第一换元积分法(凑微分法)
xFCuFduugdxxxg)]([)()()()]([
常用凑微分公式
三、第二换元法
CxFCtFdtttfdxxf)]([)()()]([)(,
: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下:
,22xa 可令 ;sintax
,22ax 可令 ;tantax
,22ax 可令 .sectax
, 常采用倒代换
x1.
四、积分表续
分部积分法 xuxuxuxuxuxuaueuxuxubaxuxdxfdxxxfxdxfdxxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfxdxfxdxxfdaafadxaafdeefdxeefxdxfdxxxfxdxfdxxxfabaxdbaxfadxbaxfxxxxxxxxxxarcsinarctancottancossinln)(arcsin)(arcsin11)(arcsin.11)(arctan)(arctan11)(arctan.10cot)(cotcsc)(cot.9tan)(tansec)(tan.8cos)(cossin)(cos.7sin)(sincos)(sin.6)(ln1)(.5)()(..4)(ln)(ln1)(ln.3)0()()(1)(.2)0()()(1)(.1法分积元换一第换元公式积分类型22221
vduuvudv (3.1)
vdxuuvdxvu (3.2)
(或微分)的逆运算. 一般地, 下列类型的被
(其中m, n都是正整数).
arctanarccosarcsin)(lncossincossin等mxxmxxmxxxxexmxemxemxxmxxnnnnmxnnxnxnn
定积分的概念
定积分的性质
(a) 当ba时, ;0)(b
dxxf (b) 当ba时, abbadxxfdxxf)()(.
1
)()()]()([b
babadxxgdxxfdxxgxf
2 ,)()(b
badxxfkdxxkf (k为常数).
3 b
cabadxxfdxxfdxxf)()()(.
4 .1abdxdxb
ba
5 若在区间],[ba上有),()(xgxf 则,)()(b
badxxgdxxf ).(ba
1 若在区间],[ba上,0)(xf 则
0)(b
dxxf ).(ba
2 ).(|)(|)(badxxfdxxfb
ba
6 (估值定理)设M及m分别是函数)(xf在区间],[ba上的最大值及最小值,则
()()(abMdxxfabmb
7 (定积分中值定理) 如果函数)(xf在闭区间],[ba上连续,则在],[ba上至少存在一
, 使
(),)(()(baabfdxxfb
微积分的基本公式
引例
二、积分上限的函数及其导数：x
dttfx)()(
2 若函数)(xf在区间],[ba上连续,则函数
dttfx)()(
)(xf在],[ba上的一个原函数.
三、牛顿—莱布尼兹公式
3 若函数
(xF是连续函数)(xf在区间],[ba上的一个原函数,则
()()(aFbFdxxfb
. (3.6)
(3.4)称为牛顿—莱布尼茨公式.
定积分的换元法积分法和分部积分法
定积分换元积分法
1 设函数)(xf在闭区间],[ba上连续,函数)(tx满足条件：
1）,)(,)(ba 且bta)(；
2）)(t在],[(或],[)上具有连续导数,则有
ttfdxxfb
)()]([)(. (4.1)
(4.1)称为定积分的换元公式.
. 但是,在应用定积分的换元公式时应
1）用)(tx把变量x换成新变量t时, 积分限也要换成相应于新变量t的积分限,且
,下限对应于下限；
2） 求出)()]([ttf的一个原函数)(t后,不必象计算不定积分那样再把)(t变换成
x的函数,而只要把新变量t的上、下限分别代入)(t然后相减就行了.
定积分的分部积分法
b
udvbabavduuv][ 或 badxvubabadxuvuv][
广义积分
无穷限的广义积分
()(|)()(aFFxFdxxf
()(|)()(FbFxFdxxfbb
)()(|)()(FFxFdxxf
二、无界函数的广义积分
badxxfdxxf)(lim)(0
)(lim)(
babadxxfdxxf
定积分的几何应用
微元法
.
U（总量）表示为定积分的方法——微
，这个方法的主要步骤如下：
(1) 由分割写出微元 根据具体问题，选取一个积分变量，例如x为积分变量，并确定
],[ba，任取],[ba的一个区间微元],[dxxx，求出相应于这个区间微元上部
U的近似值，即求出所求总量U的微元
dxxfdU)(；
(2) 由微元写出积分 根据dxxfdU)(写出表示总量U的定积分
badxxfdUU)(
社会学等应用领域中具有广泛的应用，本节和下一
.
应用微元法解决实际问题时，应注意如下两点：
(1) 所求总量U关于区间],[ba应具有可加性，即如果把区间],[ba分成许多部分区间,
U相应地分成许多部分量, 而U等于所有部分量U之和. 这一要求是由定积分概念本
;
(2) 使用微元法的关键是正确给出部分量U的近似表达式dxxf)(，即使得
dUdxxf)(
在通常情况下，要检验dxxfU)(是否为dx的高阶无穷小并非易
dxxfdU)(的合理性.
平面图形的面积
1）直角坐标系下平面图形的面积
（2）极坐标系下平面图形的面积
drdA2)]([
1
.)]([
12dA
旋转体：由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体称为旋转体. 这
旋转轴.
,)]([2dxxfdV
.)]([2b
dxxfV
平行截面面积为已知的立体的体积：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体
.
,)(dxxAdV
.)(b
dxxAV
积分在经济分析的应用
空间解析几何简介
空间直角坐标系
我们建立了平面直角坐标系，并通过平面直角坐标系，把平面上的
(即点的坐标),(yx)对应起来. 同样，为了把空间的任一点与有序数组对应起
空间直角坐标系.
O, 作三条相互垂直的数轴， 依次记为x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴
竖轴），统称为坐标轴. 它们构成一个空间直角坐标系Oxyz（图6-1-1）.
. 我们通常采用右手系.
二、空间两点间的距离
)()()(||2
221221221zzyyxxMM
1在空间直角坐标系中，如果曲面S上任一点坐标都满足方程0),,(zyxF，而
S上的任何点的坐标都不满足该方程，则方程0),,(zyxF称为曲面S的方程, 而
S就称为方程0),,(zyxF的图形
:
已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
. 可以证明空间中任一平面都可以用三元一次
DCzByAx
(1.3)
. 其中A、B、C、D是不全为零常数. 方程(1.3)称为平面的一般方程.
2 平行于某定直线并沿定曲线C移动的直线L所形成的轨迹称为柱面. 这条定曲
C称为柱面的准线, 动直线L称为柱面的母线.
，通过综合分析这些截痕的形状和性质来认识曲面形状的
. 这种研究曲面的方法称为平面截割法，简称为截痕法.
1
22222
zbyax )0,0,0(cba (1.4)
ypxz2222（同号与qp）
z
ypx2222 ( p与q同号)
单叶双曲面 1
22222
zbyax )0,0,
0(cba
双叶双曲面 1
22222
zbyax )0,0,0(cba
0
22222
zbyax )0,0,0(cba
多元函数的基本概念
平面区域的概念：内点、外点、边界点、开集、连通集、区域、闭区域
二、二元函数的概念
1 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点),(yx，按照某种法
f，都有唯一确定的实数z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在),(yx处的函数值
,(yxf，即),(yxfz，其中x，y称为自变量， z称为因变量. 点集D称为该函数的
，数集}),(),,(|{Dyxyxfzz称为该函数的值域.
. 当2n时, n元函数统称为多元函数.
二元函数的几何意义
三、二元函数的极限
2 设函数),(yxfz在点),(
00yxP的某一去心邻域内有定义，如果当点),(yxP
),(
00yxP时，函数),(yxf无限趋于一个常数A，则称A为函数),(yxfz当
,(yx ),(
0yx时的极限. 记为
yxf
yxx),(lim
0.
Ayxf),( （),(),(
0yxyx）
APf
P)(lim
或 APf)( )(0PP
二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区
二重极限.
二元函数的连续性
3 设二元函数),(yxfz在点),(
0yx的某一邻域内有定义，如果
,(),(lim
0
0yxfyxfyyxx,
),(yxfz在点),(
0yx处连续. 如果函数),(yxfz在点),(00yx处不连续，则称函
),(yxfz在),(
0yx处间断.
与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数. 由x和
二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定
. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极
.
D上连续的二元函数也有类似于一元连续函数在闭区间上所满
. 下面我们不加证明地列出这些定理.
1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得
.
2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.
3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数
, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.
偏导数
偏导数的定义及其计算法
1 设函数),(yxfz在点),(
0yx的某一邻域内有定义, 当y 固定在0y而x在0x
x时, 相应地函数有增量
),,(),(
000yxfyxxf
yxfyxxf
),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数),(yxfz在点),(00yx处
x的偏导数, 记为
,(,,
0
0
000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx或
,(
0yxfx
yxfyxxf
),(),(lim00000.
),(yxfz在点),(
0yx处对y的偏导数为
yxfyyxf
),(),(lim00000,
).,(,,
0
0
000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxx或
, 只需把其余自变量看作常数，
.
二、关于多元函数的偏导数，补充以下几点说明：
1）对一元函数而言，导数
dy可看作函数的微分dy与自变量的微分dx的商. 但偏导
u是一个整体.
（2）与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数
要利用偏导数的定义来求.
3）在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连
. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续.
0,0(),(,0)0,0(),(,),(22yxyxyxxyyxf
)0,0(的偏导数为
00lim)0,0()0,0(lim)0,0(
0xxfxffxxx
00lim)0,0()0,0(lim)0,0(
0yyfyffxyy
5已经知道这函数在点)0,0(处不连续.
偏导数的几何意义
),(yxfz，)),(,,(
0000yxfyxM是该曲面上一点，过点0M作平面
yy，截此曲面得一条曲线，其方程为
0),(yyyxfz
),(
0yxfx表示上述曲线在点0M处的切线xTM0对x轴正向的斜率（图6-3-1）. 同
),(
0yxfy就是曲面被平面0xx所截得的曲线在点0M处的切线yTM0对y轴
.
四、偏导数的经济意义
),,(ypQQ 其中p为该产品的价格, y为消费者收入.
Q对于价格p、消费者收入y的偏改变量分别为
,(),(ypQyppQQ
).,(),(ypQyypQQ
Qp表示Q对价格p由p变到pp的平均变化率. 而
QpQp
0lim
p、消费者收入为y时, Q对于p的变化率. 称
ppQppQQEp
p//lim0
Q对价格p的偏弹性.
Qy表示Q对收入y由y变到yy的平均变化率. 而
QyQy
0lim
p、消费者收入为y时, Q对于y的变化率. 称
yyQyyQQEy
y//lim0
Q对收入y的偏弹性.
-道格拉斯生产函数
在商业与经济中经常考虑的一个生产模型是科布-道格拉斯生产函数
100,),(1acycxyxpaa且，
p是由x个人力单位和y个资本单位生产处的产品数量（资本是机器、场地、生
。偏导数
p和xp
人力的边际生产力和资本的边际生产力。
),(yxfz在区域D内具有偏导数
),,(yxf
zx ),,(yxfyzy
D内),(yxf
和),(yxfy都是x、y的函数. 如果这两个函数的偏导数存在，则称它们
),(yxfz的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同，共有下列四个二阶偏导数：
,(),,(2
2yxf
xzxzyyxfxzxzxxyxx
,(),,(
22yxf
zyzyyxfxyzyzxyyyx
.
类似地，可以定义三阶、四阶、n以及阶偏导数. 我们把二阶及二阶以上的偏导数统
高阶偏导数.
1 如果函数),(yxfz的两个二阶混合偏导数
yz2及yxz2在区域D内连续, 则
xzxyz22.
全微分
微分的定义
1 如果函数),(yxfz在点),(yx的全增量
,(),(yxfyyxxfz
(oyBxAz
(4.2)
A,B不依赖于yx,而仅与x, y有关,,)()(22yx则称函数),(yxfz在点
,(yx
, yBxA称为函数),(yxfz在点),(yx的全微分, 记为,dz 即
BxAdz
(4.3)
D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.
函数可微的条件
1 (必要条件) 如果函数),(yxfz在点),(yx处可微分, 则该函数在点),(yx的
zxz,必存在, 且),(yxfz在点),(yx处的全微分
zxxzdz. (4.4)
一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然.
1 的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存
在的必要条件而不是充分条件.
由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了
而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况. 但如果对偏
. 一般地，我们有：
2 (充分条件) 如果函数),(yxfz的偏导数
zxz,在点),(yx连续, 则函数在该
.
三、微分的计算
x、y分别记为dx、dy，并分别称为自变量的微分. 这
),(yxfz的全微分就表为
dy
zdxxzdz (4.5)
可以完全类似地推广到三元及三元以
. 例如，三元函数),,(zyxfu的全微分可表为
dz
udyyudxxudu (4.6)
四、全微分在近似计算中的应用
二元函数),(yxfz在点),(yxP的两个偏导数),,(yxf
),(yxfy连续, 且
||,|yx
, 则根据全微分定义，有
dzz
.),(),(yyxfxyxfz
x
),(),(yxfyyxxfz，即可得到二元函数的全微分近似计算公式
yxfxyxfyxfyyxxf
x),(),(),(),( (4.7)
复合函数微分法与隐函数微分法
多元复合函数微分法
1．复合函数的中间变量为一元函数的情形
),(vufz,)(tuu,)(tvv构成复合函数)](),([tvtufz
.
dvvzdtduuzdtdz （5.1）
(5.1)中的导数
dz称为全导数.
2、复合函数的中间变量为多元函数的情形
设),,(vufz),,(yxuu),(yxvv构成复合函数)],,(),,([yxvyxufz
vvzxuuzxz (5.3)
vvzyuuzyz (5.4)
、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形
3 如果函数),(yxuu在点),(yx具有对x及对y的偏导数, 函数)(yvv在点
函数),(vufz在对应点),(vu具有连续偏导数, 则复合函数)](),,([yvyxufz
),(yx的两个偏导数存在, 且有
uuzxz (5.7)
dvvzyuuzyz (5.8)
：这里
z与xf是不同的，xz是把复合函数],),,([yxyxufz中的y看作不变而
x的偏导数，
f是把函数),,(yxufz中的u及y看作不变而对x的偏导数. yz与yf
.
在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:
),(
vuff ,),(2vvuffvuvuff),(212,
1表示对第一个变量u求偏导数，下标2表示对第二个变量v求偏导数，同理有
11,ff, 等等.
二、全微分形式的不变性
可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设
,(vufz
),(),,(yxvvyxuu
zdxxzdzdyyvvzyuuzdxxvvzxuuz
vdxxvvzdyyudxxuuz
dv
zduuz
u、v是中间变量，但全微分dz与x、y是自变量时的表达式在形式
. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果.
三、 隐函数微分法
在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程
),(yxF
(5.11)
. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过
.
理4 设函数),(yxF在点),(
0yxP的某一邻域内具有连续的偏导数, 且
0),(
0yxFy,0),(00yxF则方程0),(yxF在点),(00yxP的某一邻域内恒能唯一确
),(xfy 它满足),(
0xfy 并有
xFFdxdy (5.12)
5 设函数),,(zyxF在点),,(
00zyxP的某一邻域内有连续的偏导数, 且
0),,(,0),,(
00000zyxFzyxFz
0),,(zyxF在点),,(
00zyxP的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏
),(yxfz, 它满足条件),(
00yxfz,并有
,
yzxFFyzFFxz (5.14)
多元函数的极值及求法
二元函数极值的概念
1 设函数),(yxfz在点),(
0yx的某一邻域内有定义, 对于该邻域内异于
,(
0yx的任意一点),(yx, 如果
,(),(
0yxfyxf
),(
0yx有极大值；如果
,(),(
0yxfyxf
),(
0yx有极小值; 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值
.
1 (必要条件) 设函数),(yxfz在点),(
0yx具有偏导数, 且在点),(00yx处有极
, 则它在该点的偏导数必然为零，即
.0),(,0),(
000yxfyxfyx (6.1)
对于多元函数，凡是能使一阶偏导数同时为零的点称为函数的
.
2 (充分条件) 设函数),(yxfz在点),(
0yx的某邻域内有直到二阶的连续偏导
,0),(
0yxfx.0),(00yxfy令
),(,),(,),(
00000CyxfByxfAyxfyyxyxx
当02BAC时，函数),(yxf在),(
0yx处有极值，
0A时有极小值),(
0yxf；0A时有极大值),(00yxf；
当02BAC时，函数),(yxf在),(
0yx处没有极值;
当02BAC时，函数),(yxf在),(
0yx处可能有极值，也可能没有极值.
1与定理2，如果函数),(yxf具有二阶连续偏导数，则求),(yxfz的极值
解方程组,0),(,0),(yxfyxf
x 求出),(yxf的所有驻点；
求出函数),(yxf的二阶偏导数，依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并根据
AC
. 最后求出函数),(yxf在极值点处的极值.
二元函数的最大值与最小值
),(yxf的最大值和最小值的一般步骤为:
（1）求函数),(yxf在D内所有驻点处的函数值;
（2）求),(yxf在D的边界上的最大值和最小值;
（3）将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值.
),(yxf的最大值（最小
D的内部取得，而函数),(yxf在D内只有一个驻点，则可以肯定该驻点处的
),(yxf在D上的最大值（最小值）.
三、条件极值 拉格朗日乘数法
对于函数的自变量一般只要求落在定义域内，并无其它限制条
无条件极值. 但在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条
. 对自变量有附加条件的极值称为条件极值.
),(yxf和),(yx在区域D内有一阶连续偏导数，则求),(yxfz在D内满
0),(yx的极值问题，可以转化为求拉格朗日函数
,(),(),,(yxyxfyxL
为某一常数）的无条件极值问题.
),(yxfz在条件0),(yx的极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为：
构造拉格朗日函数
,(),(),,(yxyxfyxL
为某一常数;
由方程组
),(,0),(),(,0),(),(yxLyxyxfLyxyxfLyyyxxx
,,yx, 其中x, y就是所求条件极值的可能的极值点.
：拉格朗日乘数法只给出函数取极值的必要条件, 因此按照这种方法求出来的点是否
, 还需要加以讨论
. 不过在实际问题中, 往往可以根据问题本身的性质来判定所求
.
:
数学建模举例
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1 设),(yxf是有界闭区域D上的有界函数. 将闭区域D任意分成n个小闭区域
,,,
1n 其中i表示第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取
),(
i, 作乘积
,,2,1(,),(nif
ii
),(
niiiif
趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数
,(yxf
D上的二重积分, 记为,),(
dyxf 即
dyxf),(niiiif10),(lim (7.2)
),(yxf称为被积函数,dyxf),(称为被积表达式, d称为面积微元, x和y称为积
,D称为积分区域, 并称n
iiif1),(为积分和.
:
如果二重积分
dyxf),(存在，则称函数),(yxf在区域D上是可积的. 可以证
),(yxf区域D上连续，则),(yxf在区域D上是可积的. 今后，我们总假定
),(yxf在积分区域D上是连续的;
根据定义，如果函数),(yxf在区域D上可积，则二重积分的值与对积分区域的分
因此，在直角坐标系中，常用平行于x轴和y轴的两组直线来分割积分区域D，
.设矩形闭区域
x和jy，于是jiiyx. 故在直角坐标系中，面积微元d可记为dxdy.
dxdyd.
dxdyyxf),(，这里我们把dxdy称为直角坐标系下的面积微元.
二、二重积分的性质
二重积分也有与定积分类似性质，且其证明也与定积分性质
.
在直角坐标系下二重积分的计算
一、区域分类
：)}()(,|),{(
1xyxbxayx. 其中函数)(),(21xx在区间
,[ba
. 这种区域的特点是：穿过区域且平行于y轴的直线与区域的边界相交不多于
.
：)}()(,|),{(
1yxydycyx. 其中函数)(),(21xx在区间
,[dc
. 这种区域的特点是：穿过区域且平行于x轴的直线与区域的边界相交不多于
.
二、二重积分的计算
D为如下X型区域:
()(,|),{(
1xyxbxayx.
)(
(2
),(),(xxba
dyyxfdxdxdyyxf (8.2)
D为Y型区域：
()(,|),{(
1yxydycyx.
),(),()(
(2
yydc
dxyxfdydxdyyxf (8.3)
特别地，当区域D为矩形区域},|),{(dycbxayx时，有
dcdcba
dxyxfdydyyxfdxdxdyyxf),(),(),(
三、交换二次积分次序的步骤
1） 对于给定的二重积分 ,),()(
(2
xxbadyyxfdx 先根据其积分限
()(,
1xyxbxa
D（图6-8-14）
2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限
()(,
1yxydyc
3） 写出结果
),(),()(
()()(2
21yydcxxbadxyxfdydyyxfdx
利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算
D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5
. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函
),(yxf的奇偶性和积分区域
的对称性两方面. 为应用方便，我们总结如下：
如果积分区域D关于y轴对称，则
当),(),(yxfyxf)),((Dyx时，有
),(
dxdyyxf.
当),(),(yxfyxf)),((Dyx时，有
),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf
}.0,),(|),{(
xDyxyxD
．如果积分区域D关于x轴对称，则
当),(),(yxfyxf)),((Dyx时，有
),(
dxdyy
xf.
当),(),(yxfyxf)),((Dyx时，有
),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf
}.0,),(|),{(
yDyxyxD
在极坐标系下二重积分的计算