的，那么此指数D就具有维数的意义。此维数被称之为相似维数。相似维数只对具有严格自相似性的有规分形才适用，使用范围有限。所以定义对所有集都适用的维数是很有必要的。Hausdorff维数就是这样一个最有代表性的维数，它适用于包括随机图形在内的任意图形。如测定某集的测度的单位半径为r,则测定的结果N（r）将满足下
式：N（r）＝Cr-D H∝r-D H式中的C为常数，则该集的维数为D H,该维数称为Hausdorff维数。不过，Hausdorff维数在许多情况下难以用计算的方法来计算或估计。因此，在实际应用中较少采用Hausdorff维数，而采用便于计算的相似维数等。
分形原理
(1)自相似原理
(2)积和原理: 对S1∩S2=0的分形子集Df=D1+D2.
(3)加和原理: 如果分形子集S1∩S2=S,则Df=D1+D2-d.
(4)合并原理: 分形集S=Sa+Sb,Da>Db,则Ds=Da.
(5)匹配原理: 若想S1∪S2→S,需D1=D2 (=Ds).
(6)级差原理: Si∈S,i是级次(层次).
(7)自仿射原理
*(8)互补原理: S∪S'=U=1,S∩S'=0,S与S'互补.
分形几何与解析几何的关系(经络定位)
分形几何与欧氏几何类似,是研究或考察物体形状的几何学,不象解析几何可以通过坐标A(x,y,z)进行定位.不过将来的"解析分形几何"应该可以有双重作用.
生命现象和社会现象都是复杂现象，具有复杂现象的系统成为复杂系统。如生命繁殖过程是一个复杂的过程，生命系统是一个复杂系统。所有复杂系统都存在三个基本特征：
１、复杂系统有许多基本单元(称之为细胞)组成。
２、每个细胞的状态只有极少数几种。
３、每个细胞的状态随时间的演变只随其邻居的细胞状态决定。
例如：雪花的生成过程由其邻居的冰象和汽象决定根据这三个特征，通过各细胞的局部相互作用，整体上可以显示出多种多样的复杂形态。生命繁殖过程也不例外，在计算机上按此三个基本特征可以模拟演示繁衍过程。在繁衍过程中产生大量的艺术图案。
产生分形的物理机制
一般认为非线性,随机性,以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件. 非线性是指运动方程中含有非线性项(迭代),状态演化(相空间轨迹)发生分支,是混沌的根本原因. 随机性分为两大类,即噪声热运动和混沌,它们反映了系统的内在随机性. 而随机性系统未必就是完全无序的.耗散性强调开放性,研究熵变的过程和机制,即传统的无序熵增过程,及未来的有序熵减过程,宇宙的"有序与无序,物质与能量与信息的相互转换的两大循环"。
系统产生分形结构的充分条件是"吸引子(Attractor)",不严格地说, 一个吸引子就是一个集合,并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上.非线性耗散系统能产生无规运动, 耗散系统的无规运动,最终会成为
趋向吸引子的无规运动,而无规运动的吸引子(结果)便是相间的分形结构.奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失稳为前提,如对称破缺等. 涨落形成波动,具有周期性的波动,单个周期是简单有序,周期3便是混乱(混沌)。
分形和混沌关系
分形和混沌动力学之间的联系很快就被发现了。混沌的奇怪吸引子都是分形。结构的复杂性使现实世界出现了大量分形几何形体，也使确定性动力学体系出现无规性。奇怪吸引子都有层次的自相似性。无穷相似结构互相套叠起来，就相当于没有规则结构，所以“无穷嵌套的自相似结构”呈现出总体的混沌。非线性动力学系统一旦进入混沌吸引子区域，就会随机地在吸引子内部四处游荡，但又不能充满整个区域，区域内存在着无穷多的随机空隙，从而使整个混沌区出现维数上的“空洞”，呈现分数维数。洛仑兹吸引子就是三维背景空间中的一张分形曲面，其容量维等于2.06；若斯勒吸引子也是三维背景空间中的一张分形曲面。所以，“分形几何学”和“分维”概念已经成为混沌学研究的重要工具。
分形与混沌理论的关系密切,多是以自组织系统为其研究对象的,而含义又各不相同。自组织现象,常常是时空有序的结构,是复杂的系统, 用传统的简化方法无法解决.所以,要依靠新的研究复杂性的方法来处理,混沌与分形就首当其冲。混沌中有时包容有分形, 而分形中有时又孕育着混沌。分形更注重形态或几何特性,图形的描述。混沌更偏重数理的动力学及动力学与图形结合的多方位的描述和研究.分形更看中有自相似性的系统,而混沌涉及面似乎更广,对所有的有序与无序,有序与有序现象都感兴趣.特别是混沌中的分叉, 分支现象与分形关系最密切.而有些混沌系统自相似性未必特别显眼, 分形恐怕就难涉足了。分形可以是混沌研究中一种手段或方法等等。总之,目前要较详细和系统地阐明分形与混沌的关系及差异, 还比较困难,还有待混沌与分形理论进一步的深入拓展,完善和趋细。
几个分形得matlab实现 摘要:给出几个分形得实例,并用matlab编程实现方便更好得理解分形,欣赏其带来得数学美感 关键字:Koｃh曲线实验图像 一、问题描述: 从一条直线段开始,将线段中间得三分之一部分用一个等边三角形得两边代替,形成山丘形图形如下 ?图1 在新得图形中,又将图中每一直线段中间得三分之一部分都用一个等边三角形得两条边代替,再次形成新得图形如此迭代,形成Kocｈ分形曲线。 二、算法分析: 考虑由直线段(2个点)产生第一个图形(５个点)得过程。图1中,设与分别为原始直线段得两个端点,现需要在直线段得中间依次插入三个点,,。显然位于线段三分之一处,位于线段三分 之二处,点得位置可瞧成就是由点以点为轴心,逆时针旋转600而得。旋转由正交矩阵 实现。 算法根据初始数据(与点得坐标),产生图1中5个结点得坐标、结点得坐标数组形成一个矩阵,矩阵得第一行为得坐标,第二行为得坐标……,第五行为得坐标。矩阵得第一列元素分别为5个结点得坐标,第二列元素分别为5个结点得坐标。 进一步考虑Kｏｃh曲线形成过程中结点数目得变化规律。设第次迭代产生得结点数为,第次迭代产生得结点数为,则与中间得递推关系为。 三、实验程序及注释: p=［0 0;10 0］; %P为初始两个点得坐标,第一列为ｘ坐标,第二列为y坐标 n=2; %n为结点数 A=[cos(pi/３) —ｓin(pi/3);siｎ(ｐi/３) cos(pi/３)]; ％旋转矩阵 ｆor k＝1:4 ｄ=diｆf(p)/3; ％ｄｉff计算相邻两个点得坐标之差,得到相邻两点确定得向量 %则d就计算出每个向量长度得三分之一,与题中将线段三等分对应 m=4＊n-3; ％迭代公式 q=p(1:ｎ—1,:); %以原点为起点,前n—１个点得坐标为终点形成向量 p(5:4:m,:)=ｐ(2:n,:); %迭代后处于４k+１位置上得点得坐标为迭代前得相应坐标 p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于４k+２位置上得点得坐标 p(3:4:m,:)=ｑ+d+ｄ＊A'; %用向量方法计算迭代后处于4ｋ＋3位置上得点得坐标 p(4:４:m,:)＝ｑ＋2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k位置上得点得坐标 n=m; %迭代后新得结点数目 end pｌot(ｐ(:,1),p(:,２)) ％绘出每相邻两个点得连线 aｘis([0 10 ０ 10]) 四、实验数据记录: 由第三部分得程序,可得到如下得Ｋoch分形曲线:
分形与分形艺术 我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 “分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。 图 1 Mandelbrot集合
分形分析的几个重要原理 金融市场的分形分析方法依据分形的基本原理和市场 的分形特性，其方法最大的优点是可以准确完整地界定市场的主流趋势性质，也就是市场变化的稳定方向；并且可以较准确地界定市场的趋势边界以找到最好的进场位置，从而融入并顺应趋势交易。它的可信度以及客观全面的分析方法源自几个重要的原理。 其一是市场的极端最大化原理。这主要指的是市场的自激励、自扩张、自强化作用。这是众多的交易者可以直接从市场中经验到的作用。作为开放系统的金融交易市场，只要有机会，只要出现明确的趋势，就会吸引交易者并活跃成交。一个盈利者会带动3—5个交易者入市，而3—5个交易者同样会成倍数地吸引更多的交易者，使趋势不断被强化。最后，所有对趋势有推动作用的题材和资金全部被发掘完毕，市场走到自己的反面，也就是极端最大化的地方。在这个地方，市场对立的交易双方会进行性质截然相反的交换（交易就是交换），而迅速改变市场性质。这就是物极必反。但是相反的交换一旦开始，就会立即扭转为相反的趋势。相反的交换又会产生新的自激励作用，新的趋势又开始运行了。市场就是以这种形式寻求价值发现的。分形是有主体和层次的。在极端最大化的地方，分形的主体和层次会发生极其强烈的分
形矛盾，市场会用分形来预示市场到了极端最大化的地方。分形结构、分形边界、分形空间等都可以明确预示市场的极端。但在趋势未到极端最大化之前，任何对趋势的主观臆断都是违背市场真相的。市场是不受控制的，没有谁可以改变市场的极端最大化的作用机制。有了这样的原理机制，就可以运用分形对市场的趋势做完整的界定，找到市场的主流趋势分形，而避免发生根本的市场错误。 其二，偏差与反偏差的必然交替原理。趋势绝不是一条直线，市场更不是通常的线性事物。对于主流趋势而言，市场由偏差和反偏差组成。与趋势同方向的偏差会不断出现，也就是趋势在运行中短时间向前走得太远的偏差，或者叫正偏差。反偏差就是向趋势相反方向出现的偏差。反偏差相对于趋势而言是一种错误。市场总会诱惑许多交易者向反偏差方向交易而犯这样的错误。对于交易者而言，交易的根本目标就是市场的错误，也是其他交易者的错误。在对手交易错了的地方，自己才会有机会。而反偏差就是市场的错误。市场由一连串的反偏差所组成。反偏差总会发生的，其根源在与人性和人性所组成的市场本性。它的出现是必然的。所以一个趋势总是给交易者许多机会，并附带许多陷阱。有了这样的原理，交易者就有许多机会可以加入趋势的行列，并且有许多机会可以纠正自己的错误。所以人人有机会，时时有机会。
大 众 文 艺 63 各种艺术都有其表达意义的表现手法，不同的艺术，表现手法亦不同。经得起历史考验的优秀的作品，总会在某些方面具有鲜明的特色，显示独特的个性。《围城》即为一篇具有鲜明特色、独特个性的优秀讽刺小说。 《围城》所表现出来的学者式的幽默与讽刺，与契珂夫带着“含泪的微笑”式的辛辣幽默不同，他的幽默处处充满着智慧，比如文章中说：“一个人的缺点正象是猴子的尾巴，猴子蹲在地面的时候，尾巴是看不见的，直到他向树上爬，就把后部供大家瞻仰，可是这红臀长尾巴本来就有，并非地位爬高了的新标识”。 作者用他那看似漫不经心的笔调、灵活多样的幽默与讽刺的手法来批判现实，调侃“芸芸众生”，使人啼笑皆非，回味无穷。 正如钱钟书在该书的序中所说：“在这本书里，我想写现代中国某一部分社会、某一类人物。写这类人，我没忘记他们是人类，只是人类，具有无毛两足动物的基本根性”。而这一类人物，就是当时病态的知识分子。《围城》中就常用诙谐幽默、尖锐泼辣的笔法指向这些 “无毛两足动物”，这种笔法主要表现在以下三个方面： 一、犀利精妙的心理讽刺 一切琐庸的、可怜的、鄙陋的东西，似乎都不可能逃过一位讽刺幽默作家的眼睛。钱钟书就是一位这样的作家，他善于用犀利精妙的笔触刻画人物心理，形成强烈的幽默讽刺效果。 1、《围城》善于对人物的心理进行细腻地观察、分析和描写。 如张家大小姐矫揉造作、故作矜持的小女儿心态就被刻画得十分传神。张家仗着颇为殷实的家底，自视高贵文雅，处处摆出洋人作派。张父有中文名字却不爱用，偏喜欢别人唤他的洋名。说话还喜欢中国话里夹些无谓的英文字，让儿女觉得高深莫测。在这洋风熏陶下，小姑娘也毫无保留地接受了一切洋本领、洋习气、洋时髦、洋姿势，养就了一身娇气。她的书架上摆放着《莎士比亚全集》、《居里夫人传》等用以充门面的不朽大著，同时也有《怎样去获得丈夫而且守住他》等实用主义的作品。方鸿渐觉得好笑，不由露出笑容，却不料被她看个正着、记在心里，后来方鸿渐无论用什么办法来讨好她，都不能消除她内心的不悦。方鸿渐走后，她说“这人讨厌！你看他吃相多坏……这算什么礼貌？我们学校里教社交礼节的mis Prym瞧见了准会骂他猪猡相Piggy Wiggy！” 还有对范懿这位“女生指导”装腔作势的老处女心态的刻画也十分传神。她听说汪太太要给自己做媒，虽求之不得，却又故作矜持，经过一番自我克制，却仍掩盖不了内心的猴急。汪处厚夫妇请吃饭，她五点钟才过就到汪家。见过辛楣以后，“像画了个无形的圈子，把自己跟辛楣围在里面，谈话密切得泼水不入”。相亲回去的路上，她几次设法要把同行的方鸿渐、刘小姐支开，好留下赵辛楣和她两个人走。当方鸿渐为辛楣解围后，“范小姐对鸿渐的道谢冷淡得不应该，直到女宿舍，也再没有多话”。文中对人物心理作了细腻观察、分析和描写，幽默中含者极浓的讽刺色彩。 作者很善于挖掘人物的内心世界，揭示讽刺对象在言行举止上的虚假、灵魂的丑陋。 浅谈《围城》的幽默与讽刺艺术 （新邵教师进修学校 湖南 邵阳 422000） 廖又琳 【摘 要】《围城》是钱钟书先生在小说创作方面的代表作。这是一篇辛辣而幽默的讽刺小说，它的幽默与讽刺艺术别具一格，讽刺手法灵活多样，讽刺语言诙谐幽默，写人谈事看似漫不经心，却处处充满着智慧，能使读者掩卷深思，回味无穷，使他的讽刺小说具有了极其鲜明的独特个性。 【关键词】《围城》； 幽默；讽刺 如李梅亭的吝啬心理就写得很有讽刺意味。他在赴三闾大学就职的途中，抢着买低等船票，明明是为了自己省钱，却偏偏要撒谎骗取别人的感激、讨得别人的好感；途中遇雨，舍不得用自己的新雨衣，便找借口用别人的遮阳伞，结果被淋湿，还弄脏了衣服，弄得狼狈不堪。他带了一箱药品，准备到内地学校卖个好价钱。当孙柔嘉身体需服仁丹时，他却因为一包仁丹开封后卖不了好价钱而不惜用价钱贵但已开封过的鱼肝油代替，因为已开封的药“好比嫁过的女人，减低了市价”。这样做既行了好心，显示了自己的大方，更重要的是又不至于使自己蒙受损失。至于能不能对症下药，就不在他的考虑的范围之内了。李梅亭这个吝啬鬼的怪诞心理在一次次的心理活动中暴露出来，使人厌恶，那正人君子的假面具也被一层一层地撕下来。这种讽刺，与疾言厉色的抨击不同，它是通过客观地描绘，逐渐地揭示真相来达到幽默的效果，平淡中见谐趣，讽刺味更强。 2、钱钟书还善于制造微妙而又激烈的心理冲突。 如《围城》第三章写赵辛楣发起一次青年知识分子聚会，作者借此——刻画了赵辛楣的嫉妒以及胜利后又失望的心理、董斜川的自傲心、褚慎明的自卑敏感及看客心理。又如《围城》第六章中，写方鸿渐上门拜访三闾大学高松年那一节，因为高松年没有按当时承诺聘他为教授而“兴师问罪”，便是一场微妙而激烈的心理战。一见面，高松年尽管心里对方鸿渐的“兴师问罪”有些畏惧，认为非要费一番唇舌不可，但他表面上还是摆出一副和颜悦色、胸怀坦荡的样子。老于世故的高松年，一面撒谎、一面还能用眼大胆地平视对方，使方鸿渐给“三百瓦特的眼光射得有些不安，觉得这封信不收到是自己的过失，这次来得太冒昧了”。而高松年也为对方未收到信故作惊讶，其“假惊异的表情做得惟妙惟肖，比方鸿渐的真惊惶自然得多”。他高明地用一封子虚乌有的信表明了自己的大度与识才，使方鸿渐不得不满怀感激，从而轻易地将其打发走，解决了这个开始还以为有些棘手的难题。方鸿渐离开时“灵魂像给蒸汽碌碌滚过，一些气概也无。只觉得自己是高松年大发慈悲收下的一个弃物，满肚子又羞又恨，却没有个发泄的对象”。把讽刺对象的心理活动，由隐到显，由暗到明，猛然外化，这种手法体现了作者幽默与讽刺手法的高超。 二、漫画式的描述笔法 钱钟书常用漫画式的笔法勾勒人物形象，以其精妙的笔法，高超地概括出一副副惟妙惟肖的漫画形象。往往人物一出台亮相，行藏未见，便已可知人物的性格及作者的情感态度。 如在法国取得文学博士头衔的“女诗人”苏文纨虽号称“才貌双全”，其“得意之作”却只是一首抄袭来的德国民歌。那位自称“诗人”的曹元朗的“杰作”《拼盘姘伴》，更是令人作呕。这一男一女最后却“珠联璧合”成了“天生一对”，真是绝妙的讽刺。 又如韩学愈从美国的爱尔兰骗子那里买来子虚乌有的“克莱登大学”博士文凭，骗取了大学教授的头衔，他的白俄妻子冒充美国国籍，以便到英文系任英语教授，还可证明了自己文凭的货真价实。为了打击唯一的知情者，他勾结陆子潇，教唆学生蓄意搞垮方鸿渐，一个用心险恶的厚颜无耻之徒形象真是呼之欲出。 尤其是《围城》第七章对汪处厚的肖像描写更是绝妙，使他一出场就给人滑稽迂腐的感觉：“胡子常是两撇，汪处厚的胡 文艺评论
分形理论及其在水处理工程中的应用 凝聚和絮凝是混凝过程的两个重要阶段, 絮凝过程的完善程度直接影响后续处理(沉淀和过滤)的处理效果。但絮凝体结构具有复杂、易碎和不规则的特性，以往对絮凝的研究中由于缺乏适用的研究方法，通常只考虑混凝剂的投入和出水的混凝效果, 而把混凝体系当作一个―黑箱‖, 不做深入研究。即使考虑微观过程, 也只是将所有的胶粒抽象为球形, 用已有的胶体化学理论及化学动力学理论去加以解释[1]，得出的结论与实验中实际观察到的胶体和絮凝体的特性有较大的差别。尽管有的研究者在理论推导和形成最终的数学表达式时引入了颗粒系数加以修正, 但理论与实验结果仍难以一致。而分形理论的提出，填补了絮凝体研究方法的空白。作为一种新兴的絮凝研究手段, ,分形理论启发了研究人员对絮凝体结构、混凝机理和动力学模型作进一步的认识。 1 分形理论的概述 1.1 分形理论的产生 1975年[2],美籍法国数学家曼德布罗特（B. B. Mandelbrot）提出了一种可以用于描绘和计算粗糙、破碎或不规则客体性质的新方法，并创造了分形(fractal) 一词来描述。 分形是指一类无规则、混乱而复杂, 但其局部与整体有相似性的体系, 自相似性和标度不变性是其重要特征。体系的形成过程具有随机性,体系的维数可以不是整数而是分数[3]。它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的,而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。自相似性是分形理论的核心，指局部的形态和整体的形态相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例放大后,其形态与整体相同或相似。自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同, 但经过拉伸、压缩等操作后, 两者不仅相似, 而且可以重叠。 分形理论给部分与整体、无序与有序、有限与无限、简单与复杂、确定性与随机性等概念注入了新的内容，使人们能够以新的观念和手段探索这些复杂现象背后的本质联系。 1.2 絮凝体的分形特性 絮凝体的成长是一个随机过程, 具有非线性的特征。若不考虑絮凝体的破碎, 常规的絮凝过程是由初始颗粒通过线形随机运动叠加形成小的集团, 小集团又碰撞聚集成较大集团, 再 进一步聚集，一步一步成长为大的絮凝体。这一过程决定了絮凝体在一定范围内具有自相似性和标度不变性, 这正是分形的两个重要特征[4], 即絮凝体的形成具有分形的特点。 2 絮凝体的模拟模型 2.1 絮凝体的分形结构模型 为了更好地了解絮凝体的形成过程并尽可能地加以预测, 经过大量的研究提出了众多的絮
经典的分形算法 小宇宙2012-08-11 17:46:33 小宇宙 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。它与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。它承认世界的局部可能在一定条件下，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，因而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数，集合论创始人康托（G.Cantor，德国数学家）构造了有许多奇异性质的三分康托集。1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例，但它们正是分形几何思想的源泉。1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。 真正令大众了解分形是从计算机的普及肇始，而一开始，分形图的计算机绘制也只是停留在二维平面，但这也足以使人们心驰神往。近来，一个分形体爱好者丹尼尔?怀特（英国一钢琴教师）提出一个大胆的方法，创造出令人称奇的3D分形影像，并将它们命名为芒德球（mandelbulb）。
初中美术课《幽默与智慧》说课稿 尊敬的评委老师： 你们好！我是来自梨洲中学的邬志玮。 今天我说课的内容是《幽默与智慧》，我将围绕教什么，怎么教和为什么这样教，从教材分析、学情分析、教学目标、重点、难点、教法学法和教学过程这七方面来说明我的教学设计。 一、教材分析 本课是湘教版初中美术九年级上册第七课内容，依据美术新课程标准的理念，我明确了本课的课型是以“造型?表现”为主，并结合作品欣赏的综合课型。教材从漫画的基本知识、创作的方法等方面介绍了漫画这门艺术，目的是使学生能够通过对漫画的基本认识和了解，从浅到深、循序渐进的启发和指导学生感受漫画艺术的特殊魅力，形成多角度认识事物的思维方式，并最终能够运用漫画语言观察、思考社会生活现象。 二、学情分析 依据初中生的年龄特点和个体差异制定本课教学方法。初中生在九年级两级分化的情况已形成，个体差异明显，虽然思想已经成熟化，但技法应用与表现上还并不是很完善，因而直观性教学更贴近学生实际。 三、教学目标 我把教学目标分成三个维度来进行阐述。 知识与技能：掌握漫画的基本知识，了解其创作方法，尝试漫画创作。 过程与方法：在观察和欣赏漫画的过程中，培养学生观察、分析、创新的能力。 情感态度、价值观：通过品味学习漫画相关知识，使学生形成多角度认识事物的思维方式，并对社会、对人生进行积极的关注和思考。 四、依据教材内容和学情分析，我确定本课教学重、难点为： 教学重点：引导学生认识漫画的概念，初步掌握漫画的表现形式和创作手法
教学难点：如何使不同程度的学生都找到自己学习的空间，并通过画笔展现生活笑料或社会事件。 攻破这一难点，我将通过扩散学生思维，安排不同类型的作业内容来使学生有属于自己的能力体现。 五、教学准备 教师准备：多媒体（ppt）课件、记号笔、全K画纸、画笔等。 学生准备：美术教材、绘画工具。 六、教法学法 依据本课实际，我以先观察后问答和小组探讨合作的方式来完成本课内容，目的在于培养学生的观察能力、总结能力及团队精神。根据不同学生的学习程度，安排不同类型的作业内容。结合多媒体课件贯穿课堂，用直观而详尽的演示，来达到教学目标。另外本课设置两课时时间，第一课时为小组合作，激发联想；第二课时为个人创作，通过循序渐进的方式来引导学生学习相关知识。教学过程是师生交流、共同发展的互动过程，应关注学生的能力培养，与学生共同分析问题、解决问题，以此来点拔学生的思维，充分体现“教师主导，学生主体”的教学原则。 七、教学过程 依据美术新课程标准的理念来组织课堂教学。我的教学过程设置如下： 第一课时 导入新课——讲授新课——学生练习，师生点评——课外拓展。 1.创设情境激趣导入： 通过教师的一个笑话，导出“笑的艺术”，进而过渡到“笑话---相声—漫画”等能使人产生笑声的艺术作品引入课题。通过这一环节，让学生既能明确本课的课题内容，又能使学生在愉悦的心情中开始本课教学。 幽默：有趣或可笑而意味深长。 智慧：辨析判断、发明创造的能力。 2.讲授新课引导创作：
我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。 一、分形几何与分形艺术 什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。 "分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。
文章编号:1004-132(2003)05-0436-04 P I M 粉末颗粒的分形特征及其分形维数 郑洲顺 副教授 郑洲顺 曲选辉 摘要:分析了粉末注射成形几种常用粉末颗粒形状、投影边界、表面的分形特征。介绍了一种适用于粉末颗粒的分维测量方法。根据扫描电镜图 片,用“数盒子”法测算了羰基铁和羰基镍粉投影边界图形的分形维数,它们分别在1.068～1.080、1.225～1.235之间,说明羰基镍粉末颗粒的形状特征有可能用Koch 曲线分形性质来进行描述和分析。分形理论的引入可为研究粉末注射成形提供更准确的定量描述原料特征的方法,为粉末注射成形过程的控制提供了更精确的工艺参数。 关键词:粉末注射成形;粉末颗粒;分形;分维测量方法中图分类号:T F 12 文献标识码:A 收稿日期:2002—06—20 基金项目:国家重点基础研究发展规划项目(G 2000067203);国家杰出青年科学基金资助项目(50025412);高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(99053310) 粉末注射成形(pow der in jecti on m o lding ,P I M )是传统粉末冶金技术与现代塑料注射成形技术相结合而产生的一门零部件近净形成形新技术。由于其在制作几何形状复杂、组织结构均匀、高性能的近净形产品方面具有独特的技术和经济优势而倍受瞩目,被誉为“当今最热门的零部件成 形技术”[1] 。粉末特性和粉末颗粒形状对P I M 工艺有很大的影响。当颗粒形状不规则时,成形坯在脱脂后能较好地保持其形状,但配位数和成形坯密度都因颗粒不规则而降低[2]。实际粉末粒度和形状都有一定的分布,还经常存在着模型堆积中有没有团聚或粘结效应的问题,因此精确描述粉末特性是相当困难的。目前对粉末特性的描述大都是定性分析,定量分析采用的是经典Euclid 几何学概念和测度。然而,粉末颗粒边界、颗粒的表面、颗粒形状等特性并不是经典Euclid 几何学的光滑线、面、体,其边界复杂、表面粗糙,具有相当精细的结构。 1 粉末颗粒形状的分形特性 P I M 粉末的粒径一般在20L m 以下,相对散 装密度为理论密度的0.3～0.8,一般在0.6左 右。粒度分布宽有助于堆积,因为不同粒度的颗粒混合使得颗粒更好地填充。注射成形所需的最佳固体粉末含量与粉末特性、粒度分布、颗粒形状、 颗粒间摩擦和团聚有关[2]。扫描电镜是观察粉末颗粒分散特征的最好工具之一。图1所示是用不同方法制成的4种不同金属粉末的扫描电子显微镜照片。可以看出粉末颗粒的边界复杂、 表面粗 (a )羰基镍粉 (b ) 氧化物还原钼粉 (c )气体雾化钢粉 (d )等离子法制得的钨合金粉 图1 用于粉末注射成形工艺中的几种典型粉末的扫描电镜照片 糙,具有相当精细的结构,各种粉末的颗粒形状具 有明显的自相似性。用传统欧氏测度来描述粉末颗粒的特性,实际上忽略了许多重要的细节,从而也就抹掉了许多重要的信息。M andelb ro t [3]从20世纪60年代起就注意到像海岸线这样复杂的曲线,提出分形几何学来描述和研究这些形态极不规则或极为破碎的几何对象。近20多年来,分形理论及其应用的发展十分迅速,覆盖的学科十分 ? 634?中国机械工程第14卷第5期2003年3月上半月
各种有趣的分形 我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。 但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么?"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。可是，山到底是什么?它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象?分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。让 图中的风景图片又是说明分形的另一 很好的例子。这张美丽的图片是利用分 形技术生成的。在生成自然真实的景物 中，分形具有独特的优势，因为分形可 以很好地构建自然景物的模型。 这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发 现，它的每个枝杈都在外形上和整体相 同，仅仅在尺寸上小了一些。而枝杈的 枝杈也和整体相同，只是变得更加小 了。 Sierpinski三角形具有严格的自相似特 性
Kohn雪花具有严格的自相似特性 分维及分形的定义 分维概念的提出 对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。但用这种办法对分形的层层细节做出测定是不可能的。曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。分形的主要几何特征是关于它的结构的不规则性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规则性和复杂性程度的度量，这可用“维数”来表征。维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的内涵。整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为“拓扑维”，记为d。例如当把一张地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维结构。但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。特别是由于分形几何对象更为不规则，更为粗糙，更为破碎，所以它的分数维（简称“分维”，记为D）不小于它的拓扑维，即D≥d。 维数和测量有密切关系。如为了测一平面图形的面积，就要用一个边长为l、面积为l2的标准面元去覆盖它，所得的数目就是所测的面积。
分形与幽默艺术 分形与幽默艺术 作者：憔悴太子 ── 从赵本山的小品《心病》谈起 摘要表演艺术本身就有着自己的规律与理论。研究分形与幽默，研究分形与表演艺术之间的关系，只不过是从一个从新的角度来进一步了解及研究表演艺术它的自身规律与理论，将原来看到的，还有可能看不到的和遗漏的，或者看不清楚的问题及内容，从理论与技术上进一步进行归纳与升华成为应用价值的东西，从而形成新的规律与理论。并用它来指导表演艺术的编导与表演艺术的实践。从赵本山的小品《心病》谈起, 研究分形与幽默的目的就在于希望本文能起抛砖引玉的作用。 关键词分形自相似性表演艺术幽默 一前言 2003春节晚会上赵本山的小品“心病”（何庆魁先生等撰写），由赵本山、高秀敏、范伟组成的“黄金铁三角” 重新杀回央视，成为最大的看点和亮点。小品“心病”在舞台演出需要的时间很短（网上下载赵本山的“心病”播放时间为13分54秒），然而观众的笑声不断共计有25次之多（除“黄金铁三角”的人物出场时深受观众欢迎，引起观众大笑叫好外，其中还有15次也是大笑与幽默喜剧的高潮），足见其成功之处。他们获得非常好的幽默喜剧效果与巨大轰动效应。该小品最典型的幽默是赵本山这个“医生”与“病人”范伟一样都得了相似的“心病”。对于身外之物的“钱”的“心病”上，“医生”治好了“病人”的“心病”，他自己却是同样的“心病”大发其着，而且更为甚之。正是赵本山这个“医生”与“病人”范伟一样都得了相似的“心病”才引发了幽默喜剧的效果，也正是这个幽默喜剧情节才引发了一些不必要的争论。其实艺术上的“相似”的故事情节，“相似”表现手法的相互借鉴是无可非议的，因为世界上从时间与空间的整体来看每时每刻不知要发生多少“相似”，“相同”的事情，这是不足为奇的。世界本来就是“分形”的世界。 从现在的观点来看，赵本山的小品“心病”他们获得非常好的幽默喜剧效果与巨大轰动效应，除了他们的表演技巧外，小品剧情的发展与表现技巧都应用了“分形”这一手法。这里我们只不过是从一个从新的角度来进一步了解及研究表演艺术而已。 二分形简介 “分形”（f ractal）这个名词是由美国IBM（International Business Machine）公司研究中心物理部研究员暨哈佛大学数学教授曼德勃罗特（Benoit B. Mandelbort）在1975年首次提出的，其原意是“不规则的，分数的，支离破碎的”物体，这个名词是参考了拉丁文f ractus(弄碎的)后造出来的，它既是英文又是法文，既是名词又是形容词。1977年，他的所撰写的世界第一部关于“分形”的著作“分形：形态，偶然性和维数”（Fractal：From, Chance and Dimension），标志着分形理论的正式诞生。五年后，他又出版了著名的专著“自然界的分形几何学”（The Fractal Geometry of Nature），至此，分形理论初步形成。由于他对科学作出的杰出的贡献，他荣获了1985年Barnard奖，该奖是由全美科学院推荐，每五年选一人，是非常有权威性的奖。在过去的获奖者中，爱因斯坦名列第一，其余的也都是著名的科学家。 分形理论诞生后，人们意思到应该把它作为工具，从新的角度来进一步了解及研究自然界和社会，范围包括所有的自然科学和社会科学领域。[1] （张济忠<<分形>> 清华大学出版社1995年8月第一版绪论pⅧ-Ⅸ） 分形的几个特点： (1) 具有无限精细的结构； (2) 比例自相似性； (3) 一般它的分数维大于它的拓扑维数； (4) 可以由非常简单的方法定义，并由递归，迭代产生等。 这里（1）（2）两项说明分形在结构上的内在规律性。自相似性是分形的灵魂，它使得分形的任何一个片段包含整个分形的信息。第（3）项说明了分形的复杂性，第（4）项说明了分形的生成机制。[2]（分形--自然几何.htm）请看图1中的几个图形,它们叫做科赫曲线和科赫雪花曲线，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个局部和整体自相似的图形。这就是分形几何的一个特点叫做自相似性。并且具有无限精细的结构，即它的全息性。从图1中，可以看出它的生成规律，即其递归过程。[3]（分形艺术欣赏.htm）[4]（21ic_com
分形图形 分形理论是非线性科学的主要分支之一，它在计算机科学、化学、生物学、天文学、地理学等众多自然科学和经济学等社会科学中都有广泛的应用。分形的基本特征是具有标度不变性。其研究的图形是非常不规则和不光滑的已失去了通常的几何对称性；但是，在不同的尺度下进行观测时，分形几何学却具有尺度上的对称性，或称标度不变性。研究图形在标度变换群作用下不变性质和不变量对计算机图形技术的发展有重大的意义。 说到分形（fractal），先来看看分形的定义。分形这个词最早是分形的创始人曼德尔布诺特提来的，他给分形下的定义就是：一个集合形状，可以细分为若干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。分形这个词也是他创造的，含有“不规则”和“支离破碎”的意思。分形的概念出现很早，从十九世纪末维尔斯特拉斯构造的处处连续但处处不可微的函数，到上个世纪初的康托三分集，科赫曲线和谢尔宾斯基海绵。但是分形作为一个独立的学科被人开始研究，是一直到七十年代曼德尔布诺特提出分形的概念开始。而一直到八十年代，对于分形的研究才真正被大家所关注。 分形通常跟分数维，自相似，自组织，非线性系统，混沌等联系起来出现。它是数学的一个分支。我之前说过很多次，数学就是美。而分形的美，更能够被大众所接受，因为它可以通过图形化的方式表达出来。而更由于它美的直观性，被很多艺术家索青睐。分形在自然界里面也经常可以看到，最多被举出来当作分形的例子，就是海岸线，源自于曼德尔布诺特的著名论文《英国的海岸线有多长》。而在生物界，分形的例子也比比皆是。 近20年来，分形的研究受到非常广泛的重视，其原因在于分形既有深刻的理论意义，又有巨大的实用价值。分形向人们展示了一类具有标度不变对称性的新世界，吸引着人们寻求其中可能存在着的新规律和新特征；分形提供了描述自然形态的几何学方法，使得在计算机上可以从少量数据出发，对复杂的自然景物进行逼真的模拟，并启发人们利用分形技术对信息作大幅度的数据压缩。它以其独特的手段来解决整体与部分的关系问题，利用空间结构的对称性和自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，使整个生成的景物呈现出细节的无穷回归的性质，丰富多彩，具有奇妙的艺术魅力。分形对像没有放大极限，无论如何放大，总会看到更详细的结构。借助于分形的计算机生成，从少量的数据生成复杂的自然景物图形，使我们在仿真模拟方面前进了一大步。在分形的诸多研究课题中，分形的计算机生成问题具有明显的挑战性，它使传统数学中无法表达的形态(如山脉、花草等)得以表达，还能生成一个根本“不存在”的图形世界。分形在制造以假乱真的景物方面的进展和潜在的前途，使得无论怎样估计它的影响也不过分。可以肯定，分形图案在自然界真实物体模拟、仿真形体生成、计算机动画、艺术装饰纹理、图案设计和创意制作等具有广泛的应用价值。 分形图形简介一、关于分形与混沌 关于分形的起源，要非常准确的找出来是非常困难的。研究动态系统、非线形数学、函数分析的科学家，已数不胜数。尽管分形的早期线索已非常古老，但这一学科却还很年轻。比如关于动态系统和细胞自动机的大部分工作可以追溯到冯-诺依曼；但是，直到Mandelbrot 才如此清楚地将自然现象和人工现象中的混沌及分形同自相似性联系在一起。大家如果对此感兴趣，可进一步查阅有关资料。下面我们看一看分形的概念。 什么是分形呢？考虑到此文的意图，我们无意给出它严格的定义，就我们的目的而言，一个分形就是一个图象，但这个图象有一个特性，就是无穷自相似性。什么又是自相似呢？在自然和人工现象中，自相似性指的是整体的结构被反映在其中的每一部分中。比如海岸线，常举的例子，你看它10公里的图象（曲线），和一寸的景象（曲线）是相似的，这就是自相似性。 与分形有着千差万屡的关系的，就是混沌。混沌一词来源与希腊词汇，原意即“张开咀”，但是在社会意义上，它又老爱和无序联系在一起。解释分形和混沌的联系，要注意到分形是
分形理论 在多年大量实践与探索的基础上，我于96年年底完成了论文<<大系统随机波动理论>>, 随后又在近一年的运作实践中不断进行了修正与完善，自信已经形成一个比较合乎现实逻辑的理论体系。该论文结合当今数学与物理学界最热门的研究领域之一--- 以变化多姿杂乱无章的自然现象为研究对象的分形理论，从最基本的概念与逻辑出发阐明了波动是基本的自然法则, 价格走势的波浪形态实属必然；阐明了黄金分割率的数学基础及价值基础, 价格波动的分形、基本形态及价量关系, 并总结了应用分析的方法与要点等等；文中也多次引用我个人对分形问题的研究成果；另外也指明了市场中流行的R.N. 埃劳特的波浪理论的基本点的不足之处。在国内基金业即将进入规范的市场化的大发展时期之际，就资金运作交易理论进行广泛的交流与探讨，肯定与进行有关基金的成立、组织、规范管理等方面的交流与探讨同样有意义。我尽力用比较通俗的语言描述并结合图表实例分析向读者介绍有关价格波动理论研究的基本内容与使用要点，供读者朋友参考。 一、分形理论与自然界的随机系统 大千世界存在很多奇形怪状的物体及扑溯迷离的自然景观, 人们很难用一般的物质运动规律来解释它们, 象变换多姿的空中行云, 崎岖的山岳地貌, 纵横交错的江河流域, 蜿蜒曲折的海岸线, 夜空中繁星的分布, 各种矿藏的分布, 生物体的发育生长及形状, 分子和原子的无规运动轨迹, 以至于社会及经济生活中的人口、噪声、物价、股票指数变化等等。欧氏几何与普通的物理规律不能描述它们的形状及运动规律, 这些客观现象的基本特征是在众 多复杂因素影响下的大系统(指包括无穷多个元素)的无规运动。通俗一点讲, 这是一个复杂的统计理论问题, 用一般的思维逻辑去解决肯定是很困难的或者说是行不通的。70年代曼德尔布罗特(Mandelbrot,B.B.)通过对这些大系统的随机运动现象的大量研究,提出了让学术界为之震惊的“分形理论”, 以企图揭示和了解深藏在杂乱无规现象内部的规律性及其物理本质，从而开辟了一个全新的物理与数学研究领域，引起了众多物理学家和数学家的极大兴趣。 所谓分形, 简单的讲就是指系统具有“自相似性”和“分数维度”。所谓自相似性即是指物体的（内禀）形似,不论采用什么样大小的测量“尺度”，物体的形状不变。如树木不管大小形状长得都差不多, 即使有些树木从来也没见过, 也会认得它是树木；不管树枝的大小如何，其形状都具有一定的相似性。所谓分形的分数维, 是相对于欧氏几何中的直线、平面、立方而言的, 它们分别对应整数一、二、三维，当然分数维度“空间”不同于人们已经习惯的整数维度空间，其固有的逻辑关系不同于整数维空间中的逻辑关系。说起来一般人可能不相信，科学家发现海岸线的长度是不可能（准确）测量的，对一个足够大的海岸线无论采用多么小的标尺去测量其长度发现该海岸长度不趋于一个确定值！用数学语言来描述即是海岸线长度与测量标尺不是一维空间的正比关系，而是指数关系，其分形维是1.52；有理由相信海岸线的形状与这个分数维有内在关系。 一个全新的概念与逻辑的诞生，人们总是有一个适应过程，但是无数事实已经证明，合理的（或者说不能推翻的）逻辑在客观现实中总能找到其存在或应用的地方的。本世纪初, 爱因斯坦将物质运动从三维空间引到四维空间去描述, 从而产生了一场科学与认识上的革命, 爱因斯坦的相对论不仅让人类“发现”了原子能，而且更重要的是其极大地推动了人们对太空与原子（和微观粒子）的认识层次与能力的提高，但愿分形理论的诞生也具有同样意义，也许在生命（生物）科学与环境科学领域将发现分形理论的重大价值。 下面结合三分法科赫曲线（KOCH）来进一步说明自相似性的意义。如附图一所示, 将一条1个单位长度的线段, 分三等份, 去掉中间的一份并用同等长度的等边三角形的两条边取代之, 随后用同样的方法不断循环地操作五次, 即得这些图形。由科赫曲线明显可以看出,
教学的幽默艺术 在语文教学中，我们常会遇到这种情况，教师备课仔细认真，讲课也很卖力，语言也较简洁准确，但学生就是不爱听，老师讲得口干舌燥，学生听得愁眉苦脸，课堂效果与教师的努力程度不成正比。这是为什么呢？究其原因，很重要的一点就是教师只重视了语言的科学性、规范性，却忽视了它的艺术性，忽视了教学幽默，因而事倍功半。 幽默是语言艺术的重要组成部分，它的正确使用会大大增强语言的感染力。教学幽默语言是指教师依据教学实情，根据教学内容，灵活运用的一种含蓄精练、诙谐有趣、意味深长、富有哲理，能给人启迪的语言,它是教师智慧的结晶。在课堂教学中如能运用得当，会收到意想不到的教学效果。 一、调节气氛，缩短距离。教学实践证明，教师给学生留下良好的第一印象非常重要，因为良好的开端往往是成功的一半。师生初次接触彼此陌生，教师几句幽默的开场白便能调节这种紧张的气氛，缩短师生间的心理距离，使学生的畏惧感顿消，感到教师的和蔼可亲，愿意与教师配合。如我在给七年级新生作自我介绍时说，在下姓程，程咬金的后代，喜运动，爱唱歌，乐交友，不知各位是否愿意成为我的好友？学生的兴致一下子就调起来了。 现代学生思维活跃，情感丰富，不轻信、不盲从，善于标新立异，敢于坚持己见。他们喜欢博学多才、热情开朗、平易近人又具有高超讲话艺术的教师，不喜欢正襟危“言”、不苟言笑、古板冷漠又缺乏讲话技巧的先生。特级教师钱梦龙一次去外地做示范课。开始，课堂气氛
严肃紧张。钱老师走上讲台后，微笑着说：“我请大家猜个谜：虽然发了财，夜夜想成才（财），打一人名。”此语一出，就如一块石子投入平静的湖中，它激起了学生的好奇心和探究欲，活跃了课堂气氛，缩短了师生间的距离。同学们积极思考着，一会儿，一名同学举手回答：“钱梦龙。”全班随之报以热烈的掌声。学生一下子和钱老师贴近了。学生顿时觉得这是一位风趣幽默的老师，跟这样的老师学习一定是轻松愉快的乐事。 二、创设情境，激发兴趣。幽默语言是教师睿智的思想、广博的学识借助诙谐含蓄的语言形式形象生动的再现。它的恰当使用，可以创设出一种风趣动人的情境，驱除了学习疲劳，引起学习兴趣，强化知识记忆，往往会收到令人忍俊不禁、余韵隽永的艺术效果。 三、引导思维，启迪智慧。传统教学的最大弊端是重“灌”轻“启”，因而造成学生思维僵化、肤浅。僵化表现为：思维死板呆滞，看事物想问题，只信“自古华山一条路”，不晓“条条大路通罗马”，所以常常陷于“山重水复疑无路”的困境，缺乏思维的灵活性。肤浅表现为：思维表面化，看事物想问题，浮光掠影、浅尝辄止，缺乏思维的深刻性。思维的僵化和肤浅严重制约了学生对知识的深入理解和能力的提高。这就迫切需要教师根据教学内容有目的地使用幽默语言去点燃学生智慧的火花，燃起积极思维的烈火。 幽默语言不仅可以将事物穷形尽相，而且能够入木三分，它唤醒学生的好奇心、自尊心，促进探究性、挑战性等个性心理品质的发展，从而形成良好的思维品质。